高三数学8月开学联考试题理含解析试题

广雅中学、执信、HY 、深外四校2021届高三数学8月开学联考试题 理
〔含解析〕
第I 卷〔选择题一共60分〕
一、选择题〔每一小题5分，一共60分．以下每一小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上〕
R ，集合{}1,0,1,2,3A =-，201x B x
x ⎧⎫
-=≥⎨⎬+⎩⎭
，那么A B 元素个数为 A. 1 B. 2
C. 3
D. 4
【答案】B 【解析】 【分析】
求出集合B ，利用交集的定义求出A B ，即可得到A B 元素个数
【详解】由201x B x
x ⎧⎫
-=≥⎨⎬+⎩⎭
，可得：()[)B=,12,-∞-⋃+∞，
所以{}=2,3A B ⋂，即A B 元素个数为2，
故答案选B
【点睛】此题考察分式不等式的解法以及集合交集的定义，属于根底题。

z 满足()1i 1z
+=+
，那么复数z 的一共轭复数的模为
A. 1
C. 2
D.
【答案】B 【解析】 【分析】
首先求出复数z ，即可得到复数z 的一共轭复数，利用复数模的计算公式，求得答案。

【详解】由于12+=，那么22(1)11(1)(1)
i z i i i i -=
==-++-，
所以复数z 的一共轭复数1z i =+，那么z ==
故答案选B
【点睛】此题考察复数四那么运算，一共轭复数的概念以及复数模的计算公式，属于根底题。

3.某校有高一、高二、高三三个年级，其人数之比为2:2:1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为10的样本，现从所抽取样本中选两人做问卷调查，至少有一个是高一学生的概率为
A.
1
3
B.
12
C.
23
D.
34
【答案】C 【解析】 【分析】
根据分层抽样的定义计算出抽取的样本中高一学生的人数，分别计算出选两人做问卷调查的根本领件数和所选取的两人中至少有一个是高一学生的根本领件个数，最后利用古典概型公式计算即可。

【详解】由题可得抽取的10人中，高一有4人，高二有4人，高三有2人，
所以从所抽取样本中选两人做问卷调查，根本领件总数为2
1045C =，
所抽取的两人中，至少有一个是高一学生的根本领件个数为112
46430C C C +=，
所以从所抽取样本中选两人做问卷调查，至少有一个是高一学生的概率为302453
=， 故答案选C
【点睛】此题考察概率的求法，考察分层抽样，古典概型。

排列组合的知识，属于根底题。

GDP情况图，那么以下陈述中不正确的选项是
A. 2021年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是
B. 与2021年同期相比，各2021年第一季度的GDP总量实现了增长
C. 2021年同期的GDP总量不超过4000亿元
D. 2021年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的只有1个
【答案】D
【解析】
【分析】
解决此题需要从统计图获取信息，由此关键是明确图表中数据的来源以及所表示的意义，根据所示的实际意义获取正确的信息。

【详解】对于A，从折线统计图可得，2021年第一季度GDP增速由高到低排位依次为、、、、，故排在第五，
对于B，从折线统计图可得，与2021年同期相比，各2021年第一季度的GDP总量实现了增
长率都为正值，所以与2021年同期相比，各2021年第一季度的GDP 总量实现了增长， 对于C ，根据统计图可计算2021年同期的GDP 总量为4067.4
3815.640001.066
≈<，所以2021
年同期的GDP 总量不超过4000亿元，
对于D, 2021年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的有两个，、， 综述只有D 选项不正确， 故答案选D
【点睛】此题考察的是条形统计图和折线统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，属于根底题
5.P 是双曲线2
2:12
x C y -=右支上一点, 直线l 是双曲线C 的一条渐近线.P 在l 上的射
影为Q ,1F 是双曲线C 的左焦点, 那么1PF PQ +的最小值为( )
A. 1
B. 25
+
C. 45
+
D.
1
【答案】D 【解析】
设双曲线C 的右焦点为2F ，连接2PF ，那么12PF PQ PF PQ +=+
d ≥〔d 为点
2F 到渐近线0x -=的间隔1=〕，即1PF PQ +的
最小值为1；应选D.
点睛：此题考察双曲线的定义和渐近线方程；在处理涉及椭圆或者双曲线的点到两焦点的间隔 问题时，往往利用椭圆或者双曲线的定义，将曲线上的点到一焦点的间隔 合理转化到另一个焦点间的间隔 .
()sin 3f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭
，假设120x x >，且()()120f x f x +=，那么12x x +的最小值为〔 〕
A.
6
π
B.
3
π C.
2
π D.
23
π 【答案】D 【解析】 【分析】
先分析得到12x x +的最小值等于函数f(x)的绝对值最小的零点的2倍，再求函数的绝对值最小的零点即得解.
【详解】由题得12+x x 等于函数的零点的2倍，
所以12x x +的最小值等于函数f(x)的绝对值最小的零点的2倍， 令()sin =03f x x π⎛
⎫
=- ⎪⎝
⎭
， 所以,3
x k k Z π
π-=∈,
所以=
+,3
x k k Z π
π∈，
所以绝对值最小的零点为3
π
， 故12x x +的最小值为23
π. 应选：D
【点睛】此题主要考察正弦型函数的图像和性质，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.
7.我国古代数学名著?九章算术?中有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升，问，米几何？〞以下图是解决该问题的程序框图，
执行该程序框图，假设输出的 1.5s =〔单位：升〕，那么输入的k 的值是〔 〕
A. 4.5
B. 6
C. 7.5
D. 9
【答案】B 【解析】 当n=2,2k s =,当3,3k n s ==，当4,4k n s ==，完毕。

