九年级数学下册 2 圆小专题(四)与圆的切线有关的计算与证明习题 湘教版(2021学年)

2017春九年级数学下册 2 圆小专题(四）与圆的切线有关的计算与证明习题（新版）湘教版
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小专题(四）与圆的切线有关的计算与证明
1.如图,I是△AＢC的内心,∠１+∠2=65°，求∠BＡC的度数.
2．(黄石中考）如图,⊙O的直径AB＝４,∠ABC=30°,BC交⊙Ｏ于点D，Ｄ是ＢC的中点. (1）求ＢC的长；
(２）过点D作DE⊥AC,垂足为点Ｅ,求证:直线ＤE是⊙O的切线．
3.如图，ＡB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作DＥ⊥BＣ，垂足为点E。

(1)求证:DE是⊙O的切线；
(２)作ＤＧ⊥AB交⊙O于点Ｇ,垂足为点F，若∠A=３0°,AＢ＝８,求弦DG的长.
4.如图所示,MN是⊙O的切线，B为切点,BC是⊙O的弦且∠ＣBN＝45°，过C的直线与⊙O,ＭＮ分别交于A,D两点,过C作CE⊥BD于点E.
(1)求证:CE是⊙O的切线;
(２)若∠D=30°,BＤ＝２+23，求⊙O的半径r.
ﻬ5。

已知直线ｌ与⊙O，AB是⊙O的直径,AD⊥l于点Ｄ。

（1)如图1,当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DＡC=３0°,求∠BAC的大小；
如图2，当直线l与⊙Ｏ相交于点E，Ｆ时,若∠DAE=1８°,求∠BAF的大小．
6.(长沙中考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线ＡＣ为⊙O的直径，过点Ｃ作ＡC的垂线交AD的延长线于点Ｅ,点F为ＣE的中点,连接ＤＢ,ＤＣ,ＤＦ.
(１)求∠CＤＥ的度数；
（2）求证：ＤF是⊙Ｏ的切线;
(３）若AC=2错误!DＥ,求ｔaｎ∠AＢD的值.
7．（常德中考)如图,已知以Rt△ＡBＣ的ＡC边为直径作⊙O交斜边AB于点E,连接EO并延长交BC的延长线于点D,点F为BC的中点，连接EF．
(１)求证:ＥF是⊙Ｏ的切线；
(2)若⊙O的半径为３，∠EAC＝６0°,求AD的长.
参考答案
１．∵I是△ＡBC的内心,ﻫ∴∠１＝错误!∠ABＣ，∠2＝错误!∠ＡCB.
∴∠1+∠2=错误!（∠ＡＢC＋∠ＡＣB).ﻫ∵∠1+∠2＝6５°,
∴∠AＢC＋∠ＡCB=65°×2=130°。

ﻫ∴∠BAC＝180°－(∠ABC+∠ACB)=180°-130°=50°．2.(1)连接AD。

∵AB为⊙O的直径，ﻫ∴∠ＡDＢ＝9０°。

又∠ABC＝３0°,AB=4,
∴BD=2＼r(3)。

ﻫ∵D为BC的中点,
∴BC＝2ＢD＝4错误!。

（２）证明:连接ＤO.ﻫ∵D,O分别为ＢＣ,AB的中点，
∴DO是△ABC的中位线．ﻫ∴DO∥AＣ.
又∵DＥ⊥AC,ﻫ∴ＤO⊥ＤE。

又∵点D在⊙O上,
∴直线DE是⊙O的切线.
3．证明:(1)连接ＯD。

ﻫ∵OA＝ＯD,
∴∠A＝∠ODA.ﻫ又∵AＢ=ＢC,
∴∠Ａ=∠C。

ﻫ∴∠ＯDＡ＝∠C。

ﻫ∴DＯ∥BC。

∵DE⊥BC，
∴OD⊥DE.又点D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切线．
(２)∵∠A＝3０°，ﻫ∴∠DOＦ＝2∠A＝60°。

又DG⊥AB，且ＯD=＼f(１，2)AB=4,
∴OF=1
2
ＯD＝２.
∴ＤF=＼r（DO2-ＯF2)＝＼r(４２-22)=2＼r(3）.
∴ＤG=2DＦ＝４错误!。

