【数学课件】线面垂直关系
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4. 反过来能成立吗?
(二) 直线与平面垂直的性质定理
1. 性质定理: 如果两条直线同垂直于一个平面,
那么这两条直线平行.
已知: a ,b ,
b
a
b
求证: a // b
（三）点与面、线与面的距离
1. 点到平面的距离：从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂 足间的距离叫做这个点到这个面的距离.
P
P
l
A
A
2. 直线到平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任 意一点到平面的距离, 叫做这条直线和平面的距离.
（二）例题
1. 已知: 直线 l 平面 ,垂足为A,直线 AP l
求证: AP
2. 已知一条直线 l // 平面
求证: 直线 l 上各点到平面 的距离相等
3. 已知: 正方形ABCD的边长为 a ，
P
C
O
A
B
2. 如图,三条直线 a // b // c ，若 b、c 距离为 2 ，
a、c 距离为 1 ，a、b 距离为 7 ，求 b 与 a、c
确定的平面 之间的距离.
P
b
O
c
A
a
B
6. 已知ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点,
M是 PC的中点,在 DM 上取一点G, 过 G 和ＡＰ作 平面交平面ＢＤＭ于ＧＨ，
(2) 过一点有且只有一个平面和一条直线垂直 .
(3) 平面的垂线一定与平面相交,交点就是垂足 .
(二). 直线和平面垂直的判定定理
如果一个条直线和一个平面内的两条相交直
线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面.
已知: m , n , m n B,
l
l m,l n,
求证: l
m B
n强Biblioteka :(1)两条相交直线;求证: AP // GH
P
M G
D
C
H O
A
B
1、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之毁灭。——卢梭
好好学习，天天向上。 2、教育人就是要形成人的性格。——欧文 3、自我教育需要有非常重要而强有力的促进因素——自尊心、自我尊重感、上进心。——苏霍姆林斯基 4、追求理想是一个人进行自我教育的最初的动力，而没有自我教育就不能想象会有完美的精神生活。我认为，教会学生自己教育自己，这是一种
P
aA
B
2. 三垂线定理的逆定理:
在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜 线的垂直,那么它也和这条 斜线在平面内的射影垂直.
P
aA
B
(三) 例题
1 . 如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等, 那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上.
2. 如图，在空间四边形ABCD中, PA⊥面ABC,
最高级的技巧和艺术。——苏霍姆林斯基 5、没有时间教育儿子——就意味着没有时间做人。——（前苏联）苏霍姆林斯基
6、教育不是注满一桶水，而且点燃一把火。——叶芝 7、教育技巧的全部奥秘也就在于如何爱护儿童。——苏霍姆林斯基
8、教育的根是苦的，但其果实是甜的。——亚里士多德 9、教育的目的，是替年轻人的终生自修作准备。——R.M.H. 10、教育的目的在于能让青年人毕生进行自我教育。——哈钦斯 11、教育的实质正是在于克服自己身上的动物本能和发展人所特有的全部本性。——（前苏联）苏霍姆林斯基 12、教育的唯一工作与全部工作可以总结在这一概念之中——道德。——赫尔巴特 13、教育儿童通过周围世界的美，人的关系的美而看到的精神的高尚、善良和诚实，并在此基础上在自己身上确立美的品质。——苏霍姆林斯基 14、教育不在于使人知其所未知，而在于按其所未行而行。——园斯金 15、教育工作中的百分之一的废品，就会使国家遭受严重的损失。——马卡连柯 16、教育技巧的全部诀窍就在于抓住儿童的这种上进心，这种道德上的自勉。要是儿童自己不求上进，不知自勉，任何教育者就都不能在他的身
PA 平面ABCD, PA a,
求AD到平面PBC的距离.
4. 已知正方体 AC1 的棱长为 1 , 点M是 AA1 的中点,
N是 AB 上一点, 且 NMC1 90,
求 AN 的长.
D1
C1
B1 A1
M D
A N
C B
二. 正射影和三垂线定理
（一）射影的有关概念: 1. 点在平面上的射影: 自一点P向平面引垂线,垂 足叫做这点在平面上的射影.
P
D
A
O
C
4. 已知ABCD是矩形,PA ⊥平面AC,连PB,PC,PD,图中
直角三角形的个数有
()
(A) 1个
(B) 2个
(C) 3个
P
(D) 4个
A
B
D C
(二) 例题:
1.
设O点是正三角形ABC的中心,线段PO垂直于
ABC所在平面 ，OP = h，AB = a ， 求点P到
ABC各边的距离。
P
A
B
4. 斜线段在平面上的射影: 垂足与斜足间的线段.
P
A
B
5. 斜线上任意一点在平面内的射影,一定在斜线的射影上.
6. 如果图形F上的所有点在一平面内的射影构成的图
形F ,则 F 叫做图形F在这个平面上的射影.
