高中数学第二章推理与证明滚动训练三新人教A版选修2-2(2021年整理)

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第二章 推理与证明
滚动训练三(§1.5～§2.3）
一、选择题
1．已知f （x ）＝错误!则()1
-1d f x x ⎰的值为( ) A 。

错误!
B.错误!
C.错误!
D ．－错误!
考点 分段函数的定积分
题点 分段函数的定积分
答案 B 解析 ()1-1d f x x ⎰＝021d x x -⎰＋1
01d x ⎰＝2
01|3x -＋1 ＝错误!＋1＝错误!，故选B 。

2．用三段论推理：“任何实数的平方大于0，因为a 是实数,所以a 2>0”，你认为这个推理( )
A ．大前提错误
B ．小前提错误
C ．推理形式错误
D ．是正确的
考点 “三段论”及其应用
题点 大前提错误导致结论错误
答案 A
解析 任何实数的平方大于0，因为a 是实数，所以a 2>0,
大前提：任何实数的平方大于0是不正确的，0的平方就不大于0。

故选A 。

3.如图,抛物线y＝－x2＋2x＋1与直线y＝1形成一个闭合图形（图中的阴影部分），则该闭合图形的面积是（）
A．1 B.错误!
C。

错误!D．2
考点利用定积分求曲线所围成图形面积
题点不需分割的图形的面积求解
答案B
解析由错误!知错误!或错误!
故所求面积S＝ʃ错误!(－x2＋2x＋1）dx－ʃ错误!1dx
＝错误!错误!－x｜错误!＝错误!。

4．有甲、乙、丙、丁四位同学竞选班长，其中只有一位当选．有人走访了四位同学,甲说：“是乙或丙当选”,乙说:“甲、丙都未当选”,丙说:“我当选了”，丁说：“是乙当选了”,若四位同学的话只有两句是对的，则当选的同学是( ）
A．甲B．乙
C．丙D．丁
考点演绎推理的综合应用
题点演绎推理在其他方面中的应用
答案C
解析若甲当选，则都说假话，不合题意．
若乙当选，则甲、乙、丁都说真话，丙说假话，不符合题意．
若丁当选，则甲、丁、丙都说假话，乙说真话，不符合题意．
故当选的同学是丙，故选C.
5．对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出：正四面体的内切球切于四面各正三角形的位置是( ）
A．各正三角形内的任一点
B．各正三角形的中心
C．各正三角形边上的任一点
D．各正三角形的某中线的中点
考点类比推理的应用
题点平面几何与立体几何之间的类比
答案B
解析正三角形类比正四面体，正三角形的三边类比正四面体的四个面，三边的中点类比正三角形的中心．
6．用数学归纳法证明1＋错误!＋错误!＋…＋错误!<n（n∈N*且n>1),第二步证明中从“k到k ＋1"时，左边增加的项数是( ）
A．2k＋1 B．2k－1
C．2k－1D．2k
考点数学归纳法定义及原理
题点数学归纳法第二步:归纳递推
答案D
解析当n＝k时，左边＝1＋错误!＋错误!＋…＋错误!，
那么当n＝k＋1时，左边＝1＋错误!＋错误!＋…＋错误!＋错误!＋…＋错误!＝1＋错误!＋错误!＋…＋错误!＋错误!＋…＋错误!，
所以左边增加的项为1
2k
＋
1
2k＋1
＋…＋错误!,所以项数为2k。

7．观察下列数表规律
2→36→710→11
↑ ↓↑ ↓↑↓
0→1 4→58→912→…则数2 017的箭头方向是（）
A．2 017→ B．↓
↑ 2 017→
C．↑ D．→2 017
→2 017↓
考点归纳推理的应用
题点归纳推理在数阵（表）中的应用
答案C
解析因下行奇数是首项为1,公差为4的等差数列,若2 017在下行，则2 017＝1＋（n－1)·4，得n＝505∈N*.故2 017在下行,又因为在下行奇数的箭头为→错误!，故选C。

8．已知f（x）＝x3＋x，a，b∈R，且a＋b〉0，则f(a）＋f(b）的值一定（）
A．大于零B．等于零
C．小于零D．正负都有可能
考点演绎推理的综合应用
题点演绎推理在函数中的应用
答案A
解析∵f（x)＝x3＋x，∴f（x）是增函数且是奇函数．
∵a＋b〉0，∴a>－b,
∴f(a)>f（－b）＝－f(b)，∴f（a)＋f（b）>0.
二、填空题
9．用数学归纳法证明错误!＋错误!＋…＋错误!〉错误!－错误!。

假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是________________________．
考点数学归纳法定义及原理
题点数学归纳法第二步:归纳递推
答案错误!＋错误!＋…＋错误!＋错误!＋错误!〉错误!－错误!
解析观察不等式中的分母变化知，错误!＋错误!＋…＋错误!＋错误!＋错误!〉错误!－错误!. 10．观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，…。

