2013年高考一轮复习教案数学(理)新课标第二篇函数与基本初等函数Ⅰ5对数与对数函数
全国版高考数学一轮复习第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第5讲对数与对数函数课件理
特点
记法
一般对数
底数为(>0,且≠1)
logN
常用对数
底数为10
lg N
自然对数
底数为e
ln N
考点1 对数与对数运算
2.对数的性质、运算法则及重要公式
性质
运算法则
考点1 对数与对数运算
选用e或10作为底数.(2)表中有关公式均
是在式子中所有对数符号有意义的前提下成立的.
考点2 对数函数的图象与性质
1.对数函数的图象和性质
0<<1
>1
图象
定义域:(0,+∞).
值域:R.
图象过定点(1,0),即恒有log1=0.
性质
当>1时,恒有>0;当0<<1时,恒有<0. 当>1时,恒有<0;当0<<1时,恒有>0.
在(0,+∞)上是增函数.
在(0,+∞)上是减函数.
可.
当0<<1时,显然不成立.
当>1时,如图2-5-3所示,要使在区间(1,2)上,
f1()=(-1)2的图象在f2()=log的图象的下方,
只需f1(2)≤f2(2),即(2-1)2≤log2,所以log2≥1,
解得1<≤2.
答案 C
图2-5-3
考法2 对数函数的图象及应用
方法技巧 对数型函数图象的考查类型及解题思路
定,需分>1与0<<1两种情况讨论.
先将化为以为底数的对数式的形式,再借助函数
=log的单调性求解.
将不等式两边化为同底的两个对数式,利用对数函数
的单调性“脱去”对数符号,同时应保证真数大于零.
高考数学(理)一轮复习教案第二篇函数与基本初等函数Ⅰ第3讲函数的奇偶性与周期性(人教A
2013届高考数学（理）一轮复习教案：第二篇函数与基本初等函数Ⅰ第3讲函数的奇偶性与周期性【2013年高考会这样考】1．判断函数的奇偶性．2．利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值．3．考查函数的单调性与奇偶性的综合应用．【复习指导】本讲复习时应结合具体实例和函数的图象，理解函数的奇偶性、周期性的概念，明确它们在研究函数中的作用和功能．重点解决综合利用函数的性质解决有关问题．基础梳理1．奇、偶函数的概念一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称．2．奇、偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．(2)在公共定义域内①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；②两个偶函数的和、积都是偶函数；③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数．3．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．一条规律奇、偶函数的定义域关于原点对称．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．两个性质 (1)若奇函数f (x )在x ＝0处有定义，则f (0)＝0.(2)设f (x )，g (x )的定义域分别是D 1，D 2，那么在它们的公共定义域上： 奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 三种方法判断函数的奇偶性，一般有三种方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)性质法． 三条结论(1)若对于R 上的任意的x 都有f (2a －x )＝f (x )或f (－x )＝f (2a ＋x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．(2)若对于R 上的任意x 都有f (2a －x )＝f (x )，且f (2b －x )＝f (x )(其中a ＜b )，则：y ＝f (x )是以2(b －a )为周期的周期函数．(3)若f (x ＋a )＝－f (x )或f (x ＋a )＝1f x 或f (x ＋a )＝－1f x ，那么函数f (x )是周期函数，其中一个周期为T ＝2a ；(3)若f (x ＋a )＝f (x ＋b )(a ≠b )，那么函数f (x )是周期函数，其中一个周期为T ＝2|a －b |.双基自测1．(2011·全国)设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝( )． A.－12 B.－14 C.14 D.12解析 因为f (x )是周期为2的奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12.故选A.答案 A2．(2012·福州一中月考)f (x )＝1x－x 的图象关于( )． A ．y 轴对称B ．直线y ＝－x 对称C ．坐标原点对称D ．直线y ＝x 对称解析 f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，又f (－x )＝1－x －(－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x ＝－f (x )，则f (x )为奇函数，图象关于原点对称．答案 C3．(2011·广东)设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )．A ．f (x )＋|g (x )|是偶函数B ．f (x )－|g (x )|是奇函数C ．|f (x )|＋g (x )是偶函数D ．|f (x )|－g (x )是奇函数解析 由题意知f (x )与|g (x )|均为偶函数，A 项：偶＋偶＝偶；B 项：偶－偶＝偶，B 错；C 项与D 项：分别为偶＋奇＝偶，偶－奇＝奇均不恒成立，故选A. 答案 A4．(2011·福建)对于函数f (x )＝a sin x ＋bx ＋c (其中，a ，b ∈R ，c ∈Z )，选取a ，b ，c 的一组值计算f (1)和f (－1)，所得出的正确结果一定不可能是( )．A ．4和6B ．3和1C ．2和4D ．1和2解析 ∵f (1)＝a sin 1＋b ＋c ，f (－1)＝－a sin 1－b ＋c 且c ∈Z ，∴f (1)＋f (－1)＝2c 是偶数，只有D 项中两数和为奇数，故不可能是D.答案 D5．(2011·浙江)若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________. 解析 法一 ∵f (－x )＝f (x )对于x ∈R 恒成立，∴|－x ＋a |＝|x ＋a |对于x ∈R 恒成立，两边平方整理得ax ＝0对于x ∈R 恒成立，故a ＝0.法二 由f (－1)＝f (1)，得|a －1|＝|a ＋1|，得a ＝0.答案0考向一 判断函数的奇偶性【例1】►下列函数：①f (x )＝ 1－x 2＋ x 2－1；②f (x )＝x 3－x ；③f (x )＝ln(x ＋x 2＋1)；④f (x )＝3x －3－x 2；⑤f (x )＝lg 1－x 1＋x.其中奇函数的个数是( )． A ．2 B ．3 C ．4 D ．5[审题视点] 利用函数奇偶性的定义判断．解析 ①f (x )＝1－x 2＋x 2－1的定义域为{－1,1}，又f (－x )＝±f (x )＝0， 则f (x )＝1－x 2＋x 2－1是奇函数，也是偶函数；②f (x )＝x 3－x 的定义域为R ，又f (－x )＝(－x )3－(－x )＝－(x 3－x )＝－f (x )，则f (x )＝x 3－x 是奇函数；③由x ＋x 2＋1>x ＋|x |≥0知f (x )＝ln(x ＋x 2＋1)的定义域为R ， 又f (－x )＝ln(－x ＋－x 2＋1)＝ln 1x ＋x 2＋1＝－ln(x ＋x 2＋1)＝－f (x )，则f (x )为奇函数；④f (x )＝3x －3－x2的定义域为R ， 又f (－x )＝3－x －3x 2＝－3x －3－x2＝－f (x )， 则f (x )为奇函数；⑤由1－x 1＋x >0得－1<x <1，f (x )＝ln 1－x 1＋x的定义域为(－1,1)， 又f (－x )＝ln1＋x 1－x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x －1＝－ln 1－x 1＋x ＝－f (x )， 则f (x )为奇函数．答案 D判断函数的奇偶性的一般方法是：(1)求函数的定义域；(2)证明f (－x )＝f (x )或f (－x )＝－f (x )成立；或者通过举反例证明以上两式不成立．如果二者皆未做到是不能下任何结论的，切忌主观臆断．【训练1】 判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3； (2)f (x )＝x 2－|x －a |＋2.解 (1)解不等式组⎩⎨⎧ 4－x 2≥0，|x ＋3|－3≠0，得－2≤x <0，或0<x ≤2，因此函数f (x )的定义域是[－2,0)∪(0,2]，则f (x )＝4－x 2x .f (－x )＝4－－x 2－x＝－4－x 2x ＝－f (x )，所以f (x )是奇函数． (2)f (x )的定义域是(－∞，＋∞)．当a ＝0时，f (x )＝x 2－|x |＋2，f (－x )＝x 2－|－x |＋2＝x 2－|x |＋2＝f (x )．因此f (x )是偶函数；当a ≠0时，f (a )＝a 2＋2，f (－a )＝a 2－|2a |＋2，f (－a )≠f (a )，且f (－a )≠－f (a )．因此f (x )既不是偶函数也不是奇函数．考向二 函数奇偶性的应用【例2】►已知f (x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋12(x ≠0)．(1)判断f (x )的奇偶性；(2)证明：f (x )＞0.[审题视点] (1)用定义判断或用特值法否定；(2)由奇偶性知只须求对称区间上的函数值大于0.(1)解 法一 f (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)∵f (x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋12＝x 2·2x ＋12x －1. ∴f (－x )＝－x 2·2－x ＋12－x －1＝x 2·2x ＋12x －1＝f (x )． 故f (x )是偶函数．法二 f (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，∵f (1)＝32，f (－1)＝32，∴f (x )不是奇函数． ∵f (x )－f (－x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋12＋x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x －1＋12 ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋2x 1－2x ＋1＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x 2x －1＋1＝x (－1＋1)＝0， ∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )是偶函数．(2)证明 当x ＞0时，2x ＞1,2x －1＞0，所以f (x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋12＞0. 当x ＜0时，－x ＞0，所以f (－x )＞0，又f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )，所以f (x )＞0.综上，均有f (x )＞0.根据函数的奇偶性，讨论函数的单调区间是常用的方法．奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反．所以对具有奇偶性的函数的单调性的研究，只需研究对称区间上的单调性即可．【训练2】 已知奇函数f (x )的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]内递减，求满足：f (1－m )＋f (1－m 2)＜0的实数m 的取值范围．解 ∵f (x )的定义域为[－2,2]，∴有⎩⎨⎧ －2≤1－m ≤2，－2≤1－m 2≤2，解得－1≤m≤ 3.①又f(x)为奇函数，且在[－2,0]上递减，∴在[－2,2]上递减，∴f(1－m)＜－f(1－m2)＝f(m2－1)⇒1－m＞m2－1，即－2＜m＜1.②综合①②可知，－1≤m＜1.考向三函数的奇偶性与周期性【例3】►已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)的图象关于x＝1对称，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[1,2]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)的值．[审题视点] (1)只需证明f(x＋T)＝f(x)，即可说明f(x)为周期函数；(2)由f(x)在[0,1]上的解析式及f(x)图象关于x＝1对称求得f(x)在[1,2]上的解析式；(3)由周期性求和的值．(1)证明函数f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，函数f(x)的图象关于x＝1对称，则f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝f[(2＋x)＋2]＝－f(2＋x)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数．(2)解当x∈[1,2]时，2－x∈[0,1]，又f(x)的图象关于x＝1对称，则f(x)＝f(2－x)＝22－x－1，x∈[1,2]．(3)解∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1又f(x)是以4为周期的周期函数．∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)＝f(2 012)＋f(2 013)＝f(0)＋f(1)＝1.判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题．【训练3】已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，则f(2 013)＋f(2 015)的值为( )．A．－1 B．1 C．0 D．无法计算解析由题意，得g(－x)＝f(－x－1)，又∵f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，f(－x)＝f(x)，∴f(x－1)＝－f(x＋1)，∴f(x)＝－f(x＋2)，∴f(x)＝f(x＋4)，∴f(x)的周期为4，∴f(2 013)＝f(1)，f(2 015)＝f(3)＝f(－1)，又∵f(1)＝f(－1)＝g(0)＝0，∴f(2 013)＋f(2 015)＝0.答案 C规范解答3——如何解决奇偶性、单调性、周期性的交汇问题【问题研究】函数的奇偶性、单调性、周期性是函数的三大性质，它们之间既有区别又有联系，高考作为考查学生综合能力的选拔性考试，在命题时，常常将它们综合在一起命制试题.【解决方案】根据奇偶性的定义知，函数的奇偶性主要体现为f－x与f x的相等或相反关系，而根据周期函数的定义知，函数的周期性主要体现为f x＋T与f x的关系，它们都与f x有关，因此，在一些题目中，函数的周期性常常通过函数的奇偶性得到.函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律，因此，在解题时，往往需借助函数的奇偶性或周期性来确定函数在另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性来解决相关问题.【示例】►(本题满分12分)(2011·沈阳模拟)设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.(1)求f(π)的值；(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积；(3)写出(－∞，＋∞)内函数f(x)的单调增(或减)区间．第(1)问先求函数f(x)的周期，再求f(π)；第(2)问，推断函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，再结合周期画出图象，由图象易求面积；第(3)问，由图象观察写出．[解答示范] (1)由f(x＋2)＝－f(x)得，f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，(2分)∴f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.(4分)(2)由f(x)是奇函数与f(x＋2)＝－f(x)，得：f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，即f(1＋x)＝f(1－x)．故知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．(6分)又0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示．(8分)当－4≤x≤4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB ＝4×⎝⎛⎭⎪⎫12×2×1＝4.(10分)(3)函数f(x)的单调递增区间为[4k－1,4k＋1](k∈Z)，单调递减区间[4k＋1,4k ＋3](k∈Z)．(12分)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题．【试一试】已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则( )．A．f(－25)＜f(11)＜f(80) B．f(80)＜f(11)＜f(－25)C．f(11)＜f(80)＜f(－25) D．f(－25)＜f(80)＜f(11)[尝试解答] 由函数f(x)是奇函数且f(x)在[0,2]上是增函数可以推知，f(x)在[－2,2]上递增，又f(x－4)＝－f(x)⇒f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)，故函数f(x)以8为周期，f(－25)＝f(－1)，f(11)＝f(3)＝－f(3－4)＝f(1)，f(80)＝f(0)，故f(－25)＜f(80)＜f(11)．故选D.答案D（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。
数学课标通用(理科)一轮复习配套教师用书：第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 对数与对数函数
§2.6对数与对数函数考纲展示►1。
理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用．2．理解对数函数的概念，和对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点．3．知道对数函数是一类重要的函数模型．4．了解指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数（a〉0，且a≠1)．考点1 对数的运算1.对数的概念如果a x＝N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作________，其中________叫做对数的底数，________叫做真数．答案:x＝log a N a N2．对数的性质与运算法则（1）对数的运算法则:如果a>0且a≠1,M〉0，N>0,那么①log a（MN）＝____________；②log a错误!＝____________；③log a M n＝________（n∈R）；④log a m M n＝错误!log a M。
（2)对数的性质：①a log a N＝________；②log a a N＝________(a>0且a≠1）．(3）对数的重要公式：①换底公式：log b N＝错误!（a，b均大于0且不等于1)；②log a b＝错误!，推广log a b·log b c·log c d＝________。
答案:（1)①log a M＋log a N②log a M－log a N③n log a M (2）①N②N(3)②log a d（1）[教材习题改编］lg错误!＋lg错误!的值是（)A。
错误!B．1C．10 D．100答案:B(2）［教材习题改编］(log29)·(log34）＝（)A.错误!B．错误!C．2 D．4答案:D(3）[教材习题改编］已知log53＝a，log54＝b，lg 2＝m，求错误!＋lg 4b的值（用m表示）．解:错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝2lg 5＝2(1－lg 2)＝2(1－m）．误用对数运算法则．(1）log3错误!－log3错误!＋错误!－1＝________.（2）(log29)·(log34)＝________.答案：(1)2 （2)4解析：（1)原式＝log3错误!＋31＝log3错误!＋3＝－1＋3＝2。
2013届高考一轮数学复习理科课件(人教版)第5课时 对数与对数函数
第5课时
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
(3)由指数函数的性质： ∵0<0.9<1，而5.1>0， ∴0<0.95.1<1，即0<m<1. 又∵5.1>1，而0.9>0，∴5.10.9>1，即n>1. 由对数函数的性质： ∵0<0.9<1，而5.1>1，∴log0.95.1<0， 即p<0.综上，p<m<n.
