高中数学第一章坐标系1.2极坐标系1.2.3-1.2.5练习北师大版选修4-4(2021学年)

2017－2０18学年高中数学第一章坐标系1.２极坐标系 1.２.3-1.2.5 练习北师大版选修4－４
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1。

2 极坐标系
1。

2。

3直线和圆的极坐标方程
１。

2。

4曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化
*1．2。

5圆锥曲线统一的极坐标方程
课后篇巩固探究
A组
１。

若极坐标方程ρ=ρ（θ）满足ρ(θ）=ρ(π—θ),则ρ=ρ(θ）表示的图形（)Ａ.关于极轴对称B。

关于极点对称
C。

关于直线θ＝对称D。

不确定
解析:由ρ（θ)=ρ(π—θ）可知ρ＝ρ(θ)表示的图形关于直线θ=对称。

答案：C
2。

过点A(2,0）,并且垂直于极轴的直线的极坐标方程是ﻩ(）
A。

ρcos θ＝2ﻩB。

ρsin θ=2
C．ρｃｏs θ=1ﻩＤ．ρsｉn θ＝1
解析：如图，设点M(ρ,θ)为直线上除点Ａ（2，0）外的任意一点，连接OM，则有△AOM为直角三角形,并且∠AOM＝θ,|ＯA|=2，|OＭ｜=ρ,所以｜OM｜cos θ=｜ＯA|,即ρcos
θ=2，当ρ＝２,θ=0时，也满足方程ρcos θ＝2.故所求直线的极坐标方程为ρcos θ＝２.
答案：A
3。

在极坐标系中,过点,且平行于极轴的直线的极坐标方程是()
Ａ.ρｓiｎθ=-２ﻩB．ρｃoｓθ=-2
C。

ρsin θ=２ﻩD．ρcos θ=2
解析:过点与极轴平行的直线为y=-２,
即ρｓin θ＝—2.
答案:Ａ
4.如图，在极坐标系中,过点M(2，0）的直线l与极轴的夹角α=。

若将l的极坐标方程写成ρ=f(θ)的形式，则f(θ）＝.
解析:如图①所示,当θ<０时,有,
得ρ=.
如图②所示,当θ〉０时,有，
得ρ=．
当θ＝0,ρ=2时,符合ρ＝.
综上可知ρ=。

答案:
5.两直线ρsin=2 ０1６，ρsｉn＝２ 0１７的位置关系是。

(填“垂直”或“平行”或“斜交")
解析：两直线方程可化为x+y=２ 016,y－x=2 ０1７,故两直线垂直。

答案：垂直
6。

在极坐标系中,曲线Ｃ1为ρ（cos θ＋ｓin θ)=１，曲线Ｃ2为ρ=a(a＞0）。

若曲线C
与C２的一个交点在极轴上,则ａ= 。

１
解析：ρ(ｃos θ+siｎθ）＝1，即ρcoｓθ＋ρsｉn θ=1，对应的直角坐标方程为x+y-1＝０;ρ=ａ(a〉０）对应的直角坐标方程为x２＋y２=ａ2.
在x+y—1=0中,令y=0,得ｘ=，将代入x２+y2=ａ2，得a＝.
答案:
7。

从原点O引直线交直线２x+4y—１=0于点M,点P为射线OM上一点,已知|OP|·|OM|=1，求点P的轨迹的极坐标方程.
解以点O为极点,x轴正方向为极轴建立极坐标系，直线2ｘ＋4y—1=0的方程可化为２ρcos θ+4ρsiｎθ－1=0。

设点M（ρ0,θ0),Ｐ(ρ,θ),则2ρ０coｓθ0＋４ρ０sin θ０-1=0.
因为|OＰ｜·|OＭ|＝1,所以ρ·ρ０=1,θ＝θ0,所以ρ0=,把θ０=θ，ρ０=代入2ρ０coｓθ0＋４ρ0siｎθ０—1=0,得2×cos θ+４×ｓin θ－１=０,整理得ρ=2cos θ+4ｓin θ。

所以点P的轨迹的极坐标方程为ρ＝2cｏｓθ＋4ｓin θ。

8。

在极坐标系中，已知圆ρ＝２ｃoｓθ与直线3ρcｏｓθ+4ρsｉｎθ+a=0相切，求实数a的值.
解将极坐标方程化为直角坐标方程,得圆的方程为ｘ2+ｙ２=２x,即(x-１)2+y２＝1,直线的方程为3x＋4y+a＝０。

由题设知,圆心(1，0)到直线的距离为1,即有＝1,
解得a=-8或ａ=2.
故a的值为—８或２。

９。

导学号７３１44012在极坐标系中，已知圆Ｃ经过点P，圆心为直线
ρsｉｎ=—与极轴的交点，求圆C的极坐标方程.
解在ρsin＝-中,令θ=0,得ρ=1,
所以圆C的圆心坐标为(１,０)。

