高中数学 第一章 立体几何初步 1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积学案(含解析)新人教B版必修2

1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
1.理解棱柱、棱锥、棱台和球的表面积的概念，了解它们的侧面展开图.(重点)
2.掌握直棱柱、正棱锥、正棱台的表面积公式，并会求它们的表面积.(重点)
3.了解球的表面积公式，会运用公式求球的表面积.(重点)
4.组合体的表面积计算.(难点
)
[基础·初探]
教材整理1 棱柱、棱锥、棱台的表面积
阅读教材P 25～P 26“倒数第5行”以上内容，完成下列问题.
棱柱、棱锥、棱台是由多个平面图形围成的多面体，它们的表面积就是各个面的面积和
.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)多面体的表面积等于各个面的面积之和.( ) (2)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的.( )
(3)沿不同的棱将多面体展开，得到的展开图相同，表面积相等.( ) 【解析】 (1)正确.多面体的表面积等于侧面积与底面积之和. (2)错误.棱台的侧面展开图是由若干个梯形组成的，不一定是等腰梯形.
(3)错误.由于剪开的棱不同，同一个几何体的表面展开图可能不是全等形.但是，不论怎么剪，同一个多面体表面展开图的面积是一样的.
【答案】 (1)√ (2)× (3)×
教材整理2 圆柱、圆锥、圆台和球的表面积
阅读教材P 26“倒数第3行”～P 27“例1”以上内容，完成下列问题. 1.圆柱、圆锥、圆台的表面积公式
球的表面积公式S 球＝4πR 2
.
1.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( )
A.4π
B.3π
C.2π
D.π
【解析】 所得旋转体为圆柱，圆柱的底面圆半径为1，高为1，侧面积S ＝2πrh ＝2π×1×1＝2π.故选C.
【答案】 C
2.已知两个球的半径之比为1∶2，则这两个球的表面积之比为( ) A.1∶2 B.1∶4 C.1∶6
D.1∶8
【解析】 S 1S 2＝4πR 214πR 22
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫R 1R 22
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122
＝1
4
.
【答案】 B
[小组合作型]
. 【精彩点拨】 根据多面体的侧面积公式，可以先求出相应多面体的底面边长和各侧面的斜高，进而由公式求解.
【自主解答】 如图所示，设正四棱锥的高为PO ，斜高为PE ，底面边心距为OE ，它们
组成一个直角三角形POE
.
∵OE ＝4
2
＝2，∠OPE ＝30°，
∴PE ＝OE sin 30°＝2
1
2
＝4.
∴S 正四棱锥侧＝12ch ′＝1
2
×(4×4)×4＝32，
S 表面积＝42＋32＝48.
即该正四棱锥的侧面积是32，表面积是
48.
1.要求锥体的侧面积及表面积，要利用已知条件寻求公式中所需的条件，一般用锥体的高、斜高、底面边心距等量组成的直角三角形求解相应的量.
2.空间几何体的表面积运算，一般是转化为平面几何图形的运算，往往通过解三角形来完成
.
[再练一题]
1.某几何体的三视图如图1­1­88所示，则该几何体的表面积为(
)
图1­1­88
A.180
B.200
C.220
D.240
【解析】 由三视图知识知该几何体是底面为等腰梯形的直四棱柱.
等腰梯形的上底长为2，下底长为8，高为4，腰长为5，直四棱柱的高为10，所以S 底
＝1
2×(8＋2)×4×2＝40，S 侧＝10×8＋10×2＋2×10×5＝200，S 表＝40＋200＝240，故选D.
【答案】
D
AB ＝5 cm ，BC
＝16 cm ，AD ＝4 cm.求以AB 所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积.
【导学号：45722026】
图1­1­89
【精彩点拨】 分析几何体的形状―――――――→选择表面积公式求表面积
【自主解答】 以AB 所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆台，其上底半径是4 cm ，下底半径是16 cm ，母线DC ＝52
＋
－
2
＝13 (cm).
∴该几何体的表面积为π(4＋16)×13＋π×42
＋π×162
＝532π(cm 2
).
1.圆柱、圆锥、圆台的相关几何量都集中体现在轴截面上，因此准确把握轴截面中的相关量是求解旋转体表面积的关键.
2.棱锥及棱台的表面积计算常借助斜高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长等构成的直角三角形(或梯形)求解.
[再练一题]
2.在本例题题设条件不变的情况下，求以BC 所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积.
【解】 以BC 所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆柱和圆锥的组合体，如图所示：
其中圆锥的高为16－4＝12(cm)，圆柱的母线长为AD ＝4 cm ，故该几何体的表面积为： 2π×5×4＋π×52
＋π×5×13＝130π(cm 2
).
个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比.
【精彩点拨】 本题是求三个球的表面积之比，解题的关键是得出半径之比，可在各几何体内做出截面，找到球心，易求半径.
【自主解答】 设正方体的棱长为a .
