Laplace方程边值问题的五点差分格式
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Laplace 方程边值问题的五点差分格式
支越
（ 中国传媒大学信息科学与技术学部，北京 100024）
摘要： 使用差商代替导数法与积分插值法建立 Laplace 方程边值问题五点差分格式。 关键词： Laplace 方程； 五点差分格式 中图分类号： O241． 82 文献标识码： A 文章编号： 1673 － 4793（ 2019） 04 － 0038 － 04
分格式联立，消去未知量 u －1，0 和 u0，－1 ，( 0，N) ，( N，0 ) 和 ( N，N) 类似处理。 角点 ( 0，0 ) ，－ u1，0 － u0，1 + 2u00 = 2hβ00
角点 ( 0，N) ，－ u0，N－1 － u1，N + 2u0N = 2hβ0N
角点 ( N，0 ) ，－ uN，1 － uN－1，0 + 2uN0 = 2hβN0
Five-Point Difference Scheme for Boundary Value Problems of Laplace Equation
ZHI Yue
（ Faculty of Science and Technology，Communication University of China，Beijing 100024，China）
1 引言
( ) Laplace 方程： －
2 u x2
+
2 u y2
= 0 ，或 － Δu = 0 ，( x，y) ∈ Ω ，Ω 是平面上的有界区域，边界 Γ 为分段光
滑曲线。
{ ( ) Laplace 方程的第一边值问题（ Dirichlet 问题）
－
2 u x2
+
2 u y2
= 0，( x，y) ∈ Ω 。
Abstract： Five － Point difference scheme for boundary value problems of Laplace equation is established by using difference coefficient instead of derivative method and integral interpolation method． Key words： Laplace equation； five － point difference scheme
从而消去了虚网点 ( － 1，j) 上的未知量 u －1，j 。
根据上述方法，以 Laplace 方程的第二边值问题为例，列出其在上、下、左、右边界的差分格式。
下边界差分格式： － 2ui，1 － ui+1，0 － ui－1，0 + 4ui0 = 2hβi0 ，i = 1，2，…，N － 1 上边界差分格式： － 2ui，N－1 － ui+1，N － ui－1，N + 4uiN = 2hβiN ，i = 1，2，…，N － 1 左边界差分格式： － 2u1，j － u0，j+1 － u0，j－1 + 4u0j = 2hβ0j ，j = 1，2，…，N － 1 右边界差分格式： － 2uN－1，j － uN，j+1 － uN，j－1 + 4uNj = 2hβNj ，j = 1，2，…，N － 1 角点 ( 0，0 ) ，需要用到左侧的虚网点 ( － 1，0 ) 和下侧的虚网点 ( 0，－ 1 ) ，由左边界、下边界和内点的差
例如，在左边界 ( 0，j) ( 0 ≤ j ≤ N) 的左侧增设 ( － 1，j) ( 0 ≤ j ≤ N) ，用中心差商逼近边界条件中的法
向导数
u －1，j － u1，j = 2h
β0，j ，j
=
0，1，…，N
u ，
－ －1，j 2h
u1，j
+
δ0j u0j
=
γ0j ，j
= 0，1，…，N 。
通过在左边界增设一排虚网点，以 ( 0，j) 为内点建立五点差分格式，与内点 ( i，j) 列出的差分格式联立，
+
2 u y2
= 0，( x，y) ∈ Ω
，
u n
(
x，y )
+
δ( x，y) u( x，y)
=
γ( x，y) ，( x，y) ∈ Γ
收稿日期： 2018 － 12 － 16 作者简介： 支越（ 1997 － ） ，女（ 汉族） ，山东德州人，中国传媒大学硕士研究生． E-mail： zhiyue@ cuc． edu． cn
第4期
支越： Laplace 方程边值问题的五点差分格式
39
这里 δ( x，y) ≥ 0 。 若边界 Γ 上不同部分满足不同类型的边界条件，则为混合边值问题。假设 α( x，y) ，β( x，y) ，γ( x，y) ， δ( x，y) 为定义在边界 Γ 上的光滑函数。 本文用五点差分格式建立 Laplace 方程边值问题的差分方程组，具体步骤如下： （ 1） 将区域 Ω 进行网格剖分。 （ 2） 对区域 Ω 上的内点建立差分格式。 （ 3） 对区域 Ω 上边界条件的处理。 为简便讨论，取区域 Ω 为正方形区域进行均匀正方形网格剖分。
2 在差商代替导数的方法下建立差分格式
2． 1 区域 Ω 上内点的差分格式
对内网格点 ( i，j) ，1 ≤ i ≤ N － 1 ，1 ≤ j ≤ N － 1 ，有 ( N － 1 ) × ( N － 1 ) 个内点。
内点列出的差分格式：
－
u ( i，j +1
+
ui，j －1
+
ui +1，j +
ui －1，j
u( x，y) = α( x，y) ，( x，y) ∈ Γ
{ ( ) Laplace 方程的第二边值问题（ Neumann 问题）
－
2 u x2
+
2 u y2
= 0，( x，y) ∈ Ω 。
u n
(
x，y )
=
β( x，y) ，( x，y) ∈ Γ
{ ( ) Laplace 方程的第三边值问题
－
2 u x2
－
4
u
)
i，j
=
0。
2． 2 区域 Ω 上的边界) = α( x，y) ，( x，y) ∈ Γ ，将 uij = αij 直接代入差分方程中 。
对于第二、三类边界条件，在正方形区域 Ω 四个边界外侧的一个步长 h 处，各增设一排虚网点，用中心差
商逼近边界条件中的法向导数，在四个边界点上单独列出差分方程。