图所示，则a，b满足的关系是( A．0<a－1<b<1 B．0<b<a－1<1 C．0<b－1<a<1 D．0<a 1<b 1<1
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第二章
第5课时
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
【解析】 首先由于函数φ(x)＝2x＋b－1单调递增， 可得a>1；又－1<f(0)<0，即－1<logab<0，所以a－
【解析】 设f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝logax，要使当x ∈(1,2)时，不等式(x－1)2<logax恒成立，只需f1(x)＝(x－ 1)2在(1,2)上的图像在f2(x)＝logax的下方即可．(如图所示)
第二章
第5课时
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
当0<a<1时，显然不成立． 当a>1时，如图，要使在(1,2)上， f1(x)＝(x－1)2的图像在f2(x)＝logax的下方，只需 f1(2)≤f2(2)， 即(2－1)2≤loga2，loga2≥1，∴1<a≤2.
第二章
第5课时
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
数学(文)一轮复习：第二章 基本初等函数、导数及其应用 第讲对数与对数函数
第6讲对数与对数函数,)1．对数概念如果a x＝N(a〉0,a≠1），那么数x叫做以a 为底N的对数，记作x＝log a N．其中a叫做对数的底数，N叫做真数性质底数的限制：a>0，且a≠1对数式与指数式的互化：a x＝N⇒log a N＝x负数和零没有对数1的对数是零：log a1＝0底数的对数是1：log a a＝1对数恒等式：a log a N＝N运算性质log a（M·N)＝log a M＋log a N a>0，且a≠1, log a错误!＝log a M－log a Nlog a M n＝n log a M（n∈R)M >0,N〉0 2.对数函数的图象与性质a〉10<a<1图象性质定义域：（0，＋∞）值域:R过定点（1，0）当x〉1时，y〉0当0〈x〈1时,y<0当x〉1时，y〈0当0<x<1时，y〉在（0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞）上是减函数指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数,它们的图象关于直线y＝x对称．1．辨明三个易误点（1）在运算性质中，要特别注意条件，底数和真数均大于0，底数不等于1。
（2)对公式要熟记，防止混用．（3）对数函数的单调性、最值与底数a有关，解题时要按0〈a 〈1和a〉1分类讨论，否则易出错．2．对数函数图象的两个基本点（1）当a>1时，对数函数的图象“上升”；当0<a〈1时，对数函数的图象“下降”．(2)对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1）的图象过定点（1，0），且过点(a，1），错误!，函数图象只在第一、四象限．3．换底公式及其推论(1）log a b＝错误!(a，c均大于0且不等于1，b〉0）；(2）log a b·log b a＝1，即log a b＝错误!（a，b均大于0且不等于1)；（3)log am b n＝错误!log a b（a〉0且a≠1，b>0，m≠0,n∈R）；(4)log a b·log b c·log c d＝log a d（a，b，c均大于0且不等于1,d>0）．1．函数y＝错误!ln(1－x）的定义域为（)A．(0，1) B．D．B 因为y＝错误!ln(1－x）,所以错误!解得0≤x〈1.2.错误!(log29）·（log34)＝（)A．错误!B．错误!C．2 D．4D原式＝错误!·错误!＝4。
高考数学第一轮复习教案-专题2函数概念与基本初等函数
反函数的定义
设函数 y f (x)(x A) 的值域是 C，根据这个函数中 x,y 的关系，用 y 把 x 表
高考数学第一轮复习教案汇总【精华】
专题二 函数概念与基本初等函数
一、考试内容： 映射、函数、函数的单调性、奇偶性． 反函数．互为反函数的函数图像间的关系． 指数概念的扩充．有理指数幂的运算性质．指数函数． 对数．对数的运算性质．对数函数． 函数的应用． 二、考试要求： （1）了解映射的概念，理解函数的概念． （2）了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法． （3）了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数． （4）理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像 和 性质． （5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质． （6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题． 三、命题热点
y f 1(x)
（二）函数的性质 函数的单调性
定义：对于函数 f(x)的定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1,x2, ⑴若当 x1<x2 时，都有 f(x1)<f(x2),则说 f(x)在这个区间上是增函数； ⑵若当 x1<x2 时，都有 f(x1)>f(x2),则说 f(x) 在这个区间上是减函数.
奇函 数的定 义：如果 对于函 数f(x)的定 义域内 任意一 个x,都有 f(-x)=-f(x),那么 函数f(x)就叫 做奇函 数.
高考一轮复习教案三(5)对数函数(学生)
模块： 三、函数（二） 课题： 5、对数运算与对数函数教学目标： 理解对数的意义，掌握运算法则，会用计算器求对数，理解对数函数有关基本概念，掌握其基本性质与图像；重难点： 对数函数的图像与性质及应用． 一、 知识要点1、 对数的概念和性质（1） 对数的概念：若()0,1b a N a a =>≠，则b 叫做以a 为底的N 的对数，记作log a b N =，其中a 是底数，N 是真数．（2） 对数的性质①底的对数等于1，即log 1a a =；1的对数等于0，即log 10a =； ②对数恒等式：()log 0a NaN N =>；③换底公式：()log log 0,0,1,0,1log a b a NN N a a b b b=>>≠>≠；④运算性质：()log log log a a a MN M N =+；log log log aa a MM N N=-； ()log log n a a M n M n R =∈；log log m n a a nb b m=． 定义 形如log a y x =（a 0>且1a ≠）的函数叫做对数函数定义域 ()0,+∞值域(),-∞+∞图像性质奇偶性 非奇非偶函数单调性 在()0,+∞上是增函数 ()0,+∞上是减函数范围当1x >时，0y >；当01x <<时，0y >；例1、求下列函数的定义域：（1）2log y =（2）y =（3）(1)log (1)x y x -=+．例2、已知函数2()lg(1)f x ax ax =++的定义域为R ，求实数a 的取值范围．例3、判断函数())f x x =的奇偶性．例4、（1）设2log 3a =，3log 7b =，试用a 、b 表示出42log 56；（2）已知2279log log 6a b +=，227917log log 3b a +=，求a 、b 的值．例5、已知函数()22log 2y x =-的定义域是[],a b ，值域是[]21,log 14，求实数a 、b 的值．例6、已知函数()()212log f x x ax a =--在区间(,1-∞上是增函数，求实数a 的取值范围．例7、（1）比较1log 5a +与()log 1a a +（0a >且1a ≠）的大小；（2）已知：01x <<，0a >，1a ≠，比较()|log 1|a x -和()|log 1|a x +的大小．例8、已知函数()()log 1a f x x =+在区间[)1,+∞上的函数值恒有()2f x >，求实数a 的取值范围．例9、设,a b R ∈，且2a ≠，定义在区间(),b b -内的函数()1lg 12axf x x+=+是奇函数． （1） 求b 的取值范围； （2） 讨论函数()f x 的单调性． 三、课堂练习1、函数y =的定义域是 ．2、函数()311xy x =-≥的反函数是 ． 3、若函数()log 4a a f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭（0a >且1a ≠）的值域为R ，则实数a 的取值范围是 ．4、函数()23log 28y x x =--的单调增区间是 ． 5、若函数()421xxf x =++的反函数为()1fx -，则()10f x -<的解集是 ． 6、把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题：若函数()23log f x x =+的图像与()g x 的图像关于 对称，则函数()g x = （填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形）． 7、已知函数()f x 的图像与()2x g x =的图像关于直线y x =对称，令()()1||h x f x =-，则关于函数()h x 有下列命题：①()h x 的图像关于原点()0,0对称；②()h x 的图像关于y 轴对称；③()h x 的最大值为0；④()h x 在区间()1,1-上单调增．其中正确的命题是 （把正确命题的序号都填上）．四、 课后作业 一、填空题1、若30.618a=，[],1a k k ∈+，k Z ∈，则k = ．2、若函数()22log 2y x ax a =+++的定义域为R ，则实数a 的取值范围是 ． 3、若函数()log a f x x =（0a >且1a ≠）在区间[],2a a 上的最大值是最小值的3倍，则a = ．4、若函数2log 3xa y ⎛⎫= ⎪⎝⎭（0a >且1a ≠）在R 上是减函数，则a 的取值范围是 ．5、已知函数()2||f x x x =-，若()31log 21f f m ⎛⎫< ⎪+⎝⎭，则实数m 的取值范围是 ．6、设()()3log 6f x x =+的反函数为()1fx -，若()()116627f m f n --⎡⎤⎡⎤+⋅+=⎣⎦⎣⎦，则()f m n += ．二、选择题7、设01a <<，函数()()2log 22xx a f x a a =--，则使()0f x <的x 的取值范围是（ ） A 、(),0-∞B 、()0,+∞C 、(),log 3a -∞D 、()log 3,a +∞8、函数()()2log 2f x ax =-在[]0,1上是减函数，则a 的取值范围是（ ） A 、()0,1B 、()1,2C 、()0,2D 、()2,+∞9、设()2lg 1f x a x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭是奇函数，则使()0f x <的x 的取值范围是（ ） A 、()1,0-B 、()0,1C 、(),0-∞D 、()(),01,-∞+∞三、解答题10、已知函数()()()lg ,10x xf x a kb k R a b +=-∈>>>的定义域恰为区间()0,+∞，是否存在这样的a b 、，使得()f x 恰在()1,+∞上取正值，且()3lg4f =？若存在，求出a b 、的值；若不存在，请说明理由．11、对于函数()()212log 24f x ax x =-+()a R ∈．（1）若()f x 的定义域为R ，求a 的取值范围； （2）若()f x 的值域为R ，求a 的取值范围； （3）若()f x 的值域为(],1-∞，求a 的取值范围； （4）若()f x 在(],3-∞上为增函数，求a 的取值范围．12、已知函数()3log f x x =． （1）若关于x 的方程()()()23f ax f axf ⋅=的解都在区间()0,1内，求实数a 的范围；（2）若函数()223f x ax -+在区间[)2,+∞上单调递增，求正实数a 的取值范围．。
浙江新人教版2013届高三数学一轮复习教案对数与对数函数1
教材分析：对数函数放在指数函数之后学习，它是指数函数的反函数，与指数函数关系密切。
对数函数的性质是高考的热点，题型一般为选择题、填空题，属于中低档题。
主要考察利用对数函数的性质比较数值大小，求定义域、值域以及对数函数与相应指数函数的关系。
学情分析：对数函数是指数函数的反函数，在研究对数函数之前首先要掌握指数式与对数式的对应关系，在此基础上研究对数的相关性质。
由于对数是高一上学期学的，现在对于这些概念性的题肯定已经模糊，故在教学上以基本的概念、性质为主，为接下来对数函数性质的学习做铺垫。
教学目标：1. 理解对数的概念，了解对数与指数的关系；2. 理解和掌握对数的性质；3. 掌握对数式与指数式的关系.教学重点：对数式与指数式的互化及对数的性质教学难点：推导对数性质。
教学过程：一、知识梳理：1、对数的概念一般地，若错误!未找到引用源。
，那么数错误!未找到引用源。
叫做以a为底N的对数，记作错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。
叫做对数的底数，N叫做真数.举例：如：错误!未找到引用源。
，读作2是以4为底，16的对数.错误!未找到引用源。
，则错误!未找到引用源。
，读作错误!未找到引用源。
是以4为底2的对数.提问：你们还能指出一些对数的例子吗？2、对数式与指数式的互化在对数的概念中，要注意：（1）底数的限制错误!未找到引用源。
＞0，且错误!未找到引用源。
≠1（2）错误!未找到引用源。
指数式错误!未找到引用源。
对数式幂底数←错误!未找到引用源。
→对数底数指数←错误!未找到引用源。
→对数幂←N→真数说明：对数式错误!未找到引用源。
可看作一记号，表示底为错误!未找到引用源。
（错误!未找到引用源。
＞0，且错误!未找到引用源。
≠1），幂为N的指数表示方程错误!未找到引用源。
（错误!未找到引用源。
＞0，且错误!未找到引用源。
≠1）的解.也可以看作一种运算，即已知底为错误!未找到引用源。
（错误!未找到引用源。
＞0，且错误!未找到引用源。
高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 1 第1讲 函数及其表示教学案
第二章 函数概念与基本初等函数知识点最新考纲函数及其表示了解函数、映射的概念．了解函数的定义域、值域及三种表示法(解析法、图象法和列表法)． 了解简单的分段函数，会用分段函数解决简单的问题.函数的基本性质 理解函数的单调性、奇偶性，会判断函数的单调性、奇偶性． 理解函数的最大(小)值的含义，会求简单函数的最大(小)值. 指数函数了解指数幂的含义，掌握有理指数幂的运算．理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象、性质及应用. 对数函数理解对数的概念，掌握对数的运算，会用换底公式．理解对数函数的概念，掌握对数函数的图象、性质及应用. 幂函数了解幂函数的概念．掌握幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x，y ＝x 12的图象和性质.函数与方程 了解函数零点的概念，掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法. 函数模型及其应用了解指数函数、对数函数以及幂函数的变化特征．能将一些简单的实际问题转化为相应的函数问题，并给予解决.1．函数与映射的概念函数映射两集合A 、B设A ，B 是两个非空的数集设A ，B 是两个非空的集合 对应关系f ：A →B如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应 名称称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射记法y ＝f (x )(x ∈A )对应f ：A →B 是一个映射(1)函数的定义域、值域在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法． 3．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a 最多有2个交点．( ) (2)函数f (x )＝x 2－2x 与g (t )＝t 2－2t 是同一函数．( )(3)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．( )(4)若A ＝R ，B ＝{x |x ＞0}，f ：x →y ＝|x |，则对应关系f 是从A 到B 的映射．( ) (5)分段函数是由两个或几个函数组成的．( )(6)分段函数的定义域等于各段定义域的并集，值域等于各段值域的并集．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√ [教材衍化]1．(必修1P18例2改编)下列函数中，与函数y ＝x ＋1是相等函数的是( ) A ．y ＝(x ＋1)2B ．y ＝3x 3＋1 C ．y ＝x 2x＋1D ．y ＝x 2＋1解析：选B.对于A ，函数y ＝(x ＋1)2的定义域为{x |x ≥－1}，与函数y ＝x ＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B ，定义域和对应关系都相同，是相等函数；对于C ，函数y＝x 2x＋1的定义域为{x |x ≠0}，与函数y ＝x ＋1的定义域不同，不是相等函数；对于D ，定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数，故选B.2．(必修1P25B 组T1改编)函数y ＝f (x )的图象如图所示，那么f (x )的定义域是________；值域是________；其中只有唯一的x 值与之对应的y 值的范围是________．答案：[－3，0]∪[2，3] [1，5] [1，2)∪(4，5]3．(必修1P19T1(2)改编)函数y ＝x －2·x ＋2的定义域是________．解析：⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，x ＋2≥0，⇒x ≥2.