人教A版高中数学必修二新课标高考一轮复习训练手册文科第四十八课时圆的方程

课时作业(四十八) [第48讲 圆的方程]
[时间：45分钟 分值：100分]
基础热身
1．圆心在(2，－1)且经过点(－1,3)的圆的标准方程是( )
A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝25
B ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝25
C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝5
D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝5
2．直线y ＝x ＋b 平分圆x 2＋y 2－8x ＋2y ＋8＝0的周长，则b ＝( )
A ．3
B ．5
C ．－3
D ．－5
3．若PQ 是圆x 2＋y 2＝9的弦，PQ 的中点是(1,2)，则直线PQ 的方程是( )
A ．x ＋2y －3＝0
B ．x ＋2y －5＝0
C ．2x －y ＋4＝0
D ．2x －y ＝0
4．[2011·厦门质检] 已知抛物线y 2＝4x 的焦点与圆x 2＋y 2＋mx －4＝0的圆心重合，则m 的值是________．
能力提升
5．[2011·安徽卷] 若直线3x ＋y ＋a ＝0过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心，则a 的值为
( )
A ．－1
B ．1
C ．3
D ．－3
6．一条线段AB 长为2，两端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，则线段AB 的中点的轨迹是( )
A ．双曲线
B ．双曲线的一支
C ．圆
D ．半圆
7．一条光线从点A (－1,1)出发，经x 轴反射到⊙C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1上，则光走过的最短路程为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
8．实数x 、y 满足x 2＋(y ＋4)2＝4，则(x －1)2＋(y －1)2的最大值为( )
A ．30＋226
B ．30＋426
C ．30＋213
D ．30＋413
9．已知两点A (－1,0)，B (0,2)，点P 是圆(x －1)2＋y 2＝1上任意一点，则△PAB 面积的最大值与最小值分别是( )
A ．2，12(4－5)
B.12(4＋5)，12(4－5)
C.5，4－ 5
D.12(5＋2)，12(5－2)
10．圆C ：x 2＋y 2－4x ＋43y ＝0的圆心到直线x ＋3y ＝0的距离是________．
11．[2011·江西九校联考] 经过圆(x －1)2＋(y ＋1)2＝2的圆心，且与直线2x ＋y ＝0垂直的直线方程是________．
12．在平面区域⎩⎨⎧
2≤x ≤4，0≤y ≤2
内有一个最大的圆，则这个最大圆的一般方程是________________________________________________________________________．
13．[2011·牡丹江一中期末] 点P (x ，y )是圆x 2＋(y －1)2＝1上任意一点，若点P 的坐标满足不等式x ＋y ＋m ≥0，则实数m 的取值范围是________．
14．(10分)在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线x －3y ＝4相切．
(1)求圆O 的方程；
(2)圆O 与x 轴相交于A 、B 两点，圆内的动点P 使|PA |、|PO |、|PB |成等比数列，求PA →·PB →的取值范围．
15．(13分)点A (2,0)是圆x 2＋y 2＝4上的定点，点B (1,1)是圆内一点，P 、Q 为圆上的动点．
(1)求线段AP 的中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 的中点的轨迹方程．
难点突破
16．(1)(6分)若圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，则当圆的面积最大时，圆心为________．
(2)(6分)圆心在抛物线y 2＝2x (y >0)上，并且与抛物线的准线及x 轴都相切的圆的方程是( )
A ．x 2＋y 2－x －2y －14＝0
B ．x 2＋y 2＋x －2y ＋1＝0
C ．x 2＋y 2－x －2y ＋1＝0
D ．x 2＋y 2－x －2y ＋14＝0
课时作业(四十八)
【基础热身】
1．A [解析] 因为圆的圆心为(2，－1)，半径为r ＝(2＋1)2＋(－1－3)2＝5，所以圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝25.故选A.
2．D [解析] 圆心为(4，－1)，由已知易知直线y ＝x ＋b 过圆心，所以－1＝4＋b ，所以b ＝－5.故选D.
