2022-2023学年广东华侨中学高一上学期期中数学试题(解析版)

2022-2023学年广东华侨中学高一上学期期中数学试题
一、单选题
1．用列举法表示集合{}
2210x x x -+=为（ ） A ．{1,1}
B ．{1}
C ．{1}x =
D ．{}2210x x -+=
【答案】B 【分析】解方程，得到121x x ==，故用列举法表达出集合.
【详解】()222110x x x -+=-=，解得：121x x ==，故列举法表示为{}1.
故选：B
2．设集合{}0,1A =，集合{2B x x =<或}3x >，则A 与B 的关系为（ ）
A ．A
B ∈
B ．B A ∈
C ．A B ⊆
D ．B A ⊆ 【答案】C
【分析】根据子集概念即可得到结果.
【详解】根据题意可得，0,1B B ∈∈，所以A B ⊆，
故选：C
3．已知幂函数()y f x =的图象经过点(8,4)，则(27)f =（ ）
A ．3
B ．
C ．9
D ．【答案】C
【分析】由幂函数过的点坐标求解析式，再将27x =代入求函数值即可.
【详解】令()n f x x =，则84n =，可得23
n =
， 所以23()f x x =，故23(27)279f ==.
故选：C
4．“x ＝1”是“x 2﹣1＝0”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件 【答案】A
【分析】由题意，根据充分条件与必要条件的定义，可得答案.
【详解】先证充分性：将1x =代入方程210x ，方程成立，则充分性得证；
再证必要性：由方程210x ，解得1x =±，则不必要性得证.
故选：A
5．4(1)y x x x
=+≥的最小值为（ ） A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【答案】C
【分析】利用均值不等式求解即可.
【详解】因为4(1)y x x x =+≥，所以44x x +≥=，当且仅当4x x =即2x =时等号成立. 所以当2x =时，函数4y x x
=+有最小值4. 故选：C.
6．已知函数()2225,2
x f x x x x ⎧≥⎪=⎨-+<⎪⎩，则()()1f f =（ ） A ．0
B ．2
C ．4
D ．8
【答案】B 【分析】首先求出()1f ，然后可得答案.
【详解】因为()2225,2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨-+<⎪⎩
，
所以()()()142f f f ===，
故选：B
7．已知不等式2440mx mx +-<对任意实数x 恒成立.则m 取值范围是（ ）
A ．()1,0-
B ．[]1,0-
C ．()[),10,-∞-⋃+∞
D ．(]1,0-
【答案】D
【分析】考虑0m =和0m ≠两种情况，当0m ≠时利用判别式的符号解决问题.
【详解】由题意，不等式2440mx mx +-<对任意实数x 恒成立，
若0m =，则4<0-，满足题意； 若0m ≠，则201016160m m m m <⎧⇒-<<⎨∆=+<⎩
， 于是，10m -<≤.
故选：D.
8．已知奇函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，且(5)0f =，则不等式(1)(2)0x f x -+>的解集为（ ） A ．(1,3)
B ．(7,2)(1,3)--⋃
C ．(,7)(1,3)-∞-⋃
D ．(2,1)(1,)-+∞ 【答案】B
【分析】由题意，得到()()550f f -=-=，且函数()f x 在(),0∞-上单调递减，作出函数的图像，把不等式转化为()10
20x f x ->⎧⎨+>⎩，或()10
20x f x -<⎧⎨+<⎩，结合图像，即可求解.
【详解】因为奇函数()f x 在()0,∞+上单调递减，且()50f =，
所以()()550f f -=-=，且函数()f x 在(),0∞-上单调递减，
则函数()f x 的对应的图像，如图所示，
不等式(1)(2)0x f x -+>等价于：
①()1020x f x ->⎧⎨+>⎩，即1
025x x >⎧
⎨<+<⎩，解得13x <<；
②()1020x f x -<⎧⎨+<⎩，即1
520x x <⎧⎨-<+<⎩，解得72x -<<-，
综上可得，不等式的解集为(7,2)(1,3)--⋃.
故选：B .
二、多选题
9．已知集合{}21,3,A m =，{}1,B m =．若A B A ⋃=，则实数m 的值为（
）
A ．0
B ．1
C ．-3
D ．3
【答案】AD
【分析】根据并集结果得到B A ⊆，从而讨论得到0m =或1m =或3m =，根据集合中元素的互异性排除不合要求的结果.
