南邮期末离散数学2015-2016-B
离散数学期末考试题附答案和含解析1
..一、填空2．A ，B ，C 表示三个会合，文图中暗影部分的会合表达式为 (B⊕C)-AA C4．公式(PR)(SR)P的主合取范式为(PSR) ( PS R)。
5．若解说I 的论域D 仅包括一个元素，则 xP(x) xP(x) 在I 下真值为 1 。
6．设A={1，2，3，4}，A 上关系图以下，则 R^2={(1,1),(1,3),(2,2),(2,4)}。
//备注： 0 1 0 01 0 1 0 0 1 0 1R 1 0 1 0 R 20 0 0 1 0 0 0 00 0 0 00 0 0 07．设A={a ，b ，c ，d}，其上偏序关系R 的哈斯图以下，则R={(a,b),(a,c),(a,d),(b,d),(c,d)}U{(a,a),(b,b)(c,c)(d,d)}。
备注：偏序知足自反性，反对称性，传达性8．图 的补图为 。
//补图:给定一个图G,又G 中全部结点和全部能使 G 成为完整图的增添边构成的图,成为补图. 自补图:一个图假如同构于它的补图,则是自补图 9．设A={a ，b ，c ，d}，A 上二元运算以下：* a b c da abcd b b c d a ccdabd d a b c那么代数系统<A ，*>的幺元是 a ，有逆元的元素为a,b,c,d，它们的逆元分别为a,b,c,d 。
//备注：二元运算为 x*y=max{x,y}，x,y A 。
10．以下图所示的偏序集中，是格的为 c。
//（注：什么是格？即随意两个元素有最小上界 和最大 下界的偏序）二、选择题 1、以下是真命题的有（ C 、D ）A ．{a} {{a}}；B ．{{}} { ,{}}；C ．{{}, }； D ．{} {{ }}。
2、以下会合中相等的有（ B 、C ）A ．{4，3} ；B ．{ ，3，4}；C ．{4， ，3，3}；D ．{3，4}。
;....3、设A={1，2，3}，则A 上的二元关系有（ C ）个。
离散数学期末考试试题与答案
离散数学试题(B卷答案1〕一、证明题〔10分〕1)(P∧(Q∧R))∨(Q∧R)∨(P∧R)R证明:左端(P∧Q∧R)∨((Q∨P)∧R)((P∧Q)∧R))∨((Q∨P)∧R)((P∨Q)∧R)∨((Q∨P)∧R)((P∨Q)∨(Q∨P))∧R((P∨Q)∨(P∨Q))∧RT∧R(置换)R2)x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)证明：x(A(x)B(x))x(A(x)∨B(x))xA(x)∨xB(x)xA(x)∨xB(x)xA(x)xB(x)二、求命题公式(P∨(Q∧R))(P∧Q∧R)的主析取X式和主合取X式〔10分〕。
证明：(P∨(Q∧R))(P∧Q∧R)(P∨(Q∧R))∨(P∧Q∧R))〔P∧(Q∨R)〕∨(P∧Q∧R)(P∧Q)∨(P∧R))∨(P∧Q∧R)(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R))∨(P∧Q∧R))∨(P∧Q∧R)m0∨m1∨m2∨m7M3∨M4∨M5∨M6三、推理证明题〔10分〕1〕C∨D，(C∨D)E，E(A∧B)，(A∧B)(R∨S)R∨S证明：(1)(C∨D)EP(2)E(A∧B)P(3)(C∨D)(A∧B)T(1)(2)，I(4)(A∧B)(R∨S)P(5)(C∨D)(R∨S)T(3)(4)，I(6)C∨DP(7)R∨ST(5)，I2)x(P(x)Q(y)∧R(x))，xP(x)Q(y)∧x(P(x)∧R(x))证明(1)xP(x)P(2)P(a)T(1)，ES(3)x(P(x)Q(y)∧R(x))P(4)P(a)Q(y)∧R(a)T(3)，US(5)Q(y)∧R(a)T(2)(4)，I(6)Q(y)T(5)，I(7)R(a)T(5)，I(8)P(a)∧R(a)T(2)(7)，I(9)x(P(x)∧R(x))T(8)，EG(10)Q(y)∧x(P(x)∧R(x))T(6)(9)，I四、某班有25名学生，其中14人会打篮球，12人会打排球，6人会打篮球和排球，5 人会打篮球和网球，还有2人会打这三种球。
南京邮电大学《离散数学》总复习-习题课
k）所有运动员都钦佩某些教练( A( x, y)); L( x) : x是运动员，A( x, y) : x钦佩y (x)(L( x) (y)(J ( y) A( x, y)))
l）有些大学生不钦佩运动员； S( x) : x是大学生 (x)(S( x) (y)(J ( y) A( x, y)))
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第三章 集合与关系
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第三章 集合与关系
P9（5 8）c）已知A B A C,是否必须B C ? 答：是。 若A B A C，对x B, (1)若x A，则x A B, x A B, x A C 由x A x A C，可知x A C， x C， B C (2)若x A，则x A B,又 A B A C x A C
111 0 01
∑ ⇔ 1,2,3
⇔ P∨Q ⇔ 0 00
6
第一章 命题逻辑
P39(4)求下列各式的主析取范式及主合取范式，
并指出下列各式哪些是重言式：
b)Q∧(P ∨Q)
解： Q∧(P ∨Q)
⇔ (Q∧P)∨(Q∧Q)
⇔ (Q∧P)∨F
⇔
P
∧Q
⇔
∑ 3
⇔ (P ∨Q)∧(P ∨Q)∧(P ∨Q)
(8)D E
(5)(7)T , I
(9)D E
(8)T , E
(10)(D E )
(9)T , E
(11)F (D E )
P
(12)F
(10)(11)T , I
(13)B F
(5)(9)T , I
(14)A (B F )
CP
9
第二章 谓词逻辑
P60(2) 找出以下十二个句子所对应的谓词表达式。
离散期末考试题及答案
离散期末考试题及答案离散数学期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 在集合论中，以下哪个符号表示属于关系？A. ∈B. ∉C. ⊆D. ⊂答案：A2. 有限集合A和B的并集，其元素个数最多是A和B元素个数之和，这个性质称为：A. 德摩根定律B. 幂集C. 并集原理D. 子集原理答案：C3. 命题逻辑中，以下哪个命题是真命题？A. (p ∧ ¬p) ∨ qB. (p ∨ ¬p) ∧ qC. (p ∨ q) ∧ ¬pD. (p ∧ q) ∨ ¬p答案：B4. 在图论中，一个无向图的边数至少是顶点数的多少倍才能保证图中至少存在一个环？A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B5. 以下哪个算法用于生成一个集合的所有子集？A. 欧拉回路B. 哈密顿回路C. 深度优先搜索D. 子集生成算法答案：D6. 在关系数据库中，以下哪个操作用于删除表中的行？A. SELECTB. INSERTC. UPDATED. DELETE答案：D7. 以下哪个是有限自动机的状态？A. 初始状态B. 终止状态C. 转移状态D. 所有选项答案：D8. 以下哪个是图论中的一个基本定理？A. 欧拉定理B. 哈密顿定理C. 狄拉克定理D. 所有选项答案：D9. 在命题逻辑中，以下哪个是德摩根定律的逆命题？A. ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬qB. ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬qC. ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∨ ¬qD. ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∧ ¬q答案：B10. 在集合论中，以下哪个操作表示集合的差集？A. ∩B. ∪C. -D. ×答案：C二、填空题（每空3分，共30分）11. 集合{1, 2, 3}的幂集包含________个元素。
