高考数学压轴专题2020-2021备战高考《坐标系与参数方程》易错题汇编附解析

【高中数学】高考数学《坐标系与参数方程》解析
一、13
1．已知曲线Γ
的参数方程为(3cos ln x t t t y t ⎧=-⎪
⎨=⎪⎩
其中参数t R ∈，,则曲线Γ（ ） A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称
C ．关于原点对称
D ．没有对称轴
【答案】C 【解析】 【分析】
设()x f t =，()y g t = t R ∈，首先判断这两个函数都是奇函数，然后再判断函数关于原点对称. 【详解】
设()x f t =，()y g t = t R ∈
()()()()()3
33cos cos cos f t t t t t t t t t t x -=----=-+=--=-，
()x f t ∴=是奇函数， ()()
(
(
ln ln g t g t t t -+=-+
++
((
ln ln ln10t t =-+== ,
()y g t ∴=也是奇函数，
设点()()(
)
,P f t g t 在函数图象上，那么关于原点的对称点是()()()
,Q f t g t --，
()f t Q 和()g t 都是奇函数，
所以点Q 的坐标是()()()
,Q f t g t --，可知点Q 在曲线上，
∴ 函数图象关于原点对称.
故选：C 【点睛】
本题考查函数图象和性质的综合应用，意在考查转化与计算能力，属于中档题型.
2．在满足极坐标和直角坐标互的化条件下，极坐标方程2
2212
3cos 4sin ρθθ
=
+经过直角
坐标系下的伸缩变换12x x y y
⎧=⎪⎪
⎨=''⎪⎪⎩
后，得到的曲线是（ ）．
A ．直线
B ．椭圆
C ．双曲线
D ．圆
【答案】D 【解析】 【分析】
先把极坐标方程化为直角坐标方程，再经过直角坐标系下的伸缩变换，把直角坐标方程中的x ，y 分别换成得2x '
'，由此能求出结果． 【详解】 ∵极坐标方程2
2212
3+4cos sin ρθθ
=
∴2
2
2
2
3cos 4sin 12ρθρθ+=
∴直角坐标方程为2
2
3412x y +=，即22
143
x y +=
∴经过直角坐标系下的伸缩变换12x x y y
⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩
后得到的曲线方程为2(2)14x '=，
即22()()1x y ''+=. ∴得到的曲线是圆 故选D. 【点睛】
本题考查曲线形状的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意极坐标方程、直角坐标方程和直角坐标系下的伸缩变换公式的合理运用．
3．曲线C 的参数方程为2x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l
的参数方程为212x y t
⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
（t 为参数），若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，则AB 等于（ ） A
．
7
B
．
7
C
．
13
D
．
13
【答案】C 【解析】
分析：首先将取消C 的方程化为直角坐标方程，然后结合直线参数方程的几何意义整理计算即可求得最终结果.
详解：曲线C 的参数方程2x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩
（θ为参数）化为直角坐标方程即：22
14y x +=，
与直线l
的参数方程212x t y t
⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
（t 为参数）联立可得：21613t =，
则12t t =
=，
结合弦长公式可知：12AB t t =-=. 本题选择C 选项.
点睛：本题主要考查参数方程的应用，弦长公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
4．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C
的参数方程为sin x y θ
θ⎧=⎪⎨
=⎪⎩
（θ为参数），直线l
的方程为4x y +=，则曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值是（ ） A
．
2
B
C ．1
D ．2
【答案】B 【解析】 【分析】
设曲线C
上任意一点的坐标为
),sin θθ，利用点到直线的距离公式结合辅助角公
式可得出曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值. 【详解】
设曲线C
上任意一点的坐标为
)
,sin θθ，
所以，曲线C 上的一点到直线l
的距离为
d =
=
42sin πθ⎛⎫-+ ⎪= 当()232
k k Z π
π
θπ+
=
+∈时，d
取最小值，且min d =
= B. 【点睛】
本题考查椭圆参数方程的应用，考查椭圆上的点到直线距离的最值问题，解题时可将椭圆上的点用参数方程表示，利用三角恒等变换思想求解，考查运算求解能力，属于中等题.
5．已知曲线T
的参数方程1x k
y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（k 为参数），则其普通方程是（）
A ．221x y +=
B ．
()22
10x y x +=≠ C
．00x y x ⎧>⎪=⎨<⎪⎩
D
．y =0x ≠)
【答案】C 【解析】 【分析】 由已知1x k =得1
k x
=代入另一个式子即可消去参数k ，要注意分类讨论。

【详解】
由题意1x k =Q 1k x ∴=
代入y =
y =
y ∴=①当0x >
时y ∴=②当0x <
时y ∴=
综上0
x y x ⎧>⎪=⎨<⎪⎩
故选：C 【点睛】
本题考查曲线的普通方程的求法，考查直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想及分类讨论思想，是基础题．
6．若实数x ，y 满足()()2
2
512196x y ++-=，则2
2x y +的最大值为( )
A ．1
B ．14
C ．729
D ．27
【答案】C 【解析】 【分析】
设14cos 5x t =-，14sin 12y t =+，利用辅助角公式可得
22x y +()364sin 365t α=-+，由三角函数的有界性可得结果.
