河南省部分学校2023-2024学年高一下学期6月联考数学试题(含解析)

2023—2024学年度高一6月联考
数学试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

考试时间120分钟，满分150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若（是虚数单位）
，则的值为（ ）
A
B
C ．
D ．2
2．某地一年之内12个月的降水量从小到大分别为：46，48，51，53，53，56，56，56，58，64，66，71，则该地区的月降水量75%分位数为（ ）
A ．
58B ．60C ．
61D ．62
3．如图，平行四边形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，，则原图形与间的距离为（ ）
A ．1
B
C ．
D ．4
4．某机构统计了1000名演员的学历情况，制作出如图所示的饼状图，其中本科学历的人数为650．现按比例用分层随机抽样的方法从中抽取200人，则抽取的硕士学历的人数为（ ）
()1i 1z -=-i z 12O A B C ''''4O A ''=2O C ''=30A O C '∠='' OA BC
A ．11
B ．13
C ．22
D ．265．若平面向量，，
两两的夹角相等，且，，，则（ ）
A
B ．5C
或6D
6．已知复数满足（，，，若是关于的方程的一个根，则等于（ ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
7．如图，测量河对岸的可视塔底的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在点测得塔顶的仰角为，则塔高（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知球与正方体的各个面相切，平面截球
所得的截面的面积为
，则正方体棱长为（ ）
A
B ．
C ．1
D ．2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9．某学校开展知识竞赛，竞赛成绩全部介于50至100之间，将数据按照，，，
，的分组作出频率分布直方图如图所示。

根据频率分布直方图，则下列结论中正确的是（ ）A ．B ．众数为80
a b c 1a = 2b = 3c = a b c ++= α2i)34i α-=-i m β=-0m >αβ+x ()
21300x nx n -+=>m n +AB B C D 75BCD ∠= 45BDC ∠= 50CD =C A 60
AB =O 1111ABCD A B C D -1ACB O 23π12[)50,60[)60,70[)70,80[)80,90[]90,1000.03a =
C ．第71百分位数是82
D ．平均分是75.5
10．下面四个命题中正确的是（ ）
A ．对应的点在第二象限
B ．若复数，满足，则
C ．方程在复数集内有两解和
D ．已知复数
满足，则复数在复平面内对应点的轨迹是圆
11．在边长为2的正方形中，，分别为，的中点，沿、及把这个正方形折成一个四面体，使得、、三点重合于点，得到四面体，顶点在底面上的射影为，下列结论正确的是（ ）
A ．
B ．点为的外心
C ．点到三个侧面距离的平方和等于
D ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12．已知一组数据，，，，的方差是，那么另一组数，，，，的方差是________．
13．已知向量，满足，，则最大值为________，最小值为________．
14．在直三棱柱中，，，则异面直线与所成角的正弦值为________．四、解答题：本题共5小题，共77分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．（13分）如图，棱长为1的正方体中，，，，分别是，，，的中点．
i 2z =-1z 2z 12z z ∈R 12
z z =2230x x -+=1i x =+1i
x =-z 260z z --=z ABCD E F BC CD AE AF EF B C D S S AEF -S AEF O SA EF ⊥O AEF △O 2SO 2222
AEF SAE SAF SEF S S S S =++△△△△1x 2x 3x 4x 5x 15
152x -252x -352x -452x -552x -a b 1a b += 52a b -= 2a b - 111ABC A B C -90ABC ∠=
1224AC AA AB ===1A C 1AB 1111ABCD A B C D -M N E F 11A B 11A D 11B C 11C D
（1）计算三棱台的体积；
（2）求证：平面平面．
16．（15分）某调研小组调查了某市1000名外卖骑手平均每天完成的任务量（简称“单量”），得到如下的频数分布表：单量/
单
人数100120130180220150603010
（1）补全该市1000名外卖骑手每天单量的频率分布直方图；
（2）根据图表数据，试求样本数据的中位数（精确到0.1）；
（3）根据外卖骑手的每天单量，参考某平台的类别将外卖骑手分成三类，调查获知不同类别的外卖骑手开展工作所投入的装备成本不尽相同，如下表：
日单量/单
类别
普通骑手精英骑手王牌骑手
裝备价格/元250040004800
根据以上数据，估计该市外卖骑手购买装备的平均成本．
