北京市日坛2024-2025学年高三上学期10月调研数学试题含答案

北京市日坛2024-2025学年度高三10月调研
高三年级
数学学科（答案在最后）
命题人：
（考试时间120分钟，满分150分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1.已知集合{}{}
|14,|2A x x B x x =≤≤=>，那么A B =
A.(2,4)
B.(2,4]
C.[1,)
+∞ D.(2,+)
∞【答案】C 【解析】
【详解】由题意{|1}A B x x =≥ ，故选C ．
2.复数11
212i i +-+-的虚部是（）A.15i B.
15
C.1
5
i
- D.15
-
【答案】B 【解析】【详解】
11
212i i
+
-+-21221211
(2)(2)(12)(12)5555
i i i i i
i i i i --+--+=
+=+=--+---+虚部是
1
5
.3.下列函数中，既是偶函数又在区间()0,∞+上单调递减的是（）
A.ln y x =-
B.3
y x = C.2
x
y = D.cos y x
=【答案】A 【解析】
【分析】对A ，根据函数奇偶性的判断方法和对数函数的单调性即可判断；对B ，根据幂函数性质即可判断；对C ，根据函数奇偶性的判断方法和指数函数的单调性即可判断；对D ，根据余弦函数的性质即可判断.【详解】对A ，设()ln f x x =-，且定义域为()(),00,∞∞-⋃+，关于原点对称，
且()()ln ln f x x x f x -=--=-=，则其为偶函数，
当0x >时，ln ln y x x =-=-，显然其在区间0,+∞上单调递减，故A 正确；对B ，根据幂函数3y x =的性质知其为奇函数，故B 错误；对C ，设()2x
g x =，且定义域为R ，关于原点对称，
当0x >时，||2x y =变形为2x y =，由于21>，所以在区间()0,+∞上单调递增，故C 错误；对D ，cos y x =是周期为2π的周期函数，单调递减区间为[2,(21)](Z)k k k ππ+∈，显然其在区间0,+∞上不是单调递减，故D 错误；故选：A
.
4.函数π43sin 2y x ⎛
⎫= ⎪⎝
⎭+的图象相邻的两条对称轴之间的距离是（
）
A.2π
B.π
C.
π
2 D.
π4
【答案】C 【解析】
【分析】确定函数的周期，再根据周期确定对称轴的距离.
【详解】π43sin 2y x ⎛
⎫= ⎪⎝⎭+，则2ππ2
T =
=，则相邻的两条对称轴之间的距离是π22T =.故选：C.
5.在ABC V 中，若3b =
，c =4
C π
=，则角B 的大小为（）
A.
6
π
B.
3
π C.
23
π D.
3
π或
23π【答案】D 【解析】
【分析】利用正弦定理求得sin B ，由此求得角B 的大小.
【详解】由正弦定理得
sin sin b c B C =
，即3sin
3342sin sin 2
sin 4
B B ππ⨯=⇒=
，所以3
B π=或23π
.
故选：D
【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形，属于基础题.
6.声音的等级()f x （单位：dB ）与声音强度x （单位：W/m 2）满足()12
10lg
110x
f x -=⨯⨯.喷气式飞机
起飞时，声音的等级约为140dB ；一般说话时，声音的等级约为60dB ，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的（）
A.106倍
B.108倍
C.1010倍
D.1012倍
【答案】B 【解析】
【分析】首先设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为1x ，2x ，根据题意得出
1()140f x =，2()60f x =，计算求
1
2
x x 的值．【详解】设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为1x ，2x ，
1112
()10lg 140110x f x -=⨯=⨯，则2
110x =，2
212
()10lg 60110x f x -=⨯=⨯，则6210x -=，所以81
2
10x x =，因此喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的810倍．故选：B ．
7.已知f（x）是定义在R 上的奇函数，若x 1，x 2∈R，则“x 1+x 2＝0”是“f（x 1）+f（x 2）＝0”的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】
【分析】根据函数奇偶性的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断.【详解】 函数()f x 是奇函数,
∴若120x x +=，则12x x =-，
则()()()122f x f x f x =-=-，
即()()120f x f x +=成立,即充分性成立，
若()0f x =，满足()f x 是奇函数，当122x x ==时
满足()()120f x f x ==，此时满足()()120f x f x +=，但1240x x +=≠，即必要性不成立，
故“120x x +=”是“()()120f x f x +=”的充分不必要条件，所以A 选项正确.
