黑龙江哈尔滨市(新版)2024高考数学部编版考试(自测卷)完整试卷

黑龙江哈尔滨市（新版）2024高考数学部编版考试(自测卷)完整试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)
第(1)题
已知平面向量，为单位向量，且，则向量在向量上的投影向量的坐标为（）
A．B．C．D．
第(2)题
记，，，则（）
A．B．
C．D．
第(3)题
为落实党的二十大提出的“加快建设农业强国，扎实推动乡村振兴”的目标，银行拟在乡村开展小额贷款业务．根据调查的数据，建立了实际还款比例关于还款人的年收入（单位：万元）的模型：．已知当贷款人的年收入为9万元时，其实际还款比例为50%．若银行希望实际还款比例为40%，则贷款人的年收入约为（）（参考数据：，）
A．万元B．万元C．万元D．万元
第(4)题
若，则（）
A
．B．C．D．
第(5)题
设，则（）
A．B．C．D．
第(6)题
据《乾陵百迷》记载：乾陵是陕西关中地区唐十八陵之一，位于乾县县城北部的梁山上，是唐高宗李治和武则天的合葬墓．乾陵是目前保存最完好的一座帝王陵墓．1961年3月被国务院公布为第一批全国重点文物保护单位．乾陵气势雄伟，规模宏大．登乾陵需要通过一段石阶路，如图所示，石阶路共526级台阶（各台阶高度相同）和18座平台，宽11米，全路用32000块富平墨玉石砌成．右阶有许多象征意义．比如第一道平台的34级台阶，象征唐高宗李治在位执政34年，第二道平台的21级台阶，象征武则天执政21年……第九道平台的108级台阶，象征有108个“吉祥”现已知这108级台阶落差高度为17.69米，那么乾陵石阶路526级台阶的落差高度约为（）
A．86.2米B．83.6米C．84.8米D．85.8米
第(7)题
将的图象向左平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为（）
A
．B．C．D．
第(8)题
荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”在“进步率”和“退步率”都是1%的前提下，我们可以把看作是经过365天的“进步值”，看作是经过365天的“退步值”，则经过300天时，“进步值”大约是“退步
值”的（）（参考数据：，，）
A．22倍B．55倍C．217倍D．407倍
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)
第(1)题
已知函数，则（）
A
．的图象关于点对称B．为的一个周期
C ．的值域为D．在上单调递减
第(2)题
下列函数的说法正确的是（）
A．函数在区间内的零点个数是个.
B．函数既是奇函数又是增函数.
C．函数与是互为反函数，它们的图像关于直线对称.
D
．函数的递增区间为
第(3)题
定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则（）
A
．
B．，函数有极值
C
．
D．，函数为单调函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)
第(1)题
已知关于的方程在上有实数根，且满足，则的取值范围是__________．
第(2)题
88键钢琴从左到右各键的音的频率组成一个递增的等比数列．若中音A（左起第49个键）的频率为，钢琴上最低音的频率为，则左起第61个键的音的频率为___________．
第(3)题
已知向量，，满足，则t＝__________．
四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)
第(1)题
已知数列与满足，.
(1)若,求数列的通项公式；
(2)若,且数列是公比等于2的等比数列,求的值,使数列也是等比数列；
(3)若,且，数列有最大值与最小值,求的取值范围.
第(2)题
如图，在实验室细菌培养过程中，细菌生长主要经历调整期､指数期､稳定期和衰亡期四个时期.在一定条件下，培养基上细菌的最大承载量(达到稳定期时的细菌数量)与培养基质量具有线性相关关系.某实验室在培养细菌的过程中，通过大量实验获得了以下统计数据：
培养基质量(克)2040506080
细菌的最大承载量(单位)300400500600700
（1）建立关于的回归直线方程，并预测当培养基质量为100克时细菌的最大承载量；
（2）研究发现，细菌的调整期一般为3小时，其在指数期的细菌数量(单位)与细菌被植入培养基的时间近似满足函数关系
，试估计在100克培养基上培养细菌时指数期的持续时间(精确到1小时).
参考数据：，，，.参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别
为：，.
第(3)题
在平面直角坐标系中，抛物线方程为，其顶点到焦点的距离为.
(1)求抛物线的方程；
(2)若点，设直线与抛物线交于A、B两点，且直线、的斜率之和为0，证明：直线必过定点，并求出该定点．
第(4)题
已知数列的前n项和为，，且．，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
第(5)题
如图，在四棱锥中，底面四边形的边长均为2，且，棱的中点为.
(1)求证：平面；
(2)若的面积是，求点到平面的距离.。