高教版(2021)中职数学基础模块上册第3单元《函数的奇偶性》课件
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∴f(x)= - f(x)
这样的函数有多少个呢？
∴2 f(x)=0，即 f(x)=0.
f ( x )只是解析式的特征,若改变函数的定义域,
如f ( x ) 0, x [ 1, 1]和f ( x ) 0, x { 2, 1, 0, 1, 2, }
显然是不同的函数,但它们都既是奇函数又是
3
+ (−) = − 3 − = − ，所以 = 3 + 是奇函数．
（2） = 2 2 + 4 的定义域为R，对于任意的 ∈ ，都有− ∈ ，
且 − = 2 −
偶函数．
2
+ −
4
= 2 2 + 4 = ，所以 = 2 2 + 4 是
B、
a , f (a )
1
D、
a, f ( a )
C
)
课堂练习
3．讨论下列函数的奇偶性：
（1） =
2
+ ；
（3） = 2 − 2；
（2） = 2 ；
（4） = 2 + 2．
感谢观看 THANGKS!
(3)图象的特征：
奇函数的图像关于原点对称；
偶函数的图像关于y轴对称。
探究思考
有没有某个函数，它既是奇函数又是偶函数？
如果有，请举例说明．
例题精讲
例1、已知函数 f(x) 既是奇函数又是偶函数。
求证：f(x)=0
证明：∵f(x) 既是奇函数又是偶函数
∴f(-x)=f(x)，且 f(-x)= -f(x)
3.3.2 函数的奇偶性
目录
1
2
3
4
理解函数的奇偶性及其几何意义
用函数图象理解和研究函数的性质
能判断函数的奇偶性
奇偶性概念与函数奇偶性的判断
复习回顾
1、增函数与减函数、单调区间、函数最值的定义
2、利用定义法证明函数单调性的一般步骤
取值
作差变形
定号
下结论
3、函数单调性是对于定义域内的某个子区间而言的，是函
−2 = 4 = 2 ，
−4 = 16 = 4 ，
……
即对于定义域R上的任意一个，都有
�� − = 2 = ．
探究新知
设函数 = 的定义域为数集，若对于任意的
∈ ，都有− ∈ ，且 − = ，
则称 = 是偶函数．偶函数的图像关于轴对
+ 1既不是奇函数也不是偶函数．
（4） = 2的定义域为
0，+
，定义域不关于原点对称，
所以函数 = 既不是奇函数也不是偶函数．
总结归纳
判断函数奇偶性的一般步骤：
(1)看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则得出结论：
该函数非奇非偶函数。若定义域对称，则进入第二步
(2)计算 f(-x)，若等于 f(x)，则函数是偶函数；若等于 –f(x)，则
数的局部性质。
情景导入
情景导入
大千世界，美无处不在．
情景导入
数学中也存在着对称美，函数图像的对称就是其中一种．
1
函数 = 2 的图像是关于轴
函数 = 的图像是关于原点对称的
对称的轴对称图形．
中心对称图形．
探究思考
对于函数 = 2 ，有：
−1 = 1 = 1 ，
偶函数,所以这样的函数有无数多个。
例题精讲
例 讨论下列函数的奇偶性：
（1） = 3 + ；
（2） = 2 2 + 4 ；
（3） = + 1； （4） = ．
解 （1） = 3 + 的定义域为R，对于任意的 ∈ ，都有− ∈ ，且
− = −
中心对称．
注意：定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件。
如果一个函数是奇函数或偶函数，就说这个函数具有奇偶性，其定义域
一定关于原点中心对称．
探究思考
函数奇偶性定义中应注意：
(1) 函数的奇偶性是对函数的整个定义域而言的，是函数的
整体性质，要与单调性区别开来。
(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件。
探究新知
例 讨论下列函数的奇偶性：
（1） = 3 + ；
（2） = 2 2 + 4 ；
（3） = + 2； （4） = 2．
（3） = + 2 的定义域为R，对于任意的 ∈ ，，都有 − ∈ ，
且 − = − + 2 ≠ − ， − = − + 2 ≠ ，所以 =
函数是奇函数。若两者都不满足，则函数既不是奇函数也不是偶
函数。
注意：
1、若可以作出函数图象的，直接观察图象是否关
于y轴对称或者关于原点对称。
2、判断奇偶性的方法：①定义法；②图象法
例题精讲
例：判断下列函数的奇偶性
偶
函
数
y
o
(1)
非
奇
非
偶
函
数
x
非
奇
非
偶
函
数
(4)
y＝5
x
o
x
奇
函
数
偶
函
数
５
x
o
(5)
x
称．
探究思考
图象关于原点对称
(x，f(x))
(-x，f(-x))
思考：那么关于原点对称的点的坐标之间有什么关系呢？
当自变量任取两个互为相反数的值时， 对应的函数值互为相反数。
探索新知
设函数 = 的定义域为数集，若对于任意的 ∈ ，都有− ∈ ，
且 − = − ，则称 = 是奇函数．奇函数的图像关于原点
0
(2)
y
y
o
y
y
是
奇
函
数
也
是
偶
函
数
(3)
y
y＝０
0
(6)
x
课堂练习
1．下列函数为奇函数的是
(
A．y＝|x|
B．y＝3－x
1
C．y＝ 3)
2、奇函数y f ( x )( x R)的图象必定经过点(
Ａ、
a, f (a )
Ｃ、
a , f (a )
这样的函数有多少个呢？
∴2 f(x)=0，即 f(x)=0.