【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据函数奇偶性的性质是解决本题的关键.
8.已知公差不为0的等差数列{}n a ，前n 项和为n S ，满足3110S S -=，且1a ，2a ，4a 成等比数列，则3a =（）
A.2
B.6
C.5或6
D.12
【答案】B 【解析】
【分析】设出公差，列出方程组，求出25a =或4，排除25a =，求出2=d ，得到答案.
【详解】312310S S a a -=+=，2142a a a =，
设公差为0d ≠，则()()222222
10
2a a d a d a d a ++=⎧⎨-+=⎩，解得25a =或4，
当25a =时，0d =，舍去，
当24a =时，2=d ，故32426a a d =+=+=.
故选：B
9.已知函数()25,0,
e 1,0.
x x x x f x x ⎧+≥=⎨-+<⎩若()f x kx ≥，则k 的取值范围是（
）
A.
(]
,0-∞ B.
(]
,5-∞ C.
(]
0,5 D.
[]
0,5【答案】D 【解析】
【分析】求出抛物线与直线相切时的斜率，由数形结合得解.【详解】设直线y kx =与25y x x =+相切于点()000(,)0P x y x ≥，由25y x '=+，则025k x =+，
所以切线方程为()025y x x =+，又切线过00(,)P x y ，
所以()2
0000525x x x x +=+，解得00x =，
所以5k =，作出()f x
及切线的图象，如图，
由图象可知，当05k ≤≤时，()f x kx ≥成立.故选：D
10.已知定义域为R 的函数()f x ，对0R x ∈，若存在0δ>，对任意的()()0000,,x x x x x δδ∈-⋃+，有
()()()000
f x f x f x x x -'<-恒成立，则称0x 为函数()f x 的“特异点”．函数()12e 0
20
x x x f x x x x +⎧-≤=⎨->⎩，，，在其
定义域上的“特异点”个数是（）
A.1
B.2
C.3
D.4
【答案】A 【解析】
【分析】根据题意知“特异点”应为()f x '的极大值点，所以通过分析()f x '的极大值点个数即可解决问题.【详解】由题意知“特异点”应为()f x '的极大值点，
因为()12e ,0
2,0
x x x f x x x x +⎧-≤=⎨->⎩，所以()00f =，
当0x <时，()()()1
11e
e 1e x x x
f x x x +++'=-+-=-+，
当0x >时，()22x f x '=-，
又()()1
000e lim lim e 0x x x f x f x x x
--+→→--==--，()()()200002lim lim lim 220x x x f x f x x x x x
+++→→→--==-=--，故()0f '不存在.
又因为()()11e ,0
22,0x x x f x x x +⎧-+<=->'⎨⎩
，
易知：
当0x >时，()f x '单调递增，故不可能有“特异点”，当0x <时，设()()g x f x '=，则()()()1
11
e 1e 2e x x x g x x x +++'⎡⎤=-+-+=-+⎣⎦，
令()0g x '>，则2x <-，
所以()f x '在(),2-∞-上单调递增，在[)2,0-上单调递减，故2x =-为()f x '的极大值点，即为()f x 的“特异点”.综上所述，()f x 在其定义域内仅有一个“特异点”.故选：A.
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11.已知等差数列{}n a 中，其前n 项和为n S ，若34542a a a ++=，则7S =______.【答案】98【解析】
【分析】根据已知条件，利用等差数列的性质得到414a =，进而利用等差数列的求和公式，结合等差数列的性质求得7S 的值.
