高考数学一轮总复习第5章数列5.4数列求和模拟演练理41

2018版高考数学一轮总复习 第5章 数列 5.4 数列求和模拟演练
理
[A 级 基础达标](时间：40分钟)
1．已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 2＋a 6＝a 8，则S 5
a 5
＝( ) A ．8 B ．6 C ．5 D ．3 答案 D
解析 在等差数列中，由a 2＋a 6＝a 8得2a 1＋6d ＝a 1＋7d ，得a 1＝d ≠0，所以S 5
a 5＝
5a 1＋5×42d
a 1＋4d ＝
5a 1＋10d a 1＋4d ＝15
5
＝3.
2．已知数列{a n }，a n ＝2n
＋1，则
1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1
a n ＋1－a n
＝( ) A ．1＋12n B ．1－2n C ．1－12n D ．1＋2n
答案 C 解析 a n ＋1－a n ＝2
n ＋1
＋1－(2n ＋1)＝2
n ＋1
－2n ＝2n
，
所以1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n ＝12＋122＋123＋…＋12n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥
⎤
1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12
＝1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n
＝1－12n .
3．[2017·银川一中模拟]在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝
⎛⎭
⎪⎫1＋1n ，则a n ＝( )
A ．2＋ln n
B ．2＋(n －1)ln n
C ．2＋n ln n
D ．1＋n ＋ln n
答案 A
解析 由已知条件得a 2＝a 1＋ln 2，a 3＝a 2＋ln 32，a 4＝a 3＋ln 43，…，a n ＝a n －1＋ln n
n －1，
得a n ＝a 1＋ln 2＋ln 32＋ln 43＋…＋ln n n －1＝2＋ln ( 2×32×43×…×
n
n －1 )＝2＋ln n ，故选A.
4．[2017·烟台模拟]已知数列{a n }中，a 1＝1，且a n ＋1＝a n
2a n ＋1
，若b n ＝a n a n ＋1，则数列{b n }的前n 项和S n 为( )
A.
2n 2n ＋1 B.n 2n ＋1 C.2n 2n －1 D.2n －1
2n ＋1
答案 B 解析 由a n ＋1＝
a n 2a n ＋1，得1a n ＋1＝1
a n
＋2， ∴数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1a n 是以1为首项，2为公差的等差数列，
∴1
a n
＝2n －1，又b n ＝a n a n ＋1，
∴b n ＝
1
n －n ＋
＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n －1－12n ＋1，
∴S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫11－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝n 2n ＋1，故选B. 5．数列1,1＋2,1＋2＋4，…，1＋2＋22
＋…＋2n －1
，…的前n 项和S n >1020，那么n 的
最小值是( )
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10 答案 D
解析 a n ＝1＋2＋22
＋…＋2n －1
＝2n －1.∴S n ＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(2n －1)＝(21＋2
2
＋ (2)
)－n ＝2
n ＋1
－n －2，∴S 9＝1013<1020，S 10＝2036>1020，
∴S n >1020，n 的最小值是10.
6．在数列{a n }中，a n a n ＋1＝1
2，a 1＝1，若S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 20＝________.
答案 15
解析 由a n a n ＋1＝1
2，a 1＝1，得数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
1，n 为奇数，1
2，n 为偶数，则S 20＝
10×1＋10×1
2
＝15.
7．数列{a n }的前n 项和为S n ，前n 项之积为∏n ，且∏n ＝(2)n (n ＋1)
，则S 5＝________.
答案 62
解析 a n ＝∏n ∏n －1
＝(2)n (n ＋1)－n (n －1)＝2n (n ≥2)，当n ＝1时，a 1＝∏1＝(2)1×2＝21
，所以
a n ＝2n ，所以S 5＝2＋22＋…＋25
＝
－25
1－2
＝26
－2＝62.
8．[2017·郑州模拟]设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N *
)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________.
答案 130
解析 由a n ＝2n －10(n ∈N *
)知，{a n }是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n ＝2n －10≥0，得n ≥5，所以当n <5时，a n <0，当n ≥5时，a n ≥0，所以|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 15)＝20＋110＝130.
9．[2014·山东高考]在等差数列{a n }中，已知公差d ＝2，a 2是a 1与a 4的等比中项． (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝a n n ＋
2
，记T n ＝－b 1＋b 2－b 3＋b 4－…＋(－1)n
b n ，求T n .
