2021年江苏省盐城市滨海县八滩中学高三数学理模拟试卷含解析

2021年江苏省盐城市滨海县八滩中学高三数学理模拟
试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 使奇函数，在上为减函数的θ值为
A．B． C．
D．
参考答案：
D
2. 函数f（x）=sinx?（4cos2x﹣1）的最小正周期是（）
A．B．C．πD．2π
参考答案：
B
【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．
【分析】利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期．
【解答】解：函数f（x）=sinx?（4cos2x﹣1）
化简可得：f（x）=4sinx?cos2x﹣sinx=4sinx（1﹣sin2x）﹣sinx=3sinx﹣4sin3x=sin3x．
∴最小正周期T=．
故选：B．
3. 设集合，集合，则等于
A.(1,2)
B.[1,2]
C.[1,2)
D.(1,2]
参考答案：
4. 执行右图所示的程序框图，输出的a的值为
（A）（B）
（C）（D）
参考答案：
C
略
5. 函数，对于20个数：，且满足：
，则的最小值是
A. B. C. D.1
参考答案：
B
略
6. 函数，其中P，M为实数集R的两个非空子集，又规定
，给出下列四个判断，
①②若
③若
其中正确的共
有
（）
A．0个 B．1
个 C．2个 D．3个
参考答案：
C
略
7. “为锐角”是“”成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
参考答案：
A
8. 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则
cos2θ＝( )
A．－ B．－ C. D.
参考答案：
B
9. 在下面四个图中，有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，a≠0)的导函数
f ′(x)的图象，则f(－1)等于( )
A. B.－
C. D.－或
参考答案：
B
10. 已知平面四边形ABCD的两条对角线互相垂直，，
，点E在四边形ABCD上运动，则的最小值为（）
A. －4
B. －3
C. －1
D. 3
参考答案：
B
【分析】
根据平面图形的对称性，只需讨论点在边上的运动情况，当点在边上运动时，利用共线向量和向量的加减运算，化简为
，再求最小值，同理可得到当点在边上运动时，的最小值，
【详解】由题意可知，四边形是关于直线对称的图形，故点在四边形的四条边上运动时，仅需考虑点在边上的运动情况，
易知，所以，
①当点在边上运动时，
设，则，
,
当时，取得最小值-1；
②当点在边上运动时，
设，则，
，
当时，取得最小值-3,
综上：的最小值是-3.
故选：B
【点睛】本题考查向量数量积的运算，本题以四边形为载体，将向量知识迁移到几何情景中考查，突出考查了直观想象和运算能力，本题的难点是转化向量，即
，后面的问题迎刃而解.
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设函数 ,若,则实数=________________________
参考答案：
-1
本题主要考查了函数值的运算与参数的求解问题，难度较小。

由于f（a）
==2，可解得a=－1，故填－1；
12. 已知为锐角，，则______．
参考答案：
试题分析：因,且为锐角,故,所以.
考点：两角差的正弦公式．
13. 已知抛物线上两点的横坐标恰是方程的两个实根，则直线
的方程是．
参考答案：
14. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则出现两个正面朝上的概率是。

参考答案：
15. 下列命题（1）函数的值域是；（2）函数
最小值是2；（3）若同号且，则。

其中正确的命题是()
A.(1)(2)(3)
B. (1)(2)
C. (2)(3)
D. (1) (3)
参考答案：
D
略
16. 若，则的值为．参考答案：
14
略
17. 过点的直线与圆交于两点，当最小时，直线的方程为。

