苏教版八年级数学(上册)-轴对称与轴对称图形

B
B′
A A′ l
如果直线l外有线段AB，那么怎样画出线 段AB关于直线l的对称线段A′B′？
B
B′
A′
A
l
画出△ABC关于直线MN的对称图形．
A B
MБайду номын сангаасA′
●
B′
●
C
●
C′
N
在图中，四边形ABCD与四边形EFGH关于
直线l对称。连接AC、BD。设它们相交于点P。
怎样找出点P关于l的对称点Q？
直线l是线段AB的垂直平分线． l
A
1
B
●
●
O
活动二：
仿照上面的操作，在对折后的纸上再扎一个孔，把纸展 开后记这两个针孔为点B、点B′，连接AB、A′B′、BB′．你 有什么新的发现？
l A′
B′
活动三：
如图，并仿照上面进行操作，扎孔、展开、标记、连线．
△ABC 与△A′B′C′有什么关系？
l A
2．轴对称图形对称点的连线互相平行或在同一条 直线上．
3．轴对称图形中的对称线段所在直线的交点在对称 轴上或对称线段所在直线互相平行．
思考：
如图，点A、B、 C都在方格纸的格点上， 请你再找一个格点D， 使点A、B、C、D组成 一个轴对称图形．
去掉网格线，你能 找出点C关于直线AB 的对应点么？
C
①请在图8中再找2个圆涂色，使得整个图案仍然只 有1条对称轴；
②请在图9中再找3个圆涂色，使得整个图案有4条 对称轴；
③在图10中，至少再找多少个圆涂色，才能使得整 个图案有2条对称轴？
张兰的姑姑过几天就要结婚了，她想请张兰帮
她剪几个“囍”字，装饰一下新房，张兰想请大家
一起帮她剪，好不好？
折第 叠一
次
折第 叠二
次
苏教版八年级数学（上册）
线段、角的轴对称性
【做一做】
在一张薄纸上画 ∠AOB，操作并思考： 它是轴对称图形吗？ 为什么？
A
O
B
角是轴对称图形，它的对称轴在哪里？为什么？
角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它 的对称轴.
【想一想】
1.在∠AOB的角平分线OC任意取一点P，分别作出点P到 OA、OB的距离，对折一下，你发现了什么？
（3）你还能设计出其它的图案吗？是轴对称的图 案吗？请顺便画出对称轴. 让学生开展活动，动手操作，教师对拼图有困难的学 生进行适当指导和帮助，引导其顺利完成任务.
如图，有图1、3的图案各4张，请分别 贴在图2、4中，使得整个图案为轴对称图案。
如图，有图5只有1条对称轴。
在图5基础上，再对其他圆涂色而得到的 图6、7有几条对称轴？
苏教版八年级数学（上册）
轴对称的性质
活动一：
如图所示，把一张纸折叠后，用针扎一个孔；
再把纸展开，两针孔分别记为点A、点A′，折
痕记为l ；连接AA′，AA′与l相交于点O ．
你有什么发现 （小组交流）？
l
●
OA=O A′
l
A O A′
●
●
l
12
A●
o
● A′
因为 把纸沿折痕 l 折叠时，点A、A′重合，
你能得出什么结论？ A′
C B
C′ ● B′
△ABC ≌△A′B′C′
说一说 轴对称的性质
A
A
轴对称的性质： 1．成轴对称的两个图形全等．
2．成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对 称轴垂直平分．
例1 小明取一张纸，用小针在纸上扎出“4”，然后将纸 放在镜子前．
（1）图中两个“ 4 ”有什么关系？ （2）你能画出镜子所在直线l的位置吗？
PD＝PE ，
O
∴点P在角平分线AC上 ．
A D
PC
EB
角平分线是到角两边距离相等的点的集合．
【做一做 】
1．如图，OC是∠AOB的平分线，PD⊥DA 于点D，PD=5，则P点到OB的距离是_____．
【做一做 】
2．如图，在△ABC中，∠B=90°，BC=10， ∠BAC的角平分线AD交BC于点D，BD：DC＝ 2：3，则点D到AC的距离是________．
●A
l E●
C●
● D H●
●F
●B
G●
（5）延长线段CA、FE，连接CB、FG并延长，作直线AB、
EG，你有什么发现吗？ 轴对称图形中的对称线段所在直线的交点在对称轴上
或对称线段所在直线互相平行．
●A
l E●
C●
● D H●
●F
●B
G●
小结
1．轴对称的性质： （1）成轴对称的两个图形全等． （2）如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称 点连线的垂直平分线．
❖练习 ❖ 1．尽可能多地在你的周围环境中找出轴对称的物体和建筑物. ❖ 2．观察下列各种图形，判断是不是轴对称图形.