离散数学考试题及答案
离散数学考试题及答案一、选择题1. 关于图论的基本概念，以下哪个说法是正确的？A. 无向图中的边无方向性，有向图中的边有方向性。
B. 有向图中的边无方向性，无向图中的边有方向性。
C. 无向图和有向图都是由顶点和边组成的。
D. 无向图和有向图都只由边组成。
答案：A2. “若顶点集合为V，边集合为E，那么图G可以表示为G(V, E)”是关于图的哪个基本概念的描述？A. 图的顶点B. 图的边C. 图的邻接D. 图的表示方法答案：D3. 以下哪个命题是正确的？A. 若集合A和B互相包含，则A和B相等。
B. 若集合A和B相交为空集，则A和B相等。
C. 若集合A和B相等，则A和B互相包含。
D. 若集合A和B相等，则A和B相交为空集。
答案：C二、填空题1. 有一个集合A = {1, 2, 3, 4}，则集合A的幂集的元素个数为__________。
答案：162. 设A = {a, b, c}，B = {c, d, e}，则集合A和B的笛卡尔积为__________。
答案：{(a, c), (a, d), (a, e), (b, c), (b, d), (b, e), (c, c), (c, d), (c, e)}3. 若p为真命题，q、r为假命题，则合取范式(p ∨ q ∨ r)的值为__________。
答案：真三、计算题1. 计算集合A = {1, 2, 3, 4}和集合B = {3, 4, 5, 6}的交集、并集和差集。
答案：交集：{3, 4}并集：{1, 2, 3, 4, 5, 6}差集：{1, 2}2. 计算下列命题的真值：(~p ∨ q) ∧ (p ∨ ~q)，其中p为真命题，q为假命题。
答案：真四、证明题证明：对于任意集合A和B，如果A和B互相包含，则A和B相等。
证明过程：假设A和B互相包含，即A包含于B且B包含于A。
设x为集合A中的任意元素，则x也必然存在于集合B中，即x属于B。
同理，对于集合B中的任意元素y，y也属于集合A。
南京邮电大学《离散数学》考试复习重点精讲
典型例题1-1
设P表示命题“天下雪”，Q表示命题“我将去镇上”， R表示命题“我有时间”。 以符号形式写出下列命题： a ) 如果天不下雪和我有时间，那么我将去镇上。 b) 我将去镇上，仅当我有时间。
解：(a ) (P R ) Q (b) (1)"仅当"表示必要条件，有：Q R (2)"当"表示充分条件，有：R Q (3)"当且仅当"表示充要条件，有：R Q （本题正确答案）
典型例题1-2
求公式(P∨Q)∧(Q∨R)的主析取范式
解：法一：(P∨Q)∧(Q∨R) =(P∧Q)∨(P∧R) ∨(Q∧Q ) ∨(Q∧R) =(P∧Q∧(R∨R)) ∨(P∧(Q∨Q)∧R)∨((P∨P) ∧Q∧R) =(P∧Q∧R) ∨(P∧Q∧R) ∨(P∧Q∧R) ∨(P∧Q∧R)
《离散数学》考试复习指南
南京邮电大学 计算机学院
《离散数学》课程组
考试题型
1、填空题（ 10空，20分） 2、判断题（10小题，20分）
3、简答题（5小题，40分）
4、证明题（2小题，20分）
第一章 命题逻辑
命题的概念、命题的表示法 五个基本联结词的含义 命题公式与命题翻译。
命题公式的真值表（万能的真值表！）
第二章 谓词逻辑
谓词的概念与表示 量词的含义 谓词公式与翻译
判断谓词公式的真值
谓词演算的等价式与蕴含式证明
谓词演算的推理
典型例题2-1
他就不喜欢乘汽车；每一个人或者喜欢乘汽车或者喜欢骑 自行车；有的人不爱骑自行车。因而有的人不爱步行。 （请假设 P(x): x喜欢步行, Q(x): x喜欢乘汽车，R(x): x
大学《离散数学》期末考试试卷及答案(1)
大学《离散数学》期末考试试卷及答案(1)一、选择题1. 离散数学的主要研究对象是（）。
A. 连续的数学结构B. 有限的数学结构C. 数学的综合应用D. 数学的哲学思考2. 命题逻辑是离散数学的一个重要组成部分，它主要研究（）。
A. 命题之间的真假关系B. 变量之间的关系C. 函数之间的关系D. 集合之间的关系3. 集合的基本运算包括（）。
A. 并、交、差、补B. 加、减、乘、除C. 包含、相等、不等、自反D. 大于、小于、等于、不等于二、填空题1. 若集合A={m|2m-1>3}，则A中的元素为______。
2. 有一个集合A={1，2，3}，则集合A的幂集为______。
3. 若命题p为真，命题q为假，则复合命题“p∧q”的真值为______。
三、解答题1. 请写出离散数学中常用的数学符号及其含义。
2. 请解释命题逻辑中的充分必要条件及其符号表示，并给出一个例子。
3. 请定义集合的笛卡尔积，并给出两个集合进行笛卡尔积运算的例子。
四、问答题1. 离散数学在计算机科学中有着重要的应用，请列举三个与计算机科学相关的离散数学应用领域并简要介绍。
2. 请简要解释归纳法在离散数学中的作用，并给出一个使用归纳法证明的例子。
3. 什么是有向图？请给出一个有向图的例子，并解释该图中的关系。
参考答案：一、选择题1. B2. A3. A二、填空题1. A={m|2m-1>3}2. {{}, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}3. 假三、解答题1. 常用数学符号及含义：- ∪：并，表示集合的合并操作。
- ∩：交，表示集合的交集操作。
- ∖：差，表示减去一个集合中的元素。
- ⊆：包含，表示一个集合包含于另一个集合。
- =：相等，表示两个集合具有相同的元素。
2. 充分必要条件是指一个命题的成立与另一个命题的成立互为必要条件，若A是B的充分必要条件，那么当A成立时B一定成立，且当A不成立时B也一定不成立。
离散数学期末复习试题及答案（一）
离散数学期末复习试题及答案（一）离散数学习题参考答案第一章集合１．分别用穷举法，描述法写出下列集合（１）偶数集合（２）36的正因子集合（３）自然数中3的倍数（４）大于１的正奇数(1)E={?，-6，-4，-2，0，2，4，6，?}={2 i | i∈I }(2) D= { 1, 2, 3, 4, 6, } = {x>o | x|36 }(3) N3= { 3, 6, 9, ```} = { 3n | n∈N }(4) A d= {3, 5, 7, 9, ```} = { 2n+1 | n∈N }２．确定下列结论正确与否（１）φ∈φ ×（２）φ∈｛φ｝√（３）φ?φ √（４）φ?｛φ｝√（５）φ∈｛ａ｝×（６）φ?｛ａ｝√（７）｛ａ，ｂ｝∈｛ａ，ｂ，ｃ，｛ａ，ｂ，ｃ｝｝×（８）｛ａ，ｂ｝?｛ａ，ｂ，ｃ，｛ａ，ｂ，ｃ｝｝√（９）｛ａ，ｂ｝∈｛ａ，ｂ，｛｛ａ，ｂ｝｝｝×（１０）｛ａ，ｂ｝?｛ａ，ｂ，｛｛ａ，ｂ｝｝｝√３．