九年级上册数学 圆 几何综合单元综合测试(Word版 含答案)

九年级上册数学 圆 几何综合单元综合测试（Word 版 含答案）
一、初三数学 圆易错题压轴题（难）
1．已知：如图，梯形ABCD 中，AD//BC ，AD 2=，AB BC CD 6===，动点P 在
射线BA 上，以BP 为半径的
P 交边BC 于点E （点E 与点C 不重合），联结PE 、
PC ，设x BP =，PC y =.
（1）求证：PE //DC ；
（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；
（3）联结PD ，当PDC B ∠=∠时，以D 为圆心半径为R 的D 与P 相交，求R 的取
值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）2436(09)y x x x =-+<<；（3）3605
R <<
【解析】 【分析】
()1根据梯形的性质得到B DCB ∠=∠，根据等腰三角形的性质得到B PEB ∠∠=，根据
平行线的判定定理即可得到结论；
()2分别过P 、A 、D 作BC 的垂线，垂足分别为点H 、F 、.G 推出四边形ADGF 是矩形，
//PH AF ，求得2BF FG GC ===，根据勾股定理得到
22226242AF AB BF =-=-=，根据平行线分线段成比例定理得到
223PH x =
，13BH x =，求得1
63
CH x =-，根据勾股定理即可得到结论； ()3作//EM PD 交DC 于.M 推出四边形PDME 是平行四边形.得到PE DM x ==，即 6MC x =-，根据相似三角形的性质得到1218
655
PD EC ==-=，根据相切两圆的性质即可得到结论． 【详解】
()
1证明：梯形ABCD ，AB CD =，
B DCB ∠∠∴=，
PB PE =， B PEB ∠∠∴=， DCB PEB ∠∠∴=，
//PE CD ∴；
()2解：分别过P 、A 、D 作BC 的垂线，垂足分别为点H 、F 、G ．
梯形ABCD 中，//AD BC ， ，BC DG ⊥，BC PH ⊥，
∴四边形ADGF 是矩形，//PH AF ，
2AD =，6BC DC ==， 2BF FG GC ∴===，
在Rt ABF 中，
22226242AF AB BF =-=-=，
//PH AF ，
PH BP BH
AF AB BF
∴
==6242x BH ==，
223PH x ∴=
，1
3
BH x =， 1
63
CH x ∴=-，
在Rt PHC 中，22PC PH CH =
+
22221
(
)(6)33
y x x ∴=+-2436(09)y x x x =-+<<， ()3解：作//EM PD 交DC 于M ．
//PE DC ，
∴四边形PDME 是平行四边形．
PE DM x ∴==，即 6MC x =-，
PD ME ∴=，PDC EMC ∠∠=， 又PDC B ∠∠=，B DCB ∠=∠， DCB EMC PBE PEB ∠∠∠∠∴===． PBE ∴∽ECM ，
PB BE EC MC ∴=
，即232663
x
x x x =--， 解得：18
5x =，
即12
5
BE =，
1218655
PD EC ∴==-
=， 当两圆外切时，PD r R =+，即0(R =舍去)； 当两圆内切时，-PD r R =，即10(R =舍去)，236
5
R =； 即两圆相交时，3605
R <<． 【点睛】
本题属于圆综合题，梯形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键.
2．如图所示，CD 为⊙O 的直径，点B 在⊙O 上，连接BC 、BD ，过点B 的切线AE 与CD 的延长线交于点A ，OE//BD ，交BC 于点F ，交AB 于点E. （1）求证：∠E=∠C ；
（2）若⊙O 的半径为3，AD=2，试求AE 的长； （3）在（2）的条件下，求△ABC 的面积.
