精选人教版八年级数学下册19.2.2 第3课时 用待定系数法求一次函数解析式教案

第3课时 用待定系数法求一次函数解析式
1．用待定系数法求一次函数的解析式；(重点)
2．从题目中获取待定系数法所需要的两个点的条件．(难点)
一、情境导入
已知弹簧的长度y (厘米)在一定的限度内是所挂重物质量x (千克)的一次函数．现已测得不挂重物时弹簧的长度是6厘米，挂4千克质量的重物时，弹簧的长度是7.2厘米．求这个一次函数的关系式．
一次函数解析式怎样确定？需要几个
条件？
二、合作探究
探究点：用待定系数法求一次函数解析式
【类型一】 已知两点确定一次函数解析式
已知一次函数图象经过点A (3，5)
和点B (－4，－9)．
(1)求此一次函数的解析式；
(2)若点C (m ，2)是该函数图象上一点，求C 点坐标． 解析：(1)将点A (3，5)和点B (－4，－
9)分别代入一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)，列出关于k 、b 的二元一次方程组，通过解方程组求得k 、b 的值；(2)将点C 的坐标代入(1)
中的一次函数解析式，即可求得m 的值． 解：(1)设一次函数的解析式为y ＝kx ＋b (k 、b 是常数，且k ≠0)，则⎩
⎪⎨
⎪⎧5＝3k ＋b ，
－9＝－4k ＋b ，∴⎩
⎪⎨⎪⎧k ＝2，
b ＝－1，∴一次函数的解析式为y ＝2x －1；
(2)∵点C (m ，2)在y ＝2x －1上，∴2＝2m －1，∴m ＝32，∴点C 的坐标为(3
2
，2)．
方法总结：解答此题时，要注意一次函
数的一次项系数k ≠0这一条件，所以求出结果要注意检验一下．
【类型二】 由函数图象确定一次函数解析式
如图，一次函数的图象与x 轴、y
轴分别相交于A ，B 两点，如果A 点的坐标为(2，0)，且OA ＝OB ，试求一次函数的解
析式．
解析：先求出点B 的坐标，再根据待定系数法即可求得函数解析式．
解：∵OA ＝OB ，A 点的坐标为(2，0)，∴点B 的坐标为(0，－2)．设直线AB 的解
析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝0，
b ＝－2，解得
⎩
⎪⎨⎪⎧k ＝1，
b ＝－2，∴一次函数的解析式为y ＝x －2. 方法总结：本题考查用待定系数法求函数解析式，解题关键是利用所给条件得到关键点的坐标，进而求得函数解析式．
【类型三】 由三角形的面积确定一次函数解析式
如图，点B 的坐标为(－2，0)，
AB 垂直x 轴于点B ，交直线l 于点A ，如果△ABO 的面积为3，求直线l 的解析式．
解析：△AOB 面积等于OB 与AB 乘积的一半．根据OB 与已知面积求出AB 的长，确定出A 点坐标．设直线l 解析式为y ＝kx ，将A 点坐标代入求出k 的值，即可确定出直线l 的解析式． 解：∵点B 的坐标为(－2，0)，∴OB ＝2.∵S △AOB ＝12OB ·AB ＝3，∴1
2×2×AB ＝3，
∴AB ＝3，即A (－2，－3)．设直线l 的解析式为y ＝kx ，将A 点坐标代入得－3＝－2k ，即k ＝32，则直线l 的解析式为y ＝3
2
x .
方法总结：解决本题的关键是根据直线与坐标轴围成三角形的面积确定另一个点的坐标．
【类型四】 利用图形变换确定一次函数解析式
已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象过
点(1，2)，且其图象可由正比例函数y ＝kx 向下平移4个单位得到，求一次函数的解析式．
解析：根据题设得到关于k ，b 的方程组，然后求出k 的值即可．
解：把(1，2)代入y ＝kx ＋b 得k ＋b ＝
2.∵y ＝kx 向下平移4个单位得到y ＝kx ＋b ，∴b ＝－4，∴k －4＝2，解得k ＝6.∴一次函数的解析式为y ＝6x －4.
方法总结：一次函数y ＝kx ＋b (k 、b 为常数，k ≠0)的图象为直线，当直线平移时k 不变，当向上平移m 个单位，则平移后直线的解析式为y ＝kx ＋b ＋m .
【类型五】 由实际问题确定一次函数解析式
已知水银体温计的读数y(℃)与水
银柱的长度x(cm)之间是一次函数关系．现
有一支水银体温计，其部分刻度线不清晰
(如图)，表中记录的是该体温计部分清晰刻
度线及其对应水银柱的长度．
(1)求y关于x的函数关系式(不需要写
出函数自变量的取值范围)；
(2)用该体温计测体温时，水银柱的长度
为6.2cm，求此时体温计的读数．
解析：(1)设y关于x的函数关系式为y
＝kx＋b，由统计表的数据建立方程组求出
k，b即可；(2)当x＝6.2时，代入(1)的解析
式就可以求出y的值．
解：(1)设y关于x的函数关系式为y＝
kx＋b，由题意，得
⎩⎪
⎨
⎪⎧35.0＝4.2k＋b，
40.0＝8.2k＋b
，
解得
⎩⎪
⎨
⎪⎧k＝1.25，
b＝29.75，
∴y＝1.25x＋29.75.∴y关于x的
函数关系式为y＝1.25x＋29.75；
(2)当x＝6.2时，y＝1.25×6.2＋29.75
＝37.5.
答：此时体温计的读数为37.5℃.
方法总结：本题考查了待定系数法求一
次函数的解析式的运用，由解析式根据自变
量的值求函数值的运用，解答时求出函数的
解析式是关键．
【类型六】与确定函数解析式有关的
综合性问题
如图，A、B是分别在x轴上位于
原点左右侧的点，点P(2，m)在第一象限内，
直线P A交y轴于点C(0，2)，直线PB交y
轴于点D，S△AOP＝12.
(1)求点A的坐标及m的值；
(2)求直线AP的解析式；
(3)若S△BOP＝S△DOP，求直线BD的解析
式．
解析：(1)S△POA＝S△AOC＋S△COP，根据三
角形面积公式得到1
2×OA×2＋
1
2×2×2＝
12，可计算出OA＝10，则A点坐标为(－10，
0)，然后再利用S△AOP＝
1
2×10×m＝12求出
m；(2)已知A点和C点坐标，可利用待定系
数法确定直线AP的解析式；(3)利用三角形
面积公式由S△BOP＝S△DOP得PB＝PD，即点
P为BD的中点，则可确定B点坐标为(4，
0)，D点坐标为(0，
24
5)，然后利用待定系数
法确定直线BD的解析式．
解：(1)∵S △POA ＝S △AOC ＋S △COP ，∴
12
×OA ×2＋1
2×2×2＝12，∴OA ＝10，∴A
点坐标为(－10，0)．∵S △AOP ＝1
2×10×m ＝
12，∴m ＝12
5
；
(2)设直线AP 的解析式为y ＝kx ＋b ，把
A (－10，0)，C (0，2)代入得⎩⎪⎨
⎪⎧－10k ＋b ＝0，
b ＝2，
解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝15，b ＝2，∴直线AP 的解析式为y ＝1
5
x ＋
2；
(3)∵S △BOP ＝S △DOP ，∴PB ＝PD ，即点P 为BD 的中点，∴B 点坐标为(4，0)，D 点坐标为⎝⎛⎭⎫0，24
5.设直线BD 的解析式为y ＝k ′x ＋b ′，把B (4，0)，D ⎝⎛⎭⎫0，24
5代入得⎩⎪⎨⎪⎧4k ′＋b ′＝0，b ′＝24
5，解得⎩
⎨⎧
k ′＝－6
5，b ′＝245
，∴直线BD 的解析式为y ＝－65x ＋24
5
.
三、板书设计 1．待定系数法的定义
2．用待定系数法求一次函数解析式
教学中，要让学生通过自主讨论、交流，来探究学习中碰到的问题，教师从中点拨、引导，并和学生一起学习，探讨，真正做到教学相长． 出师
表
两汉：诸葛亮
先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。

