海口市名校2020年新高考高一数学下学期期末复习检测试题

2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112,0,3m m m S S S -+=-==，则m =( ) A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
2．化简AC BD CD AB -+-=（ ） A ．AB B ．BC C ．DA
D ．0
3．若将函数()()()sin 23cos 20f x x x ϕϕϕπ=+++<<（其中）的图象向左平移4
π
个单位长度，平移后的图象关于点,02π⎛⎫
⎪⎝⎭对称，则函数()()cos g x x ϕ=+在,26ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的最小值是 A ．1
2
-
B ．3-
C ．
12
D ．
2 4．若2220x y x y m +-+-=是一个圆的方程，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1,4⎛⎫-∞-
⎪⎝⎭
B ．1,4⎛⎫+∞
⎪⎝⎭ C ．1,4⎛⎫
-
+∞ ⎪⎝⎭
D ．1,
4⎛⎫-∞ ⎪⎝
⎭
5．执行如下的程序框图，则输出的S 是（ ）
A ．36
B ．45
C ．36-
D ．45-
6．已知直线与直线
互相平行，则实数的值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．若直线20x y -
+=与圆()2
2:2O x a y -+=相切，则a = （ ） A ．0
B ．4-
C ．2
D ．0或4-
8．某高级中学共有学生3000人,其中高二年级有学生800人,高三年级有学生1200人,为了调查学生的课外阅读时长,现用分层抽样的方法从所有学生中抽取75人进行问卷调查，则高一年级被抽取的人数为（ ） A ．20
B ．25
C ．30
D ．35
9．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若8453S S =，则2412
S
S =（ ） A ．
5
3
B ．2
C ．
3527
D ．
2735
10．已知0m >，0n >，21m n +=，若不等式2m n
t mn
+≤恒成立，则t 的最大值为（ ） A ．4
B ．6
C ．8
D ．9
11．设α，β为两个平面，则能断定α∥β
的条件是（ ）
A ．α内有无数条直线与β平行
B ．α，β平行于同一条直线
C ．α，β垂直于同一条直线
D ．α，β垂直于同一平面
12．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个结论： ①m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥；②若m α，n β，m n ⊥，则αβ∥； ③若m α⊥，n β，m n ⊥，则αβ∥；④若m α⊥，n β，αβ∥，则m n ⊥. 其中正确结论的序号是 A ．①③
B ．②③
C ．①④
D ．②④
二、填空题：本题共4小题 13．如图所示，已知4
3
AP AB =
，用,OA OB 表示OP .
14．圆22230x y y ++-=与圆226230x y x y ++++=的公共弦长为______________。

15．已知数列4
293=
-n a n
，若对任意正整数n 都有n k a a ≤，则正整数k =______；
16．设函数()arctan f x x =，则()1f -的值为__________． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．设函数f
（x ）＝2cos 2x ﹣cos （2x ﹣3
π）． （1）求f （x ）的周期和最大值；
（2）已知△ABC 中，角A ．B ．C 的对边分别为A ，B ，C ，若f （
π﹣A ）＝
3
2
，b+c ＝2，求a 的最小值． 18．如图，在ABC 中，已知点D 在边BC 上，AD AC ⊥，ADC 的面积是ABC 面积的
3
4
倍，且32AB =，3AD =.
（1）求sin BAC ∠； （2）求边BC 的长.
19．（6分）如图，在四棱锥 P ABCD -中，PA PD =，底面ABCD 是矩形，侧面PAD ⊥底面ABCD ,E 是AD 的中点.
（1）求证：//AD 平面PBC ； （2）求证：AB ⊥平面PAD .