【详解】3454342a a a a ++==，解得：414a =，
()177477982
a a S a +=
==，
故答案为：98.
12.已知,,a b c 分别为ABC V 内角,,A B C 的对边，22c ab =且1sin sin 2
A C =，则cos A =__________．
【答案】7
8
【解析】【分析】由1sin sin 2
A C =
结合正弦定理可得2c a =，再利用22c ab =得到三边的关系，最后利用余弦定理可求
cos A .
【详解】由正弦得sin ,sin 22a c A C R R ==，故1222a c R R
=⨯（R 为外接圆的半径），故2c a =，又22c ab =，故2b a =，
由余弦定理可得2222277
cos 288
b c a a A bc a +-===.
故答案为：
7
8
.【点睛】三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量.
（1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；
（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）；
（3）如果知道两角及一边，用正弦定理.
13.已知平面内四个不同的点A ，B ，C ，D 满足22BA DB DC =-
，则AC BC
=
______.【答案】3【解析】
【分析】将条件22BA DB DC =-
变形，得到,BC AC 的关系，进而可得AC BC
的值.【详解】22BA DB DC =-
,
()
22BC CA DC DC CB -∴=++
,
即3BC AC =
,
3BC AC ∴=
，3AC BC
∴= .
故答案为：3.
14.古希腊数学家托勒密对三角学的发展做出了重要贡献，托勒密把圆的半径60等分，用圆的半径长的
1
60
作为单位来度量弦长.将圆心角α所对的弦长记为crd α.如图，在圆O 中，60︒的圆心角所对的弦长恰好等于圆O 的半径，因此60︒的圆心角所对的弦长为60个单位，即crd6060︒=.若θ为圆心角，
()1
cos 01804
θθ=
︒<<︒，则crd θ=______.
【答案】306【解析】
【分析】根据度量弦长的定义，利用余弦定理求出1cos 4θ=时圆心角θ所对应的弦长62
l r =，结合60o 的圆心角所对的弦长为60个单位即可求出结果.【详解】设圆的半径为r ，1
cos 4
θ=
时圆心角θ所对应的弦长为l ，利用余弦定理可知2
2
2
2
232cos 2l r r r r θ=+-=
，即可得62
l r =又60o 的圆心角所对的弦长恰好等于圆O 的半径，60o 的圆心角所对的弦长为60个单位，即与半径等长的弦长为60个单位，所以6
603062
l =⨯=.故答案为：6
15.如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，2PD AD ==，O 为线段AC ，BD 交点，T 为线段BP 上的动点，则以下结论正确的是______.
①当PT BT =时，//PD 平面ACT ；②当2PT
BT =时，⊥PO 平面ACT ；
③线段OT 的最小值为
63
；
④直线AP ，CT 所成角取值范围为ππ,42⎡⎤
⎢⎥⎣⎦.
【答案】①③④【解析】
【分析】先根据线面平行判定定理判断①，建系反证法判断②，根据模长计算判断③，计算异面直线所成角的余弦值范围得出角的范围判断④
【详解】因为,O T 分别是,BD PB 的中点，//,OT PD OT ⊂平面ACT ,PD 不在平面ACT 内，所以//PD 平面ACT
，①正确；
取M 为PB 中点，如图以,,OA OB OM 为,,x y z
轴建系，
(
)()
()0,2,,0,0,0,P B O 当2PT BT =
时，()
11
0,233
BT BP ==
-
(
)
220,,0,,3333OT OB BT ⎛⎫⎛⎫=+=+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,(
)
0,2
OP =
假设⊥PO 平面ACT ，则·0OP OT =
,
但是242
·0333
OP OT =-+= 矛盾，所以假设不成立，②错误；
因为T 为线段BP
上的动点，所以()
[]0,20,1BT BP λλλ==-∈
，，
所以(
)(
)()
0,,20,
,2OT OB BT λλ
=+=+-=
所以
OT =,
当1
3
λ=
时，min
6
3
OT =
==
,
③正确；
因为)()
,,A
C 所以
(
)
)(
))
2,0,,2,2AP CT CO OT λλ
==+=
+=
所以设直线AP ，CT 所成角为π,(0,2
θθ∈
，
·cos ·AP CT AP CT θ===
22221cos 642
λθλλ-=-+令[]211,1t λ-=∈-，][()
1
,11,t
∞∞
∈--⋃+当2
2
2
222
21
1
cos 333131642
22
22t t t t t λθλλ-=
=
=
-+++++⨯，
因为23131222t t ++⨯≥，所以2211
cos 3131222t t
θ=≤++⨯
，即得0cos 2θ≤≤，所以ππ,42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
.