三：学生实验（2）
在纸上滴几滴墨水，把纸张对折，随后打开， 看看形成的两块墨迹是不是关于折痕对称？它的对 称轴是什么？
轴对称及其特性
归纳：对于两个图形，如果沿一条直线对折后，它
们能完全重合，那么这两个图形关于这条直线轴对称， 这条直线就是对称轴。两个图形中的对应点（即两个 图形重合时互相重合的点）叫对称点。
变式：
已知：在∠ABC中，D是∠ABC平分线上一点,E、F分
别在AB、AC上，且DE=DF.试判断∠BED与∠BFD的
关系，并说明理由.
A
M
E
D
B NFC
苏教版八年级数学（上册）
等腰三角形的轴对称性
【情境引入】
1. 观察图中的等腰三角形ABC，分别说出它 们的腰、底边、顶角和底角.
【情境引入】
所以 l⊥AE ，l⊥BG． 所以 AE ∥BG．
●A
l E●
C●
● D H●
●F
●B
G●
（4） AE与BG平行，能说明轴对称图形对称点的连线一 定互相平行吗？
解：（4） 不一定． 如图，对称点的连线DH、CF就不互相平行，而是 在同一条直线上，从而说明轴对称图形对称点的连线 互相平行或在同一条直线上．
A DP C
EB
在上面的结论中，由条件： (1)OC是∠AOB的 平分线，点P在OC上； (2)PD⊥OA，PE⊥OB， 才能得出PD=PE，两者缺一不可．
【说一说】
还有其他间接结论吗？
O
A D
PC
EB
如图，OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB， 则下列结论：①∠DOP=∠EOP，②∠OPD=∠OPE， ③PD=PE，④OD=OE中，正确的有__________．
DA
P
O
C
EB
已知：如图，在∠AOB的角平分线OC任意取一点 P，PD⊥OA，PE⊥OB.
求证：PD＝PE.
2.像这样的点P还有吗？
定理 角平分线上的点到角两边的距离相等．
∵点P在角平分线OC上， PD⊥OA，PE ⊥OB， O
∴PD＝PE ．
A D
PC
EB
下图中PD＝PE吗？
A
D PC
O
EB
O
（1）
●A
l E●
C●
● D H●
●F
●B
G●
（2）图中点A、B、C、D的对称点分别
是 E、G、F、H ，线段AC、AB的对应线段
分别是 EF、EG ，CD= FH
，
∠CAB= ∠FEG ，∠ACD= ∠EFH .
●A
l E●
C●
● D H●
●F
●B
G●
（3）连接AE、BG， AE与BG平行吗？为什么？ 解：（3）平行． 因为 A和E，B和G是关于直线 l 的对称点，
【做一做 】
3．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线， DE⊥AB，交AB于点E，交AC于点F，若 S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC＝_____．
【做一做 】
4．在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分 ∠ABC交AC于点D，AB的垂直平分线分别交 AC、AB于D、E两点．且DE＝1cm，BD＝ 2cm．则AC的长为_________cm．
问题三：等腰三角形是轴对称图形.
等腰三角形的顶角平分线（底边上的高、中线） 所在直线是它的对称轴.
等腰三角形的两个底角相等.
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底 边上的高互相重合.
【归纳总结】
我们有如下定理： 等腰三角形的两底角相等. 等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分
线重合.
思考：如何证明这个定理？
所以 线段OA、OA′重合，
即
O是AA′的中点．
因为 ∠1＝∠2 且 ∠1＋∠2＝180°，
所以 ∠1＝∠2＝90°．
所以 l 垂直且平分AA′．
垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂 直平分线(midpoint perpendicular).
如图，直线 l 交线段AB于点O, ∠1＝90°，AO＝BO，
【定理证明】
思考：如何证明这个定理？
如何构造两个 全等的三角形?
作顶角的平 分线，用 “SAS”证明.