20．（6分）已知数列{}n a 的前n 项和为*
,n S n N ∈，且31
22
n n S a =
-． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)若212n n n n b a a ++=
-，设数列{}n b 的前n 项和为*
,n T n N ∈，证明34
n T <．
21．（6分）某企业生产的某种产品，生产总成本()f x （元）与产量x （吨）（080x ≤≤）函数关系为
32250,030
()2503600,3080
x x ax x f x x x x ⎧-+≤≤=⎨++<≤⎩，且函数()f x 是[0,80]上的连续函数
（1）求a 的值；
（2）当产量为多少吨时，平均生产成本最低？
22．（8分）如图，在五面体ABCDEF 中，点O 是矩形ABCD 的对角线的交点，面CDE 是等边三角形，棱
1
2
EF
BC ．
（1）证明FO ∥平面CDE ；
（2）设3，证明EO ⊥平面CDE ．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．C 【解析】 【分析】
由0m S =()112m m m a a S S -⇒=-=--=-又113m m m a S S ++=-=，可得公差11m m d a a +=-=，从而可得结果. 【详解】
{}n a 是等差数列
()
102
ms m m a a S +∴=
=
()112m m m a a S S -⇒=-=--=-
又113m m m a S S ++=-=， ∴公差11m m d a a +=-=，
11325m a a m m m +==+=-+⇒=，故选C ．
【点睛】
本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题. 2．D 【解析】
【分析】
根据向量的加法与减法的运算法则，即可求解，得到答案． 【详解】
由题意，根据向量的运算法则，
可得AC BD CD AB -+-=(AC +)CD -(AB +)BD =–AD AD =0，故选D ． 【点睛】
本题主要考查了向量的加法与减法的运算法则，其中解答中熟记向量的加法与减法的运算法则，准确化简、运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 3．C 【解析】 【分析】
由题意得()223f x sin x πϕ⎛
⎫
=++
⎪⎝
⎭
，故得平移后的解析式为5226
y sin x πϕ⎛⎫
=++
⎪⎝
⎭
，根据所的图象关于点,02π⎛⎫
⎪⎝⎭对称可求得6πϕ=，从而可得()6g x cos x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，进而可得所求最小值．
【详解】
由题意得()()()22223f x sin x x sin x πϕϕϕ⎛
⎫=++=++ ⎪⎝
⎭，将函数()f x 的图象向左平移
4π个单位长度所得图象对应的解析式为52222436y sin x sin x πππϕϕ⎡⎫⎛
⎫
⎛⎫
=+
++=++ ⎪ ⎪⎪⎢⎝
⎭⎝
⎭
⎣⎭， 因为平移后的图象关于点,02π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称， 所以5112,2
66k k Z π
ππϕϕπ⨯
++
=+=∈，故11,6
k k Z πϕπ=-+∈， 又0ϕπ<<，所以6
π
ϕ=．
所以()6g x cos x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
， 由2
6x π
π
-
≤≤
得3
6
3
x π
π
π
-
≤+
≤
，
所以当6
3
x π
π
+=
或6
3
x π
π
+
=-
，即6
x π
=
或2
x π
=-
时，函数()g x 取得最小值，且最小值为
12
． 故选C ． 【点睛】
本题考查三角函数的性质的综合应用，解题的关键是求出参数ϕ的值，容易出现的错误是函数图象平移时弄错平移的方向和平移量，此时需要注意在水平方向上的平移或伸缩只是对变量x 而言的．
4．C 【解析】 【分析】
根据22D 4F 0E +->即可求出结果. 【详解】
据题意，得()()2
211420m -+-⨯->，所以14
m >-. 【点睛】
本题考查圆的一般方程，属于基础题型. 5．A 【解析】 【分析】
列出每一步算法循环，可得出输出结果S 的值. 【详解】
18i =≤满足，执行第一次循环，()1
20111S =+-⨯=-，112i =+=； 28i =≤成立，执行第二次循环，()2
21123S =-+-⨯=，213i =+=； 38i =≤成立，执行第三次循环，()323136S =+-⨯=-，314i =+=； 48i =≤成立，执行第四次循环，()4
261410S =-+-⨯=，415i =+=； 58i =≤成立，执行第五次循环，()52101515S =+-⨯=-，516i =+=； 68i =≤成立，执行第六次循环，()62151621S =-+-⨯=，617i =+=； 78i =≤成立，执行第七次循环，()72211728S =+-⨯=-，718i =+=； 88i =≤成立，执行第八次循环，()82281836S =-+-⨯=，819i =+=； 98i =≤不成立，跳出循环体，输出S 的值为36，故选：A.
【点睛】
本题考查算法与程序框图的计算，解题时要根据算法框图计算出算法的每一步，考查分析问题和计算能力，属于中等题. 6．A 【解析】 【分析】
根据两直线平性的必要条件可得，求解并进行验证即可。

【详解】
直线与直线互相平行；
，即
，解得：
；
当时，直线分别为和，平行，满足条件
当时，直线分别为和
，平行，满足条件；
所以
；
故答案选A 【点睛】
本题考查两直线平行的性质，解题时注意平行不包括重合的情况，属于基础题。

7．D 【解析】 【分析】
本题首先可根据圆的方程确定圆心以及半径，然后根据直线20x y -+=与圆O 相切即可列出算式并通过计算得出结果。

【详解】
由题意可知，圆O 方程为2
22x a
y ，
所以圆心坐标为(),0a ，圆O 的半径2r =，
因为直线20x y -+=与圆O 相切，
所以圆心到直线距离等于半径，即12
02211a
解得0a =或4-，故选D 。

【点睛】
本题考查根据直线与圆相切求参数，考查根据圆的方程确定圆心与半径，若直线与圆相切，则圆心到直线距离等于半径，考查推理能力，是简单题。

8．B 【解析】 【分析】
通过计算三个年级的人数比例，于是可得答案. 【详解】 抽取比例为
，高一年级有
人，所以高一年级应被抽取的人数为
.
