高二数学人教A版选修23课件第一章12第1课时排列与排列数公式

————————[课堂归纳·感悟提升]——————— 1．本节课的重点是排列的概念、排列数公式及其简单应 用．难点是排列数公式的计算与证明问题． 2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)对排列概念的理解，见讲 1； (2)利用排列数公式进行计算或证明，见讲 2； (3)简单排列问题的解决方法，见讲 3. 3．本节课的易错点是利用排列数公式 Amn 解决问题时，易 忽视条件 m≤n，且 m∈N*，n∈N*，如讲 2(3)．
讲一讲 1．判断下列问题是否是排列问题，并说明理由． (1)从 1,2,3，…，10 这 10 个正整数中任取两个数组成直角坐 标平面内的点的坐标，可以得到多少个不同的点的坐标？ (2)从 1,2,3，…，10 这 10 个正整数中任取两个数组成一个集 合，可以得到多少个不同的集合？ (3)从 1,2,3，…，10 这 10 个正整数中任取两个数组成一个数 列，可以得到多少个不同的数列？
[尝试解答] (1)、(3)是排列问题，(2)不是排列问题． 对于(1)，取出的两个数组成直角坐标平面内的点的坐标 与以哪一个数为横坐标，哪一个数为纵坐标的顺序有关，所 以这是排列问题． 对于(2)，取出的两个数组成一个集合，由于集合中的元 素与顺序无关，所以这不是排列问题． 对于(3)，取出的两个数组成一个数列与以哪一个数为这 个数列的第一项，哪一个数为第二项的顺序有关，所以这是 排列问题．
提示：问题1中选出参加活动的2名同学，一名参 加上午的活动，一名参加下午的活动，与顺序有关； 而改编后的问题中的2名同学与顺序无关．
(2)教材 P15－问题 2 中选出的 3 个不同数字，排成一个 三位数，与数字的顺序有关吗？
提示：有关．
2．归纳总结，核心必记 (1)排列 ①一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按
[课前反思] (1)排列的定义是什么？ (2)排列数公式是什么？ (3)“排列”与“排列数”有什么区别？
排列类概念的理解
[思考] 如何判断一个问题是否为排列问题？
名师指津：判断一个具体问题是否为排列问题，就看取 出元素后排列是有序的还是无序的，而检验它是否有序的依 据就是变换元素的“位置”(这里的“位置”应视具体问题的 性质和条件来决定)，看其结果是否有变化，有变化就是排列 问题，无变化1＝Amn＋1.
证明：Amn ＋mAmn －1＝n－n！m！＋n－m×m＋n！1！ ＝n－m＋n1－×mn＋！1＋！m×n！＝n－nm－＋m1＋＋1m！n！ ＝n－n＋m＋1！1！＝Amn＋1.
简单的排列问题
讲一讲 3．(1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两 位不同的数，一共可以组成多少个？ (2)写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所 有排列．
练一练
2．若M＝A
1 1
＋A
2 2
＋A
33＋…＋A
2 2
010 010
，则M的个位数
字是( )
A．3
B．8
C．0
D．5
解析：选A ∵当n≥5时， Ann＝1×2×3×4×5×…×n＝120×6×…×n， ∴当n≥5时Ann的个位数字为0， 又∵A11＋A22＋A33＋A44＝1＋2＋6＋24＝33， ∴M的个位数字为3.
判断一个事件是否与顺序有关的方法：通过“变换元素的位 置”进行判断，若变换后结果有变化，则表明该事件与顺序有关； 若结果无变化，则表明该事件与顺序无关．
练一练 1．判断下列问题是不是排列问题，并说明理由． (1)从甲、乙、丙、丁四名同学中选出两名参加一项活动，其中 一名同学参加活动 A，另一名同学参加活动 B； (2)从甲、乙、丙、丁四名同学中选出两名参加一项活动； (3)从所有互质的三位数中选出两个数求其和； (4)从所有互质的三位数中选出两个数求其商； (5)高二(1)班有四个空位，安排从外校转来的三个学生坐这四个 空位中的三个．
答案：(1)D (2)2 730 (3)(n＋1)！－1
(1)排列数的第一个公式 Amn ＝n(n－1)…(n－m＋1)适用 于具体计算以及解当 m 较小时的含有排列数的方程和不等 式，在运用该公式时要注意它的特点；
(2)排列数的第二个公式 Amn ＝n－n！m！适用于与排列数 有关的证明、解方程、解不等式等，在具体运用时，应注意 先提取公因式，再计算，同时还要注意隐含条件“m≤n 且 n∈N*，m∈N*”的运用．
②排列数公式 Amn ＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n－n！m！. 特别地，Ann＝ n·(n－1)·(n－2)·…·3·2·1 ＝n！，(m，n∈N*， 且 m≤n)，0！＝ 1 .