那么 1.564
k
k =⇒=
ln ||
cos x y x x
x
的局部图象大致为〔 〕 A. B. C. D.
【答案】A 【解析】 【分析】
根据函数的奇偶性，以及函数图像上的特殊点，对选项进展分析和排除，由此得出正确选项.
【
详
解
】
()ln cos x
f x x x x
=+
，定义域为
{}
|0x x ≠，
()()ln cos x f x x x f x x ⎡⎤
-=-+=-⎢⎥⎣⎦
，故函数为奇函数，图像关于原点对称，排除,B C 两
个选项.()ln π
ππ0π
f =-+
<，排除D 选项，应选A. 【点睛】本小题主要考察函数图像的判断，考察函数的奇偶性，属于根底题.
ABC △中，1CA =，2CB =，2
3ACB π∠=，点M 满足2CM CB CA =+，那么
MA MB ⋅=
A. 0
B. 2
C. D. 4
【答案】A 【解析】 【分析】
首先根据取基底CA ，CB →
，然后用基底表示MA 和MB ，最后代入进展数量积运算即可。

【详解】由题可得：=(2)MA CA CM CA CB CA CB CA -=-+=--，
=(2)2MB CB CM CB CB CA CA -=-+=-，
所以2
()(2)2+2MA MB CB CA CA CB CA CA ⋅=---=⋅ 由于1CA =，2CB =，2
3
ACB π∠=
， 那么2=cos ,12cos 13
CB CA CB CA CB CA π⋅=⨯⨯=-，2
2==1CA CA ， 所以2
=2+2=2+2=0MA MB CB CA CA ⋅⋅-， 故答案选A
【点睛】此题以三角形为背景，把平面向量的线性运算以及数量积运算巧妙的结合在一起，属于中档题。

1111ABCD A B C D -中，点C 关于平面1BDC 的对称点为M ，那么AM 与平面ABCD 所成
角的正切值为
A.
22
B. 2
C. 3
D. 2
【答案】B 【解析】 【分析】
利用等体积法求得点C 到平面1BDC 的间隔 为
3
3
，连接1A C ，连接CA ，可证1A C ⊥平面1BDC ，由于点C 关于平面1BDC 的对称点为M ，那么点M 在线段1A C 上，根据线段的比例关系可得12
3
CM CA =
，从而找出点M 的位置，过M 作CA 的垂线交CA 于M '，从而可得MM '⊥平面ABCD ，所以AM 与平面ABCD 所成角为MAM ∠'，求出其正切值即可得到答案。

【详解】由题可得112BD DC BC ===，
由于11C BDC C DCB V V --=，即
111133BDC DBC S h S CC ∆∆=⋅，那么21311(2)13432
h ⨯⨯=⨯⨯，
解得：h ，所以点C 到平面1BDC 的间隔
连接1A C ，连接CA ，由于在正方体1111ABCD A B C D -中，11DB AC DB AA AC AA A
⊥⎧⎪
⊥⎨⎪⋂=⎩
，那么DB ⊥
平面1A AC ，所以1A C DB ⊥，同理可证：1BC ⊥平面11A B C ，得到：11A C BC ⊥，
那么可得：1
1
11AC DB AC BC DB BC B
⊥⎧⎪
⊥⎨⎪⋂=⎩
，故1A C ⊥平面1BDC 由于点C 关于平面1BDC 的对称点为M ，那么点M 在线段1A C 上， 因为点C 到平面1BDC 的间隔
CM =， 在正方体1111ABCD A B C D -
中，1AC =，故12
3
CM CA =， 所以点M 为1A C 的三等分点，过M 作CA 的垂线交CA 于M '， 那么1//MM A A '，12233MM A A =
='
，133
AM AC ==' 由于1A A ⊥平面ABCD ，那么MM '⊥平面ABCD ，
连接MA ，那么AM 与平面ABCD 所成角为MAM ∠'
，
2
tan MM MAM AM '''∠===所以AM 与平面ABCD
故答案选B
【点睛】此题考察线面角的正切值的求法，考察学生的空间想象才能，属于中档题。

()f x 的图象在点()00,x y 处的切线为():l y g x =，假设函数()f x 满足x I ∀∈〔其中I 为
函数()f x 的定义域，当0x x ≠
时，()()()00f x g x x x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，那么称0x 为函数
()f x 的“转折点〞，函数()21
22
x f x e ax x =--在区间[]0,1上存在一个“转折点〞，那
么a 的取值范围是 A. []0,e
B. []1,e
C. []
1,+∞
D.
(],e -∞
【答案】B 【解析】 【分析】
根据函数，求出切线方程，构造函数()()()h x f x g x =-，求导，根据导数判断单调性，找出其转折点，并讨论a 的取值范围。