【点睛】
本题主要考查分层抽样的相关计算，难度很小. 9．C 【解析】 【分析】
根据等比数列前n 项和为n S 带入即可。

【详解】 当1q =时
1
841
824S a S a ==，1q =不成立。

当1q ≠时 ()
()81844
84441115211133
11a q S q q q q S q a q q
---===+=⇒=---， 则()
()()()()2411212
243
424121212121111135111127
11a q q q S q q q S q q a q q
--+--====+=----,选择C 【点睛】
本题主要考查了等比数列的前n 项和n S ，()
11,1
1,11n
n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪
-⎩
，属于基础题。

10．C 【解析】 【分析】 因为不等式2m n t mn
+≤恒成立，所以只求得
2m n
mn + 的最小值即可，结合21m n +=，用“1”的代换求其最小值. 【详解】
因为0m >，0n >，21m n +=，若不等式2m n
t mn
+≤
恒成立， 令y=
2121244(2)4428+⎛⎫=+=+⨯+=++≥+⋅= ⎪⎝⎭m n m n m n
m n mn n m n m n m n m
，
当且仅当
4m n
n m = 且21m n +=即11,24
m n ==时，取等号 所以min 8y = 所以8t ≤ 故t 的最大值为1． 故选：C 【点睛】
本题主要考查不等式恒成立和基本不等式求最值，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 11．C 【解析】 【分析】
对四个选项逐个分析，可得出答案. 【详解】
对于选项A ，当α，β相交于直线l 时，α内有无数条直线与β平行，即A 错误；
对于选项B ，当α，β相交于直线l 时，存在直线满足：既与l 平行又不在两平面内，该直线平行于α，β，故B 错误；
对于选项C ，设直线AB 垂直于α，β平面，垂足分别为A,B ，假设α与β不平行，设其中一个交点为C ，则三角形ABC 中，90ABC BAC ︒∠=∠=，显然不可能成立，即假设不成立，故α与β平行，故C 正确； 对于选项D ，α，β垂直于同一平面，α与β可能平行也可能相交，故D 错误. 【点睛】
本题考查了面面平行的判断，考查了学生的空间想象能力，属于中档题. 12．C 【解析】 【分析】
利用面面垂直的判定定理判断①；根据面面平行的判定定理判断②；利用线面垂直和线面平行的性质判断③；利用线面垂直和面面平行的性质判断④ 【详解】 ①
m α⊥， m n ⊥，//n α∴或n α⊂，又n β⊥，则αβ⊥成立，故正确
②若//m α，m n ⊥，//n α∴或n 和α相交，α∴并不一定平行于β，故错误 ③若m α⊥，m n ⊥，则//n α或n α⊂，若//n β，则α并不一定平行于β，故错误 ④若m α⊥，//αβ，m β∴⊥，又//n β，m n ∴⊥成立，故正确
综上所述，正确的命题的序号是①④ 故选C 【点睛】
本题主要考查了命题的真假判断和应用，解题的关键是理解线面，面面平行与垂直的判断定理和性质定理，属于基础题．
二、填空题：本题共4小题 13．4133
OP OB OA =-
【解析】 【分析】
可采用向量加法和减法公式的线性运算进行求解 【详解】 由()
44443333
AP AB AO OP OB OA OA OP OB OA =
⇒+=-⇒-+=-，整理得4133OP OB OA =-
【点睛】
本题考查向量的线性运算，解题关键在于将所有向量通过向量的加法和减法公式转化成基底向量,OA OB ，属于中档题
14．【解析】 【分析】
利用两圆一般方程求两圆公共弦方程，求其中一圆到公共弦的距离，利用直线被圆截得的弦长公式可得所求. 【详解】
由两圆方程相减得两圆公共弦方程为623(23)0x y y ++--=，即1x =-，
圆2
2
230x y y ++-=化为2
2
(1)4x y ++=，圆心到直线的距离为1，所以两圆公共弦长为
=，故答案为【点睛】
本题考查两圆位置关系，直线与圆的位置关系，考查运算能力，属于基本题. 15．9 【解析】 【分析】
分析数列{}n a 的单调性，以及数列各项的取值正负，得到数列中的最大项，由此即可求解出k 的值. 【详解】
因为4
293=
-n a n
，所以9n ≤时，0n a >，10n ≥时，0n a <，
又因为{}n a 在[]()1,9*n N ∈上递增，在[)()10,*n N +∞∈也是递增的，
所以
()9max n a a =，又因为对任意正整数n 都有n
k a
a ≤，所以9k =.