17．（15分）已知，复数，，在复平面上对应的点分别为、、，为坐标原点．
1EFC BDC -AMN EFDB [)10,15[)15,20[)20,25[)25,30[)30,35[)35,40[)40,45[)45,50[)50,55()0,20[)20,40[)40,+∞a ∈R 11i z a =-+221i a z a
+=-31z =-A B C O
（1
）求的取值范围；
（2）当、、三点共线时，求三角形的面积．
18．（17分）已知，，分别为三个内角，，的对边，．
（1）求证：；
（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
19．（17分）如图1，是边长为3的等边三角形，点、分别在线段、上，，，沿将折起到的位置，使得，如图2．
（1）求证：平面平面；
（2）若点在线段上，且，，求直线与平面所成角的正弦值；
（3）在（2）的条件下，判断线段上是否存在点，使得平面
，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．2023—2024学年度高一6月联考
数学参考答案及评分意见
1．A 【解析】因为，则，所以．故选A ．2．C 【解析】注意到，则该地区的月降水量75%分位数为第9，第10个数据的平均数，即为．故选C ．3．C 【解析】如图所示，过引轴，交轴于点，则长度的两倍即为所求，在12z z +A B
C AOB a b c ABC
△A B C cos sin 0b C C a c +--=2B A C =+ABC △2222a c b b +=+ABC △ABC △D E AC AB 1AE =2AD =DE ADE △PDE △PB =PDE ⊥BCDE F BC 2BF =PC =DF PCD PC M DM
PBE PM PC
()1i 1z -=-()()11i 11i 1i 1i 1i 22z +=-
=-=---+-z ==1275%9⨯=5864612
+=C 'C D y '' x 'D C D 'C O D
''△
中，，即，解得
与间的距离为，故选C ．
4．C 【解析】由题意知硕士学历的人数与总人数
1000之比为，现按比例用分层随机抽样的方法从中抽取200人，则抽取的硕士学历的人数为．故选C ．
5．C 【解析】因为平面向量，，两两的夹角相等，所以平面向量，，两两的夹角为或，又，，，当夹角为时，即，，同向，则；当夹角为时，则，，，则
，综上所述，或．故选C ．
6．C 【解析】∵，∴，∴，是关于的方程的一个根，则也是方程的另一个根，根据韦达定理可得
解得或
（舍去），所以．故选C ．7．A 【解析】由已知，，米，故，所以，即，解得，又因为在点测得塔顶的仰角为
，即，所以在中，．故选A ．8．D 【解析】解法1：设正方体棱长为，则球的半径为，∵平面截此球所得的截面的面积为
，sin sin C O C D C DO C O D ='''∠'∠'''2sin135sin30
C D '= C D '=OA BC 650117%5%2%11%1000
----
=11%20022⨯=a b c a b c 0 120 1a = 2b = 3c = 0 a b c 6a a b b c c ++=++= 120 11212a b ⎛⎫⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭ 131322a c ⎛⎫⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭ 12332b c ⎛⎫⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭
a b c ++=== 6a b c ++= a b c ++= ()2i 34i α-=-34i 2i 2i
α-==--22i m αβ+=+-αβ+x ()2130x nx n -+=∈R 22i m ++()()()()22i 22i 13,22i 22i ,m m m m n ⎧+-++=⎪⎨+-+++=⎪⎩
1,6,m n =⎧⎨=⎩5,6,m n =-⎧⎨=-⎩7m n +=75BCD ∠= 45BDC ∠= 50CD =60CBD ∠=
sin sin CD BC CBD BDC =∠∠5032
=BC =C A 60 60ACB ∠= Rt ABC △tan tan60AB BC ACB =⋅∠== 2a O a 1ACB 23
π
由题意，球心与
的距离为
，到平面
的距离为，∴，∴，即正方体棱长为．故选
D ．
解法2：设正方体棱长为，内切球与正方体各面的切点，恰好为等边三角形
各边的中点，截面圆为等边三角形的内切圆，又因为平面
截此球所得的截面的面积为
，
，整理得
，故截面圆的半径，解得，即正方体棱长为．故选D ．9．ACD 【解析】由频率分布直方图可得，解得，故A 正确；众数的估计值为75，故
B 错误；前三组数据的频率之和为，前四组数据的频率之和为
，则设第71百分位数是，，所以
，解得，所以第71百分位数是82，故C 正确；由频率分布直方图估计平均数为，故D 正确．故选ACD ．
10．AD 【解析】对于A ，复数对应的点为，故该点在第二象限内，故A 正确；对于B ，令，，满足，但，故B 错误；对于C ，方程在复数集内有两解和，故C 错误；对于D ，复数
满足，整理得：，故（无意义），所以复数在复平面内对应点的轨迹为圆，故D 正确．故选AD ．
11．ACD 【解析】因为，，，平面，所以平面，又平面，所以，故A 正确；