【详解】由题可得()2x
f x e ax =--'，那么在()00,x y 点处的切线的斜率
()0002x k f x e ax ==--'，0
2001
22
x y e ax x =--，
所以函数()f x 的图象在点()00,x y 处的切线方程为：
00200001
(2)(2)()2
x x y e ax x e ax x x ---=---，
即切线()00200001:=(2)()+22
x x
l y g x e ax x x e ax x =-----，
令()()()h x f x g x =-， 那么002200011
()2(2)()222
x x x
h x e ax x e ax x x e ax x =-
------++，且0()0h x = 0000()2(2)=+x x x x h x e ax e ax e ax e ax =-------'，且0()0h x '=，
()x h x e a ='-'，
〔1〕当0a ≤时，()0x
h x e a =-'>'，那么()h x '
在区间[]0,1上单调递增，所以当[)00,x x ∈，
0()()0h x h x ''<=，当(]0,1x x ∈，0()()0h x h x ''>=，那么()h x 在区间[)00,x 上单调递
减，0()()0h x h x >=，在(]0,1x 上单调递增，0()()0h x h x >= 所以当[)00,x x ∈时，0()()0h x x x -<，不满足题意，舍去，
〔2〕当01a <<时， ()0x h x e a =-'>'〔[]0,1x ∈〕，那么()h x '在区间[]0,1上单调递增，所以当[)00,x x ∈，0()()0h x h x ''<=，当(]0,1x x ∈，0()()0h x h x ''>=，那么()h x 在区间[)00,x 上单调递减，0()()0h x h x >=，在(]0,1x 上单调递增，0()()0h x h x >=，所以当
[)00,x x ∈时，0()()0h x x x -<，不满足题意，舍去，
〔3〕当1a =，()10x h x e =-'≥'〔[]0,1x ∈〕，那么()h x '在区间[]0,1上单调递增，取00x =，那么()10x h x e x =-->'，所以()h x 在区间(]0,1上单调递增，0()()0h x h x >=，当
00x x ≠=时，0()()0h x x x ->恒成立，故00x =为函数()21
22
x f x e ax x =--在区间
[]0,1上的一个“转折点〞，满足题意。

〔4〕当1a e <<，令()=0x
h x e a =-''，解得：ln x a =，且0ln 1a ≤≤,那么()h x '
在区
间[
)0,ln a 上单调递减，在(]ln ,1a 上单调递增，取0ln x a =，故()0h x '
≥在[]0,1上恒成
立，那么()h x 在区间[]0,1上单调递增，当[)00,x x ∈时，0()()0h x h x <=，那么
0()()0h x x x ->当(]0,1x x ∈，0()()0h x h x >=，那么0()()0h x x x ->，所以0ln x a =为
函数()2
122
x
f x e ax x =-
-在区间[]0,1上的一个“转折点〞，满足题意。

〔5〕当a e =，()0x h x e e =-'≤'〔[]0,1x ∈〕，那么()h x '
在区间[]0,1上单调递减，取01x =，
那么()0x
h x e ex '=-≤，所以()h x 在区间[)0,1上单调递减，0()()0h x h x <=，当
01x x ≠=时，0()()0h x x x ->恒成立，故01x =为函数()21
22
x f x e ax x =--在区间
[]0,1上的一个“转折点〞，满足题意。

〔6〕当a e >时， ()0x
h x e a =-'<'〔[]0,1x ∈〕，那么()h x '
在区间[]0,1上单调递减，
所以当[)00,x x ∈，0()()0h x h x ''>=，当(]0,1x x ∈，0()()0h x h x ''<=，那么()h x 在区间[)00,x 上单调递增，0()()0h x h x <=，在(]0,1x 上单调递减，0()()0h x h x <= 所以当(]0,1x x ∈时，0()()0h x x x -<，不满足题意，舍去， 综述所述：实数a 的取值范围为[]1,e ，
故答案选B
【点睛】此题主要根据导数求函数的切线方程和函数单调性，判断函数的转折点，属于难题。

12.数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是哪一项02，接下来的两项是02，12，再接下来的三项是02，12，22，依此类推，假设该数列前n 项和N 满足：①80N >②N 是2的整数次幂，那么满足条件的最小的n 为
A. 21
B. 91
C. 95
D. 10
【答案】C 【解析】 【分析】
构造数列{}m b ()m N *
∈，使得：012b =，0122+2b =，01232+2+2b =，...，
01212+2+2...2m m b -=++，求出数列{}m b 的前m 项和，根据题意可表示出原数列n 与m 的
关系，以及原数列前n 和与数列{}m b 的前m 项和的关系，讨论出满足条件的n 的最小值即可。