A
【定理证明】
证明：作顶角的平分线AD，
12
则有∠1＝∠2，
在△ABD和△ACD中，
AB＝AC， ∠1＝∠2，
B
D
C
AD＝AD （公共边），
∴ △ABD≌ △ACD （SAS）， ∴ ∠B＝∠C （全等三角形对应角相等）
练习： 1、下面哪一个选项的右边图形与左边图形成轴对称？
1
2
3
4
5
2、某人在镜子里看到的数为5801，则实际的数为——
四：观察图案，探索发现： 观察图案：轴对称图形和轴对称是不是一回事？
它们有什么区别？
对称图形和轴对称的区别
轴对称图形与轴对称的区别与联系
不同点
轴对称
两个图形
轴对称图形
一个图形
相同点 都有一条直线，都要沿这条直线折叠重合
AB
A1
C1
┏
思考
点A关于直线 AB的对应点有么？
你能画出线段 AC关于直线AB的 对称图形么？
C
AB C1
┏
如果直线l外有线段AB，那么怎样画出线 段AB关于直线l的对称线段A′B′？
B ●
● B′
A ● O
● A′
l
如果直线l外有线段AB，那么怎样画出线 段AB关于直线l的对称线段A′B′？
做一做
已知∠AOB和C、D两点，请在图中标出一点E， 使得点E到OA、OB的距离相等，而且E点到C、D 的距离也相等。
A
C·
E ·D
O
B
思考：已知：在∠ABC中，D是∠ABC平分线 上一点,E、F分别在AB、AC上，且DE=DF.试
判断∠BED与∠BFD的关系，并说明理由.
A E M
D
B NFC
轴对称与轴对称图形的联系：
若把轴对称图形沿某条对称轴两侧的部分分别 看成一个图形，那么在两侧的这两个图形就是成轴 对称的两个图形（如蝴蝶的两个翅膀）；若把轴对 称的两个图形看成一个图形，那么这个图形就是一 个轴对称图形（如两扇门看作一个图形、月亮在水 中的倒影）。
五：结束部分——对称之美的遐想
❖ 这节课我们初步认识了生活中的轴对称图形。在日常生 活和工业生产中，我们不断见到关于对称的图形，这些图 形匀称美观，所以常常用于建筑及工艺品的装饰图案。实 际上，对称的含义已经远远超过了数学的范畴，出现在自 然艺术、科学乃至诗歌中。没有“对称”不一定不美，但 有了“对称”生活会更美。你听，这首经典名曲《雪绒 花》，不也是充满了对称美吗？！
P
Q
成轴对称的两个图形的任何对应部分也成轴对称。
苏教版八年级数学（上册）
设计轴对称图案
对称的美术图案除了图形对称以外， 颜色也是对称的。
图中有几条对称轴？ 请增加红色方格，使它有4条对称轴。
实验：设计轴对称图案 （1）制作4张如图所示的正方形纸片 （2）将制作好的4张纸片拼合在一起，能得到不同的图案， 如果考虑颜色“对称”你能画出下面三个拼成的图形的对称 轴吗？
苏教版八年级数学（上册） 轴对称与轴对称图形
一：图片欣赏 1、同时观察这些图片形状是怎么样的？ 2、它们有什么共同的特性？
二：学生实验（1）
把一张纸对折，然后从折叠处剪出一个图形，想一 想，展开后会是一个什么样的图形？位于折痕两侧图 案有什么关系？
轴对称图形的概念
概念：如果一个图形沿某条直线折叠后，直线 两 旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对 称图形，这条直线叫对称轴。
2. 把该等腰三角形沿顶角平分线折叠，你有 什么发现？
A
A
A
B
C D B（C） B
D
C
【探究活动】
问题一：等腰三角形是轴对称图形吗？它的对称 轴是什么？
问题二：找出等腰三角形ABC对折后重合的线段 和角.
问题三：由这些重合的线段和角，你能发现等 腰三角形的哪些性质呢？说一说你的猜想.
【探究活动】 学生分组讨论，交流结果．
【想一想】
角内部一点到角两边的距离相等，那么这个点在这个 角的角平分线上吗？
如图，若点P在∠AOB内部， PD⊥OA，PE⊥OB，且
PD＝PE，点P在∠AOB的角平分线上吗？为什么？
D
A
O
P
EB
你能得到什么结论？
定理 角的内部到角两边的距离相等的点在角的 平分线上．
∵ PD⊥OA，PE ⊥OB，
【定理证明】 思考：你还可用什么方法证明上述定理？
问题一：等腰三角形是轴对称图形. 等腰三角形的顶角平分线（底边上的高、中
线）所在直线是它的对称轴.
A
B
D
C
【探究活动】 学生分组讨论，交流结果.
问题二：
重合的线段
重合的角
A
AB＝AC ∠B＝∠C
BD＝CD ∠BAD＝∠CAD
AD＝AD ∠ADB＝∠ADC
B
D
C
【探究活动】 学生分组讨论，交流结果.