参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本题满分13分）
已知椭圆的左顶点，过右焦点F且垂直于长轴的弦长为3.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点A的直线与椭圆交于点Q，与y轴交于点R，过原点与平行的直线与椭圆
交于点P，求证：为定值.
参考答案：
19. 某企业为了对生产的一种新产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到以下数据：
（Ⅱ）已知该产品的成本是36元/件，预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（Ⅰ）中的关系，为使企业获得最大利润，该产品的单价应定为多少元（精确到元）？
附：回归直线=+x的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
=， =﹣．
参考答案：
【考点】线性回归方程．
【分析】（I）根据所给数据画出散点图，计算平均数，求出回归系数，即可求得回归直线方程；
（II）利用利润=销售收入﹣成本，建立函数，利用配方法可求企业获得的利润最大．【解答】解：（ I）散点图如图…
由图得销量y与单价x线性相关
…
…
，…，
∴回归直线方程为…
（ II）利润…
当时，利润最大，这时x≈67
故定价约为67元时，企业获得最大利润．…
20. 已知向量=（1，2），=（x，1）；
（1）若（+2）⊥（2﹣）时，求x的值；
（2）若向量与向量的夹角为锐角，求x的取值范围．
参考答案：
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】（1）先写出和的坐标，根据（+2）⊥（2﹣）便有（+2）?（2﹣）=0，这样即可求出x值；
（2）向量与向量的夹角为锐角时便有，，并且与不平行，这样便可建立关于x的不等式组，从而得出x的取值范围．
【解答】解：（1），；
∵；
∴=（1+2x）（2﹣x）+12=0；
解得x=﹣2，或；
（2）若向量与向量的夹角为锐角，则，且，不平行；
∴；
∴x＞﹣2，且；
∴x的取值范围为．
21. 过双曲线的右支上的一点P作一直线l与两渐近线交于A、B两点，其中P 是AB的中点；
（1）求双曲线的渐近线方程；
（2）当P坐标为（x0，2）时，求直线l的方程；
（3）求证：|OA|?|OB|是一个定值．
参考答案：
【考点】直线与双曲线的位置关系；双曲线的简单性质．
【分析】（1）求出双曲线的a，b，由双曲线的渐近线方程为y=±x，即可得到所求；（2）令y=2代入双曲线的方程可得P的坐标，再由中点坐标公式，设A（m，2m），B （n，﹣2n），可得A，B的坐标，运用点斜式方程，即可得到所求直线方程；
（3）设P（x0，y0），A（m，2m），B（n，﹣2n），代入双曲线的方程，运用中点坐标公式，求得m，n，运用两点的距离公式，即可得到定值．
【解答】解：（1）双曲线的a=1，b=2，
可得双曲线的渐近线方程为y=±x，
即为y=±2x；
（2）令y=2可得x02=1+=2，
解得x0=，（负的舍去），
设A（m，2m），B（n，﹣2n），
由P为AB的中点，可得m+n=2，2m﹣2n=4，
解得m=+1，n=﹣1，
即有A（+1，2+2），
可得PA的斜率为k==2，
则直线l的方程为y﹣2=2（x﹣），
即为y=2x﹣2；
（3）证明：设P（x0，y0），即有x02﹣=1，
设A（m，2m），B（n，﹣2n），
由P为AB的中点，可得m+n=2x0，2m﹣2n=2y0，
解得m=x0+y0，n=x0﹣y0，
则|OA|?|OB|=|m|?|n|=5|mn|=5|（x0+y0）（x0﹣y0）|
=5|x02﹣|=5为定值．
22. 设F（，0），点A在x轴上，点B在y轴上，且=2， ?=0．
（1）当点B在y轴上运动时，求点M的轨迹E的方程；
（2）设点P是轨迹E上的动点，点R，N在y轴上，圆（x﹣1）2+y2=1内切于△PRN，求△PRN的面积的最小值．
参考答案：
【考点】轨迹方程．
【分析】（1））设M（x，y），由，得点B为线段AM的中点，由=﹣
x+=0，即可得到动点M的轨迹E的方程；
（2）设P（x0，y0），R（0，b），N（0，c），且b＞c，可得PR直线的方程为：（y0﹣b）x﹣x0y+x0b=0，由直线PR、PN与题中的圆相切，运用距离公式算出（x0﹣2）b2+2y0b﹣x0=0、（x0﹣2）c2+2y0c﹣x0=0，可得b、c是方程（x0﹣2）x2+2y0x﹣x0=0的两个根，运用根与系数的关系算出|b﹣c|关于x的式子，再代入计算△PRN的面积可得面积S关于x的
表达式，最后利用基本不等式即可求出△PRN的面积的最小值．
【解答】解：（1）设M（x，y），由，得点B为线段AM的中点，∴B（0，），A（﹣x，0），
∴=（﹣x，﹣），=（，﹣）．
由=﹣x+=0，得y2=2x．
所以动点M的轨迹E的方程为y2=2x；
（2）设P（x0，y0），R（0，b），N（0，c），且b＞c，
∴PR直线的方程为y=，整理得l PR：（y0﹣b）x﹣x0y+x0b=0，
∵圆（x﹣1）2+y2=1内切于△PRN，可得PR与圆相切，
∴=1，
注意到x0＞2，化简得：（x0﹣2）b2+2y0b﹣x0=0，
同理可得：（x0﹣2）c2+2y0c﹣x0=0，
因此，b、c是方程（x0﹣2）x2+2y0x﹣x0=0的两个不相等的实数根，
根据根与系数的关系，化简整理可得|b﹣c|==，由此可得△PRN的面积为S=??x0=（x0﹣2）++4≥8，
∴当x0﹣2=时，即当x0=4时，△PRN的面积的最小值为8．。