故答案为：①③④
【点睛】关键点点睛：解题的关键是建系设()
[]0,20,1BT BP λλλ==-∈
，根据向量关系及动点计
算结合换元求值域得出角的范围.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16.
已知函数()f x x ω=，π
()sin(0)3
g x x ωω=->，且()g x 的最小正周期为π.
（Ⅰ）若6()2
f α=
，[π,π]α∈-，求α的值；（Ⅱ）求函数()()y f x g x =+的单调增区间.【答案】（Ⅰ）7πππ7π,,,8
888α⎧⎫
∈--⎨⎩⎭；（Ⅱ）5ππ[π,π)1212k k k Z -+∈.【解析】
【详解】试题分析：（Ⅰ）由已知可得2ω=
，且由()2f α=
，得cos 22
α=，解三角方程并注意[π,π]α∈-，取相应范围的根；（Ⅱ）将()()y f x g x =+变形为sin(2)3
y x π
=+，利用复合函数的单调性，
只需22
k π
π-
2232
x k ππ
π≤+
≤+，解不等式并表示成区间的形式，即得单调递增区间.试题解析：（Ⅰ）解：因为π()sin()(0)3
g x x ωω=-
>的最小正周期为π，所以
2ππω=，解得2ω=．
由()2f α=
22α=，即cos 22
α=，所以π22π4k α=±，Z k ∈.因为[π,π]α∈-，
所以7πππ7π,,,8
888α⎧⎫
∈--⎨⎩⎭.
（Ⅱ）解：函数π()()2sin(2)3y f x g x x x =+=
+-ππ
2sin 2cos cos 2sin
33
x x x =+-1
sin 2222
x x =+πsin(2)3x =+，由πππ2π22π232k x k -≤+≤+，解得5ππππ1212k x k -
≤≤+．所以函数()()y f x g x =+的单调增区间为5ππ
[π,π]()1212
k k k Z -
+∈.考点：1、三角方程；2、两角和与差的三角函数；3、三角函数的单调性.17.在①BD CD =且AD =
，②AD 平分BAC ∠且3
2
AD =
，③AD BC ⊥且2AD =这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并加以解答.
是否存在ABC V ，其中角A B C ，
，的对边分别是a b c ，，，若3
A π
=，a =D 在线段BC 上，___________？若存在，求ABC V 的周长；若不存在，请说明理由.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】答案见解析【解析】
【分析】由余弦定理得,b c 关系，
选①时，把中线向量表示为1()2
AD AB AC =+
，平方可利用中线长得,b c 的另一关系式，从而可求得22
b c +和bc ，凑配出b c +，是三角形周长；
选②时，应用ABC ABD ACD S S S ∆∆∆=+，把面积表示后同样得另一关系式，结合起来求得b c +得周长；选③时，利用三角形面积公式求得bc ，然后可得22b c +，由基本不等式判断不存在．
【详解】解：因为3
A π
=
，由余弦定理可得2222cos a c b bc A =+-，即223c b bc +-=.选①时，因为BD CD =，所以1()2
AD AB AC =+
，
平方可得22
12(2cos )4
c b bc A =++，即228c b bc ++=，
所以22
112c b +=
，5
2
bc =，所以2
b c +=，
所以ABC V 的周长为
2
+选②时，因为AD 平分BAC ∠，所以ABC ABD ACD S S S ∆∆∆=+，
即111sin sin sin 232626bc b AD c AD πππ=⋅⋅+⋅⋅3
()2
b c =+，又因为223c b bc +-=，即2()33c b bc +-=，
所以2())3b c b c +-
+=，解得b c +=，
所以ABC V 的周长为选③时，因为AD BC ⊥，所以11
sin 232
bc ah π=，解得4bc =，所以227c b +=，
因为2228c b bc +=≥，不成立.所以不存在ABC V .