答案：[2，＋∞) [易错纠偏](1)对函数概念理解不透彻； (2)换元法求解析式，反解忽视范围．1．已知集合P ＝{x |0≤x ≤4}，Q ＝{y |0≤y ≤2}，下列从P 到Q 的各对应关系f 中不是函数的是________．(填序号)①f ：x →y ＝12x ；②f ：x →y ＝13x ；③f ：x →y ＝23x ；④f ：x →y ＝x .解析：对于③，因为当x ＝4时，y ＝23×4＝83∉Q ，所以③不是函数．答案：③2．已知f (x )＝x －1，则f (x )＝________．解析：令t ＝x ，则t ≥0，x ＝t 2，所以f (t )＝t 2－1(t ≥0)，即f (x )＝x 2－1(x ≥0)． 答案：x 2－1(x ≥0) 函数的定义域(1)(2020·杭州学军中学月考)函数f (x )＝x ＋2x 2lg （|x |－x ）的定义域为________．(2)若函数y ＝f (x )的定义域是[0，2]，则函数g (x )＝f （2x ）x －1的定义域为________． (3)若函数f (x )＝2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为________． 【解析】 (1)要使函数f (x )有意义，必须使⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x 2≥0，|x |－x >0，|x |－x ≠1，解得x <－12.所以函数f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－12.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，0≤2x ≤2，得0≤x <1，即定义域是[0，1)．(3)因为函数f (x )的定义域为R ，所以2x 2＋2ax －a －1≥0对x ∈R 恒成立，即2x 2＋2ax －a ≥20，x 2＋2ax －a ≥0恒成立，因此有Δ＝(2a )2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0.【答案】 (1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－12 (2)[0，1) (3)[－1，0] (变条件)若将本例(2)中“函数y ＝f (x )”改为“函数y ＝f (x ＋1)”，其他条件不变，如何求解？解：由函数y ＝f (x ＋1)的定义域为[0，2]， 得函数y ＝f (x )的定义域为[1，3]，令⎩⎪⎨⎪⎧1≤2x ≤3，x －1≠0，得12≤x ≤32且x ≠1.所以g (x )的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪⎝ ⎛⎦⎥⎤1，32.函数定义域的求解策略(1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题．在解不等式组取交集时可借助于数轴，要特别注意端点值的取舍．(2)求抽象函数的定义域：①若y ＝f (x )的定义域为(a ，b )，则解不等式a ＜g (x )＜b 即可求出y ＝f (g (x ))的定义域；②若y ＝f (g (x ))的定义域为(a ，b )，则求出g (x )在(a ，b )上的值域即得y ＝f (x )的定义域．(3)已知函数定义域求参数范围，可将问题转化成含参数的不等式(组)，然后求解． [提醒] (1)求函数定义域时，对函数解析式先不要化简； (2)求出定义域后，一定要将其写成集合或区间的形式． 1．(2020·浙江新高考优化卷)函数f (x )＝3x21－x＋lg(－3x 2＋5x ＋2)的定义域是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13 D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13 解析：选B.依题意可得，要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0－3x 2＋5x ＋2>0，解得－13<x <1.故选B. 2．(2020·浙江新高考预测卷)已知集合A ＝{x |y ＝x －x 2}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}，则A ∪B ＝( )A ．[0，1]B ．[0，1)C ．(－∞，1]D ．(－∞，1)解析：选C.因为由x －x 2≥0得0≤x ≤1， 所以A ＝{x |0≤x ≤1}． 由1－x >0得x <1，所以B ＝{x |x <1}，所以A ∪B ＝{x |x ≤1}． 故选C.3．若函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为实数集，则实数m 的取值范围是________． 解析：由题意可得mx 2＋mx ＋1≥0恒成立． 当m ＝0时，1≥0恒成立；当m ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝m 2－4m ≤0， 解得0<m ≤4. 综上可得0≤m ≤4. 答案：[0，4]求函数的解析式(1)已知f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x2，求f (x )的解析式；(2)已知f ⎝⎛⎭⎪⎫2x＋1＝lg x ，求f (x )的解析式； (3)已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )； (4)已知函数f (x )满足f (－x )＋2f (x )＝2x，求f (x )的解析式．【解】 (1)(配凑法)由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－2，所以f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2，故f (x )的解析式是f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2. (2)(换元法)令2x ＋1＝t 得x ＝2t －1，代入得f (t )＝lg2t －1，又x ＞0，所以t ＞1， 故f (x )的解析式是f (x )＝lg2x －1，x ＞1. (3)(待定系数法)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx ， 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1， 即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x ，x ∈R .(4)(解方程组法)由f (－x )＋2f (x )＝2x，① 得f (x )＋2f (－x )＝2－x，② ①×2－②，得，3f (x )＝2x ＋1－2－x.即f (x )＝2x ＋1－2－x3. 所以f (x )的解析式是f (x )＝2x ＋1－2－x3，x ∈R .求函数解析式的4种方法(1)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式．(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法． (3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．(4)解方程组法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．[提醒] 求解析式时要注意新元的取值范围．1．(2020·杭州学军中学月考)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )的解析式为f (x )＝__________．解析：法一：设t ＝x ＋1，则x ＝(t －1)2(t ≥1)；代入原式有f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－2t ＋1＋2t －2＝t 2－1.故f (x )＝x 2－1(x ≥1)．法二：因为x ＋2x ＝(x )2＋2x ＋1－1＝(x ＋1)2－1，所以f (x ＋1)＝(x ＋1)2－1(x ＋1≥1)，即f (x )＝x 2－1(x ≥1)． 答案：x 2－1(x ≥1)2．设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等的实根，且f ′(x )＝2x ＋2，则f (x )的解析式为f (x )＝________．解析：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b ＝2x ＋2， 所以a ＝1，b ＝2，f (x )＝x 2＋2x ＋c . 又因为方程f (x )＝0有两个相等的实根， 所以Δ＝4－4c ＝0，c ＝1，故f (x )＝x 2＋2x ＋1. 答案：x 2＋2x ＋1分段函数(高频考点)分段函数是一类重要的函数，是高考的命题热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题多为容易题或中档题．主要命题角度有：(1)分段函数求值；(2)已知函数值，求参数的值(或取值范围)； (3)与分段函数有关的方程、不等式问题． 角度一 分段函数求值(2020·杭州萧山中学高三适应性考试)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，f （x ＋2），x ≤0，g (x )＝x 2，则f (8)＝________；g [f (2)]＝________；f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________．【解析】 f (8)＝log 28＝3，g [f (2)]＝g (log 22)＝g (1)＝1，f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 212＝f (－1)＝f (1)＝log 21＝0.【答案】 3 1 0角度二 已知函数值求参数的值(或取值范围)(2020·瑞安市龙翔高中高三月考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋1（x ≥1）log 2（1－x ）（x <1），若f (f (a ))＝3，则a ＝________．【解析】 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋1（x ≥1）log 2（1－x ）（x <1），若f (f (a ))＝3，当a ≥1时，可得f (－2a 2＋1)＝3，可得log 2(2a 2)＝3，解得a ＝2.当a <1时，可得f (log 2(1－a ))＝3，log 2(1－a )≥1时，可得－2(log 2(1－a ))2＋1＝3，解得a ∈∅.log 2(1－a )<1时，可得log 2(1－log 2(1－a ))＝3，即1－log 2(1－a )＝8，log 2(1－a )＝－7，1－a ＝1128，可得a ＝127128.综上得a 的值为2或127128.【答案】 2或127128角度三 与分段函数有关的方程、不等式问题(2020·镇海中学5月模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－2，x ≤－1，（x －2）（|x |－1），x ＞－1，则f (f (－2))＝________，若f (x )≥2，则x 的取值范围为________．【解析】 由分段函数的表达式得f (－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2－2＝4－2＝2，f (2)＝0，故f (f (－2))＝0.若x ≤－1，由f (x )≥2得⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2≥2，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≥4，则2－x≥4，得－x ≥2，则x ≤－2，此时x ≤－2.若x ＞－1，由f (x )≥2得(x －2)(|x |－1)≥2， 即x |x |－x －2|x |≥0，若x ≥0，得x 2－3x ≥0，则x ≥3或x ≤0，此时x ≥3或x ＝0； 若－1＜x ＜0，得－x 2＋x ≥0，得x 2－x ≤0，得0≤x ≤1，此时无解． 综上得x ≥3或x ＝0或x ≤－2. 【答案】 0 x ≥3或x ＝0或x ≤－2(1)根据分段函数解析式，求函数值的解题思路先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．(2)已知分段函数的函数值，求参数值的解题思路先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，构造关于参数的方程．然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．(3)已知分段函数的函数值满足的不等式，求自变量取值范围的解题思路 依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来．1．(2020·浙江教育评价高三第二次联考))设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋1，x ≥1log 2（1－x ），x <1，则f (f (4))＝( )A ．2B ．3C ．5D ．6解析：选C.f (f (4))＝f (－31)＝log 2 32＝5.故选C.2．(2020·Z20联盟开学联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋2|－1，x ≤0log 2 x ，x >0，若f (a )≤1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－4]∪[2，＋∞)B ．[－1，2]C ．[－4，0)∪(0，2]D ．[－4，2]解析：选D.f (a )≤1⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，|a ＋2|－1≤1，或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，log 2 a ≤1，解得－4≤a ≤0或0<a ≤2，即a ∈[－4，2]，故选D.核心素养系列2 数学抽象——函数的新定义问题以学习过的函数相关知识为基础，通过一类问题共同特征的“数学抽象”，引出新的概念，然后在快速理解的基础上，解决新问题．在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，若函数f (x )的图象恰好经过n (n ∈N *)个整点，则称函数f (x )为n 阶整点函数．给出下列函数：①f (x )＝sin 2x ；②g (x )＝x 3； ③h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x；④φ(x )＝ln x .其中是一阶整点函数的是( ) A ．①②③④B ．①③④C ．①④D ．④【解析】 对于函数f (x )＝sin 2x ，它的图象(图略)只经过一个整点(0，0)，所以它是一阶整点函数，排除D ；对于函数g (x )＝x 3，它的图象(图略)经过整点(0，0)，(1，1)，…，所以它不是一阶整点函数，排除A ；对于函数h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，它的图象(图略)经过整点(0，1)，(－1，3)，…，所以它不是一阶整点函数，排除B.故选C.【答案】 C本题意在考查考生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养．破解新定义函数题的关键是：紧扣新定义的函数的含义，学会语言的翻译、新旧知识的转化，便可使问题顺利获解．如本例，若能把新定义的一阶整点函数转化为函数f (x )的图象恰好经过1个整点，问题便迎刃而解．1．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为y ＝x 2＋1，值域为{1，3}的同族函数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选C.由x 2＋1＝1得x ＝0，由x 2＋1＝3得x ＝±2，所以函数的定义域可以是{0，2}，{0，－2}，{0，2，－2}，故值域为{1，3}的同族函数共有3个．2．若定义在R 上的函数f (x )当且仅当存在有限个非零自变量x ，使得f (－x )＝f (x )，则称f (x )为“类偶函数”，则下列函数中为类偶函数的是( )A ．f (x )＝cos xB ．f (x )＝sin xC ．f (x )＝x 2－2xD ．f (x )＝x 3－2x解析：选D.A 中函数为偶函数，则在定义域内均满足f (x )＝f (－x )，不符合题意；B 中，当x ＝k π(k ∈Z )时，满足f (x )＝f (－x )，不符合题意；C 中，由f (x )＝f (－x )，得x2－2x ＝x 2＋2x ，解得x ＝0，不符合题意；D 中，由f (x )＝f (－x )，得x 3－2x ＝－x 3＋2x ，解得x ＝0或x ＝±2，满足题意，故选D.[基础题组练]1．函数f (x )＝1x －2＋ln(3x －x 2)的定义域是( )A ．(2，＋∞)B ．(3，＋∞)C ．(2，3)D ．(2，3)∪(3，＋∞)解析：选C.由⎩⎪⎨⎪⎧x －2＞0，3x －x 2＞0，解得2＜x ＜3，则该函数的定义域为(2，3)，故选C. 2．(2020·嘉兴一模)已知a 为实数，设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2a，x <2，log 2（x －2），x ≥2，则f (2a＋2)的值为( )A ．2aB ．aC ．2D ．a 或2解析：选B.因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2a，x <2，log 2（x －2），x ≥2，所以f (2a ＋2)＝log 2(2a＋2－2)＝a ，故选B. 3．