北师大版高中数学选修2-2课时跟踪检测(十) 导数与函数的单调性

课时跟踪检测（十） 导数与函数的单调性
一、基本能力达标
1．函数f (x )＝x 3－3x 2＋1的单调递减区间为( )
A ．(2，＋∞)
B ．(－∞，2)
C ．(－∞，0)
D ．(0,2)
解析：选D f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，令f ′(x )<0，得0<x <2，所以f (x )的单调递减区间为(0,2)．
2．已知函数f (x )＝1x －x ，则f (x )在(0，＋∞)上的单调性为( )
A ．f (x )在(0，＋∞)上是增函数
B ．f (x )在(0,1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数
C ．f (x )在(0，＋∞)上是减函数
D ．f (x )在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数
解析：选C 因为f ′(x )＝－1x
2－1<0，所以f (x )在(0，＋∞)上是减函数，选C. 3．若函数h (x )＝2x －k x ＋k 3
在(1，＋∞)上是增函数，则实数k 的取值范围是( ) A ．[－2，＋∞)
B ．[2，＋∞)
C ．(－∞，－2]
D ．(－∞，2]
解析：选A 根据条件得h ′(x )＝2＋k x 2＝2x 2＋k x
2≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k ≥－2x 2在(1，＋∞)上恒成立，所以k ∈[－2，＋∞)．
4．如图为函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象，那么函数y ＝f (x )的图象可能为( )
解析：选A 由导函数y ＝f ′(x )的图象，可知当－1<x <3时，f ′(x )<0，所以y ＝f (x )在(－1,3)上单调递减；当x >3或x <－1时，f ′(x )>0，所以y ＝f (x )在(－∞，－1)和(3，＋∞)上单调递增．综上，函数y ＝f (x )的图象的大致形状如A 中图所示，所以选A.
5．函数f (x )＝x －2sin x 在(0，π)上的单调递增区间为________．
解析：令f ′(x )＝1－2cos x >0，则cos x <12
.
又x ∈(0，π)，解得π3
<x <π， 所以函数在(0，π)上的单调递增区间为⎝⎛⎭
⎫π3，π. 答案：⎝⎛⎭
⎫π3，π 6．函数f (x )＝x ＋b x
(b >0)的单调递减区间为________． 解析：函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋b x ′＝1－b x 2， 令f ′(x )<0，则1x 2(x ＋b )(x －b )<0， ∴－b <x <b ，且x ≠0.
∴函数的单调递减区间为(－b ，0)和(0，b )．
答案：(－b ，0)和(0，b )
7．设f (x )＝－13x 3＋12
x 2＋2ax .若f (x )在⎝⎛⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围． 解：f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14
＋2a ， 当x ∈⎣⎡⎭⎫23，＋∞时f ′(x )的最大值为f ′⎝⎛⎭⎫23＝29
＋2a . 函数有单调递增区间，即在⎝⎛⎭⎫23，＋∞内，导函数大于零有解，令29＋2a >0，得a >－19
. 所以当a ∈⎝⎛⎭⎫－19，＋∞时，f (x )在⎝⎛⎭
⎫23，＋∞上存在单调递增区间． 8．设函数f (x )＝ln(x ＋a )＋x 2，若f ′(－1)＝0，求a 的值，并讨论f (x )的单调性． 解：f ′(x )＝1x ＋a
＋2x ， 依题意，有f ′(－1)＝0，故a ＝32
. 从而f ′(x )＝2x 2＋3x ＋1x ＋32＝(2x ＋1)(x ＋1)x ＋32
. 则f (x )的定义域为⎝⎛⎭
⎫－32，＋∞. 当－32
<x <－1时，f ′(x )>0； 当－1<x <－12
时，f ′(x )<0； 当x >－12
时，f ′(x )>0.