【答案】（1）证明见解析；（2）10；（3）485
. 【解析】
试题分析：（1）连接OB ，利用已知条件和切线的性质证明：OE∥BD，即可证明：∠E=∠C；
（2）根据题意求出AB 的长，然后根据平行线分线段定理，可求解； （3）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可求解. 试题解析：（1）如解图，连接OB ， ∵CD 为⊙O 的直径，
∴∠CBD ＝∠CBO ＋∠OBD ＝90°， ∵AB 是⊙O 的切线，
∴∠ABO ＝∠ABD ＋∠OBD ＝90°， ∴∠ABD ＝∠CBO . ∵OB 、OC 是⊙O 的半径， ∴OB ＝OC ，∴∠C ＝∠CBO . ∵OE ∥BD ，∴∠E ＝∠ABD ， ∴∠E ＝∠C ；
（2）∵⊙O 的半径为3，AD ＝2， ∴AO ＝5，∴AB ＝4. ∵BD ∥OE ， ∴＝
， ∴
＝，
∴BE ＝6，AE =6+4=10 （3）S △AOE ==15，然后根据相似三角形面积比等于相似比的平方可得
S △ABC =
S △AOE =
=
3．如图，矩形ABCD 中，BC ＝8，点F 是AB 边上一点（不与点B 重合）△BCF 的外接圆交对角线BD 于点E ，连结CF 交BD 于点G ． （1）求证：∠ECG ＝∠BDC ．
（2）当AB ＝6时，在点F 的整个运动过程中． ①若BF ＝22时，求CE 的长．
②当△CEG 为等腰三角形时，求所有满足条件的BE 的长．
（3）过点E 作△BCF 外接圆的切线交AD 于点P ．若PE ∥CF 且CF ＝6PE ，记△DEP 的面积为S 1，△CDE 的面积为S 2，请直接写出
1
2
S S 的值．
【答案】（1）详见解析；（2182
当BE 为10，395或445时，△CEG 为等腰三
角形；（3）
7
24
.
【解析】 【分析】
（1）根据平行线的性质得出∠ABD ＝∠BDC ，根据圆周角定理得出∠ABD ＝∠ECG ，即可证得结论；
（2）根据勾股定理求得BD ＝10，
①连接EF ，根据圆周角定理得出∠CEF ＝∠BCD ＝90°，∠EFC ＝∠CBD ．即可得出sin ∠EFC
＝sin ∠CBD ，得出
35
CE CD CF BD ==，根据勾股定理得到CF ＝CE ； ②分三种情况讨论求得：
当EG ＝CG 时，根据等腰三角形的性质和圆周角定理即可得到∠GEC ＝∠GCE ＝∠ABD ＝∠BDC ，从而证得E 、D 重合，即可得到BE ＝BD ＝10；
当GE ＝CE 时，过点C 作CH ⊥BD 于点H ，即可得到∠EGC ＝∠ECG ＝∠ABD ＝∠GDC ，得到CG ＝CD ＝6．根据三角形面积公式求得CH ＝24
5
，即可根据勾股定理求得GH ，进而求得HE ，即可求得BE ＝BH ＋HE ＝
395
； 当CG ＝CE 时，过点E 作EM ⊥CG 于点M ，由tan ∠ECM ＝4
3
EM CM =．设EM ＝4k ，则CM ＝3k ，CG ＝CE ＝5k ．得出GM ＝2k ，tan ∠GEM ＝
21
42
GM k EM k ==，即可得到tan ∠GCH ＝GH CH =12
．求得HE ＝GH ＝125，即可得到BE ＝BH ＋HE ＝44
5；
（3）连接OE 、EF 、AE 、EF ，先根据切线的性质和垂直平分线的性质得出EF ＝CE ，进而证得四边形ABCD 是正方形，进一步证得△ADE ≌△CDE ，通过证得△EHP ∽△FBC ，得出EH ＝
16BF ，即可求得BF ＝6，根据勾股定理求得CF ＝10，得出PE ＝10
6
，根据勾股定理求得PH ，进而求得PD ，然后根据三角形面积公式即可求得结果． 【详解】 （1）∵AB ∥CD ． ∴∠ABD ＝∠BDC ， ∵∠ABD ＝∠ECG ， ∴∠ECG ＝∠BDC ．