故答案为：9. 【点睛】
本题考查数列的单调性以及数列中项的正负判断，难度一般.处理数列单调性或者最值的问题时，可以采取函数的思想来解决问题，但是要注意到数列对应的函数的定义域为*N . 16．4
π-
【解析】 【分析】
根据反正切函数的值域，结合条件得出()1f -的值. 【详解】
arctan 2
2
x π
π
-
<<
，且tan tan 144ππ⎛⎫-
=-=- ⎪⎝⎭
，因此，()()1arctan 14f π-=-=-， 故答案为：4
π
-. 【点睛】
本题考查反正切值的求解，解题时要结合反正切函数的值域以及特殊角的正切值来求解，考查计算能力，属于基础题.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）周期为π，最大值为2.（2【解析】 【分析】
（1）利用倍角公式降幂，展开两角差的余弦，将函数的关系式化简余弦型函数，可求出函数的周期及最值；
（2）由f （π﹣A ）3
2
=，求解角A ，再利用余弦定理和基本不等式求a 的最小值． 【详解】
（1）函数f （x ）＝2cos 2x ﹣cos （2x 3
π-
）
＝1+cos2x 112222122cos x sin x cos x sin x -=+ ＝cos （2x 3
π
+
）+1，
∵﹣1≤cos （2x 3
π
+）≤1， ∴T 22
π
π=
=，f （x ）的最大值为2； （2）由题意，f （π﹣A ）＝f （﹣A ）＝cos （﹣2A 3π+）+132
=， 即：cos （﹣2A 3π+）1
2
=， 又∵0＜A ＜π， ∴53π-
-＜2A 33
ππ
+＜， ∴﹣2A 3
3
π
π
+
=-
，即A 3
π
=
．
在△ABC 中，b+c ＝2，cosA 1
2
=
， 由余弦定理，a 2＝b 2+c 2﹣2bccosA ＝（b+c ）2﹣bc ， 由于：bc 2
(
)12
b c +≤=，当b ＝c ＝1时，等号成立． ∴a
2≥4﹣1＝3，即a ≥
则a 【点睛】
本题考查三角函数的恒等变换，余弦形函数的性质的应用，余弦定理和基本不等式的应用，是中档题．
18．（1）3
；（2）【解析】 【分析】
（1）利用三角形面积公式得出ADC S △和ABC
S 的表达式，由34
ADC
ABC
S
S =
，化简得出sin BAC ∠的值；
（2）由sin BAC ∠=
结合2BAC BAD π∠=∠+，得出cos ∠=BAD ，在ABD △中，利用余弦
定理得出BD =cos 3ADB ∠=-
，进而得出cos 3
ADC ∠=，由直角三角形
的边角关系得出DC =BC BD DC =+得出BC 的长. 【详解】
（1）因为AD AC ⊥，3
4
ADC
ABC
S S =
，且AB =3AD =
所以
131
3sin 242
AC AC BAC ⨯⨯=⨯⨯⨯∠
1BAC ∠=，所以sin BAC ∠=.
（2）由（1）知sin sin 23
BAC BAD π⎛⎫
∠=∠+
= ⎪⎝
⎭，所以cos 3∠=BAD
在ABD △中，AB =3AD =，cos ∠=
BAD
由余弦定理2222cos 1892333
BD AB AD AB AD BAD =+-⨯∠=+-⨯⨯=
所以BD =.
且222cos
23AD BD AB ADB AD BD +-∠===-
⨯
所以3
cos cos AD ADC ADB DC DC
∠=-∠=
==
，解得DC =
所以BC BD DC =+==即边BC 的长为【点睛】
本题主要考查了三角形面积公式以及余弦定理的应用，属于中档题. 19．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】
（1）利用//AD BC 即可证明； （2）由面面垂直的性质即可证明． 【详解】
证明：（1）在四棱锥P ABCD -中，
底面ABCD 是矩形，
//AD BC ∴，
又AD ⊂平面PBC ，BC ⊂平面PBC ；
//AD ∴平面PBC ；
（2）
侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧面PAD
平面ABCD AD =，
AB AD ⊥，AB
平面ABCD ，
AB ∴⊥平面PAD
【点睛】
本题考查了空间线面平行、垂直的证明，属于基础题.
20．（1）1
3n n a +=;（2）见解析.
【解析】
【试题分析】（1）借助题设中的数列递推式探求数列通项之间的关系，再运用等比数列的定义求得通项公式；（2）依据（1）的结论运用错位相减法求解，再借助简单缩放法推证：
（1）当1n =时1131
22
a a =
-，得11a =， 当2n ≥时，()113
2
n n n n n S S a a a ---==-得13n n a a -= ，
所以1
3n n a +=，
（2）由（1）得：2123
n n n n n n
b a a ++==- ，
又212......333n n n
T =
+++ ① 得231112 (3333)
n n n
T +=+++ ② 两式相减得：212111 (33333)
n n n n
T +=+++- ，
故1
11123313313
n
n n n T +⎛⎫- ⎪
⎝⎭=
-- ，
所以3323,4434
n n n n T T +=
-∴<⋅ . 点睛：解答本题的思路是充分借助题设条件，先探求数列的的通项公式，再运用错位相减法求解前项和．解答第一问时，先借助题设中的数列递推式探求数列通项之间的关系，再运用等比数列的定义求得通项公式；解答第二问时，先依据（1）中的结论求得2123
n n n n n n
b a a ++=
=-，运用错位相减求和法求得
33234434
n n n n T T +=
-<⋅，进而运用简单缩放法推得，使得问题获解． 21． (1) 1000a =； (2) 当产量60x =吨，平均生产成本最低. 【解析】 【分析】
（1）根据函数连续性的定义，可得在分段处两边的函数值相等，可得a 的值；（2）求出平均成本的表达式，结合二次函数和基本不等式，可得平均生产成本的最小值点． 【详解】
（1）设321()50,[0,30]g x x x ax x =-+∈，2
2()2503600,(30,80]g x x x x =++∈
由函数()f x 是[0,80]上的连续函数. 即12(30)g (30)g =，代入得1000a = （2）设平均生产成本为()G x ，
则
2501000,[0,30] ()
()3600
250,(30,80]
x x x
f x
G x
x x x
x
⎧-+∈
⎪
==⎨
++∈
⎪⎩
当[0,30]
x∈中，2
()501000
G x x x
=-+，函数连续且在[0,25]单调递减，[25,30]单调递增
即当[0,30]
x∈，()(25)375
G x G
==
小
元
当(30,80]
x∈，
3600
()250
G x x
x
=++，由
36003600
2120
x x
x x
+≥⋅=，当且仅当60
x=取等号，即当(30,80]
x∈，()(60)120250370
G x G
==+=
小
元
综上所述，当产量60
x=吨，平均生产成本最低.