从而f (x )分别在区间⎝⎛⎭⎫－32，－1，⎝⎛⎭⎫－12，＋∞上是增加的，在区间⎝
⎛⎭⎫－1，－12上是减少的．
二、综合能力提升
1．已知函数f (x )＝x ＋1x (x >1)，则有( )
A ．f (2)<f (e)<f (3)
B ．f (e)<f (2)<f (3)
C ．f (3)<f (e)<f (2)
D ．f (e)<f (3)<f (2)
解析：选A 因为在定义域(1，＋∞)上有f ′(x )＝1－1x 2>0，所以f (x )在(1，＋∞)上是增函数，所以f (2)<f (e)<f (3)．故选A.
2．若函数y ＝a (x 3－x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－
33， 33，则a 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞)
B ．(－1,0)
C ．(1，＋∞)
D ．(0,1) 解析：选A y ′＝a (3x 2－1)＝3a ⎝⎛⎭⎫x －
33⎝⎛⎭⎫x ＋33. 当－33＜x ＜33时，⎝
⎛⎭⎫x －33⎝⎛⎭⎫x ＋33＜0， 要使y ＝a (x 3－x )在⎝⎛⎭
⎫－
33， 33上单调递减， 只需y ′＜0，即a ＞0. 3．已知函数f (x )＝－2x 2＋8ax ＋3在(－∞，3]上是增函数，则实数a 的取值范围是( )
A.⎝
⎛⎦⎤－∞，32 B ．⎣⎡⎭⎫32，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫－∞，32 D.⎝⎛⎭
⎫32，＋∞ 解析：选B ∵f (x )在(－∞，3]上是增函数，
∴f ′(x )＝－4x ＋8a ≥0对于x ∈(－∞，3]恒成立．
即a ≥x 2
对于x ∈(－∞，3]恒成立． 令g (x )＝x 2
，x ∈(－∞，3]，则a ≥g (x )ma x . ∵g (x )＝x 2
在(－∞，3]上是增函数， ∴g (x )ma x ＝g (3)＝32，即a ≥32
，选B. 4．已知函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )＞2，则f (x )＞2x ＋4的解集为____________．
解析：设g (x )＝f (x )－2x －4，则g ′(x )＝f ′(x )－2.
∵对任意x ∈R ，f ′(x )＞2，∴g ′(x )＞0. ∴g (x )在R 上为增函数．又g (－1)＝f (－1)＋2－4＝0，∴x ＞－1时，g (x )＞0.
∴由f (x )＞2x ＋4，得x ＞－1.
答案：(－1，＋∞)
5．设函数f (x )＝ax －a x －2ln x . (1)若f ′(2)＝0，求f (x )的单调区间；
(2)若f (x )在定义域上是增函数，求实数a 的取值范围．
解：(1)因为f ′(x )＝a ＋a x
2－2x ，且f ′(2)＝0， 所以a ＋a 4－1＝0，所以a ＝45
. 所以f ′(x )＝45＋45x 2－2x ＝25x
2(2x 2－5x ＋2)， 令f ′(x )≥0，解得x ≤12
或x ≥2， 令f ′(x )≤0，解得12
≤x ≤2， 所以f (x )的递增区间为⎝
⎛⎦⎤－∞，12和[2，＋∞)， 递减区间为⎣⎡⎦⎤12，2.
(2)若f (x )在定义域上是增函数，则f ′(x )≥0恒成立，
因为f ′(x )＝a ＋a x 2－2x ＝ax 2－2x ＋a x 2
， 所以需ax 2－2x ＋a ≥0恒成立，
所以⎩⎪⎨⎪⎧
a >0，Δ＝4－4a 2≤0，解得a ≥1. 所以a 的取值范围是[1，＋∞)．
6．已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R )．
(1)求函数f (x )的单调区间；
(2)当a ＝－1时，证明：当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＋2>0.
解：(1)根据题意知，f ′(x )＝a (1－x )
x (x >0)，
当a >0时，则当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，所以f (x )的单调递
增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)；
同理，当a<0时，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)；
当a＝0时，f(x)＝－3，不是单调函数，无单调区间．
(2)证明：当a＝－1时，f(x)＝－ln x＋x－3，
所以f(1)＝－2，
由(1)知f(x)＝－ln x＋x－3在(1，＋∞)上单调递增，
所以当x∈(1，＋∞)时，f(x)>f(1)．
即f(x)>－2，所以f(x)＋2>0.
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