写出下列集合的幂集（１）｛｛ａ｝｝{φ, {{ a }}}( 2 ) φ{φ}（３）｛φ，｛φ｝｝{φ, {φ}, {{φ}}, {φ,{φ}} }（４）｛φ，ａ，｛ａ，ｂ｝｝{φ, {a}, {{a,b }}, {φ}, {φ, a }, {φ, {a,b }},{a, {a b }}, {φ,a,{ a, b }} }（５）Ｐ（Ｐ（φ））{φ, {φ}, {{φ}}, {φ,{φ}} }４．对任意集合Ａ，Ｂ，Ｃ，确定下列结论的正确与否（１）若Ａ∈Ｂ，且Ｂ?Ｃ，则Ａ∈Ｃ√（２）若Ａ∈Ｂ，且Ｂ?Ｃ，则Ａ?Ｃ×（３）若Ａ?Ｂ，且Ｂ∈Ｃ，则Ａ∈Ｃ×（４）若Ａ?Ｂ，且Ｂ∈Ｃ，则Ａ?Ｃ×５．对任意集合Ａ，Ｂ，Ｃ，证明右分配差差左=--=--)C A ()B A ()C B (A M .D )C B (A )C B (A )C A ()B A ()C B (A )1( 右差分配差左右差的结论差左=--=-------=-)C A ()B A ()C A ()B A ()C B (A M .D )C B (A )2)C A ()B A ()C A ()B A ()1()C B (A )1)C A ()B A ()C B (A )2( 右交换结合幂等差左=--=-)C A ()B A (,)C B ()A A ()C B (A M .D )C B (A )C A ()B A ()C B (A )3( ))B )B (A ())B B ()B A ((,)B )B A (()B )B A ((B )B A (BA B )B A )(4( --⊕=⊕+结合分配对称差差左右零一互补==φ-φ-)B A ()B A ()A ()U )B A (( )C B (A )C B (A M .D )C B (A C )B A ()C B (A C )B A )(5( --=--差结合差左右差结合交换结合差左=----=--B )C A (B )C A ()B C (A )C B (A C )B A (B)C A (C )B A )(6( 左交换零一互补分配差右=------------=--C )B A ()5()C B (A )B C (A )U )B C ((A ))C C ()B C ((A ))C B (C (A ))C B (C (A )5()C B ()C A (C )B A )(7(６．问在什么条件下，集合Ａ，Ｂ，Ｃ满足下列等式时等式成立须左若要右右左A C ),C B (A C ,)C A ()B A (C)B A ()C B (A )1(?∴==时等式成立是显然的右左φ=∴?=-??=-B A ,B A ,B A B A A , AB A )2(时等式成立代入原式得φ==∴φ=φ-φ=?==-B A ,A ,B ,B B ,B B A BB A )3(时等式成立只能B A ,A B ,A B ,B A ,B A ,A B B A AB B A )4(=∴?φ=-?φ=-φ==-=-矛盾当矛盾当若A B A b ,A b ;A B A b ,A b ,B b ,B ,B AB A )5(=⊕∈?=⊕?∈∈?φ≠φ==⊕}时等式成立是显然的左右B A BA AB ,B A B BA ,B A A ,B A B A ,BA B A )6(=∴==时等式成立左φ=∴=-=====--C B A A )C B (A )C B (A )C B (A )C A ()B A (A)C A ()B A )(7(时等式成立左C A ,B A ),C B (A )C B (A )C B (A )C B (A )C A ()B A ()C A ()B A )(8(??∴?φ=-====φ=--时等式成立左)C B (A )C B (A )C B (A )C B (A )C A ()B A ()C A ()B A )(9(?∴φ=-====φ=--时等式成立知由C A B A ,C A B A ),C A ()B A (,)6()C A ()B A ()C A ()B A ())C A ()B A (())C A ()B A (()C A ()B A )(10(=∴-=--=---=--φ=-----φ=-⊕-时等式成立B A B )B A (U )B A ()A A ()B A ()A B (A B)A B (A )11(?∴=====-７．设Ａ＝｛ａ，ｂ，｛ａ，ｂ｝，｝，求下列各式（１）φ∩｛φ｝=φ（２）｛φ｝∩｛φ｝={φ}（３）｛φ，｛φ｝｝－φ={φ,{φ}}（４）｛φ，｛φ｝｝－｛φ｝= {{φ}}（５）｛φ，｛φ｝｝－｛｛φ｝｝={φ}（６）Ａ－｛ａ，ｂ｝={{a,b}, φ}（７）Ａ－φ = A（８）Ａ－｛φ｝={a,b,{a,b}}（９）φ－Ａ=φ（１０）｛φ｝－Ａ=φ８．在下列条件下，一定有Ｂ＝Ｃ吗？（１） C A B A =否，例：A={1，2，3}，B={4}，C={3,4},C B ,}4,3,2,1{C A B A ≠==而。
离散数学期末考试题及答案
离散数学期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 在集合论中，表示两个集合A和B的并集的符号是：A. ∩B. ∪C. ⊂D. ⊆2. 以下哪个命题逻辑表达式是真命题，当P为真，Q为假时？A. ¬PB. P ∧ QC. P ∨ QD. P → Q3. 如果函数f: A → B是一个单射，那么它不能是：A. 满射B. 双射C. 恒等函数D. 逆函数4. 在图论中，一个图G是连通的，当且仅当：A. G是无向图B. G是简单图C. G是完全图D. 对于任意两个顶点，都存在一条路径5. 以下哪个不是组合数学中的计数原理？A. 加法原理B. 乘法原理C. 排列D. 组合二、简答题（每题10分，共30分）6. 解释什么是二元关系，并给出一个例子。
7. 描述什么是有向图和无向图的区别。
8. 什么是等价关系，它有哪些性质？三、计算题（每题15分，共30分）9. 给定集合A = {1, 2, 3, 4}，B = {a, b, c}，定义函数f: A → B，其中f(1) = a, f(2) = b, f(3) = c, f(4) = a。
判断f是否是单射、满射或双射，并给出理由。
10. 计算以下命题逻辑表达式的真值表：(P ∧ Q) → (¬P ∨ R)，其中P、Q、R是命题变量。
四、证明题（每题20分，共20分）11. 证明：如果一个图G是连通的，那么它的任意子图也是连通的。
答案一、选择题1. B2. C3. A4. D5. D二、简答题6. 二元关系是定义在两个集合上的一个关系，它将第一个集合中的每个元素与第二个集合中的元素相关联。
例如，如果A是人名的集合，B是年龄的集合，关系R可以是“比...年长”，那么(Alice, 30) ∈ R表示Alice比30岁年长。
7. 有向图由顶点和有向边组成，每条边都有一个方向，表示从一个顶点指向另一个顶点。
无向图由顶点和无向边组成，边没有方向。
离散数学期末考试题及答案
离散数学期末考试题及答案1. 题目描述：以下是离散数学期末考试的题目。
请仔细阅读每个问题，并在题后给出相应的答案。
请注意，答案应尽量详细和准确，以确保得分。
1.1 命题与谓词逻辑（20分）1.1.1 什么是命题逻辑？它可以用于解决哪些问题？1.1.2 简要解释谓词逻辑的概念和其在离散数学中的应用。
1.2 集合和图论（30分）1.2.1 定义两个集合的并、交和差的概念。
1.2.2 解释有向图和无向图的区别，并给出一个实际应用中的例子。
1.3 关系和函数（40分）1.3.1 什么是关系？请给出一个实际应用中关系的例子。
1.3.2 定义函数的概念，并解释函数与关系的区别。
1.4 计数原理（20分）1.4.1 简要阐述乘法原理和加法原理的概念，并给出一个应用实例。