O B 12⨯=O 1ACB 13=222a =+1a =22a =2a 1ACB 1ACB 1ACB 23πAC =)2132r =⨯⨯⨯13
r =13
r ==1a =22a =()0.0100.0150.0400.005101a ++++⨯=0.030a =()0.0100.0150.040100.65++⨯=()0.0100.0150.0400.030100.95+++⨯=x ()80,90x ∈()0.65800.0300.71x +-⨯=82x =0.01010550.01510650.04010750.03010850.005109575.5⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=i 2z =-()2,1-1i z =22i z =-12z z ∈R 12z z ≠2230x x -+=1x =+1x =-z 2
60z z --=()()320z z -+=3z =2z =-z SA SE ⊥SA SF ⊥SE SF S = ,SE SF ⊂SEF SA ⊥SEF EF ⊂SEF SA EF ⊥
因为平面，平面，所以，又，又，所以平面，又平面，所以．同理可证，，所以点为的垂心，故B 错误；利用补体思想，以为体对角线构造长方体，结合长方体对角线的几何性质，可知C 正确；取的中点为，连接，，则，，
，故D 正确．故选ACD ．
12．5【解析】∵一组数据，，，，
的方差是，∴另一组数据，，，，的方差．故答案为5．13． 【解析】∵，，设和的夹角为，∴，∴时，取最大值；时，取最小值．故答案为；．（第一空3分，第二空2分）
14．1【解析】由题意，如图所示，连接，，取中点为，
连接，，则，故为异面直线与所成角或其补角，
易得，
，从而，所以异面直线与所成角为，即正弦值为1，故答案为1．
另解：
平面，又，根据三垂线定理可知．
15．（1）解：由题可知，，，，2分
SO ⊥AEF EF ⊂AEF SO EF ⊥SA EF ⊥SO SA A = EF ⊥SAO AO ⊂SAO AO EF ⊥EO AF ⊥FO AE ⊥O AEF △SO EF M SM AM SM EF ⊥AM EF ⊥()()(22222222
22111)444AEF S AM EF AM SE SF SA SM SE SF =⋅=⋅+=++=
△()()
222222222222221144SA SE SM SE SA SF SM SF SA SE SA SF SM EF ⋅+⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅=222SAE SAF SEF S S S ++△△△1x 2x 3x 4x 5x 15
152x -252x -352x -452x -552x -221555s =⨯=3212
1a b += 52a b -= a b + 5a b - θ()()()()()()()
()22221112552554cos 444a b a b a b a b a b a b a b θ⎡⎤⎡⎤-=++-=++-++⋅-=+⎢⎥⎣⎦⎣⎦ cos 1θ=2a b - 32cos 1θ=-2a b - 123212
1A B 11A B AB O = BC D OD 1B D 1OD A C 1B OD ∠1A C 1AB 112
OD A C ==1B D =1112OB AB ==22211B D OD OB =+1A C 1AB 90 BC ⊥11ABB A 11A B AB ⊥11A C AB ⊥118C EF S =△12
BCD S =△1h =
故根据棱台的体积公式，可得棱台的体积．4分（2）证明：如图所示，连接，，，，分别是，，，的中点．所以，，
所以，平面，平面，所以平面．6分连接，在正方体中，
因为、分别是、的中点，
所以，，
因为，，所以，，
所以四边形为平行四边形，8分
故，9分
因为平面，平面，
所以平面，11分
又，所以平面平面．13分
16．解：（1
）由第二组的频数得频率为，从而第二组矩形的高为，由第四组的频数得频率为，从而第二组矩形的高为，补全该市1000名外卖骑手周单量的频率分布直方图，如下：
1EFC BDC -1117138224V ⎛⎫=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭
11B D M N E F 11A B 11A D 11B C 11C D 11EF B D 11MN B D EF MN EF ⊂EFDB MN ⊄EFDB MN EFDB NE 1111ABCD A B C D -N E 11A D 11B C 11NE A B 11NE A B =11
A B AB 11A B AB =NE AB NE AB =ABEN AN BE AN ⊄EFDB BE ⊂EFDB AN EFDB AN MN N = AMN EFDB 1200.121000
=0.120.0245=1800.181000=0.180.0365=
4分
（2）由频数分布表知第一组频率为0.1，第二组频率为0.12，第三组频率为0.13，第四组频率为0.18，，，6分
可知中位数位于区间内，设中位数为，则由，8分
解得，故样本数据的中位数约为29.2．10分
（3）依题意可知，被调查的1000人中，普通骑手共有（人），
精英骑手共有（人），王牌骑手共有（人），12分
所以这1000
名外卖骑手购买装备的平均成本为（元），故估计该市外卖骑手购买装备的平均成本为3750元．15分
17．解：（1）因为，，所以，2分
．4分
当且仅当时取得等号，
所以．6分
（2）因为，，且，，三点共线时，有，
