二次函数典型例题——平移

二次函数典型例题——平移
1、如图，把抛物线2
y x =沿直线y x =平移2个单位后，其顶点在直线上的A 处，则平
移后的抛物线解析式是（ C ）
A ．2(1)2y x =+-
B ．2(1)2y x =-+
C ．2(1)1y x =-+
D ．2
(1)1y x =+-
2、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=-x 2-（m-1）x+m 2-6交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B （0，3），顶点C 位于第二象限，连接AB ，AC ，BC ． （1）求抛物线的解析式；
（2）点D 是y 轴正半轴上一点，且在B 点上方，若∠DCB=∠CAB ，请你猜想并证明CD 与AC 的位置关系；
（3）设与△AOB 重合的△EFG 从△AOB 的位置出发，沿x 轴负方向平移t 个单位长度（0＜t≤3）时，△EFG 与△ABC 重叠部分的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式． 解：（1）因为抛物线22
(1)6y x m x m =---+-与y 轴交于点B （0,3） 所以2
63m -=，解得3m =±
因为抛物线的顶点在第二象限，所以3m = 所以抛物线的解析式为2
23y x x =--+
由△AGN ∽△KFN ，得
AG PN KF MN =，即332t PN
PN t =--，解得PN=2t ，
则2
21113=33(3)232222
FGE QAE AGN S S S S t t t t t ∆∆∆--=⨯⨯---⨯=-+阴影
3、.已知关于x 的一元二次方程22
(41)30x m x m m -+++=. （1）求证：无论m 取何实数时，原方程总有两个实数根；
（2）若原方程的两个实数根一个大于2，另一个小于7，求m 的取值范围；
（3）抛物线22
(41)3y x m x m m =-+++与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，当m 取（2）中符合题意的最小整数时，将此抛物线向上平移n 个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△ABC 的内部（不包括△ABC 的边界），求n 的取值范围（直接写出答案即可）． 解：(1)证明： Δ=[]2
2(41)4(3)m m m -+-+ =2441m m ++ =2
(21)m +
∵2
(21)m +≥0，
∴无论m 取何实数时，原方程总有两个实数根.
（2）解关于x 的一元二次方程2
2
(41)30x m x m m -+++=，
得1231,= x m x m =+. 由题意得312,317,
7. 2.
m m m m +>+>⎧⎧⎨⎨
<<⎩⎩或 解得
1
73
m <<.
（3）符合题意的n 的取值范围是91544
n <<.
如图，二次函数)0(2
1≠++=a c bx ax y 的图象与一次函数b x y +=2的图象交于)10(，A ，B 两点. C
）（0,1为二次函数图象的顶点. （1）求二次函数)0(2
1≠++=a c bx ax y 的解析式；
（2）定义函数f ：“当自变量x 任取一值时，x 对应的函数值分别为y 1或y 2，若y 1≠y 2，
函数f 的函数值等于y 1、y 2中的较小值;若y 1=y 2，函数f 的函数值等于y 1（或y 2）.”
当直线2
1
3-
=kx y （k >0）与函数f 的图象只有两个交点时，求k 的值.
解：（1）设抛物线解析式为2
)1(-=x a y ，
由抛物线过点)10(，
A ，可得122
+-=x x y …………2分 （2）可得)4,3(B
直线21
-=kx y （k >0）与函数f 的图象只有两个交点共有三种情况： ①直线21
-=kx y 与直线AB ：1+=x y 平行，此时1=k ；…3分
②直线2
1-=kx y 过点)4,3(B ，此时23
=k ； ………………4分
③直线21-=kx y 与二次函数122
+-=x x y 的图象只有一个交点， 此时有⎪⎩
⎪⎨⎧
+-=-=.