（2）解：①∵AB ＝CD ＝6，AD ＝BC ＝8，
∴BD ＝10，
如图1，连结EF ，则∠CEF ＝∠BCD ＝90°， ∵∠EFC ＝∠CBD ． ∴sin ∠EFC ＝sin ∠CBD ， ∴
3
5
CE CD CF BD ==
∴CF
∴CE
②Ⅰ、当EG＝CG时，∠GEC＝∠GCE＝∠ABD＝∠BDC．∴E与D重合，
∴BE＝BD＝10．
Ⅱ、如图2，当GE＝CE时，过点C作CH⊥BD于点H，∴∠EGC＝∠ECG＝∠ABD＝∠GDC，
∴CG＝CD＝6．
∵CH＝BC CD24 BD5
⋅
=，
∴GH
18
5 =，
在Rt△CEH中，设HE＝x，则x2+（24
5
）2＝（x+
18
5
）2
解得x＝7
5
，
∴BE＝BH+HE＝32
5
+
7
5
＝
39
5
；
Ⅲ、如图2，当CG＝CE时，过点E作EM⊥CG于点M．
∵tan∠ECM＝
4
3 EM
CM
=．
设EM＝4k，则CM＝3k，CG＝CE＝5k．
∴GM＝2k，tan∠GEM＝
21
42 GM k
EM k
==，
∴tan∠GCH＝GH
CH
＝tan∠GEM＝
1
2
．
∴HE＝GH＝12412 255
⨯=，
∴BE＝BH+HE＝321244 555
+=，
综上所述，当BE为10，39
5
或
44
5
时，△CEG为等腰三角形；
（3）解：∵∠ABC＝90°，
∴FC是△BCF的外接圆的直径，设圆心为O，如图3，连接OE、EF、AE、EF，
∵PE是切线，
∴OE⊥PE，
∵PE∥CF，
∴OE⊥CF，
∵OC＝OF，
∴CE＝EF，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴∠ECF＝45°，EF FC，
∴∠ABD＝∠ECF＝45°，
∴∠ADB＝∠BDC＝45°，
∴AB＝AD＝8，
∴四边形ABCD是正方形，
∵PE∥FC，
∴∠EGF＝∠PED，
∴∠BGC＝∠PED，
∴∠BCF＝∠DPE，
作EH⊥AD于H，则EH＝DH，∵∠EHP＝∠FBC＝90°，
∴△EHP∽△FBC，
∴
1
6 EH PE
BF FC
==，
∴EH＝1
6 BF，
∵AD＝CD，∠ADE＝∠CDE，∴△ADE≌△CDE，
∴AE＝CE，
∴AE＝EF，
∴AF＝2EH＝1
3 BF，
∴1
3
BF+BF＝8，
∴BF＝6，
∴EH＝DH＝1，CF10，
∴PE＝1
6
FC＝
5
3
，
∴PH
4 3 =，
∴PD＝47
1
33 +=，
∴1
2
7
7
3
824
S PD
S AD
===．
【点睛】
本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，圆周角定理、三角形的面积以及相似三角形的判定和性质，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．
4．已知：在△ABC中，AB=6，BC=8，
AC=10，O为AB边上的一点，以O为圆心，OA长为半径作圆交AC于D点，过D作⊙O的切线交BC 于E.
（1）若O为AB的中点(如图1)，则ED与EC的大小关系为：ED EC（填“”“”或“”）（2）若OA<3时（如图2），（1）中的关系是否还成立？为什么？
（3）当⊙O过BC中点时（如图3），求CE长.
【答案】（1）ED=EC；（2）成立；（3）3
【解析】
试题分析：（1）连接OD，根据切线的性质可得∠ODE=90°，则∠CDE+∠ADO=90°，由
AB=6，BC=8，AC=10根据勾股定理的逆定理可证得∠ABC=90°，则∠A+∠C=90°，根据圆的基本性质可得∠A=∠ADO，即可得到∠CDE=∠C，从而证得结论；
（2）证法同（1）；
（3）根据直角三角形的性质结合圆的基本性质求解即可.