解 (1)由题意知(a 1＋d )2
＝a 1(a 1＋3d )， 即(a 1＋2)2
＝a 1(a 1＋6)，解得a 1＝2， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n . (2)由题意知b n ＝a n
n ＋
2
＝n (n ＋1)．
所以T n ＝－1×2＋2×3－3×4＋…＋(－1)n
n ×(n ＋1)． 因为b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)， 所以当n 为偶数时，
T n ＝(－b 1＋b 2)＋(－b 3＋b 4)＋…＋(－b n －1＋b n )
＝4＋8＋12＋…＋2n ＝n
2
＋2n 2
＝
n n ＋
2
；
当n 为奇数时，
T n ＝T n －1＋(－b n )＝
n －
n ＋
2
－n (n ＋1)＝－
n ＋
2
2
.所以T n ＝
⎩⎪⎨⎪⎧
－n ＋
2
2，n 为奇数，n n ＋2
，n 为偶数.
10．[2017·广西南宁模拟]等差数列{a n }的首项a 1＝3, 且公差d ≠0，其前n 项和为S n ，且a 1，a 4，a 13分别是等比数列{b n }的b 2，b 3，b 4项．
(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式； (2)证明：13≤1S 1＋1S 2＋…＋1S n <3
4.
解 (1)设等比数列的公比为q ，
因为a 1，a 4，a 13分别是等比数列{b n }的b 2，b 3，b 4项， 所以(a 1＋3d )2
＝a 1(a 1＋12d )． 又a 1＝3，所以d 2－2d ＝0， 所以d ＝2或d ＝0(舍去)． 所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1.
等比数列{b n }的公比为b 3b 2＝a 4a 1
＝3，b 1＝b 2q
＝1. 所以b n ＝3n －1
.
(2)证明：由(1)知S n ＝n 2
＋2n .
所以1
S n ＝
1n n ＋
＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
n －1n ＋2， 所以1S 1＋1S 2
＋…＋1S n
＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1
n －1n ＋2
＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1
2－1n ＋1－1n ＋2
＝34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1
n ＋1＋1n ＋2<34.
因为
1n ＋1＋1n ＋2≤12＋13＝56
， 所以34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2≥13，
所以13≤1S 1＋1S 2＋…＋1S n <34
.
[B 级 知能提升](时间：20分钟)
11．[2017·宁德模拟]数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝32(n ∈N *
)，a 2＝3，S n 是数列{a n }的前n 项
和，则S 2025＝( )
A ．1516 B.30332 C ．1518 D.3039
2
答案 B
解析 ∵a n ＋a n ＋1＝3
2
，a 2＝3，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
－32
，n 为奇数，3，n 为偶数，
∴S 2025＝1013×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32＋1012×3＝30332. 12．[2017·广州模拟]在数列{a n }中，已知a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2
n ＝( )
A ．(2n －1)2
B.n －
2
3
C ．4n
－1 D.4n
－1
3
答案 D
解析 由题意得，当n ＝1时，a 1＝1，当n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝2n －1
－1，则a n ＝2
n
－1－(2
n －1
－1)＝2
n －1
(n ≥2)，n ＝1时也成立，所以a n ＝2
n －1
，则a 2n ＝2
2n －2
，所以数列{a 2
n }为首
项为1，公比为4的等比数列，所以a 21
＋a 22
＋…＋a 2
n ＝
－4n
1－4＝4n
－13
，故选D.
13．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，当整数n >1时，S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋S 1)都成立，则S 15
＝________.
答案 211
解析 当n >1时，S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋S 1)可以化为(S n ＋1－S n )－(S n －S n －1)＝2S 1＝2，即n >1时，a n ＋1－a n ＝2，即数列{a n }从第二项开始组成公差为2的等差数列，所以S 15＝a 1＋(a 2＋…＋a 15)＝1＋2＋28
2
×14＝211.
14．数列{a n }的前n 项和为S n ，对于任意的正整数n 都有a n >0,4S n ＝(a n ＋1)2
. (1)求证：数列{a n }是等差数列，并求通项公式； (2)设b n ＝a n
3n ，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求T n .
解 (1)证明：令n ＝1,4S 1＝4a 1＝(a 1＋1)2
， 解得a 1＝1， 由4S n ＝(a n ＋1)2
， 得4S n ＋1＝(a n ＋1＋1)2， 两式相减得
4a n ＋1＝(a n ＋1＋1)2
－(a n ＋1)2
， 整理得(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －2)＝0， 因为a n >0， 所以a n ＋1－a n ＝2，
则数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，
a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.
(2)由(1)得b n ＝2n －1
3
n ，
T n ＝131＋332＋533＋…＋
2n －1
3
n ，① 13T n ＝132＋333＋534＋…＋2n －1
3n ＋1，② ①－②得
23T n ＝13＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋1
33＋…＋13n －2n －13n ＋1
＝1
3＋2×19⎝ ⎛
⎭⎪⎫1－13n －11－13－2n －13n ＋1＝23－2n ＋23
n ＋1， 所以T n ＝1－
n ＋1
3
n
.。