【详解】因为A B A ⋃=，所以B A ⊆．
因为{}2
1,3,A m =，{}1,B m =，所以2m m =或3m =， 解得0m =或1m =或3m =；
当0m =时，{}1,3,0A =，{}1,0B =，符合题意；
当1m =时，集合A 不满足集合元素的互异性，不符合题意；
当3m =时，{}1,3,9A =，{}1,3B =，符合题意；
综上，0m =或3.
故选：AD
10．设0a b <<，则下列不等式中正确的是（ ）
A ．22a b >
B ．11a b <
C ．2b a a b +>
D ．a b <-
【答案】AC
【分析】根据不等式的性质，结合基本不等式判断AC ；举反例判断BD 即可
【详解】对A ，因为0a b <<，故a b >，故22a b >，故A 正确；
对B ，取2,1a b =-=-，则210-<-<，但1121>--，故B 错误；
对C ，因为0a b <<，故,0b a a b >故2b a a b +≥，当且仅当a b =取等号，因为0a b <<，故2b a a b
+>，故C 正确； 对D ，取2,1a b =-=-，则a b >-，故D 错误；
故选：AC
11．下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ）
A ．()f x =()g x =
B ．()f x x =与()g x =
C ．()x f x x =与()1,01,0x g x x >⎧=⎨-<⎩
D ．()21f x x x =-+与()21g t t t =-+ 【答案】BCD
【分析】分别判断每组函数的定义域和对应关系是否一致即可.
【详解】解：对于A 选项，函数()f x =(][),11,-∞-⋃+∞，()g x =
定义域为[)1,+∞，故错误；
对于B 选项，()f x x =与()2g x x =的定义域均为R ，且()2g x x x ==，满足，故正确； 对于C 选项，函数()x f x x =
与()1,01,0x g x x >⎧=⎨-<⎩的定义域均为{}0x x ≠，且()1,01,0x x f x x x >⎧==⎨-<⎩
，满足，故正确；
对于D 选项，()21f x x x =-+与()21g t t t =-+的定义域与对应关系均相同，故正确. 故选：BCD
12．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时()22f x x x =-，则（ ）
A ．()f x 的最小值为-1
B ．()f x 在()2,0-上单调递减
C ．()0f x >的解集为()(),22,∞∞--⋃+
D ．存在实数x 满足()()20f x f x ++-=
【答案】ACD
【分析】根据题意当0x ≥时()22f x x x =-，作出其图象，然后再由偶函数的性质作出0x <的图象，
通过观察函数图象即可判断.
【详解】依题意，作出函数()f x 的图象，如图所示：
观察图象可得：()f x 的最小值为-1，A 正确；
()f x 在(),1-∞-和()0,1上单调递减，B 错误；
()0f x >的解集为()(),22,∞∞--⋃+，C 正确；
令2x =，则有()()()()020200f f f f ++=+=，D 正确；
故选：ACD.
三、填空题
13．已知集合{}|30A x x =-<<，{}|21,Z B x x x =-<≤∈，则A B =___________.
【答案】{}1-
【分析】根据交集定义计算．
【详解】由已知{|20,}{1}A B x x x Z =-<<∈=-．
故答案为：{}1-
14．若命题:p x ∃∈R ，220x ax a ++≤是假命题，则实数a 的一个值为_____________． 【答案】1
2（(0,1)上任一数均可）
【分析】由命题p 的否定是真命题易得a 的范围．
【详解】由题意2,20x R x ax a ∀∈++>是真命题，
所以2440a a -<，解得01a <<． 故答案为：12（(0,1)上任一数均可）．
15．若,(0,)x y ∈+∞且21x y +=，则11x y +的最小值是_________.
【答案】3+
3
【分析】根据给定条件借助“1”的妙用即可求出11x y
+的最小值. 【详解】因,(0,)x y ∈+∞且21x y +=
，则2()(21)33111y x x y x x x y y y +=++=++≥+
3=+ 当且仅当
2y x x y =
，即x =时取“=”
，由21x y x +=⎧⎪⎨⎪⎩
得1,1x y ==-
所以当1,1x y ==-11x y +
取得最小值是3+.
故答案为：3+16．已知R a ∈，函数()()11,44,a x x a f x x x a x ⎧-+<⎪=⎨+-≥⎪⎩
，若()f x 存在最小值，则a 的取值范围是__________.