【详解】
由2
2
2
(5)(12)19614x y ++-==，
22
51211414x y +-⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 令5cos 14x t +=， 12
sin 14
y t -=， 则14cos 5x t =-，14sin 12y t =+，
因此2
2x
y +22(14cos 5)(14sin 12)t t =-++
140cos 336sin 365t t =-++
1252813sin cos 3651313t t ⎛⎫
=⨯⨯⨯-⨯+ ⎪⎝⎭
()364sin 365t α=-+（其中5sin 13α=
,12
cos 13
α=） 又1sin()1t α-≤-≤Q
221729x y ∴≤+≤
因此最大值为729，故选C. 【点睛】
本题主要考查圆的参数方程的应用，考查了辅助角公式以及三角函数的有界性，属于综合题.
7．在极坐标系中，点(),ρθ与(),ρπθ--的位置关系为（ ） A ．关于极轴所在直线对称 B ．关于极点对称 C ．重合 D ．关于直线()2
R π
θρ=
∈对称
【答案】A 【解析】 【分析】
由点(),ρπθ--和点(,)ρθ-为同一点. 则比较点(,)ρθ-和点(),ρθ，可推出点(),ρθ与
(),ρπθ--的位置关系.
【详解】
解：点(),ρπθ--与点(),ρθ-是同一个点，(),ρθ-与点(),ρθ关于极轴对称.∴点
(),ρθ与(),ρπθ--关于极轴所在直线对称.
故选：A. 【点睛】
考查极坐标的位置关系.题目较为简单，要掌握极坐标的概念.
8．曲线1C :1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)上的点到曲线2C
:12
112x t y t
⎧
=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
(t 为参数)上的点
的最短距离为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
【答案】A 【解析】 【分析】
分别将圆1C 和直线2C 转化为直角坐标方程，然后利用圆上的点到直线的距离与圆心到直线距离的关系从而求出最短距离． 【详解】
将1C 转化为直角坐标方程为()2
211x y -+=， 所以曲线1C 是以()1,0为圆心，1为半径的圆． 将2C
转化为直角坐标方程为10x y ++=，
由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离为2d =
=，
所以圆上的点到直线的最小距离为211d r -=-=， 故选A ． 【点睛】
本题考查圆上的点到直线的距离，若圆心距为d ，圆的半径为r 且圆与直线相离，则圆上的点到直线距离的最大值为d r +，最小值为d r -．
9．将直线1x y -=变换为直线326x y -=的一个伸缩变换为（ ） A ．23x x
y y
''=⎧⎨
=⎩ B ．32x x
y y ''=⎧⎨
=⎩
C ．1
312x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩
D ．1
213x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩
【答案】A 【解析】 【分析】
设伸缩变换的公式为(0,0)x ax a b y by =⎧>>⎨⎩'='，则11x x a
y y b ⎧=⎪⎪⎨=''
⎪⎪⎩
，代入直线1x y -=的方程，
变换后的方程与直线326x y -=的一致性，即可求解． 【详解】
由题意，设伸缩变换的公式为(0,0)x ax a b y by =⎧>>⎨⎩'='，则11x x a
y y b ⎧=⎪⎪⎨=''
⎪⎪⎩
代入直线1x y -=的方程，可得11
1x y a b
''-=， 要使得直线11
1x y a b
''-=和直线326x y -=的方程一致， 则
112a =且11
3
b =，解得2,3a b ==， 所以伸缩变换的公式为23x x
y y ''=⎧⎨=⎩
，故选A ．
【点睛】
本题主要考查了图形的伸缩变换公式的求解及应用，其中解答中熟记伸缩变换公式的形式，代入准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
10．若点P
的直角坐标为(1,，则它的极坐标可以是（ ） A ．52,
3
π⎛⎫ ⎪⎝
⎭
B ．42,
3
π⎛⎫ ⎪⎝
⎭
C ．72,
6
π⎛⎫ ⎪⎝
⎭
D ．112,
6π⎛⎫
⎪⎝⎭
【答案】A 【解析】 【分析】
设点P 的极坐标为()(),02ρθθπ≤<，计算出ρ和tan θ的值，结合点P 所在的象限求出θ的值，可得出点P 的极坐标. 【详解】
设点P 的极坐标为()(),02ρθθπ≤<，则
2ρ=
=
，tan θ=
=. 由于点P 位于第四象限，所以，53πθ=，因此，点P 的极坐标可以是52,3
π⎛⎫
⎪⎝⎭
，故选：A. 【点睛】
本题考查点的直角坐标化极坐标，要熟悉点的直角坐标与极坐标互化公式，同时还要结合点所在的象限得出极角的值，考查运算求解能力，属于中等题.