【详解】根据题意构造数列{}m b ()m N *
∈，使得：012b =，0122+2b =，01232+2+2b =，
...，01212+2+2...2m m b -=++，
故1121b =-，2221b =-，3321b =-， (21)
m b =-，所以数列{}m b 的前m 项和
1
2
3
1
2
3
12(12)
(21)(21)(21)...(21)(222...2)2212
m m
m
m m T m m m
+-=-+-+-++-=+++-=-=---令数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，为{}n a ， 根据题意可得：(1)
12 (2)
m m n m k k +=++++=
+，(0,)k m k N ≤<∈，那么数列{}n a 的前n 项和0111=(22...2)2221k m k
m N T m -+++++=--+-(0,)k m k N ≤<∈，
所以要使数列{}n a 前n 项和N 满足：80N
>，
那么1222180m k m +--+->，那么6m >，
故(1)
212
m m n k +=
+>，故D 答案不对。

由于N 是2的整数次幂，那么221=0k m --+-，那么236k m =->，那么3k >， 当4k =时，那么4221=0m --+-，解得：13m =，(1)1314
=+4=9522
m m n k +⨯=+， 故满足条件的最小的n 为95， 故答案选C
【点睛】此题考察数列的应用，等差数列与等比数列的前n 项和，考察学生的计算才能，属于难题。

第二卷〔一共90分〕
二、填空题：〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分〕 13.()6
2111x x ⎛
⎫+
+ ⎪⎝⎭
展开式中2x 的系数为________． 【答案】30 【解析】 【分析】
先将问题转化为二项式6
(1)x +的系数问题，利用二项展开式的通项公式求出展开式的第
1r +项，令x 的指数分别等于2，4，求出特定项的系数。

【详解】由题可得：()62111x x ⎛
⎫+
+ ⎪⎝⎭
展开式中2x 的系数等于二项式6(1)x +展开式中x 的指数为2和4时的系数之和，
由于二项式6
(1)x +的通项公式为16r r r T C x +=，
令2r
，得6
(1)x +展开式的2x 的系数为2615C =，
令4r =，得6
(1)x +展开式的4x 的系数为4615C =，
所以()6
2111x x ⎛⎫+
+ ⎪⎝⎭
展开式中2x 的系数151530+=， 故答案为30.
【点睛】此题考察利用二项式展开式的通项公式解决二项展开式的特定项的问题，考察学生的转化才能，属于根底题。

5,24ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3sin 45πα⎛
⎫ ⎪⎝
=⎭-，那么cos2α=________．
【答案】
24
25
【解析】 【分析】
由于cos2cos 2()sin 2()2sin()cos()4
2444π
ππππ
ααααα⎡⎤
=-
+
=--=---⎢⎥⎣
⎦
，计算出cos()4
π
α-即可得到答案。

【详解】由于5,24ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，那么
(),44ππαπ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，又因为3sin sin 454ππα⎛
⎫-=< ⎪⎝⎭， 所以根据正弦函数的图象可得3(),44π
παπ⎛⎫
-
∈ ⎪⎝⎭
，
那么4
cos()45
π
α-
==-， 由于cos2cos 2()sin 2()2sin()cos()4
2444π
ππππ
ααααα⎡
⎤
=-+
=--=---⎢⎥⎣
⎦
， 所以3424cos22sin()cos()2()445525
π
πααα=---=-⨯⨯-=， 故答案为：
24
25
【点睛】此题考察三角函数值的求法，利用配凑法表示出cos2α，涉及诱导公式，二倍角公式，同角三角函数关系等知识点，属于中档题。

22(0)y px p =>的焦点为,F O 为坐标原点，点,M N 为抛物线准线上相异的两点，且,M N 两点的纵坐标之积为-4，直线OM ，ON 分别交抛物线于A ，B 两点，假设A ，B ，
F 三点一共线，那么p =_______.
【答案】2 【解析】 【分析】 设m 2p M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，n 2p N ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，，分别求出A 与B 的坐标，结合A ，B ，F 三点一共线可得结果.
【详解】设m 2p M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，n 2p N ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，， 那么直线OM 的方程为：x 2p y m =-
，代入抛物线方程可得：2
22p y p y m ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
， 解得：2
A p y m =-，故A 点坐标为：322
2p p m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 同理可得：B 点坐标为：3222p p n n ⎛⎫- ⎪⎝
⎭， 又02p F ⎛⎫
⎪⎝⎭
，， ∴322
22p p p FA m m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，，32222p p p FB n
n ⎛⎫
=-- ⎪⎝⎭， 又A ，B ，F 三点一共线，
∴32322
22222p p p p p p m
n n m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
--=-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
∴2
2221111p p n m m n ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由mn 4=- ∴221144p p m n n m -=---，即211104p m n ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
又
11
0m n
-≠ ∴2
104
p -=，0p >
∴2p = 故答案为：2
【点睛】此题考察抛物线的简单性质，考察直线与抛物线位置关系的应用，考察转换才能与计算才能，是中档题．
16.如下图，在平面四边形ABCD 中，1AB =，2BC =，ACD 是以D 为顶点的等腰直角三角形，那么BCD 面积的最大值为________．
【答案】212
+
【解析】 【分析】 设
AC b
=，
ACB α
∠=，
ABC β
∠=，那么
BCD
∆的面积
12sin()sin()244
S DC DC ππ
αα=
⨯+=+，在ABC ∆中，运用余弦定理，表示出AC ，根据ACD ∆是以D 为顶点的等腰直角三角形，得到DC ，代入面积公式，利用三角函数
即可求BCD ∆面积的最大值。