4．（1）证明：连接OB,OC。

ﻫ∵MN是⊙O的切线,ﻫ∴OB⊥MN。

ﻫ∵∠CBN＝45°, ∴∠OBC=45°,∠ＢCE=4５°.
∵OＢ＝OC,
∴∠OBC=∠OCB=45°.ﻫ∴∠OＣE＝90°．
又∵点C在⊙Ｏ上，
∴CE是⊙Ｏ的切线.
（2）∵ＯB⊥ＢE,CE⊥BE,ＯC⊥CE，
∴四边形BOCＥ是矩形.又OB=OC，ﻫ∴四边形BOCE是正方形.
∴BE=CE=OＢ＝OC＝r。

在Ｒt△CDE中，
∵∠D=3０°,ＣE＝r,
∴ＤE=3ｒ.ﻫ∵BD=２+２3,
∴r+错误!ｒ=2+2错误!。

ﻫ∴r=２,即⊙O的半径为2。

5．(１)连接OC．
∵直线l与⊙O相切于点C,ﻫ∴OC⊥l,∠OCD=９０°。

ﻫ∵AD⊥l,
∴∠ＡDC＝90°.ﻫ∴AＤ∥OC.ﻫ∴∠ACO＝∠ＤAＣ。

在⊙O中，
∵ＯA=ＯC,ﻫ∴∠ＢAＣ=∠ACO。

ﻫ∴∠ＢAＣ＝∠DＡC=30°.
(２）连接BF.ﻫ∵∠AＥＦ为Rt△ADE的一个外角,∠DAＥ＝１8°，
∴∠ＡEＦ=∠ADＥ+∠DAＥ＝90°+18°＝１08°。

在⊙Ｏ中,四边形ABFＥ是圆内接四边形,有∠AEＦ＋∠B=1８0°.
∴∠B＝180°－108°=72°。

由ＡＢ是⊙O的直径，得∠AFB＝9０°．ﻫ∴∠ＢAＦ＝90°-∠Ｂ＝18°。

∴∠ＣDE＝90°。

(2)证明：连接ＯD．
∵∠CDＥ＝90°,F为CE中点，
∴DF＝错误!CE=CF。

ﻫ∴∠FＤC=∠FCD．ﻫ又∵ＯＤ=OＣ，
∴∠ＯＤC=∠OCD.
∴∠OＤC＋∠FＤC=∠OＣＤ＋∠FCD。

∴∠ＯDF＝∠OCＦ.ﻫ∵EＣ⊥AC，
∴∠ＯCF＝90°．
∴∠ODF=90°，即DF为⊙Ｏ切线.
（３）在△ACD与△A CE中,∠ADＣ＝∠ＡＣE=９0°,∠EAC=∠CAD,ﻫ∴△ＡCＤ∽△AＥC.ﻫ∴错误!＝错误!。

∴AＣ2=ＡD·AE。

又AC=2错误!DE，
∴20DE2＝（AE－DＥ)·AＥ.ﻫ∴(AＥ－５DE)（AE+4DE）＝０.
∴AE＝５DE，AD=4ＤE。

ﻫ在Rt△ACD中,ＡＣ2＝AD2＋CD2,
∴ＣＤ＝２DE。

又∵∠ＡBD=∠AＣD，
∴tan∠AＢＤ=ｔan∠ACD＝＼ｆ(AD,CD)=2.
7．（1)证明：连接FＯ,易证ＯF∥AB.
∵AC为⊙Ｏ的直径,
∴CE⊥AＥ.ﻫ∵OF∥AＢ，ﻫ∴OF⊥CＥ。

∴OF所在直线垂直平分CE．
∴FC=FＥ,OE＝OC。

ﻫ∴∠ＦEC＝∠FＣE，∠OＥC＝∠ＯＣE.
∵∠ACB＝90°，
∴∠OEC＋∠FＥC=9０°,即∠FEO=90°。

ﻫ∴ＦE为⊙O的切线．
(2)∵⊙O的半径为3，
∴ＡO=CO＝ＥO＝3。

ﻫ∵∠EAC=６０°，OA=OE，ﻫ∴∠ＥOA＝6０°.ﻫ∴∠ＣOＤ＝∠EOA＝60°.ﻫ∵在Rt△OＣＤ中，∠COD＝60°,OC=3,
∴CＤ=３错误!.
∵在Rt△ＡCD中，∠ACD=90°，CD=33，AC＝６,
∴ＡD＝错误!=3错误!。

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