【点睛】关键点点睛：本题考查余弦定理，考查三角形面积公式，平面向量的模的数量积表示等等．解题关系是中线长或角平分线长、高的应用，把它们与边长,b c 联系，从而得到求得b c +的目的．
18.如图，在四棱锥P ABCD -中，AD BC ∥，CD AP ⊥，PCD △为等腰直角三角形，2PD CD ==，平面PBC 交平面PAD 于直线l ，E ，F 分别为棱PD ，PB 的中点.
（1）求证：BC l ∥；
（2）设22PA AD BC ===，则：①求平面AEF 与平面PAD 夹角的余弦值；
②在棱PC 上是否存在点G ，使得DG//平面AEF ？若存在，求PG
PC
的值，若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析
（2）①17
；②存在，
45【解析】
【分析】（1）根据线面平行的判定定理和性质定理分析证明；
（2）①根据题意可证得OP ⊥平面ABCD ，建系，利用空间向量求面面夹角；②设PG PC λ=
，求点G 的坐标，根据线面平行的向量关系分析运算.【小问1详解】
因为AD //BC ，AD ⊂平面PAD ，BC ⊄平面PAD ，
所以BC //平面PAD ，又⊂BC 平面PBC ，平面PBC 平面PAD l =，所以BC //l .【小问2详解】
①取A 的中点O ，连接,OP OB ，由题意可得：BC //OD ，且BC OD =，则四边形OBCD 为平行四边形，可得OB //CD ，
由PCD △为等腰直角三角形，PD CD =可知CD PD ⊥，又CD AP ⊥，AP PD P = ，,AP PD ⊂平面PAD ，所以CD ⊥平面PAD ，则OB ⊥平面PAD ，由,OP AD ⊂平面PAD ，则OP OB ⊥，AD OP ⊥，
又因为△PAD 为等边三角形，则O 为AB 的中点，可得OP AD ⊥，
OB AD O = ，,OB AD ⊂平面ABCD ，则OP ⊥平面ABCD ，
如图，以O 为坐标原点，,,OA OB OP 分别为,,x y z
轴建立空间直角坐标系，
则()()()(
)(
11,0,0,0,2,0,1,2,0,1,0,0,,,0,,0,1,222A B C D P E F ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
可得31,0,,,1,0222AE EF ⎛⎫⎛⎫
=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
设平面AEF 的法向量(),,n x y z =
，则3022102n AE x z n EF x y ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩
，令2x =
，则1,y z =-=
，即(2,1,n =-
，由题意可知：平面PAD 的法向量()0,1,0m =
，
可得cos ,17n m n m n m ⋅===-⋅
，
所以平面AEF 与平面PAD
夹角的余弦值
17
.
②由①可得：(1,2,PC =-
，
设PG PC λ=
，(),,G a b c
，则(,,PG a b c =- ，
可得2a b c λ
λ⎧=-⎪
=⎨⎪=⎩
，解得)
21a b c λλλ⎧=-⎪=⎨⎪=-⎩，
即)()
,21G λλλ--
，可得)()
1,21DG λλλ=--
，
若DG //平面AEF ，则n DG ⊥
，
可得()()212610n DG λλλ⋅=--+-=
，解得45
λ=，
所以存在点G ，使得DG //平面AEF ，此时
4
5
PG PC =.19.已知函数()()e x f x x a =+，其中e 是自然对数的底数，a ∈R .（1）求函数()f x 的单调区间；
（2）当1a <时，试确定函数2()()g x f x a x =--的零点个数，并说明理由．【答案】（1）单调递减区间为(,1)a -∞--，单调递增区间为(1,)a --+∞（2）有且仅有一个零点，理由见详解【解析】
【分析】(1）对函数求导，研究导函数的正负，根据到函数的正负得到原函数的单调性；
（2）将函数2()()g x f x a x =--的零点个数问题转化为该函数和x 轴的交点个数问题，研究这个函数的单
调性和图像，找到它和轴的交点个数．【小问1详解】
因为()()e x f x x a =+，R x ∈，所以()(1)e x f x x a '=++，令()0f x '=，得1x a =--.