因为圆C经过点P，
所以圆C的半径|PＣ|
==1，
于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ=2ｃos θ.
B组
1。

在极坐标系中，圆ρ=2cos θ的所有切线里垂直于极轴的两条切线方程分别为()
Ａ.θ=0（ρ∈R)和ρｃoｓθ＝２
Ｂ.θ＝(ρ∈Ｒ）和ρｃos θ＝2
C。

θ＝(ρ∈R)和ρcoｓθ=1
D.θ＝0（ρ∈R)和ρｃoｓθ=1
解析:由ρ=２cos θ,得ρ2=2ρcos θ，化为直角坐标方程为x2+ｙ２-2x=0，即（x－
１)2+y2=1，其垂直于极轴的两条切线方程为x=０和x=2,相应的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)
和ρcoｓθ＝2。

答案：Ｂ
2。

在极坐标方程中，曲线Ｃ的方程是ρ＝４ｓin θ,过点作曲线C的切线，则切线长为
（）
A。

4ﻩＢ.ﻩC。

2D。

2
解析:ρ＝４ｓｉｎθ化为普通方程为ｘ2+（y—2）２=4,点化为直角坐标为（２，2）,
切线长、圆心到定点的距离及半径构成直角三角形,由勾股定理,得切线长为
=２,故选C。

答案:C
3.在极坐标系（ρ,θ)(0≤θ<２π)中,曲线ρ（ｃｏs θ+ｓｉn θ)＝1与ρ(sin θ-cos θ)＝1的交点的极坐标为（)
Ａ。

B．
C。

(０,π） D.
解析:曲线ρ（coｓθ+sｉｎθ)=１与ρ（sｉn θ—cos θ)=１的直角坐标方程分别为
x+ｙ=1和y—ｘ=1，两条直线的交点的直角坐标为（0,1)，化为极坐标为.
答案:A
4．在极坐标系中，由三条直线θ=０,θ=,ρcoｓθ+ρｓin θ=１围成图形的面积
是。

解析:θ=0，θ=，ρcos θ+ρsiｎθ＝１三条直线对应的直角坐标方程分别为y=0,ｙ＝
ｘ，ｘ+y=1,这三条直线围成的图形如图所示,求得S=.
答案：
５。

已知圆的极坐标方程为ρ=4ｃos θ，圆心为点C，点P的极坐标为,则｜CP｜
＝.
解析：由ρ=4cos θ可得x２+y2＝4x,即（ｘ－2)2＋y2=4，因此圆心Ｃ的直角坐标为(2,0）。

又点P的直角坐标为(2，2）,因此|CP|＝2。

答案：2
6.在极坐标系中,点P是曲线ρ=12sin θ上的动点,点Q是曲线ρ=12cｏs上的动点,
则｜PQ｜的最大值为。

解析:∵ρ=12sin θ，∴ρ2=１2ρsiｎθ。

∴x2＋y2—12y＝0,
即x2+（y－６)2=36.
又∵ρ=1２coｓ,
∴ρ２=12ρ．
∴ｘ２+y 2—6x —６ｙ=0. ∴（x-3)2＋(y —3）２=36. ∴｜PQ|m ａx =6+6+=18。

答案:1８
7。

已知双曲线的极坐标方程为ρ=，过极点作直线与它交于A ，B 两点,且｜AB|=6,
求直线AB 的极坐标方程.
解设直线AB 的极坐标方程为θ=θ１，A (ρ1，θ1),Ｂ(ρ2,θ１+π),则ρ1＝,
ρ２=.
|AB|=|ρ1＋ρ2|=
==６,
所以=±１．
所以cos θ１=0或c ｏs θ1=±。

故直线AB 的极坐标方程为θ＝或θ=或θ=． 8．导学号73144013Ｆ为定点,l 为定直线,点F 到定直线l 的距离为p （p>0),点
M 在直线l 上滑动，动点N 在MF 的延长线上,且满足条件,求动点N 的轨迹. 解如图,作F Ｋ⊥l ,垂足为点K ，以点F 为极点,ＦK 的反向延长线为极轴建立极坐标系.
设动点N (ρ，θ).根据题意，不妨取ρ>0,cos θ>0，
∵｜ＭF ｜=
,｜NF|=ρ,
∴|MN|=|ＭF｜+｜FＮ|＝+ρ。

由动点Ｎ所满足的条件,得+ρ.
∴所求轨迹的极坐标方程为ρ=(0<cｏs θ〈1).
设过极点F且与极轴垂直的直线为ｌ'。

则
当e=>1,即0〈p<１时,所求轨迹是双曲线在直线ｌ'右边的部分;当e==1，即p=1时,所求轨迹是抛物线在直线l＇右边的部分；
当0〈ｅ=〈１,即p〉1时,所求轨迹是椭圆在直线ｌ'右边的部分.。