即，解得．8分此时，，，11分0.10.120.130.350.5++=<0.10.120.130.180.530.5+++=>[)25,30x ()0.35250.0360.5x +-⨯=29.2x ≈100120220+=130180220150680+++=603010100++=22025006804000100480037501000
⨯+⨯+⨯=11i z a =-+2
21i a z a +=-
122i z z a a +=-2212244z z a a +=+≥=a =[)122,z z +∈+∞(),1AC a =-- 22,a BC a +⎛⎫=- ⎪⎝
⎭ A B C AC BC ()()()212a a a +-⨯-=-⋅
4a =-()5,1OA =- 11,2OB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ cos ,OA OB OA OB OA OB
⋅==⋅
所以，13分
所以．15分18．（1）证明：根据题意，若，
由正弦定理可得，
即
．因为
，
3分即，又由，则有，即，所以，∴得证．6分（2）解：因为．所以，
所以由余弦定理得，所以，8分所以．9分又由正弦定理得，，所以，
所以，12分又
解得，，14分sin ,OA OB == 113sin ,224
AOB S OA OB OA OB =⋅⋅== △cos sin 0b C C a c --=sin cos sin sin sin B C B C A C +=+()sin cos sin sin sin B C B C B C C =++sin cos sin sin B C B C C =+sin 0C ≠cos 1B B -=1sin 62B π⎛
⎫-= ⎪⎝⎭5,666B πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭
66B ππ-=3B π=23A C π+=223
B A
C π=+=2222a c b b +=+2222a c b b +-=2222cos 22a c b b b B ac ac ac
+-===1cos 2
b a
c B ac ==1sin sin 2ABC S ac B b B ==⨯=△sin sin b A a A B ==2sin sin 23sin sin 3b A b C c A B B ππ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭===- ⎪⎝⎭
21222sin sin 2333b b A A A A ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
321111sin sin cos2sin 22344264A A A A A b ππ⎛⎫⎛⎫=-=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0,220,32A A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩
62A ππ<<52666A πππ<-<
则有，所以，所以，16分
所以．17分
19．（1）证明：在中，，，，
由余弦定理得，
∴，∴．1分
在中，，，，
∴，∴．2分
∵，、平面，
∴平面．3分又平面，
∴平面
平面．4分
（2）解：设点到平面的距离为，
由题意得
，，，，∴，∴
6分由可得，因为
，8分设直线与平面所成角为，又因为，
所以，故直线与平面
．10分（3）在线段上存在点，使得平面且
．12分证明如下：在平面内，，∴，
1sin 2126A π⎛⎫<-≤ ⎪⎝
⎭31113sin 2,226424A b π⎛⎫⎛⎤=-+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦[)2,3b ∈1sin 2ABC S ac B ==∈△PDE △1PE AE ==2PD =60EPD ∠= 2222cos60523DE PE PD PE PD =+-⋅=-= 222PE DE PD +=DE PE ⊥PBE △1PE =312BE AB BE =-=-=PB =
222PE BE PB +=BE PE ⊥BE DE E = BE DE ⊂BCDE PE ⊥BCDE PE ⊂PDE PDE ⊥BCDE F PCD h 2PD AD ==321CD AC AD =-=-=PC =321CF BC BF =-=-=2224183cos 22214
PD CD PC PDC PD CD +-+-∠===-⋅⨯⨯sin PDC ∠=11sin 2122PDC S PD CD PDC ∠=⋅⋅=⨯⨯=△F PDC P DCF V V --=1133
PDC DCF S h S PE ⋅=⋅△△11sin 1122DCF S CD CF DCB ∠=⋅⋅=⨯⨯=△h =DF PCD θ1DF CD CF ===sin h DF θ==DF PCD PC M DM PBE 23PM PC =BCDE 3EBF DFC π
∠=∠=DF
BE
又平面，平面，
∴平面；13分
在平面内，，，∴．又平面，平面，
∴平面，15分
又，
∴平面平面，又平面，∴平面．
∴在线段上存在点，使得平面且．
17分BE ⊂PBE DF ⊄PBE DF PBE PBC 3BC CF =3PC CM =MF PB PB ⊂PBE MF ⊄PBE MF PBE MF DF F = DMF PBE DM ⊂DMF DM PBE PC M DM PBE 2
3PM
PC =。