2018秋新版高中数学人教A版必修4习题：第一章三角函数 1.4.2.2 Word版含解析

第2课时正弦函数、余弦函数的性质
课时过关·能力提升
基础巩固
1函数y=sin x
2+cos x
()
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.既不是奇函数也不是偶函数
解析:定义域为R,f(-x)=sin(-x)
2+cos(-x)=-sin x
2+cos x
=−f(x),则f(x)是奇函数.
答案:A
2下列关系式中正确的是()
A.sin 11°<cos 10°<sin 168°
B.sin 168°<sin 11°<cos 10°
C.sin 11°<sin 168°<cos 10°
D.sin 168°<cos 10°<sin 11°
解析:∵sin168°=sin(180°-168°)=sin12°,cos10°=sin80°,sin11°<sin12°<sin80°, ∴sin11°<sin168°<cos10°.
答案:C
3下列函数中,周期为π,且在π
4,π
2
上为减函数的是()
A.y=si n2x+π
B.y=co s2x+π
C.y=si n x+π
D.y=co s x+π
解析:只有选项A和B中函数的周期为π.
又当x∈π
4,π
2
时,2x+π
2
∈ π,3
2
π ,
所以y=si n2x+
π在π,π上是减函数.答案:A
4若α,β均为锐角,且sin α>cos β,则() A.α>βB.α<β
C.α+β>π
2D.α+β<π
2
解析:sinα>cosβ=si nπ-β .
∵β是锐角,∴π−β也是锐角.
又α是锐角,且函数y=sin x在0,π上单调递增,∴α>π−β,即α+β>π.答案:C
5函数y=2sin x-1的值域是.
解析:∵x∈R,∴-1≤sin x≤1.
∴-3≤2sin x-1≤1.
∴y∈[-3,1].
答案:[-3,1]
6函数y=3-
2co s2
3x+π
3
的最大值为,此时自变量x的取值集合是.
解析:当co s2x+π=−1时,y max=3-2×(-1)=5.
此时x的取值集合为{x|x=3kπ+π,k∈Z}.
答案:5{x|x=3kπ+π,k∈Z}
7函数
y=si nπ
4
-x 的图象的对称中心坐标是,对称轴方程是.
解析:y=si nπ-x =−sin x-π.
由x−π=kπ,k∈Z得x=kπ+π,k∈Z.所以该函数图象的对称中心坐标为 kπ+π,0,k∈Z.
由x−π
4=kπ+π
2
,k∈Z,得x=kπ+3π
4
,k∈Z,
所以该函数图象的对称轴方程是x=kπ+3π
4
,k∈Z.
答案: kπ+π
,0,k∈Z x=kπ+3π,k∈Z
8函数f(x)=x+sin x,x∈R,若f(a)=1,则f(-a)=.答案:-1
9求函数y=2si nπ
4
-x 的单调递增区间.
解y=2si nπ-x =−2sin x-π.
令2kπ+π
2≤x−π
4
≤2kπ+3π
2
(k∈Z),得
2kπ+3π
4≤x≤2kπ+7π
4
(k∈Z).
故函数y=2si nπ-x 的单调递增区间为
2kπ+3π
4,2kπ+7π
4
(k∈Z).
10求函数y=sin x,x∈π
4
,π 的最大值和最小值.
解因为函数y=sin x在区间π,π上是增函数,在区间π,π 上是减函数,所以函数y=sin x在区
间π
4,π
2
上的最大值是si nπ
2
=1,最小值是si nπ
4
=2
2
;函数y=sin x在区间π
2
,π 上的最大值是si nπ
2
=
1,最小值是sinπ=0.
故函数y=sin x,x∈π,π 的最大值是1,最小值是0.
能力提升
1已知A={x|y=sin x},B={y|y=sin x},则A∩B等于()
A.{y=sin x}
B.{x|-1≤x≤1}
C.{x|x=2π}
D.R
解析:A=R,B={y|-1≤y≤1},
则A∩B={y|-1≤y≤1}.
答案:B
2函数f(x)=-cos x ln x2的部分图象大致是图中的()
解析:函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),f(-x)=-cos(-x)ln(-x)2=-cos x ln x2=f(x),则函数f(x)是偶函数,其图象关于y轴对称,排除选项C和D;当x∈(0,1)时,cos x>0,0<x2<1,则ln x2<0,f(x)>0,此时函数f(x)的图象位于x轴的上方,排除选项B.
答案:A
3函数y=2sin x
sin x+2
的最小值是()
A.2
B.-2
C.1
D.-1
解析:y=2sin x=2(sin x+2)-4=2−4.
∵-1≤sin x≤1,∴1≤sin x+2≤3,
∴1 3≤1
sin x+2
≤1,∴-4≤−4
sin x+2
≤−4
3
.
∴-2≤2−4
sin x+2≤2
3
.
答案:B
★4函数y=sin x的定义域为[a,b],值域为-1,1
2
,则b−a的最大值和最小值之和等于()
A.4π
3B.8π
3
C.2π
D.4π
解析:由正弦曲线知b=π
6,a=−π
2
时,b-a最小,其值为π
6
+π
2
=2π
3
;
b=π
6,a=−7π
6
时,b-a最大,最大值为π
6
+7π
6
=4π
3
.
∴b-a的最大值和最小值之和为2π
3+4π
3
=2π.
答案:C
5函数y=3si n2x+π
6
的单调递减区间是.
解析:令π
2
+2kπ≤2x+π
6
≤3π
2
+2kπ,k∈Z,
则kπ+π
6≤x≤kπ+2π
3
,k∈Z.
答案: kπ+π
6,kπ+2π
3
(k∈Z)
6若关于x的方程cos2x-sin x+a=0有解,则a的取值范围是.
解析:a=sin x-cos2x=sin x-(1-sin2x)=sin2x+sin x-1=sin x+12
−5,
由于-1≤sin x≤1,则a的取值范围是-5
4
,1.
答案:-5
4
,1
7求函数y=1
3cos2x-π
4
+1的最大值,及此时自变量x的取值集合.
解∵x∈R,∴-1≤co s2x-π≤1.
∴2
3≤
1
3cos2x-
π
4+1≤
4
3.
∴函数y=1cos2x-π+1的最大值是4,
此时2x−π
4=2kπ(k∈Z),∴x=kπ+π
8
(k∈Z).
即此时自变量x的取值集合是 x x=kπ+π,k∈Z.
★8已知函数f(x)=2a si n2x+π
6+a+b的定义域是0,π
2
,值域是[−5,1],求a,b的值.
解∵0≤x≤π
2,∴π
6
≤2x+π
6
≤7π
6
,
∴−1≤si n2x+π≤1.
∴当a>0时,b=-5,
3a+b=1,
解得
a=2,
b=-5;
当a<0时,b=1,
3a+b=-5,解得
a=-2,
b=1.
因此a=2,b=-5或a=-2,b=1.。