下列哪个函数与y ＝x 相等( )A ．y ＝x 2xB ．y ＝2log 2xC ．y ＝x 2D ．y ＝(3x )3解析：选D.y ＝x 的定义域为R ，而y ＝x 2x的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，y ＝2log 2x 的定义域为{x |x ∈R ，且x >0}，排除A 、B ；y ＝x 2＝|x |的定义域为x ∈R ，对应关系与y ＝x 的对应关系不同，排除C ；而y ＝(3x )3＝x ，定义域和对应关系与y ＝x 均相同，故选D.4．(2020·杭州七校联考)已知函数f (x )＝x 3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＋1，若f (a )＝2，则f (－a )的值为( )A ．3B ．0C ．－1D ．－2解析：选B.因为函数f (x )＝x 3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＋1，所以f (x )＝x 3＋sin x ＋1，因为f (a )＝2，所以f (a )＝a 3＋sin a ＋1＝2，所以a 3＋sin a ＝1，所以f (－a )＝(－a )3＋sin(－a )＋1＝－1＋1＝0.故选B. 5．已知a ，b 为两个不相等的实数，集合M ＝{a 2－4a ，－1}，N ＝{b 2－4b ＋1，－2}，f ：x →x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于( )C ．3D ．4解析：选D.由已知可得M ＝N ，故⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a ＝－2b 2－4b ＋1＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a ＋2＝0，b 2－4b ＋2＝0， 所以a ，b 是方程x 2－4x ＋2＝0的两根，故a ＋b ＝4. 6．存在函数f (x )满足：对于任意x ∈R 都有( ) A ．f (sin 2x )＝sin x B ．f (sin 2x )＝x 2＋x C ．f (x 2＋1)＝|x ＋1| D ．f (x 2＋2x )＝|x ＋1| 解析：选D.取特殊值法．取x ＝0，π2，可得f (0)＝0，1，这与函数的定义矛盾，所以选项A 错误；取x ＝0，π，可得f (0)＝0，π2＋π，这与函数的定义矛盾， 所以选项B 错误；取x ＝1，－1，可得f (2)＝2，0，这与函数的定义矛盾， 所以选项C 错误；取f (x )＝x ＋1，则对任意x ∈R 都有f (x 2＋2x )＝x 2＋2x ＋1＝|x ＋1|，故选项D 正确．7．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1－x 21＋x 2，则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝x1＋x 2B ．f (x )＝－2x1＋x 2C ．f (x )＝2x1＋x2 D ．f (x )＝－x1＋x2解析：选C.令1－x 1＋x ＝t ，则x ＝1－t 1＋t ，所以f (t )＝（1＋t ）2－（1－t ）2（1＋t ）2＋（1－t ）2＝2t1＋t 2，故函数f (x )的解析式为f (x )＝2x1＋x2，故选C.8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x ＞0，1，x ＜0，则（a ＋b ）＋（a －b ）·f （a －b ）2(a ≠b )的值为( )C ．a ，b 中较小的数D ．a ，b 中较大的数解析：选C.若a －b ＞0，即a ＞b ，则f (a －b )＝－1，则（a ＋b ）＋（a －b ）·f （a －b ）2＝12[(a ＋b )－(a －b )]＝b (a ＞b )；若a －b ＜0，即a ＜b ，则f (a －b )＝1，则（a ＋b ）＋（a －b ）·f （a －b ）2＝12[(a ＋b )＋(a －b )]＝a (a ＜b )．综上，选C.9．(2020·绍兴高三教学质量调研)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋n ，x ＜1log 2x ，x ≥1，若f (f (34))＝2，则实数n 为( )A ．－54B ．－13C.14D.52解析：选D.因为f (34)＝2×34＋n ＝32＋n ，当32＋n ＜1，即n ＜－12时，f (f (34))＝2(32＋n )＋n ＝2，解得n ＝－13，不符合题意；当32＋n ≥1，即n ≥－12时，f (f (34))＝log 2(32＋n )＝2，即32＋n ＝4，解得n ＝52，故选D. 10．设f (x )，g (x )都是定义在实数集上的函数，定义函数(f ·g )(x )：对任意的x ∈R ，(f ·g )(x )＝f (g (x ))．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ＞0，x 2，x ≤0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，ln x ，x ＞0，则( )A ．(f ·f )(x )＝f (x )B ．(f ·g )(x )＝f (x )C ．(g ·f )(x )＝g (x )D ．(g ·g )(x )＝g (x )解析：选A.对于A ，(f ·f )(x )＝f (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），f （x ）＞0，f 2（x ），f （x ）≤0，当x ＞0时，f (x )＝x ＞0，(f ·f )(x )＝f (x )＝x ；当x ＜0时，f (x )＝x 2＞0，(f ·f )(x )＝f (x )＝x 2；当x ＝0时，(f ·f )(x )＝f 2(x )＝0＝02，因此对任意的x ∈R ，有(f ·f )(x )＝f (x )，故A 正确，选A.11.若函数f (x )在闭区间[－1，2]上的图象如图所示，则此函数的解析式为________．解析：由题图可知，当－1≤x <0时，f (x )＝x ＋1；当0≤x ≤2时，f (x )＝－12x ，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x <0，－12x ，0≤x ≤2.答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x <0，－12x ，0≤x ≤212．若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (1)＝________． 解析：令x ＝1，得2f (1)－f (－1)＝4，① 令x ＝－1，得2f (－1)－f (1)＝－2，② 联立①②得f (1)＝2. 答案：213．函数f (x )，g (x )分别由下表给出．＞g (f 解析：因为g (1)＝3，f (3)＝1，所以f (g (1))＝1.当x ＝1时，f (g (1))＝f (3)＝1，g (f (1))＝g (1)＝3，不合题意． 当x ＝2时，f (g (2))＝f (2)＝3，g (f (2))＝g (3)＝1，符合题意． 当x ＝3时，f (g (3))＝f (1)＝1，g (f (3))＝g (1)＝3，不合题意． 答案：1 214．设函数f (x )＝⎩⎨⎧（x ＋1）2，x ＜1，4－x －1，x ≥1，则使得f (x )≥1的自变量x 的取值范围是________．解析：f (x )≥1等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1，（x ＋1）2≥1或⎩⎨⎧x ≥1，4－x －1≥1. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1，（x ＋1）2≥1，得x ≤－2或0≤x ＜1.由⎩⎨⎧x ≥1，4－x －1≥1，得1≤x ≤10. 综上所述，x 的取值范围是x ≤－2或0≤x ≤10. 答案：(－∞，－2]∪[0，10]15．已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．解析：当a >0时，1－a <1，1＋a >1，此时f (1－a )＝2(1－a )＋a ＝2－a ，f (1＋a )＝－(1＋a )－2a ＝－1－3a .由f (1－a )＝f (1＋a )得2－a ＝－1－3a ，解得a ＝－32.不合题意，舍去．当a <0时，1－a >1，1＋a <1，此时f (1－a )＝－(1－a )－2a ＝－1－a ，f (1＋a )＝2(1＋a )＋a ＝2＋3a ，由f (1－a )＝f (1＋a )得－1－a ＝2＋3a ，解得a ＝－34.综上可知，a 的值为－34.答案：－3416．(2020·杭州市富阳二中高三(上)开学考试)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤1x ＋6x －6，x >1，则f (f (－2))＝________，f (x )的最小值是________．解析：由题意可得f (－2)＝(－2)2＝4， 所以f (f (－2))＝f (4)＝4＋64－6＝－12；因为当x ≤1时，f (x )＝x 2，由二次函数可知当x ＝0时，函数取最小值0； 当x >1时，f (x )＝x ＋6x－6，由基本不等式可得f (x )＝x ＋6x－6≥2x ·6x－6 ＝26－6，当且仅当x ＝6x即x ＝6时取到等号，即此时函数取最小值26－6；因为26－6<0，所以f (x )的最小值为26－6. 答案：－1226－617．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≥0，－3x ，x <0.若a [f (a )－f (－a )]>0，则实数a 的取值范围为________．解析：易知a ≠0.由题意得，当a >0时，则－a <0，故a [f (a )－f (－a )]＝a (a 2＋a －3a )>0，化简可得a 2－2a >0，解得a >2或a <0.又因为a >0，所以a >2.当a <0时，则－a >0，故a [f (a )－f (－a )]＝a [－3a －(a 2－a )]>0，化简可得a 2＋2a >0，解得a >0或a <－2，又因为a <0，所以a <－2.综上可得，实数a 的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)[综合题组练]1．设x ∈R ，定义符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，则( )A ．|x |＝x |sgn x |B ．|x |＝x sgn|x |C ．|x |＝|x |sgn xD ．|x |＝x sgn x解析：选D.当x <0时，|x |＝－x ，x |sgn x |＝x ，x ·sgn|x |＝x ，|x |sgn x ＝(－x )·(－1)＝x ，排除A ，B ，C ，故选D.2．(2020·宁波市九校期末联考)已知下列各式：①f (|x |＋1)＝x 2＋1；②f (1x 2＋1)＝x ；③f (x 2－2x )＝|x |；④f (|x |)＝3x ＋3－x.其中存在函数f (x )对任意的x ∈R 都成立的序号为________．解析：①f (|x |＋1)＝x 2＋1，由t ＝|x |＋1(t ≥1)，可得|x |＝t －1，则f (t )＝(t －1)2＋1，即有f (x )＝(x －1)2＋1对x ∈R 均成立；②f (1x 2＋1)＝x ，令t ＝1x 2＋1(0＜t ≤1)，x ＝±1t－1，对0＜t ≤1，y ＝f (t )不能构成函数，故不成立；③f (x 2－2x )＝|x |，令t ＝x2－2x ，若t ＜－1时，x ∈∅；t ≥－1，可得x ＝1±1＋t (t ≥－1)，y ＝f (t )不能构成函数；④f (|x |)＝3x ＋3－x ，当x ≥0时，f (x )＝3x ＋3－x ；当x ＜0时，f (－x )＝3x ＋3－x；将x 换为－x 可得f (x )＝3x＋3－x；故恒成立．综上可得①④符合条件．答案：①④3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x <0，2x ，x ≥0，且f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)．(1)求f (x )的解析式；(2)画出f (x )的图象．解：(1)由f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)，得⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝3，－a ＋b ＝2，解得a ＝－1，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x <0，2x ，x ≥0.(2)f (x )的图象如图：4．已知f (x )＝x 2－1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x >0，2－x ，x <0.(1)求f (g (2))与g (f (2))； (2)求f (g (x ))与g (f (x ))的表达式．解：(1)g (2)＝1，f (g (2))＝f (1)＝0；f (2)＝3，g (f (2))＝g (3)＝2. (2)当x >0时，f (g (x ))＝f (x －1)＝(x －1)2－1＝x 2－2x ； 当x <0时，f (g (x ))＝f (2－x )＝(2－x )2－1＝x 2－4x ＋3.所以f (g (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x >0，x 2－4x ＋3，x <0.同理可得g (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x <－1或x >1，3－x 2，－1<x <1. 5．设计一个水渠，其横截面为等腰梯形(如图)，要求满足条件AB ＋BC ＋CD ＝a (常数)，∠ABC ＝120°，写出横截面的面积 y 关于腰长x 的函数，并求它的定义域和值域．解：如图，因为AB ＋BC ＋CD ＝a ，所以BC ＝EF ＝a －2x >0， 即0<x <a2，因为∠ABC ＝120°，所以∠A ＝60°，所以AE ＝DF ＝x 2，BE ＝32x ，y ＝12(BC ＋AD )·BE ＝3x 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（a －2x ）＋x 2＋x 2 ＝34(2a －3x )x ＝－34(3x 2－2ax ) ＝－334⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 32＋312a 2， 故当x ＝a3时，y 有最大值312a 2，它的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，312a 2. 6．已知函数f (x )对任意实数x 均有f (x )＝－2f (x ＋1)，且f (x )在区间[0，1]上有表达式f (x )＝x 2.(1)求f (－1)，f (1.5)；(2)写出f (x )在区间[－2，2]上的表达式．解：(1)由题意知f (－1)＝－2f (－1＋1)＝－2f (0)＝0，f (1.5)＝f (1＋0.5)＝－12f (0.5)＝－12×14＝－18.(2)当x ∈[0，1]时，f (x )＝x 2；当x ∈(1，2]时，x －1∈(0，1]，f (x )＝－12f (x －1)＝－12(x －1)2；当x ∈[－1，0)时，x ＋1∈[0，1)，f (x )＝－2f (x ＋1)＝－2(x ＋1)2；当x ∈[－2，－1)时，x ＋1∈[－1，0)，f (x )＝－2f (x ＋1)＝－2×[－2(x ＋1＋1)2]＝4(x ＋2)2.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－12（x －1）2，x ∈（1，2]x 2，x ∈[0，1]－2（x ＋1）2，x ∈[－1，0）4（x ＋2）2，x ∈[－2，－1）.。
2013届高三数学复习教案第二章《函数》(新人教版必修1)21
第二十一教时教材：积、商、幂、方根的对数目的：要求学生掌握对数的运算性质，并能理解推导这些法则的依据和过程， 从而能较熟练地运用这些法则解决问题。
过程：一、 复习：1︒对数的定义 b N a =log 其中 a 与 N 的取值范围。
2︒指数式与对数式的互化，及几个重要公式。
3︒指数运算法则 （积、商、幂、方根）二、 积、商、幂、方根的对数如果 a > 0 , a ≠ 1 , M > 0 , N > 0 有：3R)M(n nlog M log 2N log M log N M log 1Nlog M log (MN)log a n a a a a a a a ∈=-=+= 证明：1、 3 （略）见 P82证明：2 设log a M = p, log a n = q , 则q p a NM -= ( ∴ a p = M , a q = N ) ∴ q p N M log a -= 即 ：N log M log NM log a a -= 1︒语言表达：“积的对数 = 对数的和”……（简易表达——记忆用） 2︒注意有时必须逆向运算：如 11025101010==+log log log3︒注意定义域： )(log )(log ))((log 5353222-+-=-- 是不成立的)(log )(log 1021010210-=-是不成立的 4︒当心记忆错误：N log M log )MN (log a a a ⋅≠N log M log )N M (log a a a ±≠±三、 例题： P82—83 例三、例四 （略）补充例题：1． 计算：)223(log 29log 2log 3777+-解：原式 01log 9)223(2log 7237==⨯=2． 1︒已知 3 a = 2 用 a 表示 log 3 4 - log 3 6解：∵ 3 a = 2 ∴ a = log 3 2∴ log 3 4 - log 3 6 = 112log 32log 33-=-=a2︒已知 log 3 2 = a , 3 b = 5 用 a , b 表示 30log 3 解： ∵3b =5 ∴b=log 35 又∵log 32=a ∴30log 3=()())1(215log 3log 2log 21532log 213333++=++=⨯⨯b a 3．计算：log 155log 1545+(log 153)2解一：原式 = log 155(log 153+1)+(log 153)2=log 155+log 153(log 155+log 153) =log 155+log 153⋅log 1515=log 155+ log 153= log 1515 解二：原式 = 2151515)3(log )315(log 315log +⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛ =(1-log 153)(1+log 153)+(log 153)2=1-(log 153)2+(log 153)2=14． 作为机动（有时间可处理）：《课课练》P.81 例三中2,3,4,7四、 小结：运算法则，注意正反两方面用五、 作业： P.83练习 P.84/3,4,5,6 及 《课课练》P.81—P.82。