【点睛】
本题考查的知识点是分段函数的应用，二次函数的图象和性质，基本不等式求最值，属于中档题. 22．(1)证明见解析；(2) 证明见解析；
【解析】
【分析】
（1）利用中点做辅助线，构造出平行四边形即可证明线面平行；（2）根据所给条件构造出菱形，再根据两个对应的线段垂直关系即可得到线面垂直.
【详解】
证明：（1）取CD中点M，连结OM，连结EM，
在矩形ABCD中，
1
,
2
OM BC
∥又
1
2
EF BC,
则EF OM
∥,于是四边形EFOM为平行四边形．
∴FO∥EM.
又∵FO⊂平面CDE，且EM⊂平面CDE，
∴FO∥平面CDE．
（2）连结FM,
由（1）和已知条件，在等边ΔCDE中，CM=DM,EM⊥CD
且
31
.
22
EM CD BC EF
===
因此平行四边形EFOM为菱形，从而EO⊥FM.
∵CD⊥OM,CD⊥EM
∴CD⊥平面EOM，
从而CD⊥EO.
而FM CD=M,所以EO⊥平面CDF.
【点睛】
（1）线面平行的判定定理：平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面；（2）线面垂直的判定定理：一条直线与平面内两条相交直线垂直，则该直线垂直于此平面.
2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在ABC ∆中，2AB =
，2AC =，E 是边BC 的中点.O 为ABC ∆所在平面内一点且满足
2
2
2
OA OB OC ==，则·AE AO 的值为（ ）
A ．
1
2
B ．1
C ．
22
D ．
32
2．在等差数列{}n a 中，372a a +=，则9S 等于() A ．2
B ．18
C ．4
D ．9
3．设R a ∈，若不等式2
211
48x x ax x x x
++-+≥-恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[2,12]-
B ．[2,10]-
C ．[4,4]-
D ．[4,12]-
4．已知过原点的直线l 与圆C ：22650x y x +-+=相交于不同的两点A B ，，且线段AB 的中点坐标为
(2,2)D ，则弦长为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
5．直线x ﹣y+2＝0与圆x 2+（y ﹣1）2＝4的位置关系是（ ） A ．相交 B ．相切 C ．相离
D ．不确定
6．已知数列
的前项和为
，
，若存在两项
，使得
，则
的最
小值为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
7．已知U =R ，集合{}
120A x x =->，则U
A =
A ．12x x ⎧⎫
<
⎨⎬⎩⎭
B ．12x x ⎧⎫>
⎨⎬⎩⎭
C ．12x x ⎧⎫≤
⎨⎬⎩⎭
D ．12x x ⎧⎫≥
⎨⎬⎩⎭
8．已知等比数列{}n a 的公比为正数，且2
39522,1a a a a ⋅==，则1a = ( )
A ．
12
B ．2
C 2
D ．
22
9．过点()1,3P
-且垂直于直线230x y -+=的直线方程为（ ）
A ．250x y --=
B ．250x y ++=
C ．210x y ++=
D ．270x y +-=
10．已知直线倾斜角的范围是,
32
ππ
α⎡⎫
∈⎪
⎢⎣⎭
2
,
23
ππ
⎛⎤
⎥
⎝⎦
，则此直线的斜率的取值范围是（）A．3,3
⎡⎤
-⎣⎦B．(,3⎤
-∞-⎦)
3,
⎡+∞
⎣
C．
33
,
33
⎡⎤
-⎢⎥
⎣⎦
D．
3
,
3
⎛⎤
-∞-
⎥
⎝⎦
3
,
3
⎡⎫
+∞⎪
⎢⎪
⎣⎭
11．某程序框图如图所示，若输出的26
S=，则判断框内应填（）
A．3?
k>B．4?
k>C．5?
k>D．6?
k>
12．在ABC
∆中，若623
AC AB AB BC BC CA
⋅=⋅=⋅，则角A的大小为（）
A．
4
π
B．
3
π
C．
2
3
π
D．
3
4
π
二、填空题：本题共4小题
13．已知数列{}n a的通项公式是2
n
a n
=，若将数列{}n a中的项从小到大按如下方式分组：第一组：(2,4)，第二组：(6,8,10,12)，第三组：(14,16,18,20,22,24)，…，则2018位于第________组.