1.4.2 什么是排列和组合？请说明它们的应用场景，并给出一个例子。
2. 答案解析：2.1 命题与谓词逻辑1.1.1 命题逻辑是一种数学分支，用于研究命题之间的关系和推理规则。
其应用范围广泛，包括数学、计算机科学、哲学等领域。
1.1.2 谓词逻辑是一种扩展了命题逻辑的逻辑体系，它考虑了命题中的变量、谓词和量词等元素。
在离散数学中，谓词逻辑常用于描述集合、函数和关系等概念。
2.2 集合和图论1.2.1 集合的并（∪）是指将两个或多个集合中的所有元素取出形成一个新的集合；交（∩）指仅包含两个或多个集合中共有的元素；差（-）是指从一个集合中去除另一个集合中的元素。
1.2.2 有向图中，边是具有方向性的；而在无向图中，边是没有方向性的。
例如，在社交网络中，有向图可以表示人与人之间的关注关系，而无向图可以表示人与人之间的好友关系。
2.3 关系和函数1.3.1 关系是集合之间的一种特殊的子集，它描述了元素之间的某种联系。
例如，家族中的血亲关系可以看作是一个关系。
关系可以用图、矩阵等方式表示。
1.3.2 函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
《离散数学》题库及答案解析
《离散数学》题库与答案一、选择或填空（数理逻辑部分）1、下列哪些公式为永真蕴含式？( A )(1)⌝Q=>Q→P (2)⌝Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)⌝P∧(P∨Q)=>⌝P答：在第三章里面有公式（1）是附加律，（4）可以由第二章的蕴含等值式求出（注意与吸收律区别）2、下列公式中哪些是永真式？( )(1)(┐P∧Q)→(Q→⌝R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q)答：（2），（3），（4）可用蕴含等值式证明3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( )(1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q(4)P∧(P→Q)=>Q (5) ⌝(P→Q)=>P (6) ⌝P∧(P∨Q)=>⌝P答：（2）是第三章的化简律，（3）类似附加律，（4）是假言推理，（3），（5），（6）都可以用蕴含等值式来证明出是永真蕴含式4、公式∀x((A(x)→B(y，x))∧∃z C(y，z))→D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。
答：x,y, x,z（考察定义在公式∀x A和∃x A中，称x为指导变元，A为量词的辖域。
在∀x A和∃x A的辖域中，x的所有出现都称为约束出现，即称x为约束变元，A中不是约束出现的其他变项则称为自由变元。
于是A(x)、B(y，x)和∃z C(y，z)中y为自由变元，x和z为约束变元，在D(x)中x为自由变元）5、判断下列语句是不是命题。
若是，给出命题的真值。
( )(1)北京是中华人民共和国的首都。
(2) 陕西师大是一座工厂。
(3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。
(5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！答：（1）是，T （2）是，F （3）不是（4）是，T （5）不是（6）不是（命题必须满足是陈述句，不能是疑问句或者祈使句。
）6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。
南邮概率练习册期末试卷及答案
3. 已知随机变量 T ~ t (n) ，则 T 2 ~ F (1, n) 。
4. 设总体 X 服从 N ( , ) ， , 未知，则样本容量为 n的总体方差 2 的置信水平为 1 的置信区间为
2
2
( n 1) S 2 ( n 1) S 2 2 ( n 1) , 2 ( n 1) 1 2 2
1
3
N ( , 2 )，其中 二、(10分)已知某厂生产的灯泡寿命服从
和 未知，现随机抽取16只进行测试，测得它们的平均 x 寿命为： 1800 小时，样本标准差为：S 400。
2
2 2 t0.01 (15) 2.60, t0.005 (15) 2.95 0.05 (15) 24.996 0.025 (15) 27.488
2
X (t ) E[ X (t )] E a sin(0t ) 2 a sin(0t )d 0 0
2
1 T X ( t ) lim a sin(0 t ) dt 0 T 2T T 1 T 2 a2 X ( t ) X ( t ) lim a sin(0 t ) sin(0 t 0 ) dt cos 0 T 2T T 2
1. 在显著水平 0.01下，能否认为这批灯泡的平均 寿命为2000小时？ 解：由题意提出假设： H 0 : 2000, H1 : 2000, 检验统计量： 拒绝域： 样本计算值为
t X 2000 S n
| t | t 0.005 (15) 2.95
| t |
1800 2000 400 16
P{ X 2 2, X 3 2 | X 0 1} P12 (2) p22 0.25 0 0
离散数学期末考试试题及答案详解
离散数学期末复习例题讲解一、考核说明考核对象：本课程考核说明适用于国家开放大学开放教育本科电气信息类计算机科学与技术专业的学生．考核依据：本考核说明是以本课程的教学大纲（2015年3月修改）和指定的参考教材为依据制定的．本课程指定的参考教材是由胡俊、顾静相编写，国家开放大学出版社出版的《离散数学（本科）》第2版．考核方式：本课程的考核实行形成性考核和终结性考核相结合的方式．其中终结性考核采用半开卷、笔试方式，试卷满分100分．半开卷考试允许考生携带指定的一张专用A4纸（统一印制），考生可以将自己对全课程学习内容的总结归纳写在这张A4纸上带入考场，作为答卷时参考．考试时间：90分钟．试题类型及结构：单项选择题的分数占15％，填空题的分数占15％，公式翻译题的分数占12％，判断说明题的分数占14％，计算题的分数占36％；证明题的分数占8％．二、例题讲解（一）集合论1．单项选择题（1）若集合A＝{2，a，{ a }，4}，则下列表述正确的是( )．A．{a，{ a }}∈A B．{ a }⊆AC．{2}∈A D．∅∈A答：B（2）若集合A={a，b，{1，2 }}，B={1，2}，则（）．A．B⊂ A，且B∈A B．B⊄ A，且B∉AC．B ⊂ A，但B∉A D．B∈ A，但B⊄A答：D（3）设集合A = {1, a }，则P(A) = ( )．A．{{1}, {a}} B．{∅,{1}, {a}}C．{∅,{1}, {a}, {1, a }} D．{{1}, {a}, {1, a }}答：C（4）设集合A = {1，2，3，4，5，6 }上的二元关系R ={<a , b>⎢a , b∈A , 且a +b = 8}，则R具有的性质为（）．A．对称的B．自反的C．对称和传递的D．反自反和传递的答：A（5）设集合A={1 , 2 , 3 , 4}上的二元关系R = {<1 , 1>，<2 , 2>，<2 , 3>，<4 , 4>}，S = {<1 , 1>，<2 , 2>，<2 , 3>，<3 , 2>，<4 , 4>}，则S 是R 的（ ）闭包．A ．自反B ．传递C ．对称D ．以上都不对 答：C（6）设集合A = {1 , 2 , 3 , 4 , 5}上的偏序关系的哈斯图如图1所示,若A 的子集B = {3 , 4 , 5}， 则元素3为B 的（ ）．