根据上述规律,第五个等式为________________．
考点归纳推理的应用
题点归纳推理在数对（组）中的应用
答案13＋23＋33＋43＋53＋63＝212
解析由所给等式可得,等式两边的幂式指数规律明显，底数关系如下，
1＋2＝3，1＋2＋3＝6,1＋2＋3＋4＝10，
即左边底数的和等于右边的底数，故第五个等式为
13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋3＋4＋5＋6）2＝212。

11．已知点A(x1，13x),B(x2,23x)是函数y＝3x的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段
AB总是位于A,B两点之间函数图象的上方，因此有结论错误!〉
12
2
3
x x
成立．运用类比思想方法
可知，若点A(x1,tan x1),B（x2，tan x2）是函数y＝tan x错误!的图象上任意不同两点，则类似地有________________成立．
考点类比推理的应用
题点平面曲线之间的类比
答案错误!<tan错误!
解析因为y＝tan x错误!图象是上凸的，
因此线段AB的中点的纵坐标错误!总是小于函数y＝tan x错误!图象上的点错误!的纵坐标，即有错误!<tan错误!成立．
12．已知集合{a，b，c}＝｛0，1，2},且下列三个关系：①a≠2；②b＝2；③c≠0有且只有一个正确,则100a＋10b＋c＝________。

考点反证法及应用
题点反证法的应用
答案201
解析因为三个关系中只有一个正确，分三种情况讨论：若①正确，则②③不正确,得到错误!由于集合｛a，b，c}＝{0,1，2},所以解得a＝b＝1，c＝0或a＝1，b＝c＝0或b＝1,a＝c＝0,与互异性矛盾；
若②正确，则①③不正确，得到错误!与互异性矛盾；
若③正确，则①②不正确，得到错误!则错误!符合题意,所以100a＋10b＋c＝201。

三、解答题
13．已知实数p满足不等式（2p＋1)（p＋2)〈0,用反证法证明，关于x的方程x2－2x＋5－p2＝0无实数根．
考点反证法及应用
题点反证法的应用
证明假设方程x2－2x＋5－p2＝0有实数根，
则该方程的根的判别式Δ＝4－4（5－p2)≥0,
解得p≥2或p≤－2.①
而由已知条件实数p满足不等式（2p＋1）（p＋2）<0，
解得－2〈p〈－错误!.②
数轴上表示①②的图形无公共部分，故假设不成立，从而关于x的方程x2－2x＋5－p2＝0无实数根．
四、探究与拓展
14．已知△ABC的三边a,b,c的倒数成等差数列,试分别用综合法和分析法证明B为锐角．
考点分析法和综合法的综合应用
题点分析法和综合法的综合应用
证明分析法：
要证明B为锐角，B为三角形的内角，
则只需证cos B>0。

又cos B＝错误!,只需证a2＋c2－b2>0。

即证a2＋c2〉b2。

又a2＋c2≥2ac，只需证2ac〉b2。

由已知错误!＝错误!＋错误!，即2ac＝b(a＋c），
只需证b(a＋c)>b2,即证a＋c〉b成立，在△ABC中，最后一个不等式显然成立．所以B为锐角．
综合法:
由题意得错误!＝错误!＋错误!＝错误!，
则b＝错误!，b(a＋c）＝2ac〉b2（因为a＋c〉b)．
因为cos B＝错误!≥错误!>0，
又0<B<π.
所以0<B<错误!，即B为锐角．
15．设数列｛a n}的前n项和为S n，满足S n＝2na n＋1－3n2－4n,n∈N＊,且S3＝15. (1）求a1，a2,a3的值;
（2）猜想数列｛a n｝的通项公式．并用数学归纳法证明．
考点数学归纳法证明数列问题
题点利用数学归纳法证明数列通项问题
解(1）由题意知S2＝4a3－20,
∴S3＝S2＋a3＝5a3－20。

又S3＝15,∴a3＝7，S2＝4a3－20＝8。

又S2＝S1＋a2＝(2a2－7）＋a2＝3a2－7，
∴a2＝5，a1＝S1＝2a2－7＝3.
综上可知，a1＝3,a2＝5，a3＝7。

(2)由（1）猜想a n＝2n＋1,下面用数学归纳法证明．
①当n＝1时,猜想显然成立;
②假设当n＝k(k≥1,k∈N*)时,猜想成立,即a k＝2k＋1，
当n＝k＋1时,
S k＝3＋5＋7＋…＋（2k＋1)＝错误!
＝k(k＋2)．
又S k＝2ka k＋1－3k2－4k，
∴k(k＋2）＝2ka k＋1－3k2－4k，
解得2a k＋1＝4k＋6，
∴a k＋1＝2(k＋1）＋1，即当n＝k＋1时，猜想成立．
由①②知，∀n∈N＊,a n＝2n＋1.。