全国版高考数学不等式选讲2证明不等式的基本方法课时提升作业

证明不等式的基本方法
(45分钟60分)
1.已知a≥b>0,求证:2a3-b3≥2ab2-a2b.
【证明】2a3-b3-(2ab2-a2b)
=(2a3-2ab2)+(a2b-b3)
=2a(a2-b2)+b(a2-b2)
=(a2-b2)(2a+b)
=(a+b)(a-b)(2a+b),
因为a≥b>0,所以a+b>0,a-b≥0,2a+b>0,
所以(a+b)(a-b)(2a+b)≥0,
所以2a3-b3-(2ab2-a2b)≥0,
所以2a3-b3≥2ab2-a2b.
2.(2016·长沙模拟)设函数f(x)=|x+a2|+|x-b2|,其中a,b为实数.
(1)若a2+b2-2a+2b+2=0,解关于x的不等式f(x)≥3.
(2)若a+b=4,证明:f(x)≥8.
【解析】(1)由a2+b2-2a+2b+2=0,可得(a-1)2+(b+1)2=0,故
a=1,b=-1;于是有f(x)=|x+1|+|x-1|=
所以f(x)≥3的解集为
∪.
(2)f(x)=|x+a2|+|x-b2|≥|a2+b2|
=a2+b2,
由于a2+b2≥2ab,所以2(a2+b2)≥(a+b)2=16,
故a2+b2≥8,即f(x)≥8得证.
【加固训练】已知实数x,y满足:<,<,求证:<.
【证明】因为3|y|=|3y|=|2(x+y)-(2x-y)|≤2|x+y|+|2x-y|,
由题设知|x+y|<,|2x-y|<,
从而3|y|<+=,
所以|y|< .
3.设 a,b,c 均为正实数,试证明不等式
+ + ≥ + + ,并说明等号成立的条件.
【证明】因为 a,b,c 均为正实数,
所以
≥ ≥ ,
当且仅当 a=b 时等号成立;
≥
≥ ,
当且仅当 b=c 时等号成立;
≥
≥ ,
当且仅当 a=c 时等号成立.
三个不等式相加,得
+
+ ≥ + + ,
当且仅当 a=b=c 时等号成立.
4.(2016·洛阳模拟)已知 a,b ∈(0,+∞),a+b=1,x 1,x 2∈(0,+∞).
(1)求 + +
的最小值.
(2)求证:(ax 1+bx 2)(ax 2+bx 1)≥x 1x 2.
【解析】(1)因为 a,b ∈(0,+∞),a+b=1,x 1,x 2∈(0,+∞),
所以 + +
≥3·
=3·
≥3·
=3· =6.
当且仅当 = = ,a=b,
即 a=b= 且 x 1=x 2=1 时,
+ +
有最小值 6.
(2)方法一:因为 a,b ∈(0,+∞),x 1,x 2∈(0,+∞),由柯西不等式可得:
(ax 1+bx 2)(ax 2+bx 1)
=[( )2+(
)2]·[(
)2+( )2]
≥(
· +
·
)2=(a
+b )2=x 1x 2,
当且仅当
= ,
即 x 1=x 2 时取得等号.
方法二:因为 a,b ∈(0,+∞),a+b=1,x 1,x 2∈(0,+∞),
所以(ax 1+bx 2)(ax 2+bx 1)=a 2x 1x 2+ab +ab +b 2x 1x 2
=x 1x 2(a 2+b 2)+ab(
+ )
≥x 1x 2(a 2+b 2)+ab(2x 1x 2)=x 1x 2(a 2+b 2+2ab)
=x 1x 2(a+b)2=x 1x 2,当且仅当 x 1=x 2 时,取得等号.
5.(2016·唐山模拟)设不等式-2<|x-1|-|x+2|<0 的解集为 M,a,b ∈M.
(1)证明:
< .
(2)比较|1-4ab|与 2|a-b|的大小,并说明理由.
【解析】(1)记 f(x)=|x-1|-|x+2|=
由-2<-2x-1<0,
解得- <x< ,
则 M=
.