A ．最小上界B ．最大下界C ．下界D ．以上答案都不对 图1 答：A2．填空题（1）设集合A 有n 个元素，那么A 的幂集合P (A )的元素个数为 ． 答：2n（2）设集合A ={0,1,2},B ={0,2,4},R 是A 到B 的二元关系，},,{B A y x B y A x y x R ⋂∈∈∈><=且且则R 的集合表示式为 ． 答：{<0,0>, <0,2>, <2,0>, <2,2>}（3）设集合A =｛a ,b ,c ,d ｝，A 上的二元关系R ={<a , b >, <b , a >, <b , c >, <c , d >}，则R 的自反闭包是 ．答：r (R )= {<a , b >, <b , a >, <b , c >, <c , d >}∪I A（4）设A ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，R 是A 上的整除关系，B ={2, 4, 6}，则集合B 的最大元、最小元、上界、下界依次为 ． 答：无、2、无、2（5）设集合A ={1, 2},B ={a , b }，那么集合A 到B 的不同函数的个数有 ． 答：4因为：f ：{<1, a >, <2, a >}, {<1, b >, <2, b >}{<1, a >, <2, b >}, {<1, b >, <2, a >}3．如果R 1和R 2是A 上的自反关系，判断结论：“R 1-1、R 1∪R 2、R 1⋂R 2是自反的”是否成立？并说明理由． 答：结论成立．因为R 1和R 2是A 上的自反关系，即I A ⊆R 1，I A ⊆R 2． 由逆关系定义和I A ⊆R 1，得I A ⊆ R 1-1；由I A ⊆R 1，I A ⊆R 2，得I A ⊆ R 1∪R 2，I A ⊆ R 1⋂R 2．所以，R 1-1、R 1∪R 2、R 1⋂R 2是自反的．注： R 1-R 2是自反的吗？4．若偏序集<A ，R >的哈斯图如图2所示，则集合 A 的最大元为a ；最小元不存在．答：错a 是集合A 的极大元，最大元不存在． 图2 5．设集合A ＝{a ,b , { a , b }}，B ={{a }, {b }, b }，求a f5（1）B ⋂A ； （2）A －B ； （3）A ⨯B ． 解：（1）B ⋂A ={a , b , { a , b }}⋂{{a }, {b }, b }={b } （2）A －B = {a , b , { a , b }}－{{a }, {b }, b }={a , { a , b }} （3）A ⨯B ＝{a , b , { a , b }}⨯{{a }, {b }, b }＝{<a , {a }>, <a , {b }>, <a , b >，<b , {a }>, <b , {b }>, <b , b >, <{ a , b }, {a }>, <{ a , b }, {b }>, <{ a , b }, b >}6．设A ={0，1，2，3，4}，R ={<x ，y >|x ∈A ，y ∈A 且x +y <0}，S ={<x ，y >|x ∈A ，y ∈A 且x +y ≤3}，试求R ，S ，R ︒S ，R -1，S -1，r (R )，s (R )，t (R )，r (S )，s(S )，t (S )．解：R =∅，S ={<0,0>,<0,1>,<0,2>,<0,3>,<1,0>,<1,1>,<1,2>,<2,0>,<2,1>,<3,0>} R ︒S =∅，R -1=∅，S -1= S ；r (R )= I A ，s (R )= ∅，t (R )= ∅；r (S )=S ∪{<2,2>，<3,3>,<4,4>}，s (S )= S ；t (S )= S ∪{<1,3>，<2,2>,<2,3>,<3,1>，<3,2>,<3,3>} 7．试证明集合等式：A ⋃ (B ⋂C )=(A ⋃B ) ⋂ (A ⋃C )．证：若x ∈A ⋃ (B ⋂C )，则x ∈A 或x ∈B ⋂C ， 即 x ∈A 或x ∈B 且 x ∈A 或x ∈C ． 即x ∈A ⋃B 且 x ∈A ⋃C ， 即 x ∈T =(A ⋃B ) ⋂ (A ⋃C )，所以A ⋃ (B ⋂C )⊆ (A ⋃B ) ⋂ (A ⋃C )．反之，若x ∈(A ⋃B ) ⋂ (A ⋃C )，则x ∈A ⋃B 且 x ∈A ⋃C ， 即x ∈A 或x ∈B 且 x ∈A 或x ∈C ，即x ∈A 或x ∈B ⋂C ， 即x ∈A ⋃ (B ⋂C )，所以(A ⋃B ) ⋂ (A ⋃C )⊆ A ⋃ (B ⋂C )． 因此．A ⋃ (B ⋂C )=(A ⋃B ) ⋂ (A ⋃C )． 8．设R 是集合A 上的对称关系和传递关系，试证明：若对∀a ∈A ，∃b ∈A ，使得<a , b >∈R ，则R 是等价关系．证明：已知R 是对称关系和传递关系，只需证明R 是自反关系． ∀a ∈A ，∃b ∈A ，使得<a , b >∈R ，因为R 是对称的，故<b , a >∈R ； 又R 是传递的，即当<a , b >∈R ，<b , a >∈R ⇒<a , a >∈R ；由元素a 的任意性，知R 是自反的． 所以，R 是等价关系．（二）图论1．单项选择题（1）设图G 的邻接矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0101010010000011100000100则G 的边数为( )．A ．5B ．6C ．3D ．4 答：D（2）设图G ＝<V , E >，则下列结论成立的是 ( )．A ．deg(V )=2∣E ∣B ．deg(V )=∣E ∣C ．E v Vv 2)deg(=∑∈ D ．E v Vv =∑∈)deg(答：C（3）设有向图（a ）、（b ）、（c ）与（d ）如图3所示，则下列结论成立的是 ( )．图3A ．（a ）是强连通的B ．（b ）是强连通的C ．（c ）是强连通的D ．（d ）是强连通的答：A（4）给定无向图G 如图4所示，下面给出的结点集子集中，不是点割集的为（ ）． A ．{b , d } B ．{d }C ．{a , c }D ．{g , e } 答：A 图4（5）图G 如图5所示，以下说法正确的是( )． A ．{(a , d )}是割边B ．{(a , d )}是边割集C ．{(d , e )}是边割集D ．{(a, d ) ,(a, c )}是边割集答：C 图5 （6）设G 是连通平面图，有v 个结点，e 条边，r 个面，则r = ( )．A ．e －v ＋2B ．v ＋e －2C ．e －v －2D ．e ＋v ＋2 答：A2．填空题（1）已知图G 中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，则G 的边数是 ．答：15 （1⨯1+2⨯2+3⨯3+4⨯4）/2（2）设无向图G ＝<V ,E >是汉密尔顿图，则V 的任意非空子集V 1，都有 ≤∣V 1∣． 答：W （G - V 1）（3）设无向图G 为欧拉图，则图G 连通且 ． 答：每个结点的度数为偶数（4）设图G =<V ,E >，其中|V |=n ,|E |=m ．则图G 是树当且仅当G 是连通的，且m = ． 答：n -1（5）连通无向图G 有6个顶点9条边，从G 中删去 条边才有可能得到G 的一棵生成树T ． 