[问题思考] (1)北京—上海，上海—北京的车票是同一个排列吗？
提示：由于北京—上海、上海—北京的车票都与顺序有 关，所以不是同一个排列．
解析：4幅油画有A44＝24种不同的排法，5幅国画有A55＝120 种不同的排法，水彩画放在油画和国画之间，则有24× 120×2＝5 760种不同的陈列方法． 答案：5 760
5．有 7 本不同的书，从中选 3 本送给 3 名同学，每人各 1 本，共有________种不同的送法．
解析：从7本不同的书中选3本送给3名同学，相当 于从7个不同的元素中，没有重复地取出3个元素， 按甲、乙、丙(3名同学)的顺序排成一列，所以共有 A37＝7×6×5＝210种不同的送法． 答案：210
[思路点拨] 可采用树形图的方法列举，也可以 直接利用排列数公式．
[尝试解答] (1)法一：把1,2,3,4中任意一个数字排在 第一个位置上，有4种排法；第一个位置排好后，第二个 位置上的数字就有3种排法．
由题意作树形图，如下．
故组成的所有两位数为 12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，共有12个． 法二：从4个数字中任取2个，其排列个数为A24＝4×3 ＝12.
(2)法一：由题意作树形图，如下．
故所有的排列为abc，abd，acb，acd，adb， adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad， cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca， dcb.共有24种排法．
法二：从4个元素a，b，c，d中任取3个元素，共 有A34＝4×3×2＝24种排法．
照 一定的顺序 排成一列，叫做从n个不同元素中取出m
个元素的一个排列； ②两个排列相同，当且仅当两个排列的元
素 完全相同 ，且元素的 排列顺序 也相同．
(2)排列数
①从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有 不同排列的 个数叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数， Amn 用
表示；
1.2 排列与组合 第1课时 排列与排列数公式
[核心必知] 1．预习教材，问题导入 根据以下提纲，预习教材 P14～P20 的内容，回答下列问题． (1)在教材 P14－问题 1 中选出参加活动的 2 名同学与顺序 有关吗？如果将问题改为“从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名 一起参加某项活动”，这与原问题还相同吗？
解：(1)是排列，因为选出的两名同学参加的是不同的活动，即相 当于把选出的同学按顺序安排到两个不同的活动中． (2)不是排列，因为选出的两名同学参加的是同一个活动，没有顺 序之分． (3)不是排列，因为选出的两个三位数之和对顺序没有要求． (4)是排列，因为选出的两个三位数之商会随着分子、分母的顺序 不同而发生变化，且这些三位数是互质的，不存在选出的数不同而 商的结果相同的可能，故是排列． (5)是排列，可看作从四个空位中选出三个座位，分别安排给三个 学生.
8－！x！，
∴x2－19x＋84<0，解得7<x<12.又x≤8，x－2≥0，
∴7<x≤8.
∵x∈N*，∴x＝8.
(2)A315＝15×14×13＝2 730.
(3)∵n×n！＝[(n＋1)－1]×n！＝(n＋1)！－n！，
∴原式＝(2！－1！)＋(3！－2！)＋(4！－3！)＋…＋[(n＋
1)！－n！]＝(n＋1)！－1.
对于简单的排列问题可直接代入排列数公式，也可 以用字典排序法或树形图或框图法，树形图是把同一元 素为首的若干排列按一定的顺序一一写出来，为了省略 前面与上一行相同的元素而画出的像树枝一样的图形， 利用树形图具体地列出各种情形，可避免排列的重复或 遗漏．
练一练
4．某博物馆计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩 画，4幅油画，5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种 的画必须放在一起，并且水彩画不放在两端，则不同的 陈列方法有________种．
利用排列数公式进行计算或证明
讲一讲
2．(1)不等式Ax8<6Ax8－2的解集为( )
A．[2,8]
B．[2,6]
C．(7,12)
D．{8}
(2)计算：A315＝________. (3)化简：1！＋2×2！＋3×3！＋…＋n×n！＝
________.
[尝试解答]
(1)由Ax8<6Ax8－2，得
8！ －x！<6×
(2)你认为“排列”和“排列数”是同一个概念吗？它 们有什么区别？
提示：“排列”与“排列数”是两个不同的概念，排列 是指“从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素，按照一定的 顺序排成一列”，它不是一个数，而是具体的一件事．“排 列数”是指“从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有 不同排列的个数”，它是一个数．