14．空间两点(1,2,4)
M--，(1,1,2)
N-间的距离MN为_____．
15．如图，正方体1111
ABCD A B C D
-中，AB的中点为M，
1
DD的中点为N，P为棱
11
B C上一点，则异面直线MP与CN所成角的大小为__________．
16．在△ABC中,已知52,10,
a c A
===30,则B等于__________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知数列{}n a 为等比数列，12
a =，公比0q >，且23,6,a a 成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设2log n n
b a =，122334
11111n n n T b b b b b b b b +=
++++
，求使9
10
n T <的n 的取值范围. 18．等差数列{}n a 中，53a =，1782a a =. （1）求数列{}n a 的通项公式; （2）设()11n n n
b n N a a *
+=
∈，求数列{}n b 的前n 项和n
S
.
19．（6分）如果有穷数列123,,,m a a a a (m 为正整数)满足1211,,m m m a a a a a a -===,即
1(1,2,
,)i m i a a i m -+==,那么我们称其为对称数列.
(1)设数列{}n b 是项数为7的对称数列,其中,1234,,,b b b b 为等差数列,且142,11b b ==,依次写出数列{}n b 的各项;
(2)设数列{}n c 是项数为21k -(正整数1k >)的对称数列,其中121,,,k k k c c c +-⋯是首项为50,公差为-4的等差数列.记数列{}n c 的各项和为数列21k S -,当k 为何值时,21k S -取得最大值?并求出此最大值;
(3)对于确定的正整数1m ,写出所有项数不超过2m 的对称数列,使得211,2,2,,2m -⋯依次为该数列中连续的项.当1500m >时,求其中一个数列的前2015项和2015S . 20．（6分）若θ是ABC ∆的一个内角，且1
sin θcos θ
8
，求sin cos θθ-的值. 21．（6分）已知点1,0A ，()4,0B ，曲线C 任意一点P 满足2PB PA =. (1)求曲线C 的方程；
(2)设点()3,0D ，问是否存在过定点Q 的直线l 与曲线C 相交于不同两点,E F ，无论直线l 如何运动，x 轴都平分EDF ∠，若存在，求出Q 点坐标，若不存在，请说明理由.
22．（8分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为菱形.
（1）求证：BD ⊥平面PAC ；
（2）若E 为BC 的中点，60ABC ︒∠=，求证：平面PAD ⊥平面PAE .
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．D
【解析】
【分析】 根据平面向量基本定理可知()
12AE AB AC =+，将所求数量积化为1122
AB AO AC AO ⋅+⋅；由模长的等量关系可知AOB ∆和AOC ∆为等腰三角形，根据三线合一的特点可将AB AO ⋅和AC AO ⋅化为212AB 和212AC ，代入可求得结果. 【详解】
E 为BC 中点 ()12
AE AB AC ∴=+ ()
111222AE AO AB AC AO AB AO AC AO ∴⋅=+⋅=⋅+⋅ 222OA OB OC == AOB ∴∆和AOC ∆为等腰三角形 211cos 22AB AO AB AO OAB AB AB AB ∴⋅=∠=⋅=，同理可得：212
AC AO AC ⋅= 22111314422
AE AO AB AC ∴⋅=+=+= 本题正确选项：D
【点睛】
本题考查向量数量积的求解问题，关键是能够利用模长的等量关系得到等腰三角形，从而将含夹角的运算转化为已知模长的向量的运算.
2．D
【解析】
【分析】
利用等差数列性质得到51a =，959S a =，计算得到答案.
【详解】
等差数列{}n a 中，375522,1a a a a +===
1995()9992
a a S a +⨯=== 故选：D
【点睛】
本题考查了等差数列的计算，利用性质可以简化运算，是解题的关键.
3．D
【解析】
【分析】 由题意可得22118(4)x x a x x x
++-+-恒成立，讨论0x >，0x <，运用基本不等式，可得最值，进而得到所求范围．
【详解】
221148x x ax x x x
++-+-恒成立， 即为22118(4)x x a x x x
++-+-恒成立， 当0x >时，可得221184a x x x x x -++-+的最小值， 由2222118118882228x x x x x x x x x x x x x x
++-+++-+=+⋅=， 当且仅当2x =取得最小值8，即有48a -，则4a -；
当0x <时，可得221184[]a x x x x x
--++--的最大值， 由22118882228x x x x x x x x x -++-----⋅=， 当且仅当2x =-取得最大值8-，即有48a --，则12a ，
综上可得412a -．故选D ．
【点睛】
本题主要考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和分类讨论思想，以及基本不等式的应用，意在考查学生的转化思想、分类讨论思想和运算能力．
4．A
【解析】
【分析】
根据两直线垂直，斜率相乘等于-1，求得直线l 的斜率为22，进而求出圆心到直线l 的距离3d =，再代入弦长公式222AB R d =-求得弦长值.
