福建省四地六校2014届高三上学期第三次月考数学(文)试题(含答案)

福建省四地六校2014届高三上学期第三次月考数学文试题
(考试时间：120分钟 总分：150分）
参考公式：
样本数据n x x x ,,,21 的标准差；
x x x x x x x n
s n 其中],)()()[(1
22221-+-+-=
为样本平均数； 球的表面积、体积公式：,3
4,43
2
R V R S ππ=
=其中R 为球的半径。

一、选择题(本大题共l2小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.)
1．设全{}{}{}1,2,3,4,5,6,1,2,3,43,45()U U P P C ====设集合，集合Q ，，Q ( )
A.{}1,2,3,4,6
B.{}1,2,3,4,5
C.{}1,2,5
D.{}1,2
2.如图是某电视台综艺节目举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为
A ． 84,4.8
B ． 84,1.6
C ． 85,4
D ． 85,1.63．向量错误！未找到引
用源。

，则“x =2”是“错误！未找到引用源。

"的( ) A . 充分但不必要条件 B . 必要但不充分条件
C . 充要条件
D . 既不充分也不必要条件
4．设函数,[5,5]()2x f x x ∈-=-+ .若从区间[5,5]
-内随机选取一个实数0x ,则所选取的实数0x 满足
0()
0f x ≤的概率为（ ）
（A ）0.5 （B ）0.4 （C ）0.3 （D ）0.2 5．如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与侧视图 都是边长为2的正三角形，俯视图轮廓为正方形， 则此几何体的表面积是
A ．4+．12 C ．．8 6．若复数34sin cos
55z i θθ⎛⎫⎛⎫=-+-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是纯虚数，则tan 4πθ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的值为（ ） 俯视图
A.-7
B.1
7
-
C.7
D.7-或17
-
7．已知n m ,是两条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面，下列命题正确的是( ) （A ）若αα//,//n m ，则n m //． （B ）若γαβα⊥⊥,，则γβ//． （C ）若βα//,//m m ，则βα//． （D ）若βα⊥⊥m m ,，则βα//．
8．设20,,00x y z x y x y x y y k +≥⎧⎪
=+-≤⎨⎪≤≤⎩
其中实数满足，若z 的最大值为12，则z 的最小值为
A ．-3
B ．-6
C ．3
D ．6
9． 在ABC ∆中，D 是BC 的中点，AD=3，点P 在AD 上且满足,3=则=+⋅)(（ ）
A ．6
B ．6-
C ．-12
D ． 12
10．对于定义在R 上的奇函数(),(3)(),(1)(2)(3)f x f x f x f f f +=++=满足则
A ．0
B ．—1
C ．3
D ．2
11．若()f x 为偶函数，且0x 是()x y f x e =+的一个零点，则－0x 一定是下列哪个函数的零点（ ） A ．1)(--=x
e x
f y B ．1)(+=-x
e
x f y
C ．()1x
y f x e =-
D ．()1x
y f x e =+
12.对于任意两个正整数,m n ,定义某种运算“※”如下:当,m n 都为正偶数或正奇数时,
m ※n =m n +;当,m n 中一个为正偶数,另一个为正奇数时, m ※n =mn ．则在此定义下,集合
{(,)M a b a =※12,,}b a b **=∈∈N N 中的元素个数是 （ ）
A ．10个
B ．15个
C ．16个
D ．18个
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
13．在等比数列{}n a 中，11a =，公比2q =，若64n a =，则n 的值为 ．
14．已知函数2log ,0,()31,0,
x
x x f x x >⎧=⎨+≤⎩则1(())4f f 的值是 ．
若222
0a b c +-=，则角C 的大小为 ．
16．点P 在正方体1111D C B A ABCD -的面对角线1BC 上运动，则下列四个命题：
①三棱锥PC D A 1-的体积不变； ②P A 1∥平面1ACD ； ③1BC DP ⊥；
④平面⊥1PDB 平面1ACD .
其中正确的命题序号是 . 三、解答题：（本大题共6小题，共74分） 17.(本小题满分12分)
设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且=2n n S a -3(1,2,)n =.
（1）证明:数列{}n a 是等比数列；
（2）若数列{}n b 满足=2(=1,2,)n n b a +n n ⋅⋅⋅，求数列{}n b 的前n 项和为n T ．
(cos ,1),(3sin x x m n =-=[0,
]2，f(x)=
20．（本小题满分12分）
在边长为6cm 的正方形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、CD 的中点，M 、N 分别为AB 、CF 的中点，现沿AE 、AF 、EF 折叠，使B 、C 、D 三点重合于B ，构成一个三棱锥(如图所示)． （Ⅰ）在三棱锥上标注出M 、N 点，并判别MN 与平面AEF 的位置关系，并给出证明； （Ⅱ）G 是线段AB 上一点，且AG AB λ=⋅, 问是否存在点G 使得AB EGF ⊥面,若存在，求出λ的值;若不存在，请说明理由； （Ⅲ）求多面体E -AFNM 的体积．
21.（本小题满分12分）
现在市面上有普通型汽车（以汽油为燃料）和电动型汽车两种。