答：4οο οο (a )οο οο (b ) οοοο (c )οοοο(d )a gb d fc e οο ο οο οο ο a ο οο ο ο b c f d e（6）给定一个序列集合{1，01，10，11，001，000}，若去掉其中的元素 ，则该序列集合构成前缀码．答：1 3．给定图G （如图6所示）: （1）试判断它们是否为欧拉图？并说明理由． （2）若是欧拉图，请写出一条欧拉回路．答：（1）图G 是欧拉图，因为图G 是连通图且每个结点的度数是偶数．（2）欧拉回路为： v 1 e 1 v 2 e 2 v 3 e 3 v 4 e 5v 5 e 7 v 2 e 8v 6 e 6 v 4 e 4v 1 注意：回路是不惟一4．试判断“设G 是一个有5个结点、10条边的连通图，则G 为平面图”是否正确，为什么？答：错误．因为它不满足定理4.3.3，即“设G 是一个有v 个结点e 条边的连通简单平面图，若v ≥3，则e ≤3v -6．”5．设图G =<V ，E >，其中V ={a 1, a 2, a 3, a 4, a 5},E ={(a 1, a 2)，(a 2, a 4)，(a 3, a 1)，(a 4, a 5)，(a 5, a 2)}（1）试给出G 的图形表示； （2）求G 的邻接矩阵； （3）求出每个结点的度数； （4）画出其补图的图形． 解：（1）图G 是无向图，图形如图7所示：图7 （2）图G 的邻接矩阵如下：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0101010010000011100100110)(G A（3）结点a 1, a 2, a 3, a 4, a 5的度数分别为：2，3，1，2，2． （4）图G 的补图的如图8所示：图86．图G =<V , E >，其中V ={a , b , c , d , e , f }，E ={ (a , b ), (a , c ), (a , e ), (b , d ), (b , e ), (c , e ), (d , e ),ο οο ο οa 1a 2 a 3a 4a 5v 1 v 2 v 3v 4 v 5v 6 e 1 e 2e 3 e 4 e 5 e 6e 7 e 8 οο ο ο ο ο图6 ο ο ο ο οa 1a 2 a 3a 4 a 5οο ο ο οa 1 a 2 a 3a 4a 5(d , f ), (e , f ) }，对应边的权值依次为5，2，1，2，6，1，9，3及8．（1）画出G 的图形； （2）写出G 的邻接矩阵；（3）求出G 权最小的生成树及其权值． 解：（1）G 的图形如图9所示：（2）邻接矩阵：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡011000101111110010010001011001010110 图9（3）粗线表示最小的生成树（见图10）：最小的生成树的权为：1+1+5+2+3=12． 图107．设有一组权为2,3,6,9,13,15,试 （1）画出相应的最优二叉树； （2）计算它们的权值．解：最优二叉树如图11所示：图11 权值： 2⨯4+3⨯4+6⨯3+9⨯2+13⨯2+15⨯2 =8+12+18+18+26+30 =1128．设G 是一个n 阶无向简单图，n 是大于等于2的奇数．证明图G 与它的补图G 中的奇数度顶点个数相等．证明：设,G V E =<>，,G V E '=<>．则E '是由n 阶无向完全图n K 的边删去E 所得到的．所以对于任意结点u V ∈，u 在G 和G 中的度数之和等于u 在n K 中的度数．由于n 是大于等于2的奇数，从而n K 的每个结点都是偶数度的（ 1 (2)n -≥度），于是若u V ∈在G 中是奇数度结点，则它在G 中也是奇数度结点．故图G 与它的补图G 中的奇数度结点个数相等．οο ο ο οc a b e dοf1 5 22 61 9 38 ο ο ο ο οc a b ed οf 15 22 61 938 οοο οο ο ο ο ο32 9 135 6 1115 20 ο ο 48289．设连通图G 有k 个奇数度的结点，证明在图G 中至少要添加2k条边才能使其成为欧拉图．证明：由定理3.1.2，任何图中度数为奇数的结点必是偶数，可知k 是偶数． 又根据定理4.1.1的推论，图G 是欧拉图的充分必要条件是图G 不含奇数度结点．因此只要在每对奇数度结点之间各加一条边，使图G 的所有结点的度数变为偶数，成为欧拉图．故最少要加2k条边到图G 才能使其成为欧拉图．（三）数理逻辑1．单项选择题（1） 下列命题公式是等价公式的为( )．A ．⌝P ∧⌝Q ⇔P ∨QB ．A →(⌝B →A ) ⇔⌝A →(A →B )C ．Q →(P ∨Q ⇔⌝Q ∧(P ∨Q )D ．⌝A ∨(A ∧B ) ⇔B 答：B 因为A →(⌝B →A ) ⇔ A →(B ∨A ) ⇔⌝A ∨(B ∨A ) ⇔ A ∨ (⌝A ∨B ) ⇔ A ∨ (A →B )⇔⌝A →(A →B )（2）下列公式 ( )为重言式．A ．⌝(⌝P ∨(P ∧Q )) ↔QB ．(B →(A ∨B )) ↔(⌝A ∧(A ∨B ))C ．A ∧⌝B ↔A ∨BD ．(P →(⌝Q →P ))↔(⌝P →(P →Q )) 答：D 因为(P →(⌝Q →P ))⇔⌝P ∨(Q ∨P )) ⇔1 (⌝P →(P →Q )) ⇔P ∨(⌝P ∨Q )) ⇔1 （3）命题公式⌝ (P →Q )的主析取范式是( )． A ．Q P ⌝∧ B Q P ∧⌝ C ．Q P ∨⌝ D ．Q P ⌝∨答：A 因为⌝ (P →Q ) ⇔⌝ (⌝P ∨Q ) ⇔P ∧⌝Q（4）设C (x ): x 是国家级运动员，G (x ): x 是健壮的，则命题“没有一个国家级运动员不是健壮的”可符号化为 ( )A ．))()((x G x C x ⌝∧⌝∀B ．))()((x G xC x ⌝→⌝∀C ．))()((x G x C x ⌝→⌝∃D ．))()((x G x C x ⌝∧⌝∃答：D（5）表达式))(),(())(),((z zQ y x R y z Q y x P x ∀→∃∧∨∀中x ∀的辖域是( )． A ．P (x , y ) B ．P (x , y )∨Q (z ) C ．R (x , y ) D ．P (x , y )∧R (x , y ) 答：B2．填空题（1）命题公式()P Q P →∨的真值是 ． 答：1 因为()P Q P →∨⇔⌝P ∨(Q ∨ P ) ⇔1（2）含有三个命题变项P ，Q ，R 的命题公式P ∧Q 的主析取范式是 ． 答：(P ∧Q ∧⌝R )∨( P ∧Q ∧R )因为P ∧Q ⇔ P ∧Q ∧(⌝R ∨R ) ⇔(P ∧Q ∧⌝R )∨( P ∧Q ∧R )（3）设个体域D ＝{1,2},那么谓词公式)()(y yB x xA ∀∨∃消去量词后的等值式为 ． 答：(A (1) ∨A (2))∨(B (1) ∧B (2))（5）谓词命题公式(∀x )(P (x )→Q (x )∨R (x ，y ))中的约束变元为 ． 答：x3．请将语句翻译成命题公式： （1）今天不是天晴．（2）你去听课，他也去听课．（3）如果天下雪，则我明天就不去市里． （4）尽管他参加了考试，但他没有通过考试．解：（1）设P ：今天是天晴； 命题公式为： ⌝ P ．（2）设P ：你去听课，Q ：他去听课：命题公式为：P ∧Q ．（3）设P ：天下雪，Q ：我明天去市里； 命题公式为：P →⌝Q ．（4）设P ：他参加了考试，Q ：他没有通过考试； 命题公式为：P ∧⌝ Q ．4．