C
B
A
C
A
B
(二) 三垂线定理
1. 三垂线定理: 在平面内的一条直线,如果它和这个平面 的一条斜线的射影垂直,那么它也和这 条 直线垂直.
AC⊥BC, 若A在PB、PC上的射影分别是E、F，
P
求证：EF⊥PB
E
F
A
B
C
三. 习题
（一）复习提问：
1. 什么叫三垂线定理?
2. 什么叫三垂线定理的逆定理? 它们的区别是什么?
3. 如图，若 CD, P , PA ,
A为垂足，AO⊥CD于O ，则________,理由
______
(2)要判断一条直线与一个平面是否垂直,取决于在这 个平面内能否找到两条相交直线和已知直线垂直.
(三). 例题
1. 求证：过一点和已知平面垂直的直线只有一条.
2. 有一根旗杆AB高 8 m,它的顶端A挂有一条长 10 m 的绳子 , 拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点 (和旗杆脚不在同一直线上) C、D.如果这两点都 和旗杆脚B的距离是 6 m, 那么旗杆就和地面垂足, 为什么?
线面垂直关系
一. 直线和平面垂直
(一). 直线和平面垂直
1. 观察实例： 2. 直线与平面垂直的定义:
如果一个条直线和一个平面内的任何一条直 线都垂直,那么这条直线和这个平面互相垂直.
3. 相关概念: (1) 垂线 (2) 垂面 (3) 垂足
3. 唯一性:
(1) 过一点有且只有一条直线和一个平面垂直. (不同于过一点作直线与另一条直线垂直 )
3. 如图, M是菱形ABCD所在平面外一点,满足MA=MC,
求证: AC 平面BDM
M
D A
C
O
B
直线和平面垂直的性质定理及判定定理的应用
（一）复习提问： 1. 什么叫直线与平面垂直? 2. 如果判定一条直线和平面垂直?
3. 如果两条平行线中的一条直线垂直于一个平面 那么另一条直线与这个平面有何关系?
(这点与垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段)
P
A
2. 平面的斜线: 如果一条直线和平面相交,但不和 这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的射线. 交点叫做射足. 斜线上一点与斜足间的线段叫做这点到这个平面 的斜线段.
P
A
B
3. 斜线在平面上的射影:
过斜线上斜足以外一点向平面引垂线,过垂足和 斜足的直线,叫做射线在这个平面上的射影.
(二) 直线与平面垂直的性质定理
1. 性质定理: 如果两条直线同垂直于一个平面,
那么这两条直线平行.
已知: a ,b ,
b
a
b
求证: a // b
（三）点与面、线与面的距离
1. 点到平面的距离：从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂 足间的距离叫做这个点到这个面的距离.
P
P
l
A
A
2. 直线到平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任 意一点到平面的距离, 叫做这条直线和平面的距离.
（二）例题
1. 已知: 直线 l 平面 ,垂足为A,直线 AP l
求证: AP
2. 已知一条直线 l // 平面
求证: 直线 l 上各点到平面 的距离相等
3. 已知: 正方形ABCD的边长为 a ，
P
C
O
A
B
2. 如图,三条直线 a // b // c ，若 b、c 距离为 2 ，
a、c 距离为 1 ，a、b 距离为 7 ，求 b 与 a、c
确定的平面 之间的距离.
P
b
O
c
A
a
B
6. 已知ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点,
M是 PC的中点,在 DM 上取一点G, 过 G 和ＡＰ作 平面交平面ＢＤＭ于ＧＨ，
(2) 过一点有且只有一个平面和一条直线垂直 .
(3) 平面的垂线一定与平面相交,交点就是垂足 .
(二). 直线和平面垂直的判定定理
如果一个条直线和一个平面内的两条相交直
线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面.
已知: m , n , m n B,
l
l m,l n,
求证: l
m B
n强Biblioteka :(1)两条相交直线;求证: AP // GH
P
M G
D
C
H O
A
B
1、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之毁灭。——卢梭
好好学习，天天向上。 2、教育人就是要形成人的性格。——欧文 3、自我教育需要有非常重要而强有力的促进因素——自尊心、自我尊重感、上进心。——苏霍姆林斯基 4、追求理想是一个人进行自我教育的最初的动力，而没有自我教育就不能想象会有完美的精神生活。我认为，教会学生自己教育自己，这是一种
P
aA
B
2. 三垂线定理的逆定理:
在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜 线的垂直,那么它也和这条 斜线在平面内的射影垂直.
P
aA
B
(三) 例题
1 . 如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等, 那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上.