11．在极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程为2sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为
2cos ρθ=。

若射线3
π
θ=与曲线1C 和曲线2C 分别交于,A B 两点（除极点外），则
AB 等于（ ）
A ．31-
B ．31+
C ．1
D ．3
【答案】A 【解析】 【分析】 把3
π
θ=分别代入2sin ρθ=和2cos ρθ=，求得,A B 的极经，进而求得AB ，得到答
案． 【详解】 由题意，把3
π
θ=代入2sin ρθ=，可得2sin
33
A π
ρ==，
把3
π
θ=
代入2cos ρθ=，可得2cos
13
B π
ρ==，
结合图象，可得31A B AB ρρ=
-=-，故选A ．
【点睛】
本题主要考查了简单的极坐标方程的应用，以及数形结合法的解题思想方法，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
12．如图，扇形的半径为1，圆心角150BAC ∠=︒，点P 在弧BC 上运动，
AP mAB nAC =+u u u v u u u v u u u v
，则3m n -的最大值是（）
A ．1
B 3
C ．2
D ．23【答案】C 【解析】
以A 为原点可建立坐标系，设()cos ,sin P θθ，0150θ≤≤o o ；根据AP mAB nAC
=+u u u v u u u v u u u v
可求得cos 3
sin 2sin m n θθθ
⎧=+⎪⎨=⎪⎩，从而得到()
32sin 60m n θ-=+o
，利用三角函数值域求
解方法可求得结果. 【详解】
以AB 为x 轴，以A 为原点，建立坐标系，如下图所示：
设()cos ,sin P θθ，0150θ≤≤o o ，则()0,0A ，()10B ,，312C ⎛
⎫
⎪ ⎪⎝
⎭
()cos ,sin AP θθ∴=u u u v ，()1,0AB =u u u v ，3122AC ⎛⎫
=- ⎪ ⎪⎝⎭
u u u v
AP mAB nAC
=+u u u v u u u v u u u v Q 3
cos 21sin 2m n n
θθ⎧=-⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩
，解得：cos 32sin m n θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ()33sin 2sin 60m n θθθ∴-=+=+o
0150θ≤≤o o Q 6060210θ∴≤+≤o o o ()1sin 6012
θ∴-≤+≤o
132m n ∴-≤-≤3m n -的最大值为2
本题正确选项：C 【点睛】
本题考查利用圆的参数方程求解最值的问题，关键是能够建立坐标系，利用圆的参数方程将问题转化为三角函数最值的求解问题.
13．若,a b ∈R ，且2210a b += ，则-a b 的取值范围是( )
A ．552,2-⎡⎣
B ．210,210⎡⎤-⎣⎦
C ．10,10⎡-⎣
D ．(5,5-
【解析】 【分析】
利用参数方程，令,a b αα==，转化为
sin )4a b πααα⎛
⎫-=+ ⎪⎝
-⎭=求解.
【详解】
令,a b αα==
则sin )4a b πααα⎛⎫
-=+
⎪⎝
-⎭
=
所以a b -∈-⎡⎣
故选：A 【点睛】
本题主要考查参数方程的应用，还考查了换元的思想和运算求解的能力，属于基础题.
14．在极坐标系中，曲线C 的方程为2
23
12sin ρθ
=
+，以极点O 为直角坐标系的原点，
极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy ，设(),P x y 为曲线C 上一动点，则1x y +-的取值范围为（ ）
A ．1⎡⎤⎣⎦
B ．[]3,1-
C ．[]22-,
D ．[]
2,1--
【答案】B 【解析】 【分析】
将曲线C 的方程2
2
312sin ρθ=+化为直角坐标形式，可得2
213
x y +=，设
x α=，sin y α=，由三角函数性质可得1x y +-的取值范围.
【详解】
解：将cos =x ρθ ，sin y ρθ=代入曲线C 的方程2
23
12sin ρθ
=
+，
可得：2
2
2
2sin 3ρρθ+=，即2
2
33x y +=，2
213
x y +=
设x α=，sin y α=，
可得1sin 1sin )12sin()1213
x y π
ααααα+-=-=+++--=， 可得1x y +-的最大值为：1，最小值为：3-，
【点睛】
本题主要考查极坐标和直角坐标的互换及椭圆的参数方程，属于中档题，注意运算准确.