（1）连接OD
∵DE为⊙O的切线
∴∠ODE=90°
∴∠CDE+∠ADO=90°∵AB=6，BC=8，AC=10∴∠ABC=90°
∴∠A+∠C=90°
∵AO=DO
∴∠A=∠ADO
∴∠CDE=∠C
∴ED=EC；
（2）连接OD
∵DE为⊙O的切线
∴∠ODE=90°
∴∠CDE+∠ADO=90°∵AB=6，BC=8，AC=10∴∠ABC=90°
∴∠A+∠C=90°
∵AO=DO
∴∠A=∠ADO
∴∠CDE=∠C
∴ED=EC；
（3）CE=3.
考点：圆的综合题
点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．
5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为直径，AC和BD交于点E，AB＝BC．
（1）求∠ADB的度数；
（2）过B作AD的平行线，交AC于F，试判断线段EA，CF，EF之间满足的等量关系，并说明理由；
（3）在（2）条件下过E，F分别作AB，BC的垂线，垂足分别为G，H，连接GH，交BO 于M，若AG＝3，S四边形AGMO：S四边形CHMO＝8：9，求⊙O的半径．
【答案】（1）45°；（2）EA2+CF2＝EF2，理由见解析；（3）62
【解析】
【分析】
（1）由直径所对的圆周角为直角及等腰三角形的性质和互余关系可得答案；
（2）线段EA，CF，EF之间满足的等量关系为：EA2+CF2=EF2．如图2，设∠ABE=α，
∠CBF=β，先证明α+β=45°，再过B作BN⊥BE，使BN=BE，连接NC，判定△AEB≌△CNB （SAS）、△BFE≌△BFN（SAS），然后在Rt△NFC中，由勾股定理得：CF2+CN2=NF2，将相关线段代入即可得出结论；
（3）如图3，延长GE，HF交于K，由（2）知EA2+CF2=EF2，变形推得S△ABC=S矩形BGKH，
S△BGM=S四边形COMH，S△BMH=S四边形AGMO，结合已知条件S四边形AGMO：S四边形CHMO=8：9，设
BG=9k，BH=8k，则CH=3+k，求得AE的长，用含k的式子表示出CF和EF，将它们代入EA2+CF2=EF2，解得k的值，则可求得答案．
【详解】
解：（1）如图1，
∵AC为直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ACB+∠BAC＝90°，
∵AB＝BC，
∴∠ACB＝∠BAC＝45°，
∴∠ADB＝∠ACB＝45°；
（2）线段EA，CF，EF之间满足的等量关系为：EA2+CF2＝EF2．理由如下：如图2，设∠ABE＝α，∠CBF＝β，
∵AD∥BF，
∴∠EBF＝∠ADB＝45°，
又∠ABC＝90°，
∴α+β＝45°，
过B作BN⊥BE，使BN＝BE，连接NC，
∵AB＝CB，∠ABE＝∠CBN，BE＝BN，
∴△AEB≌△CNB（SAS），
∴AE＝CN，∠BCN＝∠BAE＝45°，
∴∠FCN＝90°．
∵∠FBN＝α+β＝∠FBE，BE＝BN，BF＝BF，
∴△BFE≌△BFN（SAS），
∴EF＝FN，
∵在Rt△NFC中，CF2+CN2＝NF2，
∴EA2+CF2＝EF2；
（3）如图3，延长GE，HF交于K，
由（2）知EA2+CF2＝EF2，
∴1
2
EA2+
1
2
CF2＝
1
2
EF2，
∴S△AGE+S△CFH＝S△EFK，
∴S△AGE+S△CFH+S五边形BGEFH＝S△EFK+S五边形BGEFH，即S△ABC＝S矩形BGKH，
∴1
2
S△ABC＝
1
2
S矩形BGKH，
∴S △GBH ＝S △ABO ＝S △CBO ，