【答案】⎡⎢⎣⎦
【分析】利用分段函数的单调性及最值求解即可.
【详解】解：当10a ->，即1a <时，()f x 在(,)a -∞上单调递增，故()f x 无最小值，不符合题意；
当12a ≤≤时，()f x 在(,)a -∞上单调递减，所以()(1)1f a a a =-+，又()f x 在[,)a +∞上的最小值为()20f =，要使()f x 存在最小值，还需()110a a -+≥，
a ≤，
故12a a ≤≤⎪≤≤
⎩
1a ⇒≤≤ 当2a >时，要使()f x 存在最小值，
还需：()4114a a a a -+≥+-，因为()4110,40a a a a
-+<+->，所以无解 综上a
的取值范围为⎡⎢⎣⎦
.
故答案为：⎡⎢⎣⎦
.
四、解答题
17．已知全集{}4U x x =≤，集合{}240A x x =+<，{}2230B x x x =+-≤，
（1）求U C A ；
（2）()U C A B .
【答案】（1）{}24x x -≤≤（2）{}324x x x <--≤≤或
【分析】（1）化简A 集合得到：A ={}2x x <-，利用补集定义即得解；
（2）先计算A B ⋂，利用补集定义即得解.
【详解】解：（1）集合A ={}2x x <-，
U C A ∴={}24x x -≤≤.
（2）集合B ={}31x x -≤≤，
A B ∴={}32x x -≤<-，
()U C A B ∴={}324x x x <--≤≤或.
【点睛】本题考查了集合的交并补运算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.
18．已知集合{}31A x x =-≤<，{}211B x m x m =-≤≤+．
(1)命题p ：x A ∈，命题q ：x B ∈，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．
(2)命题“r ：x A ∃∈，使得x B ∈”是真命题，求实数m 的取值范围．
【答案】(1)10m -≤<或m>2；
(2)[4,1)-．
【分析】（1）对集合B 分两种情况讨论，再综合即得解；
（2）根据题意得出B 为非空集合且A B ⋂≠∅，从而得出B 为非空集合时2m ，然后可得出A B ⋂=∅时12m ≤≤或4m <-，从而可得出m 的取值范围．
【详解】（1）解：①当B 为空集时，121m m +<-，即m>2，原命题成立；
②当B 不是空集时，B A ⊆，所以213112m m m -≥-⎧⎪+<⎨⎪≤⎩
，解得10m -≤<；
综上①②，m 的取值范围为10m -≤<或m>2.
（2）解：x A ∃∈，使得x B ∈，B ∴为非空集合且A B ⋂≠∅，
所以121m m +≥-，即2m ≤，
当A B ⋂=∅时2112m m -≥⎧⎨≤⎩或132m m +<-⎧⎨≤⎩
， 所以12m ≤≤或4m <-，
m ∴的取值范围为[4,1)-．
19．已知关于x 的不等式()210ax a x b -++<．
（1）若不等式的解集是{}15x x <<，求a b +的值；
（2）若0a >，1b =，求此不等式的解集．
【答案】（1）65
a b +=；（2）分类讨论，答案见解析． 【分析】（1）利用根与系数关系列式，求得,a b 的值，进而求得a b +的值.
（2）将原不等式转化为()110a x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭
，对a 分成1,1,01a a a >=<<三种情况，讨论不等式的解集.
【详解】（1）由题意知0a >，且1和5是方程()210ax a x b -++=的两根，
∴()
115a a -++=-，且15b a
⨯=， 解得15
a =，1
b =，∴65a b +=． （2）若0a >，1b =，原不等式为()2110ax a x -++<，
∴()()110ax x --<，∴()110a x x a ⎛
⎫--< ⎪⎝⎭
． ∴1a >时，11a <，原不等式解集为11x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭
， 1a =时，11a
=，原不等式解集为∅， 01a <<时，
11a >，原不等式解集为11x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭， 综上所述：当1a >时，原不等式解集为11x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭
， 当1a =时，原不等式解集为∅．
当01a <<时，原不等式解集为11x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭
． 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查根与系数关系，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.
20．某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y 212
x =-200x ＋80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元. (1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？
【答案】(1)400；
(2)不能获利，至少需要补贴35000元.
