高中数学解题方法——待定系数法(一)微教案

第8讲 基于数学核心素养的解题方法——待定系数法（一）
待定系数法是一种常用的数学方法，对于某些数学问题，如果已知所求结果具有某种确定的形式，则可引进一些尚待确定的系数来表示这种结果，通过已知条件建立起给定的算式和结果之间的恒等式，得到以待定系数为元的方程（组）或不等式（组），解之即得待定的系数.
【例1】等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，AB =C 的实轴长为 ( )
()A ()B ()C 4 ()D 8
【答案】C .
【解析】x y 162=的准线:4l x =-.
∵C 与抛物线x y 162
=的准线交于,A B 两点，AB =
∴(4,A -，(4,B --.
设222:(0)C x y a a -=>，则222(4)4a =--=，得2a =，24a =.故选C . 【反思】本题考察双曲线与抛物线的性质.
【例2】已知等差数列{}n a 的前n 项和为55=5=15n S a S ，，，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前100项和为 ( )
A ．100101
B ．99101
C ．99100
D ．101100
【答案】A.
【解析】通过已知55=5=15a S ，，列式求解，得到公差与首项，从而得{}n a 的通项公式，
进一步裂项求和：
设等差数列{}n a 的公差为d ，则由55=5=15a S ，可得
1114=5=1=54=15=152n a d a a n d a d +⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⨯+⎩⎪⎩
. ∴()11111==11
n n a a n n n n +-++. ∴100111111100=1=1=223100*********S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
.故选A.
【反思】考察等差数列的通项公式和前项和公式的运用，并涉及裂项求和的综合运用.
【例3】已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y .若点
M 到该抛物线焦点的距离为3，则||OM =( )
A 、 B
、 C 、4 D 、【答案】B.
【解析】设抛物线方程为()220y px p =>,则焦点坐标为（
,02p ），准线方程为=2p x
-.
∵点M 在该抛物线上，
∴点M 到该抛物线焦点的距离等于到准线的距离，
即
3==
，
解得，01,p y ==.∴M （.
∴||OM ==故选B.
【反思】本题是对抛物线定义的考察.
【例4】已知椭圆经过点2)-和点(-，则椭圆的标准方程为（ ） A.221515x y += B.221155x y += C.221412x y +=
D.22
1124
x
y += 【答案】B.
【解析】设椭圆的方程为221(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠.由点2)-和点(-都在椭圆上，
得2222(3)(2)1(23)11
m n m n ⎧⋅+⋅-=⎪⎨⋅-+⋅=⎪⎩，解得11,155m n ==. 故所求椭圆的标准方程为22
1155
x y += 【反思】待定系数法对于椭圆方程的设法具有一定的讲究，方程设的好，可以简化计算.
待定系数法主要培养了学生的数学运算能力。

数学运算是数学活动的基本形式，也是演绎推演的一种形式，是得到数学结果的重要手段。

在因式分解、数列求和、求函数式，解析几何求曲线方程等问题中，都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法解决。

你能否从核心素养的层面对以上例题做归纳总结呢?
1已知二次函数()=y f x 的图像如图所示 ，则它与x 轴所围图形的面积为( )
A.25π
B.43
C.32
D.2π 2.设,,,,,a b c x y z 是正数，且222222++=10,++=40,++=20a b c x y z ax by cz ，则++=++a b c
x y z ( ) A. 14 B. 13 C.12 D.34
3.已知()f x 为一次函数，且((()))87f f f x x =+，则()f x =（ ） A ．2x+1 B ．x+2 C ．－2x+1 D ．8x+7。