人教版八年级数学下册18.2.1矩形同步测试

18．2.1矩形
1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以下说法错误的是( )
A．∠ABC＝90°B．AC＝BD
C．OA＝OB D．OA＝AD
2．下列说法正确的是( )
A．有一组对角是直角的四边形一定是矩形
B．有一组邻角是直角的四边形一定是矩形
C．对角线互相平分的四边形是矩形
D．对角互补的平行四边形是矩形
3．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AC ＝6 cm，则AB的长是( )
A．3 cm B．6 cm C．10 cm D．12 cm 4．如图，在矩形ABCD中(AD>AB)，点E是BC上一点，且DE＝DA，AF ⊥DE，垂足为点F.在下列结论中，不一定正确的是( )
A．△AFD≌△DCE B．AF＝1
2AD
C．AB＝AF D．BE＝AD－DF
5．如图，▱ABCD的周长是26 cm，对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB，E 是BC中点，△AOD的周长比△AOB的周长多3 cm，则AE的长度为( )
A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．8 cm
6．如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB，BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是( )
A．4.8 B．5 C．6 D．7.2
7．已知O为四边形ABCD对角线的交点，下列条件能使四边形ABCD成为矩形的是( )
A．OA＝OC，OB＝OD
B．AC＝BD
C．AC⊥BD
D．∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°
8．如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，F，BE⊥DF 交DF的延长线于点E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是( )
A．2 3 B．3 3 C．4 D．43
9．在▱ABCD中，AB＝3，BC＝4，当▱ABCD的面积最大时，下列结论：①AC＝5；②∠A＋∠C＝180°；③AC⊥BD；④AC＝BD，正确的有( ) A．①②③B．①②④
C．②③④D．①③④
10．如图，E，F，G，H分别是矩形ABCD各边的中点，AB＝6，BC＝8，则四边形EFGH的面积是．
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，若CD＝5 cm，则EF＝cm.
12．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AD∥BC，AC＝BD.试添加一个条件，使四边形ABCD为矩形．
13．如图，将长8 cm，宽4 cm的矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，则折痕EF的长为cm.
14．已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE＝CF，EF⊥DF.求证：BF＝CD.
15．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，BE ＝DF.
(1)求证：AE＝CF；
(2)若AB＝6，∠COD＝60°，求矩形ABCD的面积．
16．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，延长CB到点E，使BE＝BC，连接AE.求证：
(1)四边形ADBE是平行四边形；
(2)若AB＝4，OB＝5
2，求四边形ADBE的周长．
17．已知：如图，在▱ABCD中，AF，BH，CH，DF分别是∠BAD，∠ABC，∠BCD，∠ADC的平分线．求证：四边形EFGH为矩形．
18．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，F为DC上一点，且FC ＝AB，E为AD上一点，EC交AF于点G.
(1)求证：四边形ABCF是矩形；
(2)若ED＝EC，求证：EA＝EG.
参考答案
1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以下说法错误的是(D)
A．∠ABC＝90°B．AC＝BD
C．OA＝OB D．OA＝AD
2．下列说法正确的是(D)
A．有一组对角是直角的四边形一定是矩形
B．有一组邻角是直角的四边形一定是矩形
C．对角线互相平分的四边形是矩形
D．对角互补的平行四边形是矩形
3．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AC ＝6 cm，则AB的长是(A)
A．3 cm B．6 cm C．10 cm D．12 cm 4．如图，在矩形ABCD中(AD>AB)，点E是BC上一点，且DE＝DA，AF ⊥DE，垂足为点F.在下列结论中，不一定正确的是(B)
A．△AFD≌△DCE B．AF＝1
2AD
C．AB＝AF D．BE＝AD－DF
5．如图，▱ABCD的周长是26 cm，对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB，E 是BC中点，△AOD的周长比△AOB的周长多3 cm，则AE的长度为(B)
A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．8 cm
6．如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB，BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是(A)
A．4.8 B．5 C．6 D．7.2
7．已知O为四边形ABCD对角线的交点，下列条件能使四边形ABCD成为矩形的是(D)
A．OA＝OC，OB＝OD
B．AC＝BD
C．AC⊥BD
D．∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°
8．如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，F，BE⊥DF 交DF的延长线于点E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是(A)
A．2 3 B．3 3 C．4 D．43
9．在▱ABCD中，AB＝3，BC＝4，当▱ABCD的面积最大时，下列结论：①AC＝5；②∠A＋∠C＝180°；③AC⊥BD；④AC＝BD，正确的有(B) A．①②③B．①②④
C．②③④D．①③④
10．如图，E，F，G，H分别是矩形ABCD各边的中点，AB＝6，BC＝8，则四边形EFGH的面积是24．
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，若CD＝5 cm，则EF＝5cm.