【详解】在ABC ∆中，设AC b =，ACB α∠=，ABC β∠=
在ABC ∆中，1AB =，2BC =，由余弦定理，可得24113
cos ()44b b b b
α+-==+，
由3b b +
≥=当且仅当b =即有cos α≥，由于(0,)απ∈ 那么06
π
α<≤
，
利用余弦定理可得：2
2
2
2cos AC BC AB BC AB β=+-⋅，化简得：2
54cos b β=-， 又因为ACD ∆是以D 为顶点的等腰直角三角形，那么2
215
=2cos 22
DC b β=
- ， 在ABC ∆中，由正弦定理可得：
sin sin b AB
βα
=，即：sin sin b αβ=，那么
sin CD αβ=
， 由于2
2
2
2
cos (1sin )CD CD αα=-
222sin CD CD α=-
221
sin 2CD β=-
251
=2cos sin 22ββ-- 21
cos 2cos 22ββ=-+ 21
(2cos )2
β=-，
即cos (2cos )2
CD αβ=
- 所以BCD ∆的面积12sin()sin()244
S DC DC ππ
αα=
⨯+=+
sin cos 22
DC DC αα=
+
sin cos )222DC αβ=
+⨯-
(2cos )2222
ββ=
+- 11
=sin cos 122
ββ++
)124
π
β=
++ 当=
4
π
β时，sin()4
π
β+
取最大值1，所以BCD ∆
故答案为1+
. 【点睛】此题考察三角形面积的最值的求法，注意运用余弦定理和面积公式，同时考察不等式的运用，属于难题。

三、解答题：〔本大题一一共6小题，一共70分，解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤．〕
{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，()*12n n a S n +=+∈N ．
〔1〕求数列{}n a 的通项公式；
〔2〕令()()11211n n n n b a a -+=--，求数列{}n b 的前n 项和n T ，求证：12
n T <．
【答案】〔1〕2n n a =，*
()n ∈N 〔2〕见解析
【解析】 【分析】
〔1〕利用1n n n a S S -=-，(2,)n n N *
≥∈，进展化简即可得到数列{}n a 的通项公式，注意
检验1n =是否满足。

〔2〕由〔1〕可得111122121n n n b +⎛⎫
=
- ⎪--⎝⎭
，利用裂项相消求出前n 项和n T ，即可证明
12
n T <。

【详解】〔1〕*
1(2)n n a S n +=+∈N ，①当1n =时，212a S =+，即24a =，
当2n ≥时，12n
n a S -=+，② 由①—②可得11n n n n a a S S +--=-，
即12n n a a +=， ∴2
22
2n n n a a -=⨯=，2n ≥
当1n =时，1
122a ==，满足上式，∴2n n a =*()n ∈N
〔2〕由〔1〕得()(
)
11
12111221212121n n n n n n b -++⎛⎫
==- ⎪----⎝⎭
∴1111111111112337
2121221n n n n T ++⎛⎫⎛⎫=-+-+
+
-=- ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭
∴12
n T <
【点睛】此题考察数列通项公式的求法以及利用裂项相消求数列前n 项和，考察学生的计算才能，属于中档题。

P ABC -的展开图如图二，其中四边形ABCD 为边长等于2的正方形，ABE △和BCF 均为正三角形，在三棱锥P ABC -中：
〔1〕证明：平面PAC ⊥平面ABC ；
〔2〕假设M 是PA 的中点，求二面角P BC M --的余弦值．
【答案】〔1〕见解析〔2〕
533
33
【解析】 【分析】
〔1〕设AC 的中点为O ，连接BO ，PO ，由边长关系得PO OB ⊥，从而可得PO ⊥平面ABC ，即可证明平面PAC ⊥平面ABC ；
〔2〕由〔1〕问可知PO ⊥平面ABC ，所以以OC ，OB ，OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图示空间直角坐标系，利用向量法求出平面MBC 和平面PBC 的法向量，再利
用二面角的公式即可得到二面角P BC M --的余弦值。

【详解】〔1〕设AC 的中点为O ，连接BO ，PO ，
由题意，得2PA PB PC ===
1PO =，1AO BO CO ===．
因为在PAC ∆中，PA PC =，O 为AC 的中点，所以PO AC ⊥， 因为在POB ∆中，1PO =，1OB =，2PB =
222PO OB PB +=，所以PO OB ⊥
因为AC
OB O =，AC ，OB ⊂平面ABC ，所以PO ⊥平面ABC ，
PO ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面ABC
〔2〕由〔1〕问可知PO ⊥平面ABC ，所以PO OB ⊥，PO OC ⊥，OB AC ⊥，于是以
OC ，OB ，OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图示空间直角坐标系，
那么()0,0,0O
，()1,0,0C ，()0,1,0B ，()1,0,0A -，()0,0,1P ，11
,0,22
M ⎛⎫
- ⎪⎝
⎭
，
()1,1,0BC =-，()1,0,1PC =-，3
1,0,2
2MC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
设平面MBC 的法向量为()111,,m x y z =，那么
由0
m BC m MC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得：1111030x y x z -=⎧⎨-=⎩．令11x =，得11y =，13z =，即
()1,1,3m =．
设平面PBC 的法向量为()222,,n x y z =，由0
n BC n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得：
22220
0x y x z -=⎧⎨
-=⎩，令1x =，得1y =，1z =，即()1,1,1n = 5533cos ,3333n m n m n m ⋅=
==⋅．由图可知，二面角P BC M --533．
【点睛】此题考察面面垂直的证明，以及空间向量法在二面角中的应用，，考察学生推理论证才能，运算求解才能，属于中档题。