请将语句翻译成谓词公式： （1）所有人都不去上课． （2）有人不去工作． 解：（1）设P (x )：x 是人，Q (x )：x 去上课．谓词公式为： (∀x )(P (x )→ ┐Q (x ))．（2）设P (x )：x 是人，Q (x )：x 去工作，谓词公式为： (∃x )(P (x) ∧┐Q (x ))． 5．判断下列各题正误，并说明理由．（1）公式((Q ∧⌝R )→P )∧(⌝P →Q ∨R )↔P ∨R 为永真式．（2）求命题公式(P ∧Q )∧(⌝P ∨⌝R )的真值表，并判断它的类型. 解：（1）该公式是永真式．因为 R P R Q P P R Q ∨↔∨→⌝∧→⌝∧)())((R P R Q P P R Q ∨↔∨∨∧∨∨⌝⇔)()( R P Q Q R P ∨↔∧⌝∨∨⇔)( 1⇔（2）6．判断下列各题正误，并说明理由．（1）公式))(),(()(x xP y x yG x xP ∀→∃→∀是逻辑有效式(永真式)．（2）下面的推理是否正确，请给予说明． ① P （a ） P ② （∀x ）P （x ） US ① 解：（1）该公式是永真式．因为 ))(),(()(x xP y x yG x xP ∀→∃→∀⇔))(),(()(x xP y x yG x xP ∀∨⌝∃∨⌝∀1)(),()(⇔∀∨⌝∃∨⌝∀⇔x xP y x yG x xP（2）错误．② 应为（∀x ）P （x ） UG ① 全称指定规则与全称推广规则不能混淆．7．求公式R Q P →∧)(的析取、合取、主合取\主合取范式． 解：R Q P R Q P ∨∧⌝⇔→∧)()(R Q P ∨⌝∨⌝⇔)(R Q P ∨⌝∨⌝⇔ （析取、合取、主合取范式）⇔(┐P ∧(┐Q ∨Q )∧(┐R ∨R ))∨((┐P ∨P )∧┐Q ∧(┐R ∨R )) ∨((┐P ∨P )∧(┐Q ∨Q )∧R )⇔(┐P ∧┐Q ∧┐R )∨(┐P ∧┐Q ∧R )∨(┐P ∧Q ∧┐R )∨(┐P ∧Q ∧R )∨(P ∧┐Q ∧┐R )∨(P ∧┐Q ∧R )∨(P ∧Q ∧R )（主析取范式）8．用列真值表的方法求命题公式R Q P →→)(的主析取范式．解：列真值表取真值为1的项，所求主析取范式为：(┐P ∧┐Q ∧R )∨(┐P ∧Q ∧R )∨(P ∧┐Q ∧┐R )∨(P ∧┐Q ∧R ) ∨(P ∧Q ∧R )9．试求谓词公式),()),(),()((y x B y x yG y x xH x S x ∨∃→∃∧∀中，∀x ，∃x ，∃y 的辖域，试问G (x , y )和B (x , y )中x ，y 是自由变元，还是约束变元？解：∀x 的辖域：)),(),()((y x yG y x xH x S ∃→∃∧ ∃x 的辖域：H (x ,y )∃y 的辖域：G (x ,y ) G (x , y )中的x ，y 是约束变量，B (x , y )中的x , y 是自由变量. 10．证明命题公式(P →(Q ∨⌝R ))∧⌝P ∧Q 与⌝（P ∨⌝Q ）等价． 证：(P →(Q ∨⌝R ))∧⌝P ∧Q ⇔(⌝P ∨(Q ∨⌝R ))∧⌝P ∧Q ⇔(⌝P ∨Q ∨⌝R )∧⌝P ∧Q⇔(⌝P ∧⌝P ∧Q )∨(Q ∧⌝P ∧Q )∨(⌝R ∧⌝P ∧Q ) ⇔(⌝P ∧Q )∨(⌝P ∧Q )∨(⌝P ∧Q ∧⌝R ) ⇔⌝P ∧Q （吸收律） ⇔⌝(P ∨⌝Q ) （摩根律）9．构造推理证明))()(()()(x Q x P x x xQ x xP →∀⇒∀→∃． 分析：前提：)()(x xQ x xP ∀→∃．结论：))()((x Q x P x →∀证：(1) )()(x xQ x xP ∀→∃ P(2) )()(x xQ x xP ∀∨⌝∃ T (1)E(3) )()(x xQ x P x ∀∨⌝∀ T (2) E (量词与否定的关系) (4) ))()((x Q x P x ∨⌝∀(5) ))()((x Q x P x →∀ T (4) E上面这些例题供大家复习参考．。
离散2016-2017-1-A卷-答案
南京邮电大学2016/2017学年第一学期《离散数学》期末试卷（A 卷答案）院(系)班级学号姓名题号一二三四总分得分一、填空题（20分，每空2分）1、A×B={<1,1>,<2,2>,<3,1>,<3,2>,<1,2>,<2,1>}，P (B )是B 的幂集，则P (B )={∅,{1},{2},{1,2}}，|P (P (B ))|=16。
2、设集合A ={x|x 是book 中的字母}，B ={x|x 是black 中的字母}，则A B ={b ,k }，A-B ={o }。
3、设P ：我今天进城，Q ：今天下雨，则命题“我今天进城，除非下雨。
”可符号化为¬Q →P 或P ∨Q 或¬P →Q 。
4、设A={1,2,3}，P (A )是A 的幂集，代数系统(),P A <> 的幺元为∅，零元为A 或{1,2,3}。
5、无向图G =<V ,E >，如图1所示，则该无向图的点连通度()k G =2，边连通度()G λ=2，结点v 1到v 1的长度小于等于3的回路的数目=7。
二、判断题，正确的记“T”，错误的记“F”。
（20分，每题2分）1、Q P P Q ⌝∨⇔→（F ）2、命题函数是命题。
（F）3、{|()()}x P x P x φ=∧⌝，其中()P x 是任意谓词。
（T ）4、A 和B 为两个不相等的非空集合，则一定有A B B A ⨯≠⨯。
（T ）5、若R 为集合A 上的关系，且R 不是对称的，则R 一定是反对称的。
（F ）6、无向完全图K n (n >2)一定是汉密尔顿图。
（T）7、在代数系统中，若元素a 既有左逆元，又有右逆元，则a 一定有逆元。
（F ）8、存在不同构的8元布尔格。
（F ）9、有补格一定是有界格且每个元素都存在一个或多个补元。
（T）得分得分装订线内不要答题自觉遵守考试规则，诚信考试，绝不作弊10、结点的度全为偶数的无向简单图一定可以一笔画。
南京航空航天大学2017离散数学试卷及答案
,即 , 是代数系统,易验证结合律成立,且 是单位元,故 是单元半群------------6分
对任意 ,由 ,得 ,------------8分
,即 ,所以, ,即 是群---10分
(3)因为 ,而 ,
所以, ------------12分
五、若N为G的正规子群,则有:对任意 , ,所以,有:
（2）
哈斯图如下，最大元为 ，最小元为 --------------------------6分
（3）对 中任意矩阵 ，
定义 ，
对任意 有 -----------8分，
对 中任意矩阵 ,有: --------------9分
对 中任意矩阵 令 ，有 所以， 是 的补元，即 是布尔格，--------------11分
二.设R是集合A上的一个关系,
(1)若R是对称关系,则对任意整数k, 也是对称关系,举例说明两个对称关系的复合未必是对称关系;
(2)若R是等价关系,则对任意非零整数k,有 .
三.设集合 ,定义M上的二元关系 ,
(1)证明: 是M上的一个部分序关系;
(2)画出部分序集 对应的哈斯图,并指出其中的最大元和最小元;
由归纳原理,结论成立-------------6分
(2) 为正整数时,因为 是自反的,所以, ,即 ,
因为 是传递的,所以 ,从而, ,可得 ；
为负整数时,因为 是对称的,所以, ,即 ,
即结论成立. -------------10分
三、（1）对 中任意矩阵 ,有:
；若 ，则有 ；若 ，则有 ；
所以， 是 上的一个部分序关系-------- 3分
, , 的自反闭包是,对称闭包是.