∴S △BGM ＝S 四边形COMH ，S △BMH ＝S 四边形AGMO ，
∵S 四边形AGMO ：S 四边形CHMO ＝8：9，
∴S △BMH ：S △BGM ＝8：9，
∵BM 平分∠GBH ，
∴BG ：BH ＝9：8，
设BG ＝9k ，BH ＝8k ，
∴CH ＝3+k ，
∵AG ＝3，
∴AE ＝32，
∴CF ＝2（k+3），EF ＝2（8k ﹣3），
∵EA 2+CF 2＝EF 2，
∴222(32)[2(3)][2(83)]k k ++=-，
整理得：7k 2﹣6k ﹣1＝0，
解得：k 1＝﹣
17（舍去），k 2＝1． ∴AB ＝12，
∴AO ＝22
AB ＝62， ∴⊙O 的半径为62．
【点睛】
本题属于圆的综合题，考查了圆的相关性质及定理、全等三角形的判定与性质、多边形的面积公式、勾股定理及解一元二次方程等知识点，熟练运用相关性质及定理是解题的关键．
6．已知：AB 为⊙O 直径，弦CD ⊥AB ，垂足为H ，点E 为⊙O 上一点，AE BE =，BE 与CD 交于点F ．
（1）如图1，求证：BH ＝FH ；
（2）如图2，过点F 作FG ⊥BE ，分别交AC 、AB 于点G 、N ，连接EG ，求证：EB ＝EG ； （3）如图3，在（2）的条件下，延长EG 交⊙O 于M ，连接CM 、BG ，若ON ＝1，△CMG
的面积为6，求线段BG 的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）210 ．
【解析】
【分析】
（1）连接AE ，根据直径所对圆周角等于90°及弧与弦的关系即可得解；
（2）根据题意，过点C 作CQ FG CS FB ⊥⊥，，连接CE BC 、，通过证明
Rt CGQ Rt CBS ∆≅∆，CBE CGE ∆≅∆即可得解； （3）根据题意，过点G 作GT CD ⊥于T ，连接CN ，设CAB α∠＝，证明
()CMG CNG AAS ∆≅∆，再由面积法及勾股定理进行计算求解即可.
【详解】
解：（1）如下图，连接AE
∵AB 为直径
∴90AEB =︒∠
∵
AE BE =
∴AE BE =
∴45B ∠=︒
又∵CD AB ⊥于H ∴45HFB ∠=︒
∴HF HB =；
（2）如下图，过点C 作CQ FG CS FB ⊥⊥，，连接CE BC 、
AB 为直径，∴90ACB QCS ∠=∠=︒
∴GCQ BCS ∠=∠
∴()Rt CGQ Rt CBS AAS ∆≅∆
∴CG CB =
同理()CBE CGE SAS ∆≅∆
∴EG EB =；
（3）如下图，过点G 作GT CD ⊥于T ，连接CN
设CAB α∠=由（2）知：CM CB =
∴CM CB =
∵HB HF =
∴45HBF HFB ∠=∠=︒
∵GF BE ⊥
∴45NFH NH BH CN BC ∠=︒∴=∴=，，
∴CM CB CN ==
则：2MEB α∠=
902AEG α∠=︒-
∴45EAG EGA α∠=∠=︒+
∴45M MGC α∠=∠=︒+
∴()CMG CNG AAS ∆≅∆
∵CMG ∆面积为6
∴6CAN GAN S S -=
设2122BH NH x OA OB x AN x ====+=+，，
则()CGT BCH AAS ∆≅∆
∴C BH x ==
∴6AN CH AN TH ⋅-⋅=
∴1(22)62
x CT +⋅= 解得：2x =
∵2BC BH BA =⋅
∴2210BC =⨯，则25BC ＝∴2210BG BC ＝＝
【点睛】
本题主要考查了圆和三角形的综合问题，熟练掌握圆及三角形的各项重要性质及判定方法是解决本题的关键.