【详解】
圆的标准方程为：22(3)4x y -+=，设圆心(3,0)M ， (2,2)D ，20223
MD k -∴==--， l MD ⊥，1
22
l MD k k ∴=-=， ∴直线l 的方程为：220x y -=，
M ∴到直线l 的距离2223
3236
(2)(2)d ⋅===+-， 2222432AB R d ∴=-=-=.
【点睛】
求直线与圆相交的弦长问题，核心是利用点到直线的距离公式，求圆心到直线的距离.
5．A
【解析】
【分析】
求得圆心到直线的距离，然后和圆的半径比较大小，从而判定两者位置关系，得到答案．
【详解】
由题意，可得圆心(0,1) 到直线的距离为2222d =
=<， 所以直线与圆相交．
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查了直线与圆的位置关系判定，其中解答中熟记直线与圆的位置关系的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．
6．B
【解析】
【分析】
由，可得两式相减可得公比的值，由可得首项的值，
结合可得，，展开后利用基本不等式可得时取得最小值，结合为整数，检验即可得结果.
【详解】
因为，所以.
两式相减化简可得，
公比，
由可得，
，
则，解得，
，
当且仅当时取等号，此时，解得，
取整数，均值不等式等号条件取不到，则，
验证可得，当时，取最小值为，故选B.
【点睛】
本题主要考查等比数列的定义与通项公式的应用以及利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.
7．D
【解析】
【分析】
先求出集合A，由此能求出∁U A．
【详解】
∵U ＝R ，集合A ＝{x|1﹣2x ＞0}＝{x|x 12＜
}， ∴∁U A ＝{x|x 12
≥
}． 故选：D ．
【点睛】 本题考查补集的求法，考查补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 8．D
【解析】
设公比为q ，由已知得()2284
1112a q a q a q ⋅=，即22q =，又因为等比数列{}n a 的公比为正数，所以q =，
故2
12a a q =
==，故选D. 9．C
【解析】
【分析】
先求出直线230x y -+=的斜率，再求出所求直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解.
【详解】
由题得直线230x y -+=的斜率为1122-
=-， 所以所求的直线的斜率为2-，
所以所求的直线方程为32(1),y x +=--即210x y ++=.
故选：C
【点睛】
本题主要考查互相垂直直线的性质，考查直线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
10．B
【解析】
【分析】
根据直线的斜率等于倾斜角的正切值求解即可.
【详解】 因为直线倾斜角的范围是,32ππα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭2,23ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦,又直线的斜率tan k α=,,32ππα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭2,23ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦.故
tan tan 3π
α≥=2tan tan
3πα≤=
故(,k ∈-∞)
+∞.
故选：B
【点睛】
本题主要考查了直线斜率与倾斜角的关系,属于基础题.
11．A
【解析】
【分析】
根据程序框图的结构及输出结果,逆向推断即可得判断框中的内容.
【详解】
由程序框图可知,1,1S k ==,则
2,2124k S ==⨯+=
3,24311k S ==⨯+=
4,211426k S ==⨯+=
所以此时输出S 的值,因而4k =时退出循环.因而判断框的内容为3?k >
故选:A
【点睛】
本题考查了根据程序框图的输出值,确定判断框的内容,属于基础题.
12．D
【解析】
【分析】
由平面向量数量积的定义得出tan B 、tan C 与tan A 的等量关系，再由()tan tan A B C =-+并代入tan B 、tan C 与tan A 的等量关系式求出tan A 的值，从而得出A 的大小.
【详解】
623AC AB AB BC BC CA ⋅=⋅=⋅，6cos 2cos 3cos bc A ca B ab C ∴=-=-，
cos 3cos a B b A ∴=-，由正弦定理边角互化思想得sin cos 3cos sin A B A B =-，
tan 3tan A B ∴=-，1tan tan 3B A ∴=-，同理得1tan tan 2
C A =-， ()11tan tan tan tan 32tan tan 111tan tan 1tan tan 32A A B C A B C B C A A --+∴=-+=-=--⎛⎫⎛⎫--⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
225tan 5tan 616tan 1tan 6A A A A ==--，0A π<<，则tan 0A ≠，解得tan 1A =±，
ABC ∆中至少有两个锐角，且1tan tan 3B A =-，1tan tan 2
C A =-，所以，tan 1A =-，
0Aπ
<<，因此，
3
4
A
π
=，故选D.
【点睛】
本题考查平面向量的数量积的计算，考查利用正弦定理、两角和的正切公式求角的值，解题的关键就是利用三角恒等变换思想将问题转化为正切来进行计算，属于中等题.