2. 如图，在空间四边形ABCD中, PA⊥面ABC,
最高级的技巧和艺术。——苏霍姆林斯基 5、没有时间教育儿子——就意味着没有时间做人。——（前苏联）苏霍姆林斯基
6、教育不是注满一桶水，而且点燃一把火。——叶芝 7、教育技巧的全部奥秘也就在于如何爱护儿童。——苏霍姆林斯基
8、教育的根是苦的，但其果实是甜的。——亚里士多德 9、教育的目的，是替年轻人的终生自修作准备。——R.M.H. 10、教育的目的在于能让青年人毕生进行自我教育。——哈钦斯 11、教育的实质正是在于克服自己身上的动物本能和发展人所特有的全部本性。——（前苏联）苏霍姆林斯基 12、教育的唯一工作与全部工作可以总结在这一概念之中——道德。——赫尔巴特 13、教育儿童通过周围世界的美，人的关系的美而看到的精神的高尚、善良和诚实，并在此基础上在自己身上确立美的品质。——苏霍姆林斯基 14、教育不在于使人知其所未知，而在于按其所未行而行。——园斯金 15、教育工作中的百分之一的废品，就会使国家遭受严重的损失。——马卡连柯 16、教育技巧的全部诀窍就在于抓住儿童的这种上进心，这种道德上的自勉。要是儿童自己不求上进，不知自勉，任何教育者就都不能在他的身
PA 平面ABCD, PA a,
求AD到平面PBC的距离.
4. 已知正方体 AC1 的棱长为 1 , 点M是 AA1 的中点,
N是 AB 上一点, 且 NMC1 90,
求 AN 的长.
D1
C1
B1 A1
M D
A N
C B
二. 正射影和三垂线定理
（一）射影的有关概念: 1. 点在平面上的射影: 自一点P向平面引垂线,垂 足叫做这点在平面上的射影.
P
D
A
O
C
4. 已知ABCD是矩形,PA ⊥平面AC,连PB,PC,PD,图中
直角三角形的个数有
()
(A) 1个
(B) 2个
(C) 3个
P
(D) 4个
A
B
D C
(二) 例题:
1.
设O点是正三角形ABC的中心,线段PO垂直于
ABC所在平面 ，OP = h，AB = a ， 求点P到
ABC各边的距离。
P
A
B
4. 斜线段在平面上的射影: 垂足与斜足间的线段.
P
A
B
5. 斜线上任意一点在平面内的射影,一定在斜线的射影上.
6. 如果图形F上的所有点在一平面内的射影构成的图
形F ,则 F 叫做图形F在这个平面上的射影.
C
B
A
C
A
B
(二) 三垂线定理
1. 三垂线定理: 在平面内的一条直线,如果它和这个平面 的一条斜线的射影垂直,那么它也和这 条 直线垂直.
AC⊥BC, 若A在PB、PC上的射影分别是E、F，
P
求证：EF⊥PB
E
F
A
B
C
三. 习题
（一）复习提问：
1. 什么叫三垂线定理?
2. 什么叫三垂线定理的逆定理? 它们的区别是什么?
3. 如图，若 CD, P , PA ,
A为垂足，AO⊥CD于O ，则________,理由
______
(2)要判断一条直线与一个平面是否垂直,取决于在这 个平面内能否找到两条相交直线和已知直线垂直.
(三). 例题
1. 求证：过一点和已知平面垂直的直线只有一条.
2. 有一根旗杆AB高 8 m,它的顶端A挂有一条长 10 m 的绳子 , 拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点 (和旗杆脚不在同一直线上) C、D.如果这两点都 和旗杆脚B的距离是 6 m, 那么旗杆就和地面垂足, 为什么?
线面垂直关系
一. 直线和平面垂直
(一). 直线和平面垂直
1. 观察实例： 2. 直线与平面垂直的定义:
如果一个条直线和一个平面内的任何一条直 线都垂直,那么这条直线和这个平面互相垂直.
3. 相关概念: (1) 垂线 (2) 垂面 (3) 垂足
3. 唯一性:
(1) 过一点有且只有一条直线和一个平面垂直. (不同于过一点作直线与另一条直线垂直 )
3. 如图, M是菱形ABCD所在平面外一点,满足MA=MC,
求证: AC 平面BDM
M
D A
C
O
B
直线和平面垂直的性质定理及判定定理的应用
（一）复习提问： 1. 什么叫直线与平面垂直? 2. 如果判定一条直线和平面垂直?
3. 如果两条平行线中的一条直线垂直于一个平面 那么另一条直线与这个平面有何关系?
(这点与垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段)
P
A
2. 平面的斜线: 如果一条直线和平面相交,但不和 这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的射线. 交点叫做射足. 斜线上一点与斜足间的线段叫做这点到这个平面 的斜线段.
P
A
B
3. 斜线在平面上的射影:
过斜线上斜足以外一点向平面引垂线,过垂足和 斜足的直线,叫做射线在这个平面上的射影.