7．已知点A 为⊙O 外一点，连接AO ，交⊙O 于点P ，AO=6．点B 为⊙O 上一点，连接BP ，过点A 作CA ⊥AO ，交BP 延长线于点C ，AC=AB ．
（1）判断直线AB与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若PC=43，求 PB的长．
（3）若在⊙O上存在点E，使△EAC是以AC为底的等腰三角形，则⊙O的半径r的取值范围是___________．
【答案】（1）AB与⊙O相切，理由见解析；（2）
43
3
PB=；（3）
65
6
5
r
≤<
【解析】
【分析】
（1）连接OB，有∠OPB=∠OBP，又AC=AB，则∠C=∠ABP，利用∠CAP=90°，即可得到结论成立；
（2）由AB=AC，利用勾股定理先求出半径，作OH⊥BP与H，利用相似三角形的判定和性质，即可求出PB的长度；
（3）根据题意得出OE=1
2
AC=
1
2
AB=22
1
6r
2
-，利用OE=22
1
6
2
r r
-≤，即可求出取
值范围．
【详解】
解：（1）连接OB，如图：
∵OP=OB，
∴∠OPB=∠OBP=∠APC，∵AC=AB，
∴∠C=∠ABP，
∵AC ⊥AO ， ∴∠CAP=90°，
∴∠C+∠APC=90°，
∴∠ABP+∠OBP=90°，
即OB ⊥AB ，
∴AB 为切线；
（2）∵AB=AC
∴22AB AC =，
∴2222CP AP OA OB -=-，
设半径为r ，则
2222(43)(6)6r r --=-
解得：r=2；
作OH ⊥BP 与H ，
则△ACP ∽△HOP ，
∴PH OP AP CP
=，即443PH = ∴23PH =, ∴432PB PH ==
； （3）如图，作出线段AC 的垂直平分线MN ，作OE ⊥MN ，
∴四边形AOEM 是矩形，
∴OE=AM=12AC=12AB=22162
r -； 又∵圆O 与直线MN 有交点，
∴OE=22162
r r -≤， ∴2262r r -≤，
∴22364r r -≤，
∴655
r ≥， 又∵圆O 与直线AC 相离，
∴r ＜6，
即6565
r ≤<． 【点睛】
此题主要考查了圆的综合以及切线的判定与性质和勾股定理以及等腰三角形的性质等知识，得出EO 与AB 的关系进而求出r 取值范围是解题关键．
8．如图，平行四边形ABCD 中，AB=5，BC=8，cosB=
45
，点E 是BC 边上的动点，以C 为圆心，CE 长为半径作圆C ，交AC 于F ，连接AE ，EF ．
（1）求AC 的长；
（2）当AE 与圆C 相切时，求弦EF 的长；
（3）圆C 与线段AD 没有公共点时，确定半径CE 的取值范围．
【答案】（1）AC=5；（2）410EF =
；（3）03CE ≤<或58CE <≤． 【解析】
【分析】
（1）过A 作AG ⊥BC 于点G ，由cos 45B =
，得到BG=4，AG=3，然后由勾股定理即可求出AC 的长度；
（2）当点E 与点G 重合时，AE 与圆C 相切，过点F 作FH ⊥CE ，则CE=CF=4，则CH=3.2，FH=2.4，得到EH=0.8，由勾股定理，即可得到EF 的长度；
（3）根据题意，可分情况进行讨论：①当圆C 与AD 相离时；②当CE>CA 时；分别求出
CE的取值范围，即可得到答案．
【详解】
解：（1）过A作AG⊥BC于点G，如图：
在Rt△ABG中，AB=5，
4 cos
5
BG
B
AB
==，
∴BG=4，
∴AG=3，
∴844
CG=-=，
∴点G是BC的中点，
在Rt△ACG中，22
345
AC=+=；
（2）当点E与点G重合时，AE与圆C相切，过点F作FH⊥CE，如图：
∴CE=CF=4，
∵AB=AC=5，
∴∠B=∠ACB，
∴
4 cos cos
5
CH
B ACB
CF
=∠==，
∴CH=3.2，
在Rt△CFH中，由勾股定理，得FH=2.4，
∴EH=0.8，
在Rt△EFH中，由勾股定理，得
22410
0.8 2.4
EF=+=
（3）根据题意，圆C与线段AD没有公共点时，可分为以下两种情况：①当圆C与AD相离时，则CE<AE，