122
12x x y kx y ， 得21122
-=+-kx x x , 由,0=∆可得)(26,2-621舍--==k k .…………5分
综上：1=k ，2
3
=k ，2-6=k
已知抛物线2(2)2y kx k x =+--（其中0k >）．
（1）求该抛物线与x 轴的交点坐标及顶点坐标(可以用含k 的代数式表示)； （2）若记该抛物线的顶点坐标为(,)P m n ，直接写出n 的最小值； （3）将该抛物线先向右平移
12个单位长度，再向上平移1
k
个单位长度，随着k 的变化，平移后的抛物线的顶点都在某个新函数的图象上，求这个新函数的解析式（不要求写自变量的取值范围）．
已知：二次函数23
14
y x mx m =-++（m 为常数）．
（1）若这个二次函数的图象与x 轴只有一个公共点A ，且A 点在x 轴的正半轴上． ①求m 的值；
②四边形AOBC 是正方形，且点B 在y 轴的负半轴上，现将这个二次函数的图象
平移，使平移后的函数图象恰好经过B ，C 两点，求平移后的图象对应的函数解析式；
（2） 当0≤x ≤2时，求函数23
14y x mx m =-++的最小值（用含m 的代数式表示）．
解：（1）①∵ 二次函数23
14y x mx m =-++的图象与x 轴只有一个公共点A ，
∴ ∆23
41(1)04
m m =-⨯⨯+=．
整理，得2340m m --=．
解得，14m =，21m =-． 又点A 在x 轴的正半轴上， ∴ 0m >． ∴ m =4．
②由①得点A 的坐标为(20)，．
∵ 四边形AOBC 是正方形，点B 在y 轴的负半轴上， ∴ 点B 的坐标为(02)-，，点C 的坐标为(22)-，．
设平移后的图象对应的函数解析式为2y x bx c =++(b ，c 为常数)． ∴ 2,42 2.c b c =-⎧⎨++=-⎩
解得2,2.b c =-⎧⎨=-⎩
∴平移后的图象对应的函数解析式为222y x x =--
（２）函数2
3
14
y x mx m =-++的图象是顶点为23(,1)244m m m -++，且开口向上的抛物
线．分三种情况：
(ⅰ)当02
m
<，即0m <时，函数在0≤x ≤2内y 随x 的增大而增大，此时函数的
最小值为3
14
m +；
(ⅱ)当0≤2
m
≤2，即0≤m ≤4时，函数的最小值为23144m m -++；
(ⅲ)当22
m
>，即4m >时，函数在0≤x ≤2内y 随x 的增大而减小，此时函数的
最小值为5
54
m -+．
综上，当0m <时，函数23
14
y x mx m =-++的最小值为314m +；
当04m ≤≤时，函数2
3
14
y x mx m =-++的最小值为23144m m -++；
当4m >时，函数2314y x mx m =-++的最小值为5
54
m -+
（朝阳一模）27．如图，将抛物线M 1: x ax y 42+=向右平移3个单位，再向上平移3个
单位，得到抛物线M 2，直线x y =与M 1
的一个交点记为A ，与M 2的一个交点记为B ，点A 的 横坐标是－3.
（1）求a 的值及M 2的表达式；
（2）点C 是线段AB 上的一个动点，过点C 作x 轴的
垂线，垂足为D ，在CD 的右侧作正方形CDEF.
①当点C 的横坐标为2时，直线n x y +=恰好经过 正方形CDEF 的顶点F ，求此时n 的值；
②在点C 的运动过程中，若直线n x y +=与正方形CDEF 始终没有公共点，求n 的
取值范围（直接写出结果）.
解：（1）∵ 点A 在直线x y =，且点A 的横坐标是－3，
∴ A (－3，－3) . ………………………………………………………………1分 把A (－3，－3)代入x ax y 42+=，
解得a =1. … …………………………………………………………………2分 ∴M 1 : x x y 42+=，顶点为(－2，－4) . ∴M 2的顶点为(1，－1) .
∴M 2的表达式为x x y 2-2=. …………3分
（2）①由题意，C (2，2)，
∴F (4，2) . ………………………………4分 ∵直线n x y +=经过点F ，
∴2=4+n .
解得n =－2. ………………………5分
② n ＞3，n ＜－6. …………… …7分
已知关于x 的一元二次方程22
(41)30x m x m m -+++=. （1）求证：无论m 取何实数时，原方程总有两个实数根；
（2）若原方程的两个实数根一个大于2，另一个小于7，求m 的取值范围；
（3）抛物线22
(41)3y x m x m m =-+++与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，当m
取（2）中符合题意的最小整数时，将此抛物线向上平移n 个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△ABC 的内部（不包括△ABC 的边界），求n 的取值范围（直接写出答案即可）．
解：(1)证明： Δ=[]2
2(41)4(3)m m m -+-+
=2
441m m ++
=2
(21)m +
∵2
(21)m +≥0，
∴无论m 取何实数时，原方程总有两个实数根.
（2）解关于x 的一元二次方程2
2
(41)30x m x m m -+++=，
得1231,= x m x m =+. 由题意得312,317,
7. 2.
m m m m +>+>⎧⎧⎨⎨
<<⎩⎩或 解得
1
73
m <<. （3）符合题意的n 的取值范围是915
44
n <<.
