高二期末复习知识点

基 础 篇
一、几何证明判定及性质：
★ 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面内的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

★ 三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线如果和这个平面内的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在这个平面内的射影垂直。

★ 线与面平行的判定：平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么不在这个平面内的这条直线就和这个平面平行。

（三推一） ★ 线与面垂直的判定：如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。

（三推一）
★ 面与面平行的判定：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行。

（五推一）
★ 面与面垂直的判定：一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面互相垂直。

（三推一）
★ 线面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

（三推一） ★ 面面平行的性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

（三推一）
★ 线面垂直的性质：若一条直线垂直于一个平面，这条直线垂直于平面内所有的直线。

（二推一）
★ 面面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面。

（三推一）
二、空间向量公式：
★ 两条直线所成的角：
若直线1l 和2l 的方向向量分别为1v 和2v ，1l 与2l 所成的角为α
，则21,cos cos v v =><=α。

★ 两个平面所成的角： 设21,n n 是二面角βα--l 的两个面α、β的法向量，则
n n •=，就是二面角的平面角（或其补角）的大小，即锐二面角取正，钝二面角取负。

★ 直线与平面所成的角：
已知直线l 的方向向量为，平面α的法向量为，l 与α的夹角为θ，则><=,cos sin θ。

★ 点到平面的距离：
若平面α的一个法向量为n ，P 是α
外的一点，M 是α内的一点，则 P 到平面α
的距离d =
三、直线系方程：
★ 共点直线系方程：
经过两直线
1l ：0111=++C y B x A ，2l ：0222=++C y B x A 的交点的直线系方程为+++111C y B x A ()222C y B x A ++λ=0（λ为参变量），其中2l 不在直线系内。

★ 平行直线系方程：
直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程。

与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程是
0Ax By λ++=（0λ≠）
，λ是参变量。

★ 垂直直线系方程：与直线0Ax By C ++=（0,0≠≠B A ）垂直的直线系方程是0Bx Ay λ-+=,λ是参变量。

四、圆系方程：
过两圆1C ：011122=++++F y E x D y x
和2C ：022222=++++F y E x D y x 的交点的圆系方程： λ+++++11122F y E x D y x ()022222=++++F y E x D y x ()1-≠λ
（其中不含有2C ，注意检验2C 是否满足题意）
①当1-=λ时，l ：()()0212121=-+-+-F F y E E x D D 为两圆公切弦所在直线方程。

②当两圆相切（内切或外切）时，l 为过两圆公共切点所在直线方程。

五、两条直线的平行和垂直：
①若1l ：11b x k y +=，2l ：22b x k y += 则212121,//b b k k l l ≠=⇔；12121l l k k ⊥⇔=-。

②若1l ：0111=++C y B x A ，2l ：0222=++C y B x A ，且2121,,,B B A A 都不为零，
则2
1212121//C C B B A A l l ≠=⇔； 1212120l l A A B B ⊥⇔+=。

六、常用结论：
★ 球与正四面体的组合体：
棱长为a 的正四面体的内切球的半径为a 126，外接球的半径为a 46；正四面体的高为a 3
6。

★ 特殊棱锥的顶点在底面的射影位置：
①棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心。

②棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心。

③棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心。

④棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心。

⑤三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心。

⑥三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂心。

★ 球的表面积和体积公式：24R S π=球；334R V π=球 ★ 点到直线的距离公式：
设点()00,y x P ，直线l ：0=++C By Ax ，点P 到l 的距离为d ，则2200B A C
By Ax d +++=。

★ 两条平行直线之间的距离公式：
设两条平行直线：1l ：0111=++C y B x A ，2l ：0222=++C y B x A ()21C C ≠，则它们之间的距离222
1B A C C d +-=。

★ 求点关于直线对称点的问题：
①所求点与已知点的中点在对称直线上，即中点满足直线方程；
②由已知点与所求点所在直线方程与对称直线垂直，即两直线斜率乘积等于1-。