当x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：
x (,1)
a -∞--1
a --(1,)
a --+∞()f x '-
+
()
f x 单调递减
极小值
单调递增
故()f x 的单调递减区间为(,1)a -∞--，单调递增区间为(1,)a --+∞．【小问2详解】
结论：函数()g x 有且仅有一个零点．理由如下：
由2()()0g x f x a x =--=，得方程2e x a x x -=，显然0x =为此方程的一个实数解，所以0x =是函数()g x 的一个零点．当0x ≠时，方程可化简为e x a x -=.
设函数F()e x a x x -=-，则()e 1x a F x -'=-，令()0F x '=，得x a =.当x 变化时，()F x 和()F x '的变化情况如下：
x (,)
a -∞a
(,)
a +∞()
F x '-
+
()
F x 单调递减
极小值
单调递增
即()F x 的单调递增区间为(,)a +∞，单调递减区间为(,)a -∞．所以()F x 的最小值min ()()1F x F a a ==-.因为1a <，
所以min ()()10F x F a a ==->，所以对于任意x ∈R ，()0F x >，因此方程e x a x -=无实数解．
所以当0x ≠时，函数()g x 不存在零点．综上，函数()g x 有且仅有一个零点．
【点睛】本题考查的知识点是用导数研究函数的单调性，其中根据已知中函数的解析式，求出函数的导函数的解析式，并分析出函数的单调性及极值点等信息，是解答本题的关键．研究函数的零点个数可以转化为方程根的个数或者两个函数图像的交点个数．20.已知函数()()1
1ln f x a x ax x
=++-．（1）讨论op 的单调区间；
（2）若op 存在极大值M 和极小值N ，且1M N a +>-，求a 的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2）()0,1.【解析】
【分析】（1）求得'()f x ，对参数a 进行分类讨论，在每种情况下考虑'()f x 的正负，即可判断函数单调性；（2）根据（1）中所求函数的单调性，求得M N +的值以及a 的初步范围，结合M N +的范围，即可分类讨论求得a 的范围.【小问1详解】
因为()()1
1ln f x a x ax x
=++-，则其定义域为()0,+∞，又'()f x ()()221111
x ax a a x x x
--++=
--=，当0a =时，'()f x 2
1
x x -=
，故当>1时，'()f x >0，()f x 单调递增；当01x <<时，'()f x 0<，()f x 单调递减；当0a ≠时，令'()f x 0=，解得=1或1x a
=，则当1a =时，'()f x ()2
2
10x x
--=
≤，故()f x 在()0,+∞单调递减；
当0a <时，则当()0,1x ∈，'()f x 0<，()f x 单调递减；当>1时，'()f x >0，()f x 单调递增；
当1a >时，则当()10,,1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝
⎭，'()f x 0<，()f x 单调递减；当1,1x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，'
()f x >0，()f x 单调递增；
当0<<1时，则当()10,1,,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，'()f x 0<，()f x 单调递减；当11,x a ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，'()f x >0，()f x 单调递增；
综上所述，当0a ≤时，()f x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增；当0<<1时，()f x 在()10,1,,a ⎛⎫+∞
⎪⎝⎭单调递减，在11,a ⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递增；当1a =时，()f x 在()0,+∞单调递减；当1a >时，()f x 在()10,,1,a ⎛
⎫+∞ ⎪⎝
⎭单调递减，在1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
单调递增.【小问2详解】
因为op 存在极大值M 和极小值N ，显然()0,1a ∈或()1,+∞，由（1）可知，()()()111111ln 11ln M N f f a a a a a a a ⎛⎫
+=+=-+++-=+ ⎪
⎝⎭
，因为1M N a +>-，即()1
1ln 10a a a
+-+>，当()0,1a ∈，()11ln
0a a +>，10a -+>，则()1
1ln 10a a a +-+>满足题意；当1a >时，()11ln 0a a +<，10a -+<，则()1
1ln 10a a a
+-+<不满足题意.