(1)正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面正方形的中心，经过四个切点及球心作截面，如图①，所以有2r 1＝a ，r 1＝a
2
，所以S 1＝4πr 21＝πa 2
.
(2)球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，如图②，2r 2＝2a ，r 2＝
22
a ，所以S 2＝4πr 22＝2πa 2. (3)正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如图③，所以有2r 3
＝3a ，r 3＝
32
a ，所以S 3＝4πr 23＝3πa 2.
综上可得S 1∶S 2∶S 3＝1∶2∶3.
1.在处理球和长方体的组合问题时，通常先作出过球心且过长方体对角面的截面图，然后通过已知条件求解.
2.球的表面积的考查常以外接球的形式出现，可利用几何体的结构特征构造熟悉的正方体，长方体等，通过彼此关系建立关于球的半径的等式求解.
[再练一题]
3.一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图1­1­90所示，则该三棱锥的外接球的表面积为( )
图1­1­90
A.29π
B.28π
C.25π
D.26π
【解析】 由三视图得直观图如图，三棱锥O ­ABC 中OA ，OB ，OC 两两垂直，OA ＝3，OC ＝4，OB ＝2，可看作是长方体从同一顶点出发的三条棱长，长方体的对角线，即为球的直径，长为32
＋42
＋22
，
故外接球半径为292，外接球的表面积S 球＝4π⎝ ⎛⎭⎪⎫
2922
＝29π.
【答案】 A
[探究共研型]
探究1 .
图1­1­91
【提示】 由所给三视图可知该几何体为一个三棱柱，且底面为直角三角形. 探究2 试根据图中数据求该几何体的表面积.
【提示】 三棱柱底面三角形的直角边长分别为3和4，斜边长为5，三棱柱的高为5，
如图所示，所以表面积为2
⎝ ⎛⎭
⎪⎫12×3×4＋(3＋4＋5)×5＝72.
探究3 已知几何体的三视图，如何求几何体的表面积？
【提示】 首先根据三视图确定几何体的形状及其结构特征，再根据相应的表面积公式计算.
已知某几何体的三视图如图1­1­92(单位：cm). (1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)； (2)求这个几何体的表面积.
【导学号：45722027】
图1­1­92
【精彩点拨】
由三视图确定几何体的形状→选择表面积
公式求解
【自主解答】 (1)这个几何体的直观图如图所示.
(2)这个几何体可看成是正方体AC 1及三棱柱B 1C 1Q —A 1D 1P 的组合体. 由PA 1＝PD 1＝2，A 1D 1＝AD ＝2， 可得PA 1⊥PD 1. 故所求几何体的表面积
S ＝5×22＋2×12
×2×2＋2×2×2＝22＋42(cm 2).
1.由三视图转化为直观图在解题中起到关键作用，在转化过程中注意图中各个数据的对应关系.
2.在求几何体的表面积时，要搞清几何体的结构特征，注意分割、拼补的技巧，注意转化与化归思想应用.
[再练一题]
4.某几何体的三视图如图1­1­93所示，它的表面积为( )
图1­1­93
A.32π
B.48π
C.33π
D.24π
【解析】由三视图可知，该几何体是一个半球和一个圆锥的组合体S＝2π×32＋π·3·5＝33π.
【答案】 C
1.一个几何体的三视图如图1­1­94所示，该几何体的表面积是( )
图1­1­94
A.372
B.360
C.292
D.280
【解析】该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于下面长方体的全面积与上面长方体的四个侧面积之和.
S＝2(10×8＋10×2＋8×2)＋2(6×8＋8×2)＝360.故选B.
【答案】 B
2.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积之比为( ) A.1＋2π
2π B.1＋4π
4π C.
1＋2π
π
D.1＋4π
2π
【解析】 设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则有h ＝2πr ，所以表面积与侧面积的比为2π(r 2
＋rh )∶2πrh ＝(r ＋h )∶h ＝(2π＋1)∶2π.
【答案】 A
3.一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a 的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为________.
【解析】 S 圆柱＝2·π⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22
＋2π·⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 2·a ＝32πa 2
，
S 圆锥＝π⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 2
2
＋π·a 2·a ＝34
πa 2，∴S 圆柱∶S 圆锥＝2∶1.
【答案】 2∶1
4.如图1­1­95所示，圆台的上、下底半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的侧面积为________.
图1­1­95
【解析】 设圆台的上底半径为r ，则下底半径为4r ，高为4r . 由母线长为10可知10＝r
2
＋r
2
＝5r ，
∴r ＝2.
故圆台的上、下底面半径和高分别为2,8,8. 所以圆台的侧面积为π(2＋8)×10＝100π. 【答案】 100π
5.已知一圆锥的侧面展开图为半圆，且面积为S ，求圆锥的底面面积.
【导学号：45722028】
【解】 如图，设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，
由题意得⎩⎪⎨⎪⎧
π2
l 2＝S ，
πl ＝2πr .
解得r ＝
S
2π
，
所以底面积为πr 2
＝π×S 2π＝S
2
. ∴圆锥的底面面积为S
2
.。