★ 二元二次方程：=+++++F Ey Dx y Bxy x 220表示圆⇔①0=B ；②0422>-+F E D 。

★ 直线与圆的位置关系：
直线0=++C By Ax 与圆()()222r b y a x =-+-的位置关系有三种：
0<∆⇔⇔>相离r d ；0=∆⇔⇔=相切r d ；0>∆⇔⇔<相交r d 。

其中22B A C Bb Aa d +++=
★ 两圆位置关系的判定方法：
设两圆圆心分别为1O ，2O ，半径分别为1r ，2r ，d O O =21则
条公切线外离421⇔⇔+>r r d ；条公切线外切321⇔⇔+=r r d ；条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ；
条公切线内切121⇔⇔-=r r d ；无公切线内含⇔⇔-<<210r r d 。

方 法 篇
1.直线的截距相等：要讨论是否经过原点，一般设：kx y =或1=+a
y a x 。

2.含有参数的直线：考虑过定点问题。

可让参数的系数和为零；令参数两个特殊值，一般为0和1。

3.直线斜率不确定时：要讨论是否存在。

4.求过定点的圆的切线方程：先判断定点与圆的位置关系，确定切线条数，再点线距离法。

5.求轨迹方程：建设限代化（查漏除杂）：遇到三角形问题去掉三点共线情况。

6.两条直线垂直：利用数量积为零不需讨论斜率。

7.已知圆的直径两端点求圆方程：数量积为零。

8.三视图：先看俯视图。

9.斜二侧画法：还原时与y 轴重合或平行的线段要变为2倍。

10.空间向量求模：平行六面体体对角线等于三相邻向量之和；空间封闭图形向量和为零。

11.判断两直线平行：要验证是否重合。

判断两直线垂直：无需验证。

12.三点共线问题：转化任意两向量共线；点在线上；斜率相等。

13.直线与坐标轴围成三角形面积问题：要求出直线与两坐标的截距（令x=0，y=0），用截距的绝对值表示面积。

14.弦中点问题：圆心与弦中点连线垂直弦，构造直角三角形。

15.两圆公共弦方程：两圆方程相减。

16.三条侧棱两两垂直的三棱锥的外接球问题：构造长方体与球的组合体，长方体体对角线是外接球的直径。

17.面面垂直：具有建系环境，在其中一个面内作交线的垂线，必垂直于另一个面，再转化为线线垂直。

18.线性规划问题：求最值可直接求两两直线交点坐标，再代入目标函数。

19.代入法：未知点在已知直线上，可利用减元思想(一个参数)设点的坐标，再根据已知条件，把另一个点用该参数表示，再把后表示的点代入已知直线上，求出参数。

20.线性回归方程：经过样本中心点),(y x 。

21.三垂线法找二面角：在一个面中易找到一点作另一个面的垂线，过垂足再作二面角棱的垂线。

22.翻折问题：变与不变。

23.等腰三角形常规辅助线：作中线或高线。

24.正方体常规辅助线：连接面对角线。

25.三个向量共面问题：四个向量中有三个向量系数和为1。

26.线面角的正弦值：就是法向量和方向向量夹角余弦值的绝对值，如果求线面角的余弦值，就再用开方关系求。

27.线线角的余弦值（三角函数值）：不能为负。

28.有关两线交点或两圆交点问题：设交点直线（圆）系方程。

29.建系坐标难写：空间问题平面化。

30.证明垂直：有时考虑勾股定理的逆定理，即运算证明。

31.底面是梯形的椎体（几何体）：在梯形中找到相似。

32.三维坐标都不确定：可根据点在线上运动设λ。

33.点到面距离问题：转化为棱锥的高，等积原理。

34.求空间线段和最短问题：把侧面展开成平面图形，利用两点之间线段最短。

35.证明数量积为定值：可利用已知条件将向量拆分。

36.直到型循环（untle ）：直到满足条件就结束程序。

37.直线与圆相交问题压轴题：设两交点坐标，直线代圆方程，一般消y ，0>∆及韦达定理。

38.反射问题：作点关于线的对称点。