l 与抛物线2
4x y =交于A ，B 两点，
与椭圆22
164
x y +=交于C ，D 两点，记直线OA ，OB ，OC ，OD 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，4k ．
〔1〕假设直线l 过()0,4，证明：OA OB ⊥；
〔2〕求证：
12
34
k k k k ++的值与直线l 的斜率的大小无关．
【答案】〔1〕见解析〔2〕见解析 【解析】 【分析】
〔1〕设AB 直线方程为：4y kx =+ ，设出A ，B 两点坐标，联立直线与抛物线方程，得到12x x 和12y y 的值，从而用向量法证明0OA OB ⋅=即可， 〔2〕由直线的方程与抛物线方程联立，求得124x x k +=，12
4x x m =-，得到12k k +，再
由直线方程与椭圆方程联立，求得342623km x x k
-+=+，2342
31223m x x k -=+，得到34k k +，代入化简，即可得到结论。

【详解】解析：〔1〕设AB 直线方程为：4y kx =+
设()11,A x y ，22(,)B x y ，211222
44x y x y ⎧=⎨=⎩两式相乘得：()2
121216x x y y =
将AB 直线方程代入抛物线2
4x y =，得24160x kx --= ∴1216x x =- ∴1216y y =， ∴12120x x y y += ∴0OA OB ⋅= ∴OA OB ⊥
〔2〕设直线:l y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ． 联立y kx m =+和2
4x y =，得2440x kx m --=， 那么124x x k +=，12
4x x m =-，
1212
121244
y y x x k k k x x +=
+=+=， 联立y kx m =+和22164
x y +=得()
222
2363120k x kmx m +++-=，
在()()()()
2
2
2
226423312046km k
m
k m ∆=-+-+>⇒>此式可不求解的情况下，
342
623km x x k -+=+，2342312
23m x x k -=+，
()234343422343434682223124m x x y y m m km k
k k k k k x x x x x x m m +--+=+=++=+=+=--，
所以2123448
k k m k k +-=-+是一个与k 无关的值．
【点睛】此题考察直线与椭圆以及抛物线的位置关系，考察韦达定的应用，考察学生转化的思想，属于难题。

20.某地有种特产水果很受当地老百姓欢送，但该种水果只能在9月份销售，且该种水果只能当天食用口感最好，隔天食用口感较差。

某超每年9月份都销售该特产水果，每天方案进货量一样，进货本钱每公斤8元，销售价每公斤12元；当天未卖出的水果那么转卖给水果罐头厂，但每公斤只能卖到5元。

根据往年销售经历，每天需求量与当地气温范围有一定关系。

假如气温不低于30度，需求量为5000公斤；假如气温位于[)25,30，需求量为3500公斤；假如气温低于25度，需求量为2000公斤；为了制定今年9月份订购方案，统计了前三年9月份的气温范围数据，得下面的频数分布表
以气温范围位于各区间的频率代替气温范围位于该区间的概率．
〔1〕求今年9月份这种水果一天需求量X 〔单位：公斤〕的分布列和数学期望； 〔2〕设9月份一天销售特产水果的利润为Y 〔单位：元〕，当9月份这种水果一天的进货量为n 〔单位：公斤〕为多少时，Y 的数学期望到达最大值，最大值为多少？ 【答案】〔1〕见解析〔2〕3500n =时，Y 的数学期望到达最大值，最大值为11900
【解析】 【分析】
〔1〕根据题意可知9月份这种水果一天的需求量X 的可能取值为2000、3500、5000公斤，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和数学期望；
〔2〕结合〔1〕的分布列，分别讨论当35005000n ≤≤和20003500n ≤<时，利润的数学期望，即可求出期望的最大值以及期望最大时n 的值。