【分析】(1)每月每吨的平均处理成本为y x
，利用基本不等式求解即得最低成本； (2)写出该单位每月的获利f (x )关于x 的函数，整理并利用二次函数的单调性求出最值即可作答.
【详解】（1）由题意可知：()21200800003006002
y x x x =-+≤≤， 每吨二氧化碳的平均处理成本为：
800002002002002y x x x =+-≥=， 当且仅当800002x x
=，即400x =时，等号成立， ∴该单位每月处理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低；
（2）该单位每月的获利：
()221110020080000(300)3500022f x x x x x ⎛⎫=--+=--- ⎪⎝⎭
， 因300600x ≤≤，函数()f x 在区间[]300,600上单调递减，
从而得当300x =时，函数()f x 取得最大值，即()max ()30035000f x f ==-， 所以，该单位每月不能获利，国家至少需要补贴35000元才能使该单位不亏损. 21．已知函数()21ax b f x x +=+是定义在()1,1-上的函数，()()f x f x -=-恒成立，且12.25
f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ (1)确定函数()f x 的解析式；
(2)用定义证明()f x 在()1,1-上是增函数；
(3)解不等式()()10f x f x -+<．
【答案】(1)2
()1x f x x =
+ (2)证明见解析 (3)1(0,)2
【分析】（1）先由函数的奇偶性得到b =0，然后由1225
f ⎛⎫= ⎪⎝⎭求解； （2）利用函数单调性定义证明；
（3）将(1)()0f x f x -+<，转化为(1)()()f x f x f x -<-=-，利用单调性求解.
【详解】（1）解：因为函数()2
1ax b f x x +=
+，()()f x f x -=-恒成立， 所以2211ax b ax b x x -+--=++，则0b =， 此时()21ax f x x =+，所以2112225112⎛⎫== ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭
a f ，
解得1a =， 所以2
()1x f x x =+； （2）证明：设1211x x -<<<， 则1212121222221212()(1)()()11(1)(1)
x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++， 1211x x -<<<，
1211x x ∴-<<，且120x x -<，则1210x x ->，
则12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <，
所以函数()f x 是增函数．
（3）(1)()0f x f x -+<，
(1)()()f x f x f x ∴-<-=-，
()f x 是定义在(1,1)-上的增函数，
∴111111x x x x -<-<⎧⎪-<-<⎨⎪-<-⎩，得102x <<， 所以不等式的解集为1(0,)2
． 22．在①()5f a =，②142f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，③()()41226f f -=这三个条件中任选一个，补充到横线中，并解答．已知一次函数()y f x =满足()12f x x a -=+，且______．
(1)求函数()y f x =的解析式；
(2)若()()()g x xf x f x x λ=++在[]0,2上的最大值为2，求实数λ的值．
【答案】(1)()23f x x =+
(2)-2
【分析】（1）选择方案，设一次函数解析式，代入函数解方程组得答案.
（2）计算()()22423g x x x λλ=+++，考虑212λ+-≤和212
λ+->两种情况，计算最值得到答案. 【详解】（1）方案一：选条件①．
设()()0f x kx b k =+≠，则()()112f x k x b x a -=-+=+，即2kx k b x a -+=+，
所以2k =，2b a ，所以()22f x x a =++，由()225f a a a =++=，得1a =，
所以()23f x x =+．
方案二：选条件②．
设()()0f x kx b k =+≠，则()()112f x k x b x a -=-+=+，即2kx k b x a -+=+， 所以2k =，2b a ，所以()22f x x a =++．
1122422f a a ⎛⎫=⨯++= ⎪⎝⎭
，得1a =，所以()23f x x =+． 方案三：选条件③．
设()()0f x kx b k =+≠，则()()112f x k x b x a -=-+=+，即2kx k b x a -+=+， 所以2k =，2b a ，所以()22f x x a =++．
由()()()()41224222426f f a a -=++-++=，得1a =，所以()23f x x =+．
（2）()()()()223232423g x x x x x x x λλλ=++++=+++，
所以()g x 的图象为开口向上的抛物线，且对称轴为直线22x λ+=-
． 当212
λ+-≤，即4λ≥-时，()()max 28843716g x g λλλ==+++=+， 令7162λ+=，解得2λ=-； 当212λ+->，即4<-λ时，()()max 03g x g λ==，令32λ=，解得23λ=（舍去）． 综上，2λ=-．。