二、填空题：本题共4小题
13．1
【解析】
【分析】
根据题意可分析第一组、第二组、第三组、…中的数的个数及最后的数，从中寻找规律使问题得到解决．【详解】
根据题意:第一组有2＝1×2个数，最后一个数为4；
第二组有4＝2×2个数，最后一个数为12，即2×（2+4）；
第三组有6＝2×3个数，最后一个数为24，即2×（2+4+6）；
…
∴第n组有2n个数，其中最后一个数为2×（2+4+…+2n）＝4（1+2+3+…+n）＝2n（n+1）．
∴当n＝31时，第31组的最后一个数为2×31×1＝1984，
∴当n＝1时，第1组的最后一个数为2×1×33＝2112，∴2018位于第1组．
故答案为1．
【点睛】
本题考查观察与分析问题的能力，考查归纳法的应用，从有限项得到一般规律是解决问题的关键点，属于中档题．
14．3
【解析】
【分析】
根据空间中两点间的距离公式即可得到答案
【详解】
由空间中两点间的距离公式可得; 3
MN==;
故距离为3
【点睛】
本题考查空间中两点间的距离公式，属于基础题。

15．
2
π
【解析】
【分析】
根据题意得到直线MP 运动起来构成平面，可得到CN ⊥面1OB ，进而得到结果.
【详解】
取CD 的中点O 连接MO ，1OC ，
根据题意可得到直线MP 是一条动直线，当点P 变动时直线就构成了平面11MOC B ，
因为MO 均为线段的中点，故得到,MO BC =MO BC ，四边形1OB 为平行四边形，BC ⊥ 面1CD ，故得到,BC CN MO CN ⊥∴⊥，又
1CN OC ⊥ CN ∴⊥面1OB ， 进而得到CN MP ⊥ .故夹角为
2π. 故答案为2
π. 【点睛】
这个题目考查的是异面直线的夹角的求法；常见方法有：将异面直线平移到同一平面内，转化为平面角的问题；或者证明线面垂直进而得到面面垂直，这种方法适用于异面直线垂直的时候. 16．0015105或
【解析】
【分析】
根据三角形正弦定理得到角0045135C =或，再由三角形内角和关系得到结果.
【详解】
根据三角形的正弦定理得到2sin sin sin 2
a c C A C =⇒=， 故得到角0045135C =或，当角045C =时，有三角形内角和为0180，得到0105B =，
当角0135C =时，角015.B =
故答案为0015105.或
【点睛】
在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17． (1) *2()n n a n N =∈ ；(2) ()*9n n N <∈
【解析】
【分析】
（1）利用等差中项的性质列方程，并转化为1,a q 的形式，由此求得q 的值，进而求得数列{}n a 的通项公式.（2）先求得n b 的表达式，利用裂项求和法求得n T ，解不等式910n T <
求得n 的取值范围. 【详解】
解：（1）∵23,6,a a 成等差数列，得2312a a =+，
∵{}n a 等比数列，且12a =，∴21222q q =+ 解得2q
或3q =- 又0q >，∴2q ，∴1*222()n n n a n N -=⋅=∈
（2）∵2log 2n n b n ==，∴1111(1)1
n n b b n n n n +==-++ ∴111111(1)()()1223111
n n T n n n n =-+-++-=-=+++ 故由910n T <，得()
*9n n N <∈. 【点睛】
本小题主要考查等差中项的性质，考查等比数列基本量的计算，考查裂项求和法，考查不等式的解法，属于中档题.
18． (1)12n n a +=
；（2）22
n n s n =+. 【解析】
【分析】
（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题中条件列有关1a 和d 的方程组，求出1a 和d ，即可求出等差数列{}n a 的通项公式；
（2）将数列{}n b 的通项公式裂项，然后利用裂项求和法求出数列{}n b 的前n 项和n S 。

【详解】
（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，
由517832a a a =⎧⎨=⎩可得()111431627a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩，解得1112a d =⎧⎪⎨=⎪⎩
， ()1111122n n n a a n d -+∴=+-=+
=； （2）()()114442112n n n b a a n n n n +===-++++， 1244444442223341222n n n S b b b n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++
+=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭
⎝⎭。

【点睛】 本题考查等差数列通项公式、裂项求和法，在求解等差数列的通项公式时，一般利用方程思想求出等差数列的首项和公差求出通项公式，在求和时要根据数列通项的基本结构选择合适的求和方法对数列求和，属于常考题型，属于中等题。

19． (1)2,5,8,11,8,5,2;(2)13,626k =;(3)答案见详解
【解析】
【分析】
(1)求出前四项的公差，然后写出即可
(2)先算出121k k k c c c +-+++，然后()211212k k k k k S c c c c -+-=+++-
(3)依题意，可写出所有项数不超过2m 的对称数列，然后求出第一个数列的2015S
【详解】
(1)设数列{}n b 的公差为d ，则
4132311b b d d =+=+=，解得2d =
所以{}n b 各项为2,5,8,11,8,5,2
(2)因为121,,,k k k c c c +-⋯是首项为50,公差为-4的等差数列
所以2121(1)50(4)2522
k k k k k c c c k k k +--+++=+⨯-=-+ 所以21121121k k k k k S c c c c c c --+-=++++++
+ ()1212k k k k c c c c +-=+++-
()22225250410450k k k k =-+-=-+-
所以当13k =时21k S -取得最大值，为626。