15．在平面直角坐标系中，O 为原点，()1,0A -
，(0B ,()30C ，
，动点D 满足1CD =u u u r
, 则OA OB OD ++u u u r u u u r u u u r
的取值范围是（ ）
A ．[]
46，
B
．⎤⎦ C
．⎡⎣
D
．⎤⎦
【答案】D 【解析】
试题分析：因为C 坐标为()
3,0且1CD =,所以动点D 的轨迹为以C 为圆心的单位圆,则
D 满足参数方程3cos {
sin D D x y θθ
=+=(θ为参数且[
)0,2θπ∈),所以设D 的坐标为为()[)()3cos ,sin 0,2θθθπ+∈,
则
OA OB OD ++=
u u u r u u u r u u
u r
=
因为2cos θθ
+的取值范围为
⎡⎡=⎢⎣
⎣
1=
=
1=
=,所以
OA OB OD ++u u u r u u u r
u u u r
的取值范围为1⎤=⎦,故选D.
考点：参数方程 圆 三角函数
16．把曲线12cos 2sin x C y θθ
=⎧⎨
=⎩
：（θ为参数）上各点的横坐标压缩为原来的1
4，纵坐标压缩为2C 为 A ．2
2
1241x y +=
B ．2
2
4413
y x +=
C ．2
2
13
y x +=
D ．22344x y +=
【答案】B
根据题意，曲线C 2：
12θ 2x cos y sin θθ⎧=⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩
（为参数）， 消去参数，化为直角坐标方程是2
2
4413
y x +=
故选B ．
点睛：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，经常用到公式：
2222
1
cos sin 1,1tan cos θθθθ
+=+=
.不要忘了参数的范围.
17．将点的直角坐标(－2，
)化成极坐标得( )． A ．(4，
23
π) B ．(－4，
23
π) C ．(－4，
3
π) D ．(4，
3
π) 【答案】A 【解析】 【分析】
由条件求得ρ=cos x
θρ
=
、sin y
θρ
=
的值，可得θ的值，从而可得极坐标.
【详解】
∵点的直角坐标(2-
∴4ρ=
==，21
cos 42x
θρ
-=
=
=-
，sin y θρ=== ∴可取23
πθ=
∴直角坐标(2-化成极坐标为24,3
π⎛
⎫ ⎪⎝
⎭
故选A. 【点睛】
本题主要考查把点的直角坐标化为极坐标的方法，属于基础题．注意运用ρ=cos x
θρ
=
、sin y
θρ
=
(θ由(),x y 所在象限确定).
18．在极坐标系中，圆cos()3
πρ=θ+的圆心的极坐标为（ ）
A ．1(,)2
3
π-
B ．1(,
)23
π
C ．(1,)3
π-
D ．(1,)3
π
【答案】A 【解析】
由圆cos()3
πρ=θ+，化为21(cos )22ρρθθ=-，∴22122
x y x y +=-，
化为221
1()(44
x y -+=，
∴圆心为1
(,4
，半径r=12．
∵tan α=3
π-
， ∴圆cos()3
πρ=θ+的圆心的极坐标为1(,)2
3
π-． 故选A ．
19．已知曲线2cos :2sin x C y θθ=⎧⎨
=⎩（θ为参数）和直线:x t
l y t b
=⎧⎨=+⎩（t 为参数，b 为实数），
若曲线C 上恰有3个点到直线l 的距离等于1，则b 等于（ ）
A B ．
C ．0
D ．【答案】D 【解析】 【分析】
求出曲线C 与直线的直角坐标方程，根据题意推出圆心到直线的距离为1，列出等式求解即可. 【详解】
利用同角三角函数的基本关系可得曲线C 的直角坐标方程为2
2
4x y +=，圆的半径为2， 消去参数t 可以得到直线l 的直角坐标方程为y x b =+. 依题意，若要使圆上有3个点到直线l 的距离为1，
只要满足圆心到直线的距离为1
1=，解得b =
故选：D 【点睛】
本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线与圆的位置关系，属于基础题.
20．已知点N 在圆224x y +=上，()2,0A -，()2,0B ，M 为NB 中点，则sin BAM
∠
的最大值为（ ）
A ．
12
B ．
13
C D 【答案】B 【解析】 【分析】
设(2cos ,2sin )N αα，则(1cos ,sin )M αα+先求出AM 的斜率的最大值，再得出sin NAM ∠的最大值． 【详解】
解：设(2cos ,2sin )N αα，则(1cos ,sin )M αα+，
sin 0sin tan 1cos 2cos 3BAM αααα-∠=
=+++…
， 1sin 3
BAM ∴∠…
， 故选：C ． 【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．。