角点 ( N，N) ，－ uN，N－1 － uN－1，N + 2uNN = 2hβNN
支越
（ 中国传媒大学信息科学与技术学部，北京 100024）
摘要： 使用差商代替导数法与积分插值法建立 Laplace 方程边值问题五点差分格式。 关键词： Laplace 方程； 五点差分格式 中图分类号： O241． 82 文献标识码： A 文章编号： 1673 － 4793（ 2019） 04 － 0038 － 04
分格式联立，消去未知量 u －1，0 和 u0，－1 ，( 0，N) ，( N，0 ) 和 ( N，N) 类似处理。 角点 ( 0，0 ) ，－ u1，0 － u0，1 + 2u00 = 2hβ00
角点 ( 0，N) ，－ u0，N－1 － u1，N + 2u0N = 2hβ0N
角点 ( N，0 ) ，－ uN，1 － uN－1，0 + 2uN0 = 2hβN0
Five-Point Difference Scheme for Boundary Value Problems of Laplace Equation
ZHI Yue
（ Faculty of Science and Technology，Communication University of China，Beijing 100024，China）
1 引言
( ) Laplace 方程： －
2 u x2
+
2 u y2
= 0 ，或 － Δu = 0 ，( x，y) ∈ Ω ，Ω 是平面上的有界区域，边界 Γ 为分段光
滑曲线。
{ ( ) Laplace 方程的第一边值问题（ Dirichlet 问题）
－
2 u x2
+
2 u y2
= 0，( x，y) ∈ Ω 。
Abstract： Five － Point difference scheme for boundary value problems of Laplace equation is established by using difference coefficient instead of derivative method and integral interpolation method． Key words： Laplace equation； five － point difference scheme
从而消去了虚网点 ( － 1，j) 上的未知量 u －1，j 。
根据上述方法，以 Laplace 方程的第二边值问题为例，列出其在上、下、左、右边界的差分格式。
下边界差分格式： － 2ui，1 － ui+1，0 － ui－1，0 + 4ui0 = 2hβi0 ，i = 1，2，…，N － 1 上边界差分格式： － 2ui，N－1 － ui+1，N － ui－1，N + 4uiN = 2hβiN ，i = 1，2，…，N － 1 左边界差分格式： － 2u1，j － u0，j+1 － u0，j－1 + 4u0j = 2hβ0j ，j = 1，2，…，N － 1 右边界差分格式： － 2uN－1，j － uN，j+1 － uN，j－1 + 4uNj = 2hβNj ，j = 1，2，…，N － 1 角点 ( 0，0 ) ，需要用到左侧的虚网点 ( － 1，0 ) 和下侧的虚网点 ( 0，－ 1 ) ，由左边界、下边界和内点的差
例如，在左边界 ( 0，j) ( 0 ≤ j ≤ N) 的左侧增设 ( － 1，j) ( 0 ≤ j ≤ N) ，用中心差商逼近边界条件中的法
向导数
u －1，j － u1，j = 2h
β0，j ，j
=
0，1，…，N
u ，
－ －1，j 2h
u1，j
+
δ0j u0j
=
γ0j ，j
= 0，1，…，N 。
通过在左边界增设一排虚网点，以 ( 0，j) 为内点建立五点差分格式，与内点 ( i，j) 列出的差分格式联立，
+
2 u y2
= 0，( x，y) ∈ Ω
，
u n
(
x，y )
+
δ( x，y) u( x，y)
=
γ( x，y) ，( x，y) ∈ Γ
收稿日期： 2018 － 12 － 16 作者简介： 支越（ 1997 － ） ，女（ 汉族） ，山东德州人，中国传媒大学硕士研究生． E-mail： zhiyue@ cuc． edu． cn
第4期
支越： Laplace 方程边值问题的五点差分格式
39
这里 δ( x，y) ≥ 0 。 若边界 Γ 上不同部分满足不同类型的边界条件，则为混合边值问题。假设 α( x，y) ，β( x，y) ，γ( x，y) ， δ( x，y) 为定义在边界 Γ 上的光滑函数。 本文用五点差分格式建立 Laplace 方程边值问题的差分方程组，具体步骤如下： （ 1） 将区域 Ω 进行网格剖分。 （ 2） 对区域 Ω 上的内点建立差分格式。 （ 3） 对区域 Ω 上边界条件的处理。 为简便讨论，取区域 Ω 为正方形区域进行均匀正方形网格剖分。
2 在差商代替导数的方法下建立差分格式
2． 1 区域 Ω 上内点的差分格式
对内网格点 ( i，j) ，1 ≤ i ≤ N － 1 ，1 ≤ j ≤ N － 1 ，有 ( N － 1 ) × ( N － 1 ) 个内点。
内点列出的差分格式：
－
u ( i，j +1
+
ui，j －1
+
ui +1，j +
ui －1，j
u( x，y) = α( x，y) ，( x，y) ∈ Γ
{ ( ) Laplace 方程的第二边值问题（ Neumann 问题）
－
2 u x2
+
2 u y2
= 0，( x，y) ∈ Ω 。
u n
(
x，y )
=
β( x，y) ，( x，y) ∈ Γ
{ ( ) Laplace 方程的第三边值问题
－
2 u x2
－
4
u
)
i，j
=
0。
2． 2 区域 Ω 上的边界) = α( x，y) ，( x，y) ∈ Γ ，将 uij = αij 直接代入差分方程中 。
对于第二、三类边界条件，在正方形区域 Ω 四个边界外侧的一个步长 h 处，各增设一排虚网点，用中心差
商逼近边界条件中的法向导数，在四个边界点上单独列出差分方程。
角点 ( N，N) ，－ uN，N－1 － uN－1，N + 2uNN = 2hβNN