某品牌普通型汽车车价为12万元，第一年汽油的消费为6000元，随着汽油价格的不断上升，汽油的消费每年以20%的速度增长。

其它费用（保险及维修费用等）第一年为5000元，以后每年递增2000元。

而电动汽车由于节能环保，越来越受到社会认可。

某品牌电动车在某市上市，车价为25万元，购买时一次性享受国家补贴价6万元和该市市政府补贴价4万元。

电动汽车动力不靠燃油，而靠电池。

电动车使用的普通锂电池平均使用寿命大约两年（也即两年需更换电池一次），电池价格为1万元，电动汽车的其它费用每年约为5000元。

（1） 求使用n 年，普通型汽车的总耗资费n S （万元）的表达式 （总耗资费＝车价 + 汽油费 + 其它费用） （2） 比较两种汽车各使用10年的总耗资费用
（参考数据：1.22.14
≈ 5.22.15
≈ 2.52.19
≈ 2.62.110
≈）
22. (本小题满分14分)
已知函数()()1
2ln 2(0)f x a x ax a x
=-+
+≤. （1）当0a =时，求()f x 的极值；（2）当0a <时，讨论()f x 的单调性；
（3）若对任意的()[]123,2,,1,3,a x x ∈--∈恒有()()()12ln 32ln 3m a f x f x +->-成立，求实数m 的取值范围.
2013-2014年上学期高三“四地六校”
数学（文科）第三次月考试卷答题卡
选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
(本大题共4小题，每小题4分，共16分)
． 14.
15. 16.
6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，否则不得分.
21.
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．装．
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．订．
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．．线．
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“华安、连城、永安、漳平一中，龙海二中，泉港一中”六校联考
2013-2014学年上学期第三次月考 文科数学参考答案及评分标准
一．选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1
0 1
1 1
2 答案
D D
A
C
B
A
D
B
C
A D
B 13．7 14．
9
10 15．
135 16．①②④ 17．解（1）证明：因为=2n n S a -3(1,2,)n =，
则-1-1=2n n S a -3(2,3,)n =…… 1分
所以当2n ≥时，-1-1==22n n n n n a S S a a --，
整理得-1=2n n a a ． 由=2n n S a -3，令1n =，得11=2S a -3，解得1a =3．
所以{}n a 是首项为3，公比为2的等比数列． ……6分 （2）解：因为1=32n n a -⋅，
由=2(=1,2,)n n b a +n n ⋅⋅⋅，得1=32n n b n -⋅+2． 所以n n T n 12-1=3(1+2+2+⋅⋅⋅+2)+2(1+2+3+⋅⋅⋅+)
1(12)(+1)
=3+2122n n n -⋅-
2
=32++n n n ⋅-3
所以2=32++n n T n n ⋅-3． ……………………12分 18、．解：（1）各组的频率分别是0.1,0.2,0.3,0.2,0.1,0.1，
所以图中各组的纵坐标分别是：0.01,0.02,0.03,0.02,0.01,0.01，
………………3分
…………6分
（2）设收入（单位：百元）在[15,25)的被调查者中赞成的分别是1234,,,A A A A ，不赞成的是B ， 从中选出两人的所有结果有：
1213141232423434(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),A A A A A A A B A A A A A B A A A B A B …………8分
其中选中B 的有：1234(),(),(),().A B A B A B A B ……………………………………10分 所以选中的2人恰好有1人不赞成“楼市限购令”的概率是42
105
P ==。