所以
≤ |a|+ |b|< × + × = .
(2)由(1)得 a 2< ,b 2< .
因为|1-4ab|2-4|a-b|2
=(1-8ab+16a 2b 2)-4(a 2-2ab+b 2)
=(4a 2-1)(4b 2-1)>0,
所以|1-4ab|2>4|a-b|2,
故|1-4ab|>2|a-b|.
【加固训练】已知函数 f(x)=|x-1|.
(1)解不等式 f(x)+f(x+4)≥8.
(2)若|a|<1,|b|<1,且a≠0,求证:f(ab)>|a|f
.
【解析】(1)f(x)+f(x+4)=|x-1|+|x+3|
=
当x<-3时,
由-2x-2≥8,
解得x≤-5;
当-3≤x<1时,
4≥8不成立;
当x≥1时,由2x+2≥8,
解得x≥3.
所以原不等式的解集为{x|x≤-5或x≥3}.
(2)要证f(ab)>|a|f,
即证|ab-1|>|a-b|.
因为|a|<1,|b|<1,
所以|ab-1|2-|a-b|2
=(a2b2-2ab+1)-(a2-2ab+b2)
=(a2-1)·(b2-1)>0,
即|ab-1|>|a-b|.
故所证不等式成立.
6.已知△ABC三边a,b,c的倒数成等差数列,证明:∠B为锐角.
【证明】要证明∠B为锐角,根据余弦定理,也就是证明cosB=
>0,即需证a2+c2-b2>0.
由于a2+c2-b2≥2ac-b2,
要证a2+c2-b2>0.
只需证2ac-b2>0.
因为a,b,c的倒数成等差数列,
所以+=,
即2ac=b(a+c).
所以要证2ac-b2>0.
只需证b(a+c)-b2>0,
即b(a+c-b)>0.
上述不等式显然成立.
所以∠B必为锐角.
【加固训练】1.已知a>0,求证:-≥a+-2.【证明】要证-≥a+-2,
只需证+2≥a++,
只需证a2++4+4≥a2++2+2+2,即证2≥,
只需证4即证a2+
≥2
≥2,此式显然成立.
,
所以原不等式成立.
2.(2016·芜湖模拟)已知a,b为正实数.
(1)求证:+≥a+b.
(2)利用(1)的结论求函数y=
【解析】(1)方法一:因为a>0,b>0,
所以(a+b)
+(0<x<1)的最小值.
=a2+b2++
≥a2+b2+2ab=(a+b)2.
所以+≥a+b,当且仅当a=b时等号成立.
方法二:因为=
=
=
=+-(a+b) .
因为a>0,b>0,
所以≥0,
当且仅当a=b时等号成立.
所以+≥a+b.
(2)因为0<x<1,
所以1-x>0,
由(1)的结论,
函数y=+
≥(1-x)+x=1.
当且仅当1-x=x,
即x=时等号成立.
所以函数y=+(0<x<1)的最小值为1.
3.(2016·保定模拟)设函数f(x)=|x-a|+1,a∈R.
(1)当a=4时,解不等式f(x)<1+|2x+1|.
(2)若f(x)≤2的解集为[0,2],+=a(m>0,n>0),求证:m+2n≥3+2
【解析】(1)方法一:当x≥4时2x+1-(x-4)=x+5>0得x>-5,
所以x≥4成立,
当-≤x<4时,
2x+1+x-4=3x-3>0得x>1,
所以1<x<4成立,
当x<-时,-x-5>0得x<-5,
.
所以x<-5成立,
综上,原不等式的解集为
{x|x>1或x<-5}.
方法二:当a=4时,不等式f(x)<1+|2x+1|,
即为|x-4|<|2x+1|,
两边平方得x2-8x+16<4x2+4x+1,
解得x>1或x<-5,
所以不等式的解集为{x|x>1或x<-5}.
(2)依题意可知|x-a|≤1a-1≤x≤a+1,所以a=1,即+=1(m>0,n>0),所以m+2n=(m+2n)·
=3++≥3+2,
当且仅当m=1+,n=1+时取等号.。