f ( x )只是解析式的特征,若改变函数的定义域,
如f ( x ) 0, x [ 1, 1]和f ( x ) 0, x { 2, 1, 0, 1, 2, }
显然是不同的函数,但它们都既是奇函数又是
3
+ (−) = − 3 − = − ，所以 = 3 + 是奇函数．
（2） = 2 2 + 4 的定义域为R，对于任意的 ∈ ，都有− ∈ ，
且 − = 2 −
偶函数．
2
+ −
4
= 2 2 + 4 = ，所以 = 2 2 + 4 是
B、
a , f (a )
1
D、
a, f ( a )
C
)
课堂练习
3．讨论下列函数的奇偶性：
（1） =
2
+ ；
（3） = 2 − 2；
（2） = 2 ；
（4） = 2 + 2．
感谢观看 THANGKS!
(3)图象的特征：
奇函数的图像关于原点对称；
偶函数的图像关于y轴对称。
探究思考
有没有某个函数，它既是奇函数又是偶函数？
如果有，请举例说明．
例题精讲
例1、已知函数 f(x) 既是奇函数又是偶函数。
求证：f(x)=0
证明：∵f(x) 既是奇函数又是偶函数
∴f(-x)=f(x)，且 f(-x)= -f(x)
3.3.2 函数的奇偶性
目录
1
2
3
4
理解函数的奇偶性及其几何意义
用函数图象理解和研究函数的性质
能判断函数的奇偶性
奇偶性概念与函数奇偶性的判断
复习回顾
1、增函数与减函数、单调区间、函数最值的定义
2、利用定义法证明函数单调性的一般步骤
取值
作差变形
定号
下结论
3、函数单调性是对于定义域内的某个子区间而言的，是函
−2 = 4 = 2 ，
−4 = 16 = 4 ，
……
即对于定义域R上的任意一个，都有
�� − = 2 = ．
探究新知
设函数 = 的定义域为数集，若对于任意的
∈ ，都有− ∈ ，且 − = ，
则称 = 是偶函数．偶函数的图像关于轴对
+ 1既不是奇函数也不是偶函数．
（4） = 2的定义域为
0，+
，定义域不关于原点对称，
所以函数 = 既不是奇函数也不是偶函数．
总结归纳
判断函数奇偶性的一般步骤：
(1)看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则得出结论：
该函数非奇非偶函数。若定义域对称，则进入第二步
(2)计算 f(-x)，若等于 f(x)，则函数是偶函数；若等于 –f(x)，则
数的局部性质。
情景导入
情景导入
大千世界，美无处不在．
情景导入
数学中也存在着对称美，函数图像的对称就是其中一种．
1
函数 = 2 的图像是关于轴
函数 = 的图像是关于原点对称的
对称的轴对称图形．
中心对称图形．
探究思考
对于函数 = 2 ，有：
−1 = 1 = 1 ，
偶函数,所以这样的函数有无数多个。
例题精讲
例 讨论下列函数的奇偶性：
（1） = 3 + ；
（2） = 2 2 + 4 ；
（3） = + 1； （4） = ．
解 （1） = 3 + 的定义域为R，对于任意的 ∈ ，都有− ∈ ，且
− = −
中心对称．
注意：定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件。
如果一个函数是奇函数或偶函数，就说这个函数具有奇偶性，其定义域
一定关于原点中心对称．
探究思考
函数奇偶性定义中应注意：
(1) 函数的奇偶性是对函数的整个定义域而言的，是函数的
整体性质，要与单调性区别开来。
(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件。
探究新知
例 讨论下列函数的奇偶性：
（1） = 3 + ；
（2） = 2 2 + 4 ；
（3） = + 2； （4） = 2．
（3） = + 2 的定义域为R，对于任意的 ∈ ，，都有 − ∈ ，
且 − = − + 2 ≠ − ， − = − + 2 ≠ ，所以 =
函数是奇函数。若两者都不满足，则函数既不是奇函数也不是偶
函数。
注意：
1、若可以作出函数图象的，直接观察图象是否关
于y轴对称或者关于原点对称。
2、判断奇偶性的方法：①定义法；②图象法
例题精讲
例：判断下列函数的奇偶性
偶
函
数
y
o
(1)
非
奇
非
偶
函
数
x
非
奇
非
偶
函
数
(4)
y＝5
x
o
x
奇
函
数
偶
函
数
５
x
o
(5)
x
称．
探究思考
图象关于原点对称
(x，f(x))
(-x，f(-x))
思考：那么关于原点对称的点的坐标之间有什么关系呢？
当自变量任取两个互为相反数的值时， 对应的函数值互为相反数。
探索新知
设函数 = 的定义域为数集，若对于任意的 ∈ ，都有− ∈ ，
且 − = − ，则称 = 是奇函数．奇函数的图像关于原点
0
(2)
y
y
o
y
y
是
奇
函
数
也
是
偶
函
数
(3)
y
y＝０
0
(6)
x
课堂练习
1．下列函数为奇函数的是
(
A．y＝|x|
B．y＝3－x
1
C．y＝ 3)
2、奇函数y f ( x )( x R)的图象必定经过点(
Ａ、
a, f (a )
Ｃ、
a , f (a )