【详解】解析：〔1〕今年9月份这种水果一天的需求量X 的可能取值为2000、3500、5000公斤，
()41420000.290P X +==
=，()36
35000.490P X ===， ()2115
50000.490P X +===
于是X 的分布列为：
X 的数学期望为：20000.235000450000.44800EX =⨯+⨯+⨯=．
． 〔2〕由题意知，这种水果一天的需求量至多为5000公斤，至少为2000公斤，因此只需要考虑20005000n ≤≤， 当35005000n ≤≤时， 假设气温不低于30度，那么4Y
n =；
假设气温位于[25,30)，那么()3500435003245003Y n n =⨯--⨯=-；
假设气温低于25度，那么()2000420003140003Y n n =⨯--⨯=-； 此时()()2211
424500314000312600119005555
EY n n n n =
⨯+⨯-+-=-≤ 当20003500n ≤<时， 假设气温不低于25度，那么4Y
n =；
假设气温低于25度，那么()2000420003140003Y n n =⨯--⨯=-； 此时()4113
4140003280011900555
EY n n n =
⨯+-=+<； 所以3500n =时，Y 的数学期望到达最大值，最大值为11900． 【点睛】此题考察分布列以及数学期望的求法，属于中档题。

()()21
2ln 22
f x a x x x x =--+．
〔1〕讨论()f x 的单调性；
〔2〕假设()f x 有两个不同的零点，求a 的取值范围． 【答案】〔1〕见解析〔2〕1
0ln 21
a <<-
【解析】 【分析】
〔1〕求出函数的定义域以及导函数，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论0a ≤，
02a <<，2a =，2a >，可求得()f x 的单调性
〔2〕由〔1〕求得在0a ≤，02a <<，2a =，2a >时，函数的单调区间，讨论出零点的个数，从而求得实数a 的取值范围。

【详解】解析：〔1〕()()()()211220f x a x x a x x x x '=--⎛⎫+=-- ⎪
⎝>⎭
①0a ≤，0a x -<，(0,2)x ∈，()0f x '>，()f x 单调递增；(2,)x ∈+∞，()0f x '<，
()f x 单调递减
②02a <<，()02f x x '=⇒=或者x a =，当(0,)x a ∈，()0f x '<，()f x 单调递减；
(),2x a ∈，()0f x '>，()f x 单调递增；()2,x ∈+∞，()0f x '<，()f x 单调递减
③2a =，()()2
120f x x x
'=-
-<，()f x 在()0,∞+单调递减 ④2a >，()02f x x '=⇒=或者x a =，当()0,2x ∈，()0f x '<，()f x 单调递减；
()2,x a ∈，()0f x '>，()f x 单调递增； (),x a ∈+∞，()0f x '<，()f x 单调递减
〔2〕由〔1〕得当0a =时，()2
122
f x x x =-
+在定义域上只有一个零点 0a <，由〔1〕可得，要使()f x 有两个零点，那么()()()20222ln220f f a >⇒=-+>
∴
1
0ln 21
a <<-
下证()f x 有两个零点
取
1
a
x e =，1111112202a a a a f e a e e e a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，满足()1
20a
f e f ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭
，故()f x 在()0,2有且只有一个零点
()()442ln40f a =-<，满足()()240f f <，故()f x 在()2,+∞有且只有一个零点
当02a <<时，由〔1〕可得()0,2x ∈，
()()()()2211
2ln 221ln 022
f x f a a a a a a a a a ≥=--+=+->，故()f x 在()0,2无零
点，
又因为()f x 在()2,+∞单调递减，
∴()f x 在()0,∞+至多一个零点，不满足条件
当2a >时，()0,x a ∈，()()()222ln 220f x f a ≥=-+>故()f x 在()0,a 上无零点， 又因为()f x 在(),a +∞单调递减，∴()f x 在()0,∞+至多一个零点，不满足条件
∴满足条件a 的取值范围
1
0ln 21
a <<-
【点睛】此题考察导数的综合应用，考察利用导数求函数单调性及最值，考察函数零点的判断，考察学生的计算才能，属于难题。

考生在第22、23两题中任选一题答题，假如多做，那么按所做的第一题计分．
22.在直角坐标系中，曲线M 的参数方程为12cos 12sin x y β
β=+⎧⎨=+⎩
〔β为参数〕，以原点为极点，
x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线1l 的极坐标方程为：θα=，直线2l 的极坐标方程为
2
π
θα=+
．
〔Ⅰ〕写出曲线M 的极坐标方程，并指出它是何种曲线；
〔Ⅱ〕设1l 与曲线M 交于A ，C 两点，2l 与曲线M 交于B ，D 两点，求四边形ABCD 面积的取值范围．
【答案】〔Ⅰ〕22(sin cos )20ρρθθ-+-=,圆；〔Ⅱ〕⎡⎤⎣⎦.
【解析】 【分析】
〔Ⅰ〕将参数方程化为普通方程，可知曲线M 是以()1,1为圆心，2为半径的圆；根据直角坐标与极坐标互化原那么可得到曲线M 的极坐标方程；〔Ⅱ〕设1OA ρ=，2OC ρ=，联
立1l 与圆M 方程可得韦达定理的形式；那么12AC ρρ=-=理可得AC ，代入+
2
π
α交换α可求得BD ；根据垂直关系可知所求面积为
1
2
AC BD ⋅，根据三角函数知识可求得结果.
【详解】〔Ⅰ〕由12cos 12sin x y ββ
=+⎧⎨=+⎩〔β为参数〕消去参数β得：()()22
114x y -+-=
将曲线M 的方程化成极坐标方程得：()2
2sin cos 20ρρθθ-+-=
∴曲线M 是以()1,1为圆心，2为半径的圆
〔Ⅱ〕设1OA ρ=，2OC ρ=
由1l 与圆M 联立方程得：()2
2sin cos 20ρραα-+-=
，12=2ρρ⋅-
,,O A C 三点一共线
那么()
2
1212124124sin 2AC ρρρρρρα=-=
+-⋅=+∴用+
2
π
α代替α可得：124sin 2BD α=-
12l l ⊥ ()
2
1114416sin
222
ABCD S AC BD α∴=
⋅=-四边形[]2sin 20,1α∈ 42,6ABCD S ⎡⎤∴∈⎣⎦四边形
【点睛】此题考察参数方程化普通方程、极坐标与直角坐标的互化、求解四边形面积的取值范围类的问题；求解面积取值范围的关键是灵敏应用极坐标中ρ的几何意义，结合韦达定理表示出四边形的两条对角线，利用三角函数的知识求得结果.
23.a ，b ，c +∈R ，满足1abc =． 〔1〕求证：
()2
333a b c a b c bc ac ab
++≥++； 〔2〕求证：()()()2221113
2
a b c b a c c a b ++≥+++．
【答案】〔1〕见解析〔2〕见解析 【解析】 【分析】 〔1〕由于
()
2223333a b c
a b c bc ac ab
++=++，再利用柯西不等式，即可证明 〔2〕设1a x =
，1b y =，1
c z
=，那么不等式左边化简为
[]1111()()()()32x y z y z x z x y y z x z x y y z x z x y
++=+++++⋅++-++++++，利用柯西不等式即可证明。