2013高考数学(理)一轮复习教案：
第2讲等差数列及其前n项和【2013年高考会这样考】1．考查运用基本量法求解等差数列的基本量问题．2．考查等差数列的性质、前n项和公式及综合应用．【复习指导】1．掌握等差数列的定义与性质、通项公式、前n项和公式等．2．掌握等差数列的判断方法，等差数列求和的方法．基础梳理1．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．2．等差数列的通项公式若等差数列{a n}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为a n＝a1＋(n－1)d.3．等差中项如果A＝a＋b2，那么A叫做a与b的等差中项．4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：(2)若{a n}为等差数列，且m＋n＝p＋q，则a m＋a n＝a p＋a q(m，n，p，q∈N*)．(3)若{a n}是等差数列，公差为d，则a k，a k＋m，a k＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md 的等差数列．(4)数列S m，S2m－S m，S3m－S2m，…也是等差数列．(5)S2n－1＝(2n－1)a n.(6)若n为偶数，则S偶－S奇＝nd 2；若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)．5．等差数列的前n 项和公式若已知首项a 1和末项a n ，则S n ＝n (a 1＋a n )2，或等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其前n 项和公式为S n ＝na 1＋n (n －1)2d .6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，数列{a n }是等差数列的充要条件是S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)． 7．最值问题在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值，若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值．一个推导利用倒序相加法推导等差数列的前n 项和公式：S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，① S n ＝a n ＋a n －1＋…＋a 1，②①＋②得：S n ＝n (a 1＋a n )2. 两个技巧 已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元．(1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，….(2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．四种方法等差数列的判断方法(1)定义法：对于n ≥2的任意自然数，验证a n －a n －1为同一常数；(2)等差中项法：验证2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N *)都成立；(3)通项公式法：验证a n ＝pn ＋q ； (4)前n 项和公式法：验证S n ＝An 2＋Bn .注 后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)已知{a n }为等差数列，a 2＋a 8＝12，则a 5等于( )．A ．4B ．5C ．6D ．72．设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于( )．A ．31B ．32C ．33D ．343．(2011·江西)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＋S m ＝S n ＋m ，且a 1＝1.那么a 10＝( )．A ．1B ．9C ．10D ．554．(2012·杭州质检)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( )．A ．13B ．35C ．49D ．635．在等差数列{a n }中，a 3＝7，a 5＝a 2＋6，则a 6＝________.考向一 等差数列基本量的计算【例1】►(2011·福建)在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．[审题视点] 第(1)问，求公差d ；第(2)问，由(1)求S n ，列方程可求k .【训练1】 (2011·湖北)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．考向二 等差数列的判定或证明【例2】►已知数列{a n }的前n 项和为S n 且满足a n ＋2S n ·S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列； (2)求a n 的表达式．【训练2】 已知数列{a n }的前n 项和S n 是n 的二次函数，且a 1＝－2，a 2＝2，S 3＝6.(1)求S n；(2)证明：数列{a n}是等差数列．考向三等差数列前n项和的最值【例3】►设等差数列{a n}满足a3＝5，a10＝－9.(1)求{a n}的通项公式；(2)求{a n}的前n项和S n及使得S n最大的序号n的值．【训练3】在等差数列{a n}中，已知a1＝20，前n项和为S n，且S10＝S15，求当n 取何值时，S n取得最大值，并求出它的最大值．考向四等差数列性质的应用【例4】►设等差数列的前n项和为S n，已知前6项和为36，S n＝324，最后6项的和为180(n＞6)，求数列的项数n.【训练4】(1)设数列{a n}的首项a1＝－7，且满足a n＋1＝a n＋2(n∈N＋)，则a1＋a2＋…＋a17＝________.(2)等差数列{a n}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列前20项和等于________．。
2013高考数学(理)一轮复习教案：第二篇 函数与基本初等函数Ⅰ第6讲 幂函数与二次函数
第6讲 幂函数与二次函数【2013年高考会这样考】 1．求二次函数的解析式． 2．求二次函数的值域与最值．3．利用幂函数的图象和性质分析解决有关问题． 【复习指导】本讲复习时，应从“数”与“形”两个角度来把握二次函数和幂函数的图象和性质，重点解决二次函数在闭区间上的最值问题，掌握求函数最值的常用方法：配方法、判别式法、不等式法、换元法、导数法等，注重分类讨论思想与数形结合思想的综合应用．基础梳理1．幂函数的定义一般地，形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中底数x 是自变量，α为常数．2．幂函数的图象在同一平面直角坐标系下，幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝x －1的图象分别如右图． 3．幂函数的性质4.二次函数的图象和性质5.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0) (2)顶点式：f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0)(3)两根式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)五个代表函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝x －1可做为研究和学习幂函数图象和性质的代表． 两种方法函数y ＝f (x )对称轴的判断方法(1)对于二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (x 1)＝f (x 2)，那么函数y ＝f (x )的图象关于x ＝x 1＋x 22对称．(2)对于二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (a ＋x )＝f (a －x )成立的充要条件是函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称(a 为常数)．双基自测1．(2011·安徽)设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)＝( )．A ．－3B ．－1C ．1D ．3 解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (1)＝－f (－1)＝－3. 答案 A2.(人教A 版教材例题改编)如图中曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象．已知n 取±2，±12四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 值依次为( )．A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12答案 B3．(2011·浙江)设函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ，x ≤0，x 2，x ＞0.若f (α)＝4，则实数α等于( )．A ．－4或－2B ．－4或2C ．－2或4D ．－2或2解析 由⎩⎨⎧ α≤0，－α＝4或⎩⎨⎧α＞0，α2＝4，得α＝－4或α＝2，故选B.答案 B4．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋2的定义域和值域均为[1，b ]，则b 等于( )． A ．3 B ．2或3 C ．2 D ．1或2 解析 函数f (x )＝x 2－2x ＋2在[1，b ]上递增，由已知条件⎩⎨⎧f (1)＝1，f (b )＝b ，b >1，即⎩⎨⎧b 2－3b ＋2＝0，b >1.解得b ＝2. 答案 C5．(2012·武汉模拟)若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a 、b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________. 解析 f (x )＝bx 2＋(ab ＋2a )x ＋2a 2由已知条件ab ＋2a ＝0，又f (x )的值域为(－∞，4]，则⎩⎨⎧a ≠0，b ＝－2，2a 2＝4.因此f (x )＝－2x 2＋4.答案 －2x 2＋4考向一 二次函数的图象【例1】►(2010·安徽)设abc ＞0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )．[审题视点] 分类讨论a ＞0，a ＜0.解析 若a ＞0，则bc ＞0，根据选项C 、D ，c ＜0，此时只有b ＜0，二次函数的对称轴方程x ＝－b2a ＞0，选项D 有可能；若a ＜0，根据选项A ，c ＜0，此时只能b＞0，二次函数的对称轴方程x ＝－b2a ＞0，与选项A 不符合；根据选项B ，c ＞0，此时只能b ＜0，此时二次函数的对称轴方程x ＝－b2a 0，与选项B 不符合．综合知只能是选项D. 答案 D分析二次函数的图象，主要有两个要点：一个是看二次项系数的符号，它确定二次函数图象的开口方向；二是看对称轴和最值，它确定二次函数的具体位置．对于函数图象判断类似题要会根据图象上的一些特殊点进行判断，如函数图象与正半轴的交点、函数图象的最高点与最低点等．【训练1】 已知二次函数f (x )的图象如图所示，则其导函数f ′(x )的图象的大致形状是( )．解析 由函数f (x )的图象知：当x ∈(－∞，1]时，f (x )为减函数，∴f ′(x )≤0；当x ∈[1，＋∞)时，f (x )为增函数，∴f ′(x )≥0.结合选项知选C.答案 C考向二 二次函数的性质【例2】►函数f (x )＝x 2－2x ＋2在闭区间[t ，t ＋1](t ∈R )上的最小值记为g (t )． (1)试写出g (t )的函数表达式； (2)作g (t )的图象并写出g (t )的最小值．[审题视点] 分类讨论t 的范围分别确定g (t )解析式． 解 (1)f (x )＝(x －1)2＋1.当t ＋1≤1，即t ≤0时，g (t )＝t 2＋1. 当t <1<t ＋1，即0<t <1时，g (t )＝f (1)＝1 当t ≥1时，g (t )＝f (t )＝(t －1)2＋1综上可知g (t )＝⎩⎨⎧t 2＋1≤0，t ≤0，1，0<t <1，t 2－2 t ＋2，t ≥1.(2)g (t )的图象如图所示，可知g (t )在(－∞，0]上递减，在[1，＋∞)上递增，因此g (t )在[0,1]上取到最小值1.(1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，在(－∞，＋∞)上的最值可由二次函数图象的顶点坐标公式求出；(2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，在[m ，n ]上的最值需要根据二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象对称轴的位置，通过讨论进行求解． 【训练2】 已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]． (1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值．(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数． 解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[－5,5]， ∴x ＝1时，f (x )取得最小值1； x ＝－5时，f (x )取得最大值37.(2)函数f (x )＝(x ＋a )2＋2－a 2的图象的对称轴为直线x ＝－a ， ∵y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数， ∴－a ≤－5或－a ≥5，故a 的取值范围是a ≤－5或a ≥5.考向三 幂函数的图象和性质【例3】►已知幂函数f (x )＝xm 2－2m －3(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a ＋1)－m 3＜(3－2a )－m3的a 的取值范围．[审题视点] 由幂函数的性质可得到幂指数m 2－2m －3＜0，再结合m 是整数，及幂函数是偶数可得m 的值． 解 ∵函数在(0，＋∞)上递减， ∴m 2－2m －3＜0，解得－1＜m ＜3. ∵m ∈N *，∴m ＝1,2. 又函数的图象关于y 轴对称， ∴m 2－2m －3是偶数， 而22－2×2－3＝－3为奇数， 12－2×1－3＝－4为偶数， ∴m ＝1.而f (x )＝x －13(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数，∴(a ＋1)－13＜(3－2a )－13等价于a ＋1＞3－2a ＞0或0＞a ＋1＞3－2a 或a ＋1＜0＜3－2a . 解得a ＜－1或23＜a ＜32故a的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a ＜－1或23＜a ＜32.本题集幂函数的概念、图象及单调性、奇偶性于一体，综合性较强，解此题的关键是弄清幂函数的概念及性质．解答此类问题可分为两大步：第一步，利用单调性和奇偶性(图象对称性)求出m 的值或范围；第二步，利用分类讨论的思想，结合函数的图象求出参数a 的取值范围．【训练3】 幂函数y ＝x a ，当a 取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一族美丽的曲线(如图)．设点A (1,0)，B (0,1)，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y ＝x α，y ＝x β的图象三等分，即有|BM |＝|MN |＝|NA |.那么，αβ＝( )． A ．1 B ．2 C ．3D ．无法确定解析 法一 由条件得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，13，由一般性，可得13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23α，23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13β，即α＝log 2313，β＝log 1323.所以αβ＝log 2313·log 1323lg 13lg 23·lg23lg 13＝1.法二 由解法一，得13⎝⎛⎭⎪⎫23α，23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13β， 则⎝ ⎛⎭⎪⎫13αβ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13βα＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ＝13，即αβ＝1. 