12．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AD∥BC，AC＝BD.试添加一个条件答案不唯一，如：AB∥CD，使四边形ABCD为矩形．
13．如图，将长8 cm，宽4 cm的矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，
则折痕EF的长为
14．已知：如图，在矩形ABCD 中，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，且BE ＝CF ，EF ⊥DF.求证：BF ＝CD.
证明：∵四边形ABCD 为矩形， ∴∠B ＝∠C ＝90°. ∴∠BFE ＋∠BEF ＝90°.
∵EF ⊥DF ，∴∠DFE ＝90°.∴∠BFE ＋∠CFD ＝90°. ∴∠BEF ＝∠CFD. 在△BEF 和△CFD 中，
⎩⎨⎧∠BEF ＝∠CFD ，
BE ＝CF ，
∠B ＝∠C ，
∴△BEF ≌△CFD(ASA)．∴BF ＝CD.
15．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 在BD 上，BE ＝DF.
(1)求证：AE ＝CF ；
(2)若AB ＝6，∠COD ＝60°，求矩形ABCD 的面积．
解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，
∴OA ＝OC ，OB ＝OD ，AC ＝BD ，∠ABC ＝90°. ∵BE ＝DF ，∴OE ＝OF. 在△AOE 和△COF 中，
⎩⎨⎧OA ＝OC ，
∠AOE ＝∠COF ，OE ＝OF ，
∴△AOE ≌△COF(SAS)． ∴AE ＝CF.
(2)∵OA ＝OC ，OB ＝OD ，AC ＝BD ，∴OA ＝OB. ∵∠AOB ＝∠COD ＝60°， ∴△AOB 是等边三角形． ∴OA ＝AB ＝6.∴AC ＝2OA ＝12.
在Rt △ABC 中，BC ＝AC 2－AB 2＝63， ∴S 矩形ABCD ＝AB·BC ＝6×63＝36 3.
16．如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，延长CB 到点E ，使BE ＝BC ，连接AE.求证：
(1)四边形ADBE 是平行四边形；
(2)若AB ＝4，OB ＝5
2
，求四边形ADBE 的周长．
证明：(1)∵四边形ABCD 为矩形， ∴AD ∥BC ，AD ＝BC.
又∵BE＝BC，且点C，B，E在一条直线上，
∴AD∥BE，AD＝BE.
∴四边形ADBE是平行四边形．
(2)∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD＝90°，OB＝OD.
∴BD＝2OB＝5.
在Rt△BAD中，AD＝52－42＝3.
又∵四边形ADBE为平行四边形，
∴BE＝AD＝3，AE＝BD＝5.
17．已知：如图，在▱ABCD中，AF，BH，CH，DF分别是∠BAD，∠ABC，∠BCD，∠ADC的平分线．求证：四边形EFGH为矩形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB＋∠ADC
＝180°.
∵AF，DF分别平分∠DAB，∠ADC，
∴∠FAD＝∠BAF＝1
2∠DAB，
∠ADF＝∠CDF＝1
2∠ADC.
∴∠FAD＋∠ADF＝90°.∴∠AFD＝90°.同理可得：∠BHC＝∠HEF＝90°.
∴四边形EFGH是矩形．
18．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，F为DC上一点，且FC ＝AB，E为AD上一点，EC交AF于点G.
(1)求证：四边形ABCF是矩形；
(2)若ED＝EC，求证：EA＝EG.
证明：(1)∵AB∥DC，FC＝AB，
∴四边形ABCF是平行四边形．
又∵∠B＝90°，
∴四边形ABCF是矩形．
(2)∵四边形ABCF是矩形，
∴∠AFC＝∠AFD＝90°.
∴∠DAF＝90°－∠D，∠CGF＝90°－∠ECD.
∵ED＝EC，∴∠D＝∠ECD.
∴∠DAF＝∠CGF.
又∵∠EGA＝∠CGF，
∴∠DAF＝∠EGA.
∴EA＝EG.。