∴半径CE 的取值范围是：03CE ≤<；
②当CE>CA 时，点E 在线段BC 上，
∴半径CE 的取值范围是：58CE <≤；
综合上述，半径CE 的取值范围是：03CE ≤<或58CE <≤．
【点睛】
本题考查了解直角三角形，直线与圆的位置关系，平行四边形的性质，勾股定理，以及线段的动点问题，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确作出辅助线，正确确定动点的位置，从而进行解题．
9．在O 中，AB 为直径，CD 与AB 相较于点H ，弧AC=弧AD
（1）如图1，求证：CD AB ⊥;
（2）如图2，弧BC 上有一点E ，若弧CD=弧CE ，求证：3EBA ABD ∠=∠;
（3）如图3，在（2）的条件下，点F 在上，连接,//FH FH DE ，延长FO 交DE 于点K ，若165,55
FK DB BE ==，求AB ．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）185AB =
． 【解析】
【分析】
（1）连接
,OC OD ,根据AC AD = 得出COA DOA ∠=再根据OC OD =得出
OCD ODC ∠=∠，从而得证；
（2）连接,BC BD ,根据AC AD =得出,BC BD BA CD =⊥，CBA ABD ∠=∠，再根据CE CD =,得出CBE CBD ∠=∠,从而得出结论；
（
3）作,CM DB CN BE ⊥⊥，过点P 作,PT BE PS BD ⊥⊥，,5BE BP a DB a ===先证CDM CEN ∆≅∆，DM EN =，再证,CMB CNB BM BN ∆≅∆=，设DM b =，得出2b a =，再算出,CM CD 得出CPD ∆为等腰三角形，再根据BP 是角平分线利用角平
分线定理得出BCP EBP S DP BD S PE BE
∆==，从而算出,PE DE ,再根据三角函数值算出BG ,,,,AB r OG OH ，再根据//FH DE 得出
HO OF GO OK
=，从而计算AB ． 【详解】
（1）连接OC ，CD
因为AC AD =，所以COA DOA ∠=∠ OC OD =，,OA CD CD AB ∴⊥∴⊥;
(2)连接BC ，
,BC BD BA CD =⊥
所以AB 平分CBD ∠，
设ABD ABC α∠=∠=
2CBD α∴∠=
CD CE ∴=
2CBE CBD α∴∠=∠=，
3EBA α∴∠=
3EBA ABD ∴∠=∠．
(3) 2,90EBC BPE PEB αα︒∠=∠=∠=- 设,5BE BP a
DB a ===
作,CM DB CN BE ⊥⊥，可证：CDM CEN ∆≅∆，DM EN =，
再证：,CMB CNB BM BN ∆≅∆=
设,5,2DM EN b a b a b b a ==+=-∴=
在CBM ∆中勾股4CM a =
在CDM ∆中勾股25CD a =
得CPD ∆为等腰三角形
25DP DC a ==
因为BP 为角平分线，过点P 作,PT BE PS BD ⊥⊥
可证：5BCP EBP S DP BD S PE BE
∆=== 2525,53PE a DE a ∴=
= 14tan ,tan 223
αα== 2555,32BG a AB a ∴=
= 557535,,4124
r a OG a OH a === //FH DE
97
HO OF GO OK ∴== 995185,16OF KF AB ===
【点睛】
本题是一道圆的综合题目，难度较大，考查了圆相关的性质以及与三角形综合，掌握相关的线段与角度转化是解题关键．
10．如图，二次函数y ＝﹣56
x 2+bx +c 与x 轴的一个交点A 的坐标为（﹣3，0），以点A 为圆心作圆A ，与该二次函数的图象相交于点B ，C ，点B ，C 的横坐标分别为﹣2，﹣5，连接AB ，AC ，并且满足AB ⊥AC ．
（1）求该二次函数的关系式；
（2）经过点B 作直线BD ⊥AB ，与x 轴交于点D ，与二次函数的图象交于点E ，连接AE ，请判断△ADE 的形状，并说明理由；
（3）若直线y ＝kx +1与圆A 相切，请直接写出k 的值．