3．B [解析] 由圆的几何性质知，弦PQ 的中点与圆心的连线垂直于弦PQ ，所以直
线PQ 的斜率为－12，所以方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0，故选B.
4．－2 [解析] 抛物线y 2＝4x 的焦点为(1,0)，所以－m 2＝1，得m ＝－2.
【能力提升】
5．B [解析] 圆的方程可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，因为直线经过圆的圆心(－1,2)，所以3×(－1)＋2＋a ＝0，得a ＝1.
6．C [解析] 由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得AB 的中点到原点的距离总等于1，所以AB 的中点轨迹是圆，故选C.
7．D [解析] A (－1,1)关于x 轴的对称点B (－1，－1)，圆心C (2,3)，所以光走过的最短路程为|BC |－1＝4.
8．B [解析] (x －1)2＋(y －1)2表示圆x 2＋(y ＋4)2＝4上动点(x ，y )到点(1,1)距离d 的平方，因为26－2≤d ≤26＋2，所以最大值为(26＋2)2＝30＋426，故选B.
9．B [解析] 如图，圆心(1,0)到直线AB ：2x －y ＋2＝0的距离为d ＝45
，故圆上的点P 到直线AB 的距离的最大值是45＋1，最小值是45
－1.又|AB |＝5，故△PAB 面积的最大值和最小值分别是2＋52，2－5.故选B.
10．2 [解析] 圆C 的圆心是C (2，－23)，由点到直线的距离公式得|2－23×3|1＋3
＝2.
11．x －2y －3＝0 [解析] 圆心为(1，－1)，所求直线的斜率为12，所以直线方程为y
＋1＝12(x －1)，即x －2y －3＝0.
12．x 2＋y 2－6x －2y ＋9＝0 [解析] 作图知，区域为正方形，最大圆即正方形的内切圆，圆心是(3,1)，半径为1，得圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝1，即x 2＋y 2－6x －2y ＋9＝0.
13．[2－1，＋∞) [解析] 令x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ，则m ≥－x －y ＝－1－(sin θ＋
cos θ)＝－1－2sin ⎝⎛⎭
⎫θ＋π4对任意θ∈R 恒成立，所以m ≥2－1. 14．[解答] (1)依题设，圆O 的半径r 等于原点O 到直线x －3y ＝4的距离，即r ＝|－4|1＋3
＝2， 所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.
(2)由(1)知A (－2,0)，B (2,0)．
设P (x ，y )，由|PA |、|PO |、|PB |成等比数列得，
(x ＋2)2＋y 2·(x －2)2＋y 2＝x 2＋y 2，
即x 2－y 2＝2.
PA →·PB →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2－4＋y 2＝2(y 2－1)，
由于点P 在圆O 内，故⎩⎨⎧
x 2＋y 2<4，x 2－y 2＝2，
由此得y 2<1，
所以PA →·PB →的取值范围为[－2,0)．
15．[解答] (1)设线段AP 的中点为M (x ，y )，
由中点公式得点P 坐标为P (2x －2,2y )．
∵点P 在圆x 2＋y 2＝4上，∴(2x －2)2＋(2y )2＝4，
故线段AP 的中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1.
(2)设线段PQ 的中点为N (x ，y )，
在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |.
设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ，
∴|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2，
∴x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4，
故线段PQ 的中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.
【难点突破】 16．(1)(0，－1) (2)D [解析] (1)将圆的方程化为标准方程为⎝⎛⎭⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝1－3k 24，因为r 2＝1－3k 24≤1，所以k ＝0时r 最大，此时圆心为(0，－1)．
(2)抛物线y 2＝2x (y >0)的准线为x ＝－12
，圆与抛物线的准线及x 轴都相切，则圆心在直线y ＝x ＋12(y >0)上，与y 2＝2x (y >0)，联立可得圆心的坐标为⎝⎛⎭
⎫12，1，半径为1，则方程为⎝⎛⎭
⎫x －122＋(y －1)2＝1，化简得x 2＋y 2－x －2y ＋14＝0，故选D.。