答案 A规范解答4——如何求解二次函数在某个闭区间上的最值【问题研究】 二次函数在闭区间上的最值问题，一定要根据对称轴与区间的相对位置关系确定最值，当函数解析式中含有参数时，要根据参数的取值情况进行分类讨论，避免漏解．【解决方案】 对于二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)而言，首先确定对称轴，然后与所给区间的位置关系分三类进行讨论．【示例】►(本题满分12分)(2011·济南模拟)已知f (x )＝－4x 2＋4ax －4a －a 2在区间[0,1]内有最大值－5，求a 的值及函数表达式f (x )．求二次函数f (x )的对称轴，分对称轴在区间的左侧、中间、右侧讨论．[解答示范] ∵f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22－4a ，∴抛物线顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－4a.(1分) ①当a2≥1，即a ≥2时，f (x )取最大值－4－a 2.令－4－a 2＝－5，得a 2＝1，a ＝±1＜2(舍去)；(4分)②当0＜a 2＜1，即0＜a ＜2时，x ＝a2时，f (x )取最大值为－4a .令－4a ＝－5，得a ＝54∈(0,2)；(7分)③当a2≤0，即a ≤0时，f (x )在[0,1]内递减，∴x ＝0时，f (x )取最大值为－4a －a 2， 令－4a －a 2＝－5，得a 2＋4a －5＝0，解得a ＝－5或a ＝1，其中－5∈(－∞，0]．(10分) 综上所述，a ＝54或a ＝－5时，f (x )在[0,1]内有最大值－5.∴f (x )＝－4x 2＋5x －10516或f (x )＝－4x 2－20x －5.(12分)求解本题易出现的问题是直接利用二次函数的性质——最值在对称轴处取得，忽视对称轴与闭区间的位置关系，不进行分类讨论． 【试一试】 设函数y ＝x 2－2x ，x ∈[－2，a ]，求函数的最小值g (a )．[尝试解答] ∵函数y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，∴对称轴为直线x ＝1，而x ＝1不一定在区间[－2，a ]内，应进行讨论．当－2＜a ＜1时，函数在[－2，a ]上单调递减，则当x ＝a 时，y min ＝a 2－2a ；当a ≥1时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a ]上单调递增，则当x ＝1时，y min ＝－1. 综上，g (a )＝⎩⎨⎧a 2－2a ，－2＜a ＜1，－1，a ≥1.。
2013年高考一轮复习教案数学(理)新课标第二篇函数与基本初等函数Ⅰ1函数及其表示
第1讲函数及其表示【2013年高考会这样考】1．主要考查函数的定义域、值域、解析式的求法．2．考查分段函数的简单应用．3．由于函数的基础性强，渗透面广，所以会与其他知识结合考查．【复习指导】正确理解函数的概念是学好函数的关键，函数的概念比较抽象，应通过适量练习弥补理解的缺陷，纠正理解上的错误．本讲复习还应掌握：(1)求函数的定义域的方法；(2)求函数解析式的基本方法；(3)分段函数及其应用．基础梳理1．函数的基本概念(1)函数的定义：设A、B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫自变量，x的取值范围A叫做定义域，与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫值域．值域是集合B的子集．(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等；这是判断两函数相等的依据．2．函数的三种表示方法表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法．3．映射的概念一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射．一个方法求复合函数y ＝f (t )，t ＝q (x )的定义域的方法：①若y ＝f (t )的定义域为(a ，b )，则解不等式得a ＜q (x )＜b 即可求出y ＝f (q (x ))的定义域；②若y ＝f (g (x ))的定义域为(a ，b )，则求出g (x )的值域即为f (t )的定义域． 两个防范(1)解决函数问题，必须优先考虑函数的定义域． (2)用换元法解题时，应注意换元前后的等价性． 三个要素函数的三要素是：定义域、值域和对应关系．值域是由函数的定义域和对应关系所确定的．两个函数的定义域和对应关系完全一致时，则认为两个函数相等．函数是特殊的映射，映射f ：A →B 的三要素是两个集合A 、B 和对应关系f .双基自测1．(人教A 版教材习题改编)函数f (x )＝log 2(3x ＋1)的值域为( )． A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(1，＋∞) D ．[1，＋∞)解析 ∵3x ＋1＞1，∴f (x )＝log 2(3x ＋1)＞log 21＝0. 答案 A2．(2011·江西)若f (x )＝1log 12(2x ＋1)，则f (x )的定义域为( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ D ．(0，＋∞) 解析 由log 12(2x ＋1)＞0，即0＜2x ＋1＜1， 解得－12＜x ＜0.答案 A3．下列各对函数中，表示同一函数的是( )． A ．f (x )＝lg x 2，g (x )＝2lg xB ．f (x )＝lg x ＋1x －1，g (x )＝lg(x ＋1)－lg(x －1)C ．f (u )＝1＋u1－u，g (v )＝ 1＋v1－vD ．f (x )＝(x )2，g (x )＝x 2 答案 C4．(2010·陕西)某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )． A ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10B ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310 C ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋410 D ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋510 解析 根据规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，即余数分别为7、8、9时可增选一名代表．因此利用取整函数可表示为y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310.故选B. 答案 B5．函数y ＝f (x )的图象如图所示．那么，f (x )的定义域是________；值域是________；其中只与x 的一个值对应的y 值的范围是________．解析 任作直线x ＝a ，当a 不在函数y ＝f (x )定义域内时，直线x ＝a 与函数y ＝f (x )图象没有交点；当a 在函数y ＝f (x )定义域内时，直线x ＝a 与函数y ＝f (x )的图象有且只有一个交点．任作直线y ＝b ，当直线y ＝b 与函数y ＝f (x )的图象有交点，则b 在函数y ＝f (x )的值域内；当直线y ＝b 与函数y ＝f (x )的图象没有交点，则b 不在函数y ＝f (x )的值域内．答案 [－3,0]∪[2,3] [1,5] [1,2)∪(4,5]考向一 求函数的定义域【例1】►求下列函数的定义域： (1)f (x )＝|x －2|－1log 2(x －1)；(2)f (x )＝ln (x ＋1)－x 2－3x ＋4. [审题视点] 理解各代数式有意义的前提，列不等式解得．解(1)要使函数f (x )有意义，必须且只须⎩⎨⎧|x －2|－1≥0，x －1>0，x －1≠1.解不等式组得x ≥3，因此函数f (x )的定义域为[3，＋∞)． (2)要使函数有意义，必须且只须⎩⎨⎧x ＋1>0，－x 2－3x ＋4>0，即⎩⎨⎧x >－1，(x ＋4)(x －1)<0，解得：－1<x <1. 因此f (x )的定义域为(－1,1)．求函数定义域的主要依据是(1)分式的分母不能为零；(2)偶次方根的被开方式其值非负；(3)对数式中真数大于零，底数大于零且不等于1.【训练1】 (2012·天津耀华中学月考)(1)已知f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，求函数y＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－x －12的定义域； (2)已知函数f (3－2x )的定义域为[－1,2]，求f (x )的定义域．解 (1)令x 2－x －12＝t ，知f (t )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫t ⎪⎪⎪－12≤t ≤12，∴－12≤x 2－x －12≤12，整理得⎩⎨⎧x 2－x ≥0，x 2－x －1≤0⇒⎩⎨⎧x ≤0或x ≥1，1－52≤x ≤1＋52，∴所求函数的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－52，0∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1＋52.(2)用换元思想，令3－2x ＝t ， f (t )的定义域即为f (x )的定义域， ∵t ＝3－2x (x ∈[－1,2])，∴－1≤t ≤5， 故f (x )的定义域为[－1,5]．考向二 求函数的解析式【例2】►(1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )；(2)定义在(－1,1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，求函数f (x )的解析式． [审题视点] (1)用代换法求解；(2)构造方程组求解． 解 (1)令t ＝2x ＋1，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1，即f (x )＝lg 2x －1. (2)x ∈(－1,1)时，有2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)．① 以－x 代x 得，2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)．② 由①②消去f (－x )得f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，x ∈(－1,1)．求函数解析式的方法主要有：(1)代入法；(2)换元法；(3)待定系数法；(4)解函数方程等．【训练2】 (1)已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，试求f (x )的表达式．(2)已知f (x )＋2f (1x )＝2x ＋1，求f (x )． 解 (1)由题意可设f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)，则 a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1 ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1 ∴⎩⎨⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝12，b ＝12. 因此f (x )＝12x 2＋12x .(2)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2x ＋1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f (x )＝2x ＋1，消去f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，得f (x )＝4＋x －2x 23x.考向三 分段函数【例3】►(2011·辽宁)设函数f (x )＝⎩⎨⎧21－x，x ≤1，1－log 2x ，x ＞1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )．A ．[－1,2]B ．[0,2]C ．[1，＋∞)D ．[0，＋∞) [审题视点] 对于分段函数应分段求解，最后再求其并集．解析 f (x )≤2⇔⎩⎨⎧ x ≤1，21－x ≤2或⎩⎨⎧x ＞1，1－log 2x ≤2⇔0≤x ≤1或x ＞1，故选D.答案 D分段函数是一类重要的函数模型．解决分段函数问题，关键抓住在不同的段内研究问题，如本例中，需分x ≤1和x ＞1时分别解得x 的范围，再求其并集．【训练3】 (2011·江苏)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________． 解析 分类讨论：(1)当a ＞0时，1－a ＜1,1＋a ＞1.这时f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a；f(1＋a)＝－(1＋a)－2a＝－1－3a.由f(1－a)＝f(1＋a)，得2－a＝－1－3a，解得a＝－3 2，不符合题意，舍去．(2)当a＜0时，1－a＞1,1＋a＜1，这时f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－1－a；f(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝2＋3a，由f(1－a)＝f(1＋a)，得－1－a＝2＋3a，解得a＝－3 4.综合(1)，(2)知a的值为－3 4.答案－3 4阅卷报告1——忽视函数的定义域【问题诊断】函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域．如果是复合函数，应该根据复合函数单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，根据同增异减的法则求解函数的单调区间．由于思维定势的原因，考生容易忽视定义域，导致错误．【防范措施】研究函数的任何问题时，把求函数的定义域放在首位，即遵循“定义域优先”的原则．【示例】►求函数y＝log 13(x2－3x)的单调区间．错因忽视函数的定义域，把函数y＝log 13t的定义域误认为R导致出错．实录设t＝x2－3x.∵函数t 的对称轴为直线x ＝32，故t 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞上单调递增．∴函数y ＝log 13(x 2－3x )的单调递增区间 是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32，单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞. 正解 设t ＝x 2－3x ，由t ＞0，得x ＜0或x ＞3，即函数的定义域为(－∞，0)∪(3，＋∞)．函数t 的对称轴为直线x ＝32，故t 在(－∞，0)上单调递减，在()3，＋∞上单调递增．而函数y ＝log 13t 为单调递减函数，由复合函数的单调性可知，函数y ＝log 13(x 2－3x )的单调递增区间是(－∞，0)，单调递减区间是(3，＋∞)．【试一试】 求函数f (x )＝log 2(x 2－2x －3)的单调区间． [尝试解答] 由x 2－2x －3＞0，得x ＜－1或x ＞3， 即函数的定义域为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．令t ＝x 2－2x －3，则其对称轴为x ＝1，故t 在(－∞，－1)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数．又y ＝log 2t 为单调增函数．故函数y ＝log 2(x 2－2x －3)的单调增区间为(3，＋∞)，单调减区间为(－∞，－1)．。
【创新方案】2013年高考数学一轮复习-第二篇-函数与基本初等函数Ⅰ第5讲-对数与对数函数教案-理-新人教版