…12分 解：（1）依题意得()sin()6
f x x π
=-，………………………………2分
由[0,
]2
x π
∈得：6
6
3
x π
π
π-≤-
≤
，sin()06
x π-=>，
从而可得cos()6
3
x π
-
=
，………………………………4分
则cos cos[()]cos cos()sin sin()666666x x x x π
πππππ=-+=---=6分
（2
）由2cos 2b A c ≤
得：cos B ≥，从而06B π<≤，……………………10分
故f(B)=sin(6
B π
-
)1
(,0]2
∈- ………………………………12分
20．解：（Ⅰ）因翻折后B 、C 、D 重合，所以MN 应是ABF ∆
则AEF MN 平面// 证明如下： ////MN AF MN AEF MN AEF AF AEF ⎫⎪
⊄⇒⎬⊂⎪⎭
平面平面平面（Ⅱ）存在G 点使得AB EGF ⊥面，此时=1λ
因为AB BE AB BF AB BE BF B ⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪=⎭
面EBF 又G 是线段AB 上一点，且AG AB λ=⋅,
∴ 当点G 与点B 重合时AB EGF ⊥面，此时=1λ （Ⅲ）因为AB BEF ⊥面
且6,3AB BE BF ===，
∴1
93
A BEF BEF V A
B S -∆=
⋅⋅=， ………………………………………9分 又3
,4
E AFMN AFMN E AB
F ABC V S V S --∆== 4
27
=∨-AFMN E ……………………………12分
21、解答：（1）依题意，普通型每年的汽油费用为一个首项为0.6万元，公比为1.2的等比数列 ∴ 使用n 年，汽油费用共计
)12.1(32
.11)2.11(6.0)2
.12.12.11(6.01
2-=--=++++-n n n ……………………….2分
其它费用为一个首项为0.5万元，公差为0.2万元的等差数列，故使用n 年其它费用共计
n n n n n n 4.01.02.02
)
1(5.0)]1(2.05.0[)2.05.0(5.02+=⨯-+
=-++++ ………4分 ∴ 94.01.02.134.01.032.131222+++⨯=++-⨯+=n n n n S n n n （万元）…….6分 （2） 由（1）知 94.01.02.132+++⨯=n n S n n
∴ 万元）(6.4113102.639104.0101.02.1321010=++⨯≈+⨯+⨯+⨯=S …………8分 又设10T 为电动型汽车使用10年的总耗资费用 则 万元）(25105.012
10
462510=⨯+⨯+
--=T ………………………………………….10分 6.16256.41＝－
∴ 使用10年，普通型汽车比电动型汽车多花费16.6元………………………11分 答：（1）使用n 年，普通型汽车的总耗资费用94.01.02.132+++⨯=n n S n n （2）使用10年，普通型汽车比电动型汽车多花费16.6元……………12分 22．解：（1）当0a =时，()()22
12121
2ln ,(0).x f x x f x x x x x x -'=+=-=>……… 1分 由()2
210x f x x -'=
>,解得1
2
x >. ………………2分 ∴()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，在1,2⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
上是增函数. ……………… 3分 ∴()f x 的极小值为122ln 22f ⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
，无极大值. ……………… 4分 （2）()()()()2222
22112121
2(0)ax a x ax x a f x a x x x x x +--+--'=-+==>. 6分
①当20a -<<时，()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上是减函数，在11,2a ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上是增函数；………7分
②当2a =-时，()f x 在()0,+∞上是减函数； ………… 8分 ③当2a <-时，()f x 在1,2⎛⎫+∞
⎪⎝⎭和10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是减函数，在11,2a ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上是增函数.…… 9分
（3）当32a -<<-时，由（2）可知()f x 在[]
1,3上是减函数， ∴()()()()()122
1342ln 33
f x f x f f a a -≤-=
-+-. …………… 10分 由()()()12ln 32ln 3m a f x f x +->-对任意的()[]123,2,,1,3a x x ∈--∈恒成立， ∴()()()12max ln 32ln 3m a f x f x +->- ……… 11分 即()()2
ln 32ln 342ln 33
m a a a +->-+-对任意32a -<<-恒成立， 即2
43m a
<-+
对任意32a -<<-恒成立， ……… 12分 由于当32a -<<-时，132384339a -<-+<-，∴133
m ≤-. …………… 14分。