【答案】（1）y ＝﹣
56x 2﹣376x ﹣11；（2）△ADE 是等腰三角形，理由见解析；（3）k 的值为﹣12
或2 【解析】
【分析】
（1）利用三垂线判断出()ACN BAM AAS ∆≅∆，进而得出(2,2)B --，(5,1)C --，最后将点B ，C 坐标代入抛物线解析式中即可得出结论；
（2）先判断出ABM BDM ∆∆∽，得出点D 坐标，进而求出直线BD 的解析式，求出点E 坐标，即可得出结论；
（3）分两种情况，
Ⅰ、切点在x 轴上方，利用三垂线判断出()AQG FPG AAS ∆≅∆，得出AQ PF =，GQ PG =，设成点G 坐标，进而得出3AQ m =+，PF km =，PG m =-，1GQ km =+，即可得出结论；
Ⅱ、切点在x 轴下方，同Ⅰ的方法即可得出结论．
【详解】
解：（1）如图1，过点B 作BM x ⊥轴于M ，过点C 作CN x ⊥轴于N ，
90ANC BMA ∴∠=∠=︒，
90ABM BAM ∴∠+∠=︒，
AC AB ⊥，
90CAN BAM ∴∠+∠=︒，
ABM CAN ∴∠=∠，
A 过点
B ，
C ，
AC AB ∴=，
()ACN BAM AAS ∴∆≅∆，
2(3)1CN AM ∴==---=，3(5)2BM AN ==---=，
(2,2)B ∴--，(5,1)C --，
点B ，C 在抛物线上， ∴54226525516
b c b c ⎧-⨯-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯-+=-⎪⎩， ∴37611
b c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩， ∴抛物线的解析式为25
371166
y x x =---，
（2）ADE ∆是等腰三角形，
理由如下：如图1，
BD AB ⊥，
90ABD ∴∠=︒，
90ABM DBM ∴∠+∠=︒，
过点B 作BM x ⊥轴于M ，
90BMD AMB ∴∠=∠=︒，
90BDM DBM ∴∠+∠=︒，
ABM BDM ∴∠=∠，
ABM BDM ∴∆∆∽， ∴
AM BM BM DM
=， ∴122DM
=， 4DM ∴=，
2()2D ∴,， 5AD ∴=，
(2,2)B --，
∴直线BD 的解析式为112
y x =-， 联立，21125371166y x y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=---⎪⎩
， ∴22x y =-⎧⎨=-⎩（舍)或61x y =-⎧⎨=-⎩
， (6,4)E ∴--，
22(63)(40)5AE ∴=-++--=，
AD AE ∴=，
ADE ∴∆是等腰三角形；
（3）如图2，
点(2,2)B --在A 上，
AB ∴ 记直线1y kx =+与y 轴相交于F ，
令0x =，则1y =，
(0,1)F ∴，
1OF ∴=，
Ⅰ、当直线1y kx =+与A 的切点在x 轴上方时，记切点为G ，
则AG AB ==90AGF ∠=︒，
连接AF ，在Rt AOF ∆中，3OA =，1OF =，
AF ∴=，
在Rt AGF ∆
中，根据勾股定理得，FG AG ===，
如图2，过点G 作GP y ⊥轴于P ，过点G 作GQ x ⊥轴于Q ，
90AQG FPG POQ ∴∠=∠=︒=∠，
∴四边形POQG 是矩形，
90PGQ ∴∠=︒， FG 是A 的切线，
AGQ FGP ∴∠=∠，
()AQG FPG AAS ∴∆≅∆，
AQ PF ∴=，GQ PG =，
设点(,1)G m km +，
3AQ m ∴=+，PF km =，PG m =-，1GQ km =+，
3m km ∴+=①，1km m +=-②， 联立①②解得，212m k =-⎧⎪⎨=-⎪⎩
， Ⅱ、当切点在x 轴下方时，同Ⅰ的方法得，2k =，
即：直线1y kx =+与圆A 相切，k 的值为12
-
或2． 【点睛】
此题是二次函数综合题，主考查了待定系数法，三垂线判定两三角形全等，解方程组，判断出FG AG =是解本题的关键．。