第5讲 对数与对数函数【2013年高考会这样考】1．考查对数函数的定义域与值域． 2．考查对数函数的图象与性质的应用．3．考查以对数函数为载体的复合函数的有关性质． 4．考查对数函数与指数函数互为反函数的关系． 【复习指导】复习本讲首先要注意对数函数的定义域，这是研究对数函数性质．判断与对数函数相关的复合函数图象的重要依据，同时熟练把握对数函数的有关性质，特别注意底数对函数单调性的影响．基础梳理1．对数的概念 (1)对数的定义如果a x＝N (a ＞0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数． (2)几种常见对数对数形式 特点记法 一般对数 底数为a (a ＞0且a ≠1)log a N 常用对数 底数为10 lg N 自然对数底数为eln_N2.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质①a log a N ＝N ；②log a a N＝N (a ＞0且a ≠1)． (2)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a N log a b (a ，b 均大于零且不等于1)；②log a b ＝1log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .(3)对数的运算法则如果a ＞0且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log a M N＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R )；④log am M n＝n mlog a M . 3．对数函数的图象与性质a ＞1 0＜a ＜1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R 过点(1,0)当x ＞1时，y ＞0当0＜x＜1，y ＜0 当x ＞1时，y ＜0当0＜x ＜1时，y ＞0是(0，＋∞)上的增函数是(0，＋∞)上的减函数4.反函数指数函数y ＝a x与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．一种思想对数源于指数，指数式和对数式可以互化，对数的性质和运算法则都可以通过对数式与指数式的互化进行证明． 两个防范解决与对数有关的问题时，(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围． 三个关键点画对数函数的图象应抓住三个关键点：(a,1)，(1,0)，⎝⎛⎭⎪⎫1a，－1.四种方法对数值的大小比较方法(1)化同底后利用函数的单调性．(2)作差或作商法．(3)利用中间量(0或1)． (4)化同真数后利用图象比较．双基自测1．(2010·四川)2 log 510＋log 50.25＝( )．A ．0B ．1C ．2D ．4 解析 原式＝log 5100＋log 50.25＝log 525＝2. 答案 C2．(人教A 版教材习题改编)已知a ＝log 0.70.8，b ＝log 1.10.9，c ＝1.10.9，则a ，b ，c 的大小关系是( )． A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜cD ．c ＜a ＜b解析 将三个数都和中间量1相比较：0＜a ＝log 0.70.8＜1，b ＝log 1.10.9＜0，c ＝1.10.9＞1. 答案 C3．(2012·黄冈中学月考)函数f (x )＝log 2(3x＋1)的值域为( )． A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)解析 设y ＝f (x )，t ＝3x＋1. 则y ＝log 2t ，t ＝3x＋1，x ∈R .由y ＝log 2t ，t >1知函数f (x )的值域为(0，＋∞)． 答案 A4．(2012·汕尾模拟)下列区间中，函数f (x )＝|ln(2－x )|在其上为增函数的是( )．A ．(－∞，1]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，43C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，32D ．[1,2)解析 法一 当2－x ≥1，即x ≤1时，f (x )＝|ln(2－x )|＝ln(2－x )，此时函数f (x )在(－∞，1]上单调递减．当0＜2－x ≤1，即1≤x ＜2时，f (x )＝|ln(2－x )|＝－ln(2－x )，此时函数f (x )在[1,2)上单调递增，故选D. 法二 f (x )＝|ln(2－x )|的图象如图所示．由图象可得，函数f (x )在区间[1,2)上为增函数，故选D. 答案 D5．若log a 23>1，则a 的取值范围是________．答案⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1考向一 对数式的化简与求值【例1】►求值：(1)log 89log 23；(2)(lg 5)2＋lg 50·lg 2；(3)12lg 3249－43lg 8＋lg 245. [审题视点] 运用对数运算法则及换底公式． 解 (1)原式＝log 2332log 23＝23.(2)原式＝(lg 5)2＋lg(10×5)lg 105＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)(1－lg 5)＝(lg 5)2＋1－(lg 5)2＝1.(3)法一 原式＝12(5lg 2－2lg 7)－43×32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5)＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5＝12(lg 2＋lg 5)＝12lg 10＝12. 法二 原式＝lg 427－lg 4＋lg(75)＝lg 42×757×4＝lg 10＝12.对数源于指数，对数与指数互为逆运算，对数的运算可根据对数的定义、对数的运算性质、对数恒等式和对数的换底公式进行．在解决对数的运算和与对数的相关问题时要注意化简过程中的等价性和对数式与指数式的互化． 【训练1】 (1)若2a ＝5b＝10，求1a ＋1b的值．(2)若x log 34＝1，求4x＋4－x的值． 解 (1)由已知a ＝log 210，b ＝log 510， 则1a ＋1b＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1.(2)由已知x ＝log 43，则4x ＋4－x＝4log 43＋4－log 43＝3＋13＝103.考向二 对数值的大小比较【例2】►已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47)，b ＝f (log 123)，c ＝f (0.2－0.6)，则a ，b ，c 的大小关系是( )．A ．c ＜a ＜bB ．c ＜b ＜aC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c[审题视点] 利用函数单调性或插入中间值比较大小．解析 log 123＝－log 23＝－log 49，b ＝f (log 123)＝f (－log 49)＝f (log 49)，log 47＜log 49,0.2－0.6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15－35＝5125＞532＝2＞log 49， 又f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，故f (x )在[0，＋∞)上是单调递减的， ∴f (0.2－0.6)＜f (log 123)＜f (log 47)，即c ＜b ＜a ，故选B.答案 B一般是同底问题利用单调性处理，不同底问题的处理，一般是利用中间值来比较大小，同指(同真)数问题有时也可借助指数函数、对数函数的图象来解决．【训练2】 (2010·全国)设a ＝log 32，b ＝ln 2，c ＝5－12，则( )．A ．a ＜b ＜cB ．b ＜c ＜aC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a解析 法一 a ＝log 32＝1log 23，b ＝ln 2＝1log 2e ，而log 23＞log 2e ＞1，所以a ＜b ，c ＝5－12＝15，而5＞2＝log 24＞log 23，所以c ＜a ，综上c ＜a ＜b ，故选C.法二 a ＝log 32＝1log 23，b ＝ln 2＝1log 2e ，1＜log 2e ＜log 23＜2，∴12＜1log 23＜1log 2e＜1；c ＝5－12＝15＜14＝12，所以c ＜a ＜b ，故选C.答案 C考向三 对数函数性质的应用【例3】►已知函数f (x )＝log a (2－ax )，是否存在实数a ，使函数f (x )在[0,1]上是关于x 的减函数，若存在，求a 的取值范围．[审题视点] a ＞0且a ≠1，问题等价于在[0,1]上恒有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞12－ax ＞0.解 ∵a ＞0，且a ≠1，∴u ＝2－ax 在[0,1]上是关于x 的减函数．又f (x )＝log a (2－ax )在[0,1]上是关于x 的减函数，∴函数y ＝log a u 是关于u 的增函数，且对x ∈[0,1]时，u ＝2－ax 恒为正数．其充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ＞12－a ＞0，即1＜a ＜2.∴a 的取值范围是(1,2)．研究函数问题，首先考虑定义域，即定义域优先的原则．研究复合函数的单调性，一定要注意内层与外层的单调性问题．复合函数的单调性的法则是“同增异减”．本题的易错点为：易忽略2－ax ＞0在[0,1]上恒成立，即2－a ＞0.实质上是忽略了真数大于0的条件．【训练3】 已知f (x )＝log 4(4x－1) (1)求f (x )的定义域； (2)讨论f (x )的单调性；(3)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域．解 (1)由4x－1>0解得x >0， 因此f (x )的定义域为(0，＋∞)． (2)设0<x 1<x 2，则0<4x 1－1<4x 2－1，因此log 4(4x 1－1)<log 4(4x 2－1)，即f (x 1)<f (x 2)，f (x )在(0，＋∞)上递增．(3)f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上递增， 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，f (2)＝log 415，因此f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域为[0，log 415]．难点突破4——与指数、对数函数求值问题有关的解题基本方法指数与对数函数问题，高考中除与导数有关的综合问题外，一般还出一道选择或填空题，考查其图象与性质，其中与求值或取值范围有关的问题是热点，难度虽然不大，但要注意分类讨论．一、与对数函数有关的求值问题【示例】► (2011·陕西)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，x ＋⎠⎛0a 3t 2dt ，x≤0，若f(f(1))＝1，则a ＝________.二、与对数函数有关的解不等式问题【示例】► (2011·辽宁改编)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x，x≤1，1－log 2x ，x ＞1，则满足f(x)≤2的x 的取值范围是________．。
新人教A版版高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数对数函数教案文
一、知识梳理１．对数函数的图象与性质a>１0<a<１图象性质定义域：（0，＋∞）值域：R过定点（１，0）当x>１时，y>0当0<x<１时，y<0当x>１时，y<0当0<x<１时，y>0在（0，＋∞）上是增函数在（0，＋∞）上是减函数指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．常用结论对数函数图象的特点（１）当a>１时，对数函数的图象呈上升趋势；当0<a<１时，对数函数的图象呈下降趋势．（２）对数函数y＝log a x（a>0，且a≠１）的图象过定点（１，0），且过点（a，１），错误!，函数图象只在第一、四象限．（３）在直线x＝１的右侧：当a>１时，底数越大，图象越靠近x轴；当0<a<１时，底数越小，图象越靠近x轴，即“底大图低”．二、习题改编１．（必修１P7４A组T7改编）函数y＝错误!的定义域为．解析：要使函数有意义，故满足错误!解得错误!<x≤１．答案：错误!２．（必修１P7３练习T３改编）已知a＝２错误!，b＝log２错误!，c＝log错误!错误!，则a，b，c 的大小关系是．答案：c>a>b一、思考辨析判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）函数y＝log２x及y＝log错误!３x都是对数函数．（）（２）对数函数y＝log a x（a>0且a≠１）在（0，＋∞）上是增函数．（）（３）函数y＝ln 错误!与y＝ln（１＋x）—ln（１—x）的定义域相同．（）（４）对数函数y＝log a x（a>0且a≠１）的图象过定点（１，0），且过点（a，１），函数图象只经过第一、四象限．（）答案：（１）×（２）×（３）×（４）√二、易错纠偏错误!（１）忽略真数大于零致误；（２）忽视对底数的讨论致误．１．函数f（x）＝log２x２的单调递增区间为．解析：设t＝x２，因为y＝log２t在定义域上是增函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t＝x２的单调递增区间，所以所求区间为（0，＋∞）．答案：（0，＋∞）２．函数y＝log a x（a>0，a≠１）在[２，４]上的最大值与最小值的差是１，则a＝．解析：分两种情况讨论：１当a>１时，有log a４—log a２＝１，解得a＝２；２当0<a<１时，有log a ２—log a４＝１，解得a＝错误!，所以a＝２或错误!.答案：２或错误!对数函数的图象及应用（典例迁移）（１）若函数y＝a|x|（a>0，且a≠１）的值域为{y|y≥１}，则函数y＝log a|x|的图象大致是（）（２）若方程４x＝log a x在错误!上有解，则实数a的取值范围为．【解析】（１）由于y＝a|x|的值域为{y|y≥１}，所以a>１，则y＝log a|x|在（0，＋∞）上是增函数，又函数y＝log a|x|的图象关于y轴对称．因此y＝log a|x|的图象应大致为选项Ｂ．（２）构造函数f（x）＝４x和g（x）＝log a x，当a>１时不满足条件，当0<a<１时，画出两个函数在错误!上的图象，可知，只需两图象在错误!上有交点即可，则f错误!≥g错误!，即２≥log a错误!，则a≤错误!，所以a的取值范围为错误!.【答案】（１）B （２）错误!【迁移探究】（变条件）若本例（２）的条件变为：当0<x≤错误!时，４x<log a x，则a的取值范围为．解析：构造函数f（x）＝４x和g（x）＝log a x，当a>１时不满足条件，当0<a<１时，画出两个函数在错误!上的图象，可知f错误!<g错误!，即２<log a错误!，则a>错误!，所以a的取值范围为错误!.答案：错误!错误!对于较复杂的不等式恒成立问题，可借助函数图象解决，具体做法为：（１）对不等式变形，使不等号两边分别对应两函数f（x），g（x）；（２）在同一直角坐标系下作出两个函数f（x）与g（x）的图象；（３）比较当x在某一范围内取值时图象的上下位置来确定参数的取值．１．函数y＝２log４（１—x）的图象大致是（）解析：选Ｃ．函数y＝２log４（１—x）的定义域为（—∞，１），排除A，B；函数y＝２log４（１—x）在定义域上单调递减，排除Ｄ．选Ｃ．２．已知函数f（x）＝错误!且关于x的方程f（x）＋x—a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是．解析：如图，在同一直角坐标系中分别作出y＝f（x）与y＝—x＋a的图象，其中a表示直线在y轴上的截距．由图可知，当a>１时，直线y＝—x＋a与y＝log２x只有一个交点．答案：（１，＋∞）对数函数的性质及应用（多维探究）角度一比较对数值的大小（２0１9·高考天津卷）已知a＝log２7，b＝log３8，c＝0．３0．２，则a，b，c的大小关系为（）Ａ．c<b<aＢ．a<b<cＣ．b<c<aＤ．c<a<b【解析】因为a＝log２7>log２４＝２，b＝log３8<log３9＝２，且b＝log３8>１，c＝0．３0．２<0．３0＝１，所以c<b<a.故选Ａ．【答案】A错误!比较对数值的大小的方法角度二解简单的对数不等式或方程（一题多解）已知函数f（x）＝log a x（a>0且a≠１）满足f错误!<f错误!，则f错误!>0的解集为（）Ａ．（0，１）Ｂ．（—∞，１）Ｃ．（１，＋∞）Ｄ．（0，＋∞）【解析】法一：因为函数f（x）＝log a x（a>0且a≠１）在（0，＋∞）上为单调函数，而错误!<错误!且f错误!<f错误!，所以f（x）＝log a x在（0，＋∞）上单调递增，结合对数函数的图象与性质可得f（２x—１）>0⇒２x—１>１，所以x>１．法二：由f错误!<f错误!知log a错误!>log a错误!，所以log a２—１<log a３—１，所以log a２<log a３，所以a>１，由f（２x—１）>0得log a（２x—１）>0，所以２x—１>１，即x>１．【答案】C错误!解对数不等式的函数及方法（１）形如log a x>log a b的不等式，借助y＝log a x的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>１与0<a<１两种情况讨论；（２）形如log a x>b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式．角度三对数型函数的综合问题已知函数f（x）＝log４（ax２＋２x＋３）．（１）若f（１）＝１，求f（x）的单调区间；（２）若f（x）的最小值为0，求a的值．【解】（１）因为f（１）＝１，所以log４（a＋５）＝１，因此a＋５＝４，即a＝—１，所以f（x）＝log４（—x２＋２x＋３）．由—x２＋２x＋３>0得—１<x<３，即函数f（x）的定义域为（—１，３）．令g（x）＝—x２＋２x＋３．则g（x）在（—１，１）上单调递增，在[１，３）上单调递减．又y＝log４x在（0，＋∞）上单调递增，所以f（x）的单调递增区间是（—１，１），单调递减区间是[１，３）．（２）若f（x）的最小值为0，则h（x）＝ax２＋２x＋３应有最小值１，因此应有错误!解得a＝错误!.故实数a的值为错误!.错误!解与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤１．（２0１9·高考全国卷Ⅰ）已知a＝log２0．２，b＝２0．２，c＝0．２0．３，则（）Ａ．a＜b＜cＢ．a＜c＜bＣ．c＜a＜bＤ．b＜c＜a解析：选B.因为a＝log２0．２<log２１＝0，b＝２0．２>２0＝１，c＝0．２0．３<0．２0＝１且c>0，所以a<c<b，故选Ｂ．２．设函数f（x）＝错误!则满足f（x）≤２的x的取值范围是（）Ａ．[—１，２] Ｂ．[0，２]Ｃ．[１，＋∞）Ｄ．[0，＋∞）解析：选Ｄ．当x≤１时，２１—x≤２，解得x≥0，所以0≤x≤１；当x>１时，１—log２x≤２，解得x≥错误!，所以x>１．综上可知x≥0．思想方法系列４分类讨论思想研究指数、对数函数的性质已知函数f（x）＝log a（２x—a）（a>0且a≠１）在区间[错误!，错误!]上恒有f（x）>0，则实数a的取值范围是（）Ａ．（错误!，１）Ｂ．[错误!，１）Ｃ．（错误!，１）Ｄ．[错误!，１）【解析】当0<a<１时，函数f（x）在区间[错误!，错误!]上是减函数，所以log a（错误!