综上所述：a 的取值范围时()0,1.
【点睛】本题考查利用导数研究含参函数单调性的讨论，以及利用导数由函数单调性求极值，属综合中档题；处理问题的关键是合理的对参数a 的范围进行讨论.
21.定义：如果数列{}的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称{}为“三角形”数列，对于“三角形”数列{}，如果函数()y f x =使得()n n b f a =仍为一个“三角形”数列，则称()y f x =是数列{}的“保三角形函数”，(
)*
n ∈N
.
（1）已知{}是首项为2，公差为1的等差数列，若(),(1)x f x k k =>是数列{}的“保三角形函数”，求k 的取值范围；
（2）已知数列{}n c 的首项为2010，n S 是数列{}n c 的前n 项和，且满足1438040n n S S +-=，证明{}n c 是“三角形”数列；
（3）根据“保三角形函数的定义，对函数2()2,[1,]=-+∈h x x x x A ，和数列1，1,12,(0)++>d d d 提出
一个正确的命题，并说明理由.
【答案】（1
）11,2k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭
（2）证明见解析；
（3）详见解析【解析】
【分析】（1）求出{}的通项公式根据定义推出{}是三角形数列，再由()f x 的单调性及
()()()12n n n f a f a f a +++>列出关于k 的不等式求解即可；（2）由n S 与n c 的关系由所给等式求出{}n c 的
通项公式，利用指数函数的单调性推出数列的单调性，因此证明12n n n c c c +++>即可证明{}n c 是“三角形”数列；（3）函数2()2,[1,]=-+∈h x x x x A 是数列1，1,12(0)++>d d d 的“保三角形函数”，列出此结论
所需条件求出k 的范围.
【详解】（1）显然121,n n n n a n a a a ++=++>对任意正整数都成立，即{}是三角形数列且{}是递增数列，
因为1k >，函数(),(1)x f x k k =>单调递增，所以()()()12n n n f a f a f a ++<<< ，由()()()12n n n f a f a f a +++>，得12n n n k k k +++>，210k k --<
，解得12
k +<
.
所以当11,2k ⎛⎫+∈ ⎪⎝
⎭时，()x f x k =是数列{}的“保三角形函数”；
（2）当2n ≥时，由1438040n n S S +-=，得1438040n n S S --=，
两式相减，得1430n n c c +-=，所以，1
320104n n c -⎛⎫
= ⎪
⎝⎭，
又12010c =也满足上式，所以1
*320104n n n c N -⎛⎫= ⎪⎝∈⎭
，.
显然12n n n c c c ++>>，因为1
1
123321320102010201044164+-++⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+=+=⨯> ⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
n
n n n n n c c c ，所以{}n c 是“三
角形”数列；
（3）探究过程：函数2()2,[1,]=-+∈h x x x x A 是数列1，1,12(0)++>d d d 的“保三角形函数”，必须满
足三个条件：①1，1,12(0)++>d d d
是三角形数列，所以1112d d ++>+，即01d <<；
②数列中的各项必须在定义域内，即12+d A ；③(1),(1),(12)++h h d h d 是“三角形”数列.
由于2()2,[1,]=-+∈h x x x x A 是单调递减函数，所以(1)(12)(1)h d h d h +++>，化简得2
1
5
d <，解得
05
d <<
.【点睛】本题考查数列与函数的综合应用、由n S 的关系式求数列的通项公式、数列的增减性、数列新定义，属于较难题.。