（海淀一模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2
212
y x x =
-+与y 轴交于点A ，顶点为点B ，点C 与点A 关于抛物线的对称轴对称． （1）求直线BC 的解析式；
（2）点D 在抛物线上，且点D 的横坐标为4．将抛物线在点A ，D 之间的部分（包含点A ，D ）记为图象G ，若图象G 向下平移t （0t >）个单位后与直线BC 只有一个公共点，求t 的取值范围．
解：（1）∵抛物线221
2
y x x =-+与y 轴交于点A ，
∴点A 的坐标为（0，2）． ∵2211(2
32
)212
y x x x -+==+
-， ∴抛物线的对称轴为直线1x =，顶点B 的坐标为（1，3
2
）．
又∵点C 与点A 关于抛物线的对称轴对称，
∴点C 的坐标为(2，2)，且点C 在抛物线上． 设直线BC 的解析式为y kx b =+．
∵直线BC 经过点B （1，3
2
）和点C (2，2)，
∴322 2.，k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩ 解得121.k b ⎧
=⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BC 的解析式为
x
y O –5
–4
–3
–2
–112345
–7
–6–5–4–3–2–11
234567F E D
A
B
C
1
12
y x =+．
（2） ∵抛物线2212
y x x =-+中，
当4x =时，6y =，
∴点D 的坐标为(4，6)．
∵直线1
12
y x =+中，
当0x =时，1y =， 当4x =时，3y =，
∴如图，点E 的坐标为(0，1)，
点F 的坐标为(4，3)．
设点A 平移后的对应点为点'A ，点D 平移后的对应点为点'D ． 当图象G 向下平移至点'A 与点E 重合时， 点'D 在直线BC 上方， 此时t =1；
当图象G 向下平移至点'D 与点F 重合时，点'A 在直线BC 下方，此时t =3． 结合图象可知，符合题意的t 的取值范围是13t <≤．
（西城一模）已知二次函数2
1y x bx c =++的图象1C 经过(1,0)-，(0,3)-两点．
（1）求1C 对应的函数表达式；
（2）将1C 先向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到抛物线2C ，将2C 对应的
函数表达式记为2
2y x mx n =++，求2C 对应的函数表达式；
（3）设323y x =+，在（2）的条件下，如果在2-≤x ≤a 内存在．．
某一个x 的值，使得2
y ≤
3y 成立，利用函数图象直接写出a 的取值范围．
解：（1）∵ 二次函数21y x bx c =++的图象1C 经过(1,0)-，
(0,3)-两点，
∴10,
3.b c c -+=⎧⎨=-⎩ ………………………………1分
解得2,
3.b c =-⎧⎨=-⎩
………………………………… 2分
∴ 抛物线1C 的函数表达式为3221--=x x y ．……………………… 3分 （2）∵ 22123=(1)4y x x x =----，
∴ 抛物线1C 的顶点为(1,4)-．……………………………………………… 4分 ∴ 平移后抛物线2C 的顶点为(0,0)，它对应的函数表达式为22y x =．… 5分 （3）a ≥1-（见图7）．………………………………………………7分
（丰台区）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21y ax bx =++经过(13)A ，，(21)B ，两点. （1）求抛物线及直线AB 的解析式；
（2）点C 在抛物线上，且点C 的横坐标为3．将抛物线在点A ，C 之间的部分（包含点A ，C ）记为图象G ，如果图象G 沿y 轴向上平移t （0t >）个单位后与直线AB 只有一个公共点，求t 的取值范围．
解：（1）∵抛物线21y ax bx =++过(13)A ，，(21)B ，两点．
∴13
4211a b a b ++=⎧⎨
++=⎩
．…….1分
解得，2
4a b =-⎧⎨=⎩ ．
∴抛物线的表达式是224+1y x x =-+．…….2分 设直线AB 的表达式是y mx n =+ ，
∴321m n m n +=⎧⎨+=⎩ ，解得，2
5m n =
-⎧⎨=⎩ ．…….3分
∴直线AB 的表达式是25y x =-+．…….4分
（2）∵点C 在抛物线上，且点C 的横坐标为3． ∴C （3，-5）．…….5分
点C 平移后的对应点为点'(3,5)C t - 代入直线表达式25y x =-+，解得4t =．…….6分 结合图象可知，符合题意的t 的取值范围是04t <≤． …….7分。