—a）>0，即0<错误!—a<１，解得错误!<a<错误!，故错误!<a<１；当a>１时，函数f（x）在区间[错误!，错误!]上是增函数，所以log a（１—a）>0，即１—a>１，解得a<0，此时无解．综上所述，实数a的取值范围是（错误!，１）．【答案】A错误!本题利用了分类讨论思想，在研究指数、对数函数的性质时，常对底数a的值进行分类讨论，实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想．已知函数y＝a２x＋２a x—１（a>0，且a≠１），当x≥0时，求函数的值域．解：y＝a２x＋２a x—１，令t＝a x，则y＝g（t）＝t２＋２t—１＝（t＋１）２—２．当a>１时，因为x≥0，所以t≥１，所以当a>１时，y≥２．当0<a<１时，因为x≥0，所以0<t≤１．因为g（0）＝—１，g（１）＝２，所以当0<a<１时，—１<y≤２．综上所述，当a>１时，函数的值域是[２，＋∞）；当0<a<１时，函数的值域是（—１，２]．[基础题组练]１．函数y＝错误!的定义域是（）Ａ．[１，２] Ｂ．[１，２）Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｃ．由错误!即错误!解得x≥错误!.故选Ｃ．２．若函数y＝f（x）是函数y＝a x（a>0且a≠１）的反函数，且f（２）＝１，则f（x）＝（）Ａ．log２xＢ．错误!Ｃ．log错误!xＤ．２x—２解析：选Ａ．由题意知f（x）＝log a x（a>0且a≠１），因为f（２）＝１，所以log a２＝１，所以a ＝２．所以f（x）＝log２x.故选Ａ．３．（２0２0·东北三省四市一模）若a＝log２错误!，b＝0．４8，c＝ln ２，则a，b，c的大小关系是（）Ａ．a<c<bＢ．a<b<cＣ．c<b<aＤ．b<c<a解析：选Ｂ．a＝log２错误!<log２１＝0，即a<0，b＝0．４8<0．４<错误!，又0．４8>0，所以0<b<错误!，c＝ln ２＝ln错误!>ln错误!＝错误!，即c>错误!，所以a<b<c.故选Ｂ．４．设函数f（x）＝log a|x|在（—∞，0）上单调递增，则f（a＋１）与f（２）的大小关系是（）Ａ．f（a＋１）>f（２）Ｂ．f（a＋１）<f（２）Ｃ．f（a＋１）＝f（２）Ｄ．不能确定解析：选Ａ．由已知得0<a<１，所以１<a＋１<２，又易知函数f（x）为偶函数，故可以判断f（x）在（0，＋∞）上单调递减，所以f（a＋１）>f（２）．５．（２0２0·河南平顶山模拟）函数f（x）＝log a|x＋１|（a>0，a≠１），当x∈（—１，0）时，恒有f（x）>0，则（）Ａ．f（x）在（—∞，0）上是减函数Ｂ．f（x）在（—∞，—１）上是减函数Ｃ．f（x）在（0，＋∞）上是增函数Ｄ．f（x）在（—∞，—１）上是增函数解析：选D.由题意，函数f（x）＝log a|x＋１|（a>0且a≠１），则说明函数f（x）关于直线x＝—１对称，当x∈（—１，0）时，恒有f（x）>0，即|x＋１|∈（0，１），f（x）>0，则0<a<１．又u＝|x ＋１|在（—∞，—１）上是减函数，在（—１，＋∞）上是增函数，结合复合函数的单调性可知，f（x）在（—∞，—１）上是增函数，选Ｄ．6．已知函数y＝log a（x—１）（a>0，a≠１）的图象过定点A，若点A也在函数f（x）＝２x＋b的图象上，则f（log２３）＝．解析：由题意得A（２，0），因此f（２）＝４＋b＝0，b＝—４，从而f（log２３）＝３—４＝—１．答案：—１7．若函数f（x）＝log a x（0<a<１）在区间[a，２a]上的最大值是最小值的３倍，则a的值为．解析：因为0<a<１，所以函数f（x）是定义域上的减函数，所以f（x）max＝log a a＝１，f（x）min ＝log a２a，所以１＝３log a２a⇒a＝（２a）３⇒8a２＝１⇒a＝错误!.答案：错误!8．已知函数f（x）＝log a（ax—３）在[１，３]上单调递增，则a的取值范围是．解析：由于a>0，且a≠１，所以u＝ax—３为增函数，所以若函数f（x）为增函数，则f（x）＝log a u必为增函数，所以a>１．又u＝ax—３在[１，３]上恒为正，所以a—３>0，即a>３．答案：（３，＋∞）9．已知函数f（x—３）＝log a错误!（a>0，a≠１）．（１）求f（x）的解析式；（２）判断f（x）的奇偶性，并说明理由．解：（１）令x—３＝u，则x＝u＋３，于是f（u）＝log a错误!（a>0，a≠１，—３<u<３），所以f（x）＝log a错误!（a>0，a≠１，—３<x<３）．（２）因为f（—x）＋f（x）＝log a错误!＋log a错误!＝log a１＝0，所以f（—x）＝—f（x），又定义域（—３，３）关于原点对称．所以f（x）是奇函数．１0．设f（x）＝log a（１＋x）＋log a（３—x）（a>0且a≠１），且f（１）＝２．（１）求实数a的值及f（x）的定义域；（２）求f（x）在区间错误!上的最大值．解：（１）因为f（１）＝２，所以log a４＝２（a>0，a≠１），所以a＝２．由错误!得—１<x<３，所以函数f（x）的定义域为（—１，３）．（２）f（x）＝log２（１＋x）＋log２（３—x）＝log２[（１＋x）（３—x）]＝log２[—（x—１）２＋４]，所以当x∈（—１，１]时，f（x）是增函数；当x∈（１，３）时，f（x）是减函数，故函数f（x）在错误!上的最大值是f（１）＝log２４＝２．[综合题组练]１．（２0２0·河南新乡二模）已知函数f（x）＝log３（9x＋１）＋mx是偶函数，则不等式f（x）＋４x<log３２的解集为（）Ａ．（0，＋∞）Ｂ．（１，＋∞）Ｃ．（—∞，0）Ｄ．（—∞，１）解析：选Ｃ．由f（x）＝log３（9x＋１）＋mx是偶函数，得f（—x）＝f（x），即log３（9—x＋１）＋m（—x）＝log３（9x＋１）＋mx，变形可得m＝—１，即f（x）＝log３（9x＋１）—x，设g（x）＝f（x）＋４x＝log３（9x＋１）＋３x，易得g（x）在R上为增函数，且g（0）＝log３（90＋１）＝log３２，则f（x）＋４x<log３２⇒g（x）<g（0），则有x<0，即不等式的解集为（—∞，0）．故选Ｃ．２．设实数a，b是关于x的方程|lg x|＝c的两个不同实数根，且a<b<１0，则abc的取值范围是．解析：由题意知，在（0，１0）上，函数y＝|lg x|的图象和直线y＝c有两个不同交点，所以|lg a|＝|lg b|，又因为y＝lg x在（0，＋∞）上单调递增，且a<b<１0，所以lg a＝—lg b，所以lg a＋lg b＝0，所以ab＝１，0<c<lg １0＝１，所以abc的取值范围是（0，１）．答案：（0，１）３．已知函数f（x）＝lg错误!，其中x>0，a>0．（１）求函数f（x）的定义域；（２）若对任意x∈[２，＋∞）恒有f（x）>0，试确定a的取值范围．解：（１）由x＋错误!—２>0，得错误!>0．因为x>0，所以x２—２x＋a>0．当a>１时，定义域为（0，＋∞）；当a＝１时，定义域为（0，１）∪（１，＋∞）；当0<a<１时，定义域为（0，１—错误!）∪（１＋错误!，＋∞）．（２）对任意x∈[２，＋∞）恒有f（x）>0，即x＋错误!—２>１对x∈[２，＋∞）恒成立，即a>—x２＋３x对x∈[２，＋∞）恒成立，记h（x）＝—x２＋３x，x∈[２，＋∞），则只需a>h（x）max.而h（x）＝—x２＋３x＝—错误!错误!＋错误!在[２，＋∞）上是减函数，所以h（x）max＝h（２）＝２，故a>２．。
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第5讲对数与对数函数【2013年高考会这样考】1．考查对数函数的定义域与值域．2．考查对数函数的图象与性质的应用．3．考查以对数函数为载体的复合函数的有关性质．4．考查对数函数与指数函数互为反函数的关系．【复习指导】复习本讲首先要注意对数函数的定义域，这是研究对数函数性质．判断与对数函数相关的复合函数图象的重要依据，同时熟练把握对数函数的有关性质，特别注意底数对函数单调性的影响．基础梳理1．对数的概念(1)对数的定义如果a x＝N(a＞0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．(2)几种常见对数2.(1)对数的性质①a log a N＝N；②log a a N＝N(a＞0且a≠1)．(2)对数的重要公式①换底公式：log b N＝log a Nlog a b(a，b均大于零且不等于1)；②log a b＝1log b a，推广log a b·log b c·log c d＝log a d.(3)对数的运算法则如果a ＞0且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log a MN ＝log a M －log a N ； ③log a M n ＝n log a M (n ∈R )；④log am M n ＝nm log a M . 3．对数函数的图象与性质4.反函数指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．一种思想对数源于指数，指数式和对数式可以互化，对数的性质和运算法则都可以通过对数式与指数式的互化进行证明． 两个防范解决与对数有关的问题时，(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围． 三个关键点画对数函数的图象应抓住三个关键点：(a,1)，(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1.四种方法对数值的大小比较方法(1)化同底后利用函数的单调性．(2)作差或作商法．(3)利用中间量(0或1)． (4)化同真数后利用图象比较．双基自测1．(2010·四川)2 log 510＋log 50.25＝( )．A ．0B ．1C ．2D ．4 解析 原式＝log 5100＋log 50.25＝log 525＝2. 答案 C2．(人教A 版教材习题改编)已知a ＝log 0.70.8，b ＝log 1.10.9，c ＝1.10.9，则a ，b ，c 的大小关系是( )． A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜cD ．c ＜a ＜b解析 将三个数都和中间量1相比较：0＜a ＝log 0.70.8＜1，b ＝log 1.10.9＜0，c ＝1.10.9＞1. 答案 C3．(2012·黄冈中学月考)函数f (x )＝log 2(3x ＋1)的值域为( )． A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)解析 设y ＝f (x )，t ＝3x ＋1. 则y ＝log 2t ，t ＝3x ＋1，x ∈R .由y ＝log 2t ，t >1知函数f (x )的值域为(0，＋∞)． 答案 A4．(2012·汕尾模拟)下列区间中，函数f (x )＝|ln(2－x )|在其上为增函数的是( )．A ．(－∞，1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，43 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，32 D ．[1,2) 解析 法一 当2－x ≥1，即x ≤1时，f (x )＝|ln(2－x )|＝ln(2－x )，此时函数f (x )在(－∞，1]上单调递减．当0＜2－x ≤1，即1≤x ＜2时，f (x )＝|ln(2－x )|＝－ln(2－x )，此时函数f (x )在[1,2)上单调递增，故选D. 法二 f (x )＝|ln(2－x )|的图象如图所示．由图象可得，函数f (x )在区间[1,2)上为增函数，故选D. 答案 D5．若log a 23>1，则a 的取值范围是________． 答案⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1考向一 对数式的化简与求值【例1】►求值：(1)log 89log 23；(2)(lg 5)2＋lg 50·lg 2；(3)12lg 3249－43lg 8＋lg 245.[审题视点] 运用对数运算法则及换底公式． 解 (1)原式＝log 2332log 23＝23.(2)原式＝(lg 5)2＋lg(10×5)lg 105＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)(1－lg 5)＝(lg 5)2＋1－(lg 5)2＝1. (3)法一 原式＝12(5lg 2－2lg 7)－43×32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5) ＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5＝12(lg 2＋lg 5)＝12lg 10＝12. 法二 原式＝lg 427－lg 4＋lg(75)＝lg 42×757×4＝lg 10＝12.对数源于指数，对数与指数互为逆运算，对数的运算可根据对数的定义、对数的运算性质、对数恒等式和对数的换底公式进行．在解决对数的运算和与对数的相关问题时要注意化简过程中的等价性和对数式与指数式的互化． 【训练1】 (1)若2a ＝5b ＝10，求1a ＋1b 的值． (2)若x log 34＝1，求4x ＋4－x 的值． 解 (1)由已知a ＝log 210，b ＝log 510， 则1a ＋1b ＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1. (2)由已知x ＝log 43，则4x ＋4－x ＝4log 43＋4－log 43＝3＋13＝103.考向二 对数值的大小比较【例2】►已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47)，b ＝f (log 123)，c ＝f (0.2－0.6)，则a ，b ，c 的大小关系是( )． A ．c ＜a ＜b B ．c ＜b ＜a C ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c[审题视点] 利用函数单调性或插入中间值比较大小．解析 log 123＝－log 23＝－log 49，b ＝f (log 123)＝f (－log 49)＝f (log 49)，log 47＜log 49,0.2－0.6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15－35＝5125＞532＝2＞log 49，又f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，故f (x )在[0，＋∞)上是单调递减的，∴f (0.2－0.6)＜f (log 123)＜f (log 47)，即c ＜b ＜a ，故选B. 答案 B一般是同底问题利用单调性处理，不同底问题的处理，一般是利用中间值来比较大小，同指(同真)数问题有时也可借助指数函数、对数函数的图象来解决．【训练2】 (2010·全国)设a ＝log 32，b ＝ln 2，c ＝5－12，则( )． A ．a ＜b ＜c B ．b ＜c ＜a C ．c ＜a ＜b D ．c ＜b ＜a解析 法一 a ＝log 32＝1log 23，b ＝ln 2＝1log 2e ，而log 23＞log 2e ＞1，所以a ＜b ，c ＝5－12＝15，而5＞2＝log 24＞log 23，所以c ＜a ，综上c ＜a ＜b ，故选C.法二 a ＝log 32＝1log 23，b ＝ln 2＝1log 2e ，1＜log 2e ＜log 23＜2，∴12＜1log 23＜1log 2e＜1；c ＝5－12＝15＜14＝12，所以c ＜a ＜b ，故选C.答案 C考向三 对数函数性质的应用【例3】►已知函数f (x )＝log a (2－ax )，是否存在实数a ，使函数f (x )在[0,1]上是关于x 的减函数，若存在，求a 的取值范围．[审题视点] a ＞0且a ≠1，问题等价于在[0,1]上恒有⎩⎨⎧a ＞12－ax ＞0.解 ∵a ＞0，且a ≠1，∴u ＝2－ax 在[0,1]上是关于x 的减函数． 又f (x )＝log a (2－ax )在[0,1]上是关于x 的减函数，∴函数y ＝log a u 是关于u 的增函数，且对x ∈[0,1]时，u ＝2－ax 恒为正数． 其充要条件是⎩⎨⎧a ＞12－a ＞0，即1＜a ＜2.∴a 的取值范围是(1,2)．研究函数问题，首先考虑定义域，即定义域优先的原则．研究复合函数的单调性，一定要注意内层与外层的单调性问题．复合函数的单调性的法则是“同增异减”．本题的易错点为：易忽略2－ax ＞0在[0,1]上恒成立，即2－a ＞0.实质上是忽略了真数大于0的条件． 【训练3】 已知f (x )＝log 4(4x －1) (1)求f (x )的定义域； (2)讨论f (x )的单调性；(3)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域．解 (1)由4x －1>0解得x >0， 因此f (x )的定义域为(0，＋∞)． (2)设0<x 1<x 2，则0<4x 1－1<4x 2－1，因此log 4(4x 1－1)<log 4(4x 2－1)，即f (x 1)<f (x 2)，f (x )在(0，＋∞)上递增． (3)f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上递增，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，f (2)＝log 415，因此f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域为[0，log 415]．难点突破4——与指数、对数函数求值问题有关的解题基本方法指数与对数函数问题，高考中除与导数有关的综合问题外，一般还出一道选择或填空题，考查其图象与性质，其中与求值或取值范围有关的问题是热点，难度虽然不大，但要注意分类讨论． 一、与对数函数有关的求值问题【示例】► (2011·陕西)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，x ＋⎠⎛0a 3t 2dt ，x ≤0，若f(f(1))＝1，则a ＝________.二、与对数函数有关的解不等式问题【示例】► (2011·辽宁改编)设函数f(x)＝⎩⎨⎧21－x，x ≤1，1－log 2x ，x ＞1，则满足f(x)≤2的x的取值范围是________．。