【详解】〔1〕左边()
2223a b c =++
由柯西不等式得：()()
()2
222
111a b c a b c ++++≥++⋅〔取等号的条件是a b c ==〕，即
所以
()2
333a b c a b c bc ac ab
++≥++，原不等式得证。

〔2〕由于a ，b ，c +∈R ，1abc =，设1a x =
，1b y =，1c z
=，那么1xyz =，
所以()()()222111x y z
a b c b a c c a b y z x z x y ++=++++++++，
那么
+++3x y z x y z y x z z x y y z x z x y y z x z x y
+++++=++-++++++ 111
()(
)3x y z y z x z x y
=++++-+++ []1111
()()()(
)32y z x z x y y z x z x y
=
+++++⋅++-+++ 由柯西不等式可得：
[]()2
111()()()()1+1+1=9y z x z x y y z x z x y
+++++⋅++≥+++，〔当且仅当x y z ==时等号成立〕
所以93
3=22
x y z y z x z x y ++≥-+++，故()()()22211132a b c b a c c a b ++≥+++〔当且
仅当a b c ==时等号成立〕，那么原不等式得证
【点睛】此题考察不等式的证明，柯西不等式在不等式证明中的应用，属于中档题。

励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

厚积薄发，一鸣惊人。

关于努力学习的语录。

自古以来就有许多文人留下如头悬梁锥刺股的经典的，而近代又有哪些经典的高中
励志赠言出现呢?小编筛选了高中励志赠言句经典语录，看看是否有些帮助吧。

好男儿踌躇满志，你将如愿;真巾帼灿烂扬眉，我要成功。

含泪播种的人一定能含笑收获。

贵在坚持、难在坚持、成在坚持。

功崇惟志，业广为勤。

耕耘今天，收获明天。

成功，要靠辛勤与汗水，也要靠技巧与方法。

常说口里顺，常做手不笨。

不要自卑，你不比别人笨。

不要自满，别人不比你笨。

高三某班，青春无限，超越梦想，勇于争先。

敢闯敢拼，**协力，争创佳绩。

丰富学校体育内涵，共建时代校园文化。

奋勇冲击，永争第一。

奋斗冲刺，誓要蟾宫折桂;全心拼搏，定能金榜题名。

放心去飞，勇敢去追，追一切我们为完成的梦。

翻手为云，覆手为雨。

二人同心，其利断金。

短暂辛苦，终身幸福。

东隅已逝，桑榆非晚。

登高山，以知天之高;临深溪，以明地之厚。

大智若愚，大巧若拙。

聪明出于勤奋，天才在于积累。

把握机遇，心想事成。

奥运精神，永驻我心。

“想”要壮志凌云，“干”要脚踏实地。

**燃烧希望，励志赢来成功。

楚汉名城，喜迎城运盛会，三湘四水，欢聚体坛精英。

乘风破浪会有时，直挂云帆济沧海。

不学习，如何养活你的众多女人。

不为失败找理由，要为成功想办法。

不勤于始，将悔于终。

不苦不累，高三无味;不拼不搏，高三白活。

不经三思不求教不动笔墨不读书，人生难得几回搏，此时不搏，何时搏。

不敢高声语，恐惊读书人。

不耻下问，学以致用，锲而不舍，孜孜不倦。

博学强识，时不我待，黑发勤学，自首不悔。

播下希望，充满**，勇往直前，永不言败。

保定宗旨，砥砺德行，远见卓识，创造辉煌。

百尺高梧，撑得起一轮月色;数椽矮屋，锁不住五夜书声。