然侍卫之臣不懈于内，忠志之士忘身于外者，盖追先帝之殊遇，欲报之于陛下也。

诚宜开张圣听，以光先帝遗德，恢弘志士之气，不宜妄自菲薄，引喻失义，以塞忠谏之路也。

宫中府中，俱为一体；陟罚臧否，不宜
异同。

若有作奸犯科及为忠善者，宜付有司论其刑赏，以昭陛下平明之理；不宜偏私，使内外异法也。

侍中、侍郎郭攸之、费祎、董允等，此皆良实，志虑忠纯，是以先帝简拔以遗陛下：愚以为宫中之事，事无大小，悉以咨之，然后施行，必能裨补阙漏，有所广益。

将军向宠，性行淑均，晓畅军事，试用于昔日，先帝称之曰“能”，是以众议举宠为督：愚以为营中之事，悉以咨之，必能使行阵和睦，优劣得所。

亲贤臣，远小人，此先汉所以兴隆也；亲小人，远贤臣，此后汉所以倾颓也。

先帝在时，每与臣论此事，未尝不叹息痛恨于桓、灵也。

侍中、尚书、长史、参军，此悉贞良
死节之臣，愿陛下亲之、信之，则汉室之隆，可计日而待也。

臣本布衣，躬耕于南阳，苟全性命于乱世，不求闻达于诸侯。

先帝不以臣卑鄙，猥
自枉屈，三顾臣于草庐之中，咨臣以当世之事，由是感激，遂许先帝以驱驰。

后值倾覆，受任于败军之际，奉命于危难之间，尔来二十有一年矣。

先帝知臣谨慎，故临崩寄臣以大事也。

受命以来，夙夜忧叹，恐托付不效，以伤先帝之明；故五月渡泸，深入不毛。

今南方已定，兵甲已足，当奖率三军，北定中原，庶竭驽钝，攘除奸凶，兴复汉室，还于旧都。

此臣所以报先帝而忠陛下之职分也。

至于斟酌损益，进尽忠言，则攸之、祎、允之任也。

愿陛下托臣以讨贼兴复之效，不效，则治臣之罪，以告先帝之灵。

若无兴德之言，则责攸之、祎、允等之慢，以彰其咎；陛下亦宜自谋，以咨诹善道，察纳雅言，深追先帝遗诏。

臣不胜受恩感激。

今当远离，临表涕零，不知所言。