南京邮电大学《离散数学》第1-2次作业答案
P
Q
R
Q R PR
T
T
T
T
T
T
T
T
T
F
T
F
F
T
T
F
T
F
T
T
T
T
F
F
F
T
F
T
F
T
T
T
T
T
T
F
T
F
T
F
T
T
F
F
T
T
T
T
T
F
F
F
T
T
T
T
13 of 23
P23-2a) 不构造真值表证明蕴含式
(P Q) P (P Q) 证法1：设P Q为T, 则 1)P为T,Q为T, 所以P Q为T,所以P P Q为T 2)P为F, 则P P Q为T 证法2：设P (P Q)为F, 则P为T,P Q为F
e) 四边形ABCD是平行四边形，当且仅当它的对边平行 P: 四边形ABCD是平行四边形。 Q: 四边形ABCD的对边平行。 PQ
4 of 23
P8-5
5 of 23
P12-7
a) 假如上午不下雨，我去看电影；否则就在家里读书或看报。
P: 上午下雨。 Q: 我去看电影。
R: 我在家读书。 R: 我在家看报。
第一章作业
计算机学院 计算机科学与技术系
P8 (3) 设P 表示命题“天下雪”，Q 表示命题“我将去镇上”，R 表示命题“我有时间”。 以符号形式写出下列命题： a) 如果天不下雪和我有时间，那么我将去镇上。 b) 我将去镇上，仅当我有时间。 c) 天不下雪 d) 天下雪，那么我不去镇上 解：(a) (P R) Q
南邮离散数学第3章 集合与关系
3-4 序偶和笛卡尔积
主要知识点： 1、序偶 2、序偶相等 3、n元组 4、笛卡尔积 5、多重直积 6、笛卡尔积运算性质
3-4 序偶和笛卡尔积
在日常生活中，许多事物是成对出现的，并且具有一定的顺序， 如上、下；左、右；3 <8；大、小；多少等等。 1、序偶 有固定次序的客体a，b组成的有序序列，记作<a, b> 序偶通常用来表达两个客体之间的关系。
2） ( ()) {,{}} 其幂集数为{， {}， {{}}， {， {}}}
3-1
主要知识点： 1、集合的概念
集合的概念和表示法
2、集合的表示法：列举法、叙述法 3、集合间的关系：相等、包含、真包含、空集、全集、文氏图 4、幂集
3-2
主要知识点： 1、交 2、并 3、补 4、对称差
E A B
a) b)
A ( A B) A A ( A B) A
E A B
（3）A B当且仅当A B B或者A B A
参考书上证明
3-2
3、补
集合的运算
定义：A和B是集合，由所有属于A而不属于B的元素组成的集合S 称为B关于A的补集，记作A-B S，也称A和B的差或者相对补
E A=B
A B AB
E C A B 传递性
A B且 B C A C
3-1
集合的概念和表示法
A B且B A
（6）定理：集合A和集合B是相等的，iff
A B A B且B A
证： （必要性）若A B，则A与B有相同元素。 x( x A x B )为T，即A B 且x( x B x A)为T ,即B A
3-2
主要知识点： 1、交 2、并 3、补：相对补，绝对补 4、对称差
南邮离散数学课后习题答案
南邮离散数学课后习题答案南京邮电大学离散数学课程是一门重要的数学基础课程，它涵盖了许多重要的离散数学概念和方法。
在学习这门课程时，我们经常会遇到一些难题，需要通过课后习题来巩固和加深对所学知识的理解。
然而，由于离散数学的题目类型繁多，解题方法各异，很多同学在课后习题中遇到了困惑。
为了帮助同学们更好地学习离散数学，我整理了一些常见课后习题的答案，供大家参考。
一、集合论1. 设A={1,2,3,4,5}，B={3,4,5,6,7}，C={2,4,6,8}，求(A∩B)∪C的元素个数。
答：首先求A∩B，即A和B的交集，得到{3,4,5}。
然后求(A∩B)∪C，即交集{3,4,5}与C的并集，得到{2,3,4,5,6,8}。
所以(A∩B)∪C的元素个数为6。
2. 设集合A={1,2,3,4,5}，B={3,4,5,6,7}，C={2,4,6,8}，求(A-B)∪C的元素个数。
答：首先求A-B，即A与B的差集，得到{1,2}。
然后求(A-B)∪C，即差集{1,2}与C的并集，得到{1,2,4,6,8}。
所以(A-B)∪C的元素个数为5。
二、关系与函数1. 设集合A={1,2,3,4,5}，B={3,4,5,6,7}，C={2,4,6,8}，定义关系R为A到B的映射，若R={(1,4),(2,5),(3,6),(4,7)}，求R的逆关系R^-1。
答：逆关系R^-1是由R中的有序对的元素颠倒位置得到的。
所以R^-1={(4,1),(5,2),(6,3),(7,4)}。
2. 设集合A={1,2,3,4,5}，B={3,4,5,6,7}，C={2,4,6,8}，定义函数f为A到B的映射，若f(1)=4，f(2)=5，f(3)=6，f(4)=7，求f的逆函数f^-1。
答：逆函数f^-1是由f中的元素的自变量和因变量颠倒位置得到的。
所以f^-1(4)=1，f^-1(5)=2，f^-1(6)=3，f^-1(7)=4。
三、图论1. 设G=(V,E)为一个无向图，V={A,B,C,D,E,F}，E={{A,B},{A,C},{B,C},{C,D},{D,E}}，求G的邻接矩阵。
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南京邮电大学2015/2016学年第一学期
《离散数学》期末试卷（B 卷）
院(系) 班级 学号 姓名
一、填空题（20分，每空2分）
1、{}∅∅I = 。
2、设F(x) ：x 犯错误，N(x)：x 为人，则命题“没有不犯错误的人。
”可符号化
为 。
3、设集合A={a ，b ，c}，则A 上二元关系共有 个，A 上等价关系共有 个。
4、K 5的点连通度为 ，边连通度为 。
5、集合(,,)S a b c =上总共可以定义的二元运算的个数为 个。
6、设S 是非空有限集，代数系统((),,)P S U I 中，()P S 对U 运算的单位元是 ，零元是 ，()P S 对I 运算的单位元是 。
二、判断题，正确的记“T”，错误的记“F”。
（20分，每题2分）
1、陈述句“x+y>4”是个命题。
（ ）
2、()()(()())()()()()x y P x Q y x P x y Q y ∀∀→⇔∀→∀。
（ ）3、A ⊕∅=∅。
（ ）
4、有代数系统<R, +>，R 为实数集，+为普通加法，则<R, +>为交换群。
（ ）
5、循环群中生成元一定是唯一的。
（ ）
6、群中不可能有零元。
（ ）
7、有补格一定是有界格。
（ ）
装
订
线
内
不
要 答
题自觉遵守考试规则，诚信考
试
，绝不作弊
8、若图含有4个结点，其中各结点度数可为1，3，5，6。
（ ）
9、图G 有子图'G 和''G ，若''G 是'G 相对于G 的补图，则'G 也是''G 相对于G 的补图。
（ ）
10、具有n 个结点的图中，任何通路的长度都不超过n 。
（ ）
三、解答题（40分，每题10分）
1、试用真值表求命题公式()P Q R →⌝↔对应的主析取范式。
解：主析取范式为：
2、如下图所示，给出了集合{1,2,3,4,5,6}上关系的关系图，试求R
的传递闭包。
1
解：
3、在偏序集<A, ≤>的关系图如下图如示。
（1）请画出对应的哈斯图。
（5分）
（2）设子集合B={b, c}，求B的上界集合C和上确界、下界集合D和下确界。
（5
分）解：（1）
（2）上界集合：下界集合：
上确界：下确界：
4、无向图G=<V, E>，如下图所示，请给出下列问题的答案：
（1）G的点连通度k(G)、边连通度λ(G)、最小度δ(G)和最大度Δ(G)。
（4分）
（2）G的邻接矩阵。
（2分）
（3）G是否为欧拉图？是否为汉密尔顿图？（4分）
解：（1）k(G)：λ(G)：
δ(G)：Δ(G)：（2）
（3）G是否为欧拉图：
G是否为汉密尔顿图：
1
2
5
34
四、证明题：（20分，每题10分）
1、用命题推理规则证明下列推理的正确性：如果A 努力工作，那么B 或C 感
到愉快；如果B 愉快，那么A 不努力工作；如果D 愉快，那么C 不愉快。
所以，如果A 努力工作，则D 不愉快。
证明：
2、在整数集Z 上定义：2, a,b a b a b Z =+−∀∈o ，证明：(,)Z o 是一个群。
证明：
装
订
线
内
不
要
答
题
自
觉遵守考试规则，诚信考试，绝不作弊。