人教版初中数学九年级下册精品课件 28.2.2 第1课时 解直角三角形的简单应用
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A. 12米 B. 8 3 米 C. 24米 D. 24 3 米
18
2. 数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘相隔的两 棵树A、B的距离，他们设计了如图所示的测量方案： 从树A沿着垂直于AB的方向走到E，再从E沿着垂 直于AE的方向走到F，C为AE上一点，其中3位同 学分别测得三组数据：①AC，∠ACB；②EF、DE、 AD；③CD，∠ACB，∠ADB．其中能根据所测数 据求得A、B两树距离的有 (D ) A．0组 B.1组 C．2组 D.3组
Ｂ
c
a
Ａ
b
Ｃ
5
讲授新课
一 利用解直角三角形解决简单实际问题
合作探究
棋棋去景点游玩，乘坐登山缆车的吊箱经过点A到达 点B时，它走过了200m. 在这段路程中缆车行驶的路 线与水平面的夹角为30°，你知道缆车垂直上升的距 离是多少吗? BD=ABsin30°=100m 200m A 30° B A
6
B
14
A 60 C ° 3m B
解：∵∠CAB=60°，AD=AB=3m， ∴AC=ABcos∠CAB=1.5m，
∴ CD=AD－AC=1.5m， ∴ CE=AD+DE=2.0m.
D
E
即秋千踏板与地面的最大
距离为2.0m.
15
练一练
如图，在电线杆上的C处引拉线CE，CF固定电线 杆. 拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的A处测 得AC与水平面的夹角为30°，已知A与地面的距离为 1.5米，求拉线CE的长.（结果保留根号） 解：作AG⊥CD于点G， 则AG=BD=6米，DG=AB=1.5米.
例1 2012年6月18日，“神州”九号载人航天飞船与“天宫”一号 目标飞行器成功实现交会对接. “神州”九号与“天宫”一号的 组合体在离地球表面343km的圆形轨道上运行. 如图，当组 合体运行到离地球表面P点的正上方时，从中能直接看到的 地球表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少 （地球半径约为6 400km， 取3.142，结果取整数）？ F P
D
棋棋乘缆车继续从点B到达比点B高 200m的点C， 如果 这段路程缆车的行驶路线与水平面的夹角为60°，缆车 行进速度为1m/s，棋棋需要多长时间才能到达目的地？ CE C BC = 231m. C sin 60 棋棋需要231s才 能到达目的地. B 60° A A
7
200m
E
B
D
典例精析
的.
12
例2 如图，秋千链子的长度为3m，静止时的秋千踏板 （大小忽略不计）距地面0.5m．秋千向两边摆动时， 若最大摆角（摆角指秋千链子与铅垂线的夹角）约为 60°，则秋千踏板与地面的最大距离为多少？ 3m
60°
0.5m
13
A 60° C D 3m B
E 0.5m
分析：根据题意，可 知秋千踏板与地面的 最大距离为CE的长度. 因此，本题可抽象为： 已知 ：DE=0.5m， AD=AB=3m，∠DAB =60°，△ACB为直 角三角形，求CE的长 度.
11
解：设登到B处，视线BC在C点与地球相切，也就是 看C点，AB就是“楼”的高度，
AC 180 4.5 ， 在Rt△OCB中，∠O OC
OC 6370 OB 6389 km ， cos∠O cos 4.5
∴ AB=OB－OA=6389－6370=19(km).
即这层楼至少要高19km，即1900m. 这是不存在
19
3. 一次台风将一棵大树刮断，经测量，大树刮断一端的 着地点A到树根部C的距离为4米，倒下部分AB与地平 面AC的夹角为45°，则这棵大树高是 (4 4 2) 米.
A
4米 C 45° B
20
4. 如图，要测量B点到河岸AD的距离，在A点测得 ∠BAD=30°，在C点测得∠BCD=60°，又测得 AC=100米，则B点到河岸AD的距离为 ( B) A. 100米 B. 50 3 米 D. 50米
4
1. 解直角三角形 在直角三角形中，除直角外，由已知两元素 (必有 一边) 求其余未知元素的过程叫解直角三角形. 2. 解直角三角形的依据
(1) 三边之间的关系：a2＋b2＝c2（勾股定理）；
∠ A＋ ∠ B＝ 90º ； (2) 两锐角之间的关系： (3) 边角之间的关系： b a ＝ cosA sinA＝ c c a tanA＝ b
∴ CG AG tan 30 3 6 2 3 (米). 3 2 3 +1.5) (米)，
CD 3 2 3 1.5 4 3 (米). ∴ CE sin 60 2
G
17
当堂练习
1. 课外活动小组测量学校旗杆的高度. 当太阳光线与 地面成30°角时，测得旗杆在地面上的影长为24米， 那么旗杆的高度约是 (B )
情境引入 高跟鞋深受很多女性的喜爱，但有时候，如果鞋 跟太高，也有可能“喜剧”变“悲剧”.
3
美国人体工程学研究人员卡特 ·克雷加文调查发 现，70％以上的女性喜欢穿鞋跟高度为6至7cm左右的 高跟鞋. 但专家认为穿6cm以上的高跟鞋，腿肚、脚 背等处的肌肉非常容易疲劳. 若某成年人的脚掌长为15cm，鞋跟约在3cm左右 高度为最佳. 据此，可以算出高跟鞋的鞋底与地面的 夹角为11°左右时，人脚的感觉最舒适. 你知道专家是怎样计算 的吗？
FQ是☉O的切线，∠FQO为直角. 最远点 求 PQ 的长，要先求 ∠POQ的度数
8
O
Q
解：设∠POQ= α ，∵FQ是☉O 的切线，∴△FOQ是直角三角形.
OQ 6400 ∵cos 0.9491, OF 6400 343
F P
Q
O
∴ 18.36 .
∴PQ 的长为
18.36 18.36 3.142 6400 6400 2051(km). 180 180
200 3 C. 米 3
B
A
C
D
21
5. (1)小华去实验楼做实验, 两幢实验楼的高度AB=CD =20m，两楼间的距离BC=15m，已知太阳光与水平 线的夹角为30°，求南楼的影子在北楼上有多高？ 解：过点E作EF∥BC， ∴∠AFE=90°，FE=BC=15m.
∴AF=FE tan 30 =5 3m.
23
C
课堂小结
利用解直角三角形解决实际问题的一般过程：
1. 将实际问题抽象为数学问题；
画出平面图形，转化为解直角三角形的问题 2. 根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等 去解直角三角形；
3. 得到数学问题的答案；
4. 得到实际问题的答案.
24
AA 南
D
∴ EC=FB=AB－AF
=(20－5 3) m.
20m
北 E FF 15m ° E
30 30
即南楼的影子在北 楼上的高度为 (20－5 3) m. B
15m
C
22
(2) 小华想：若设计时要求北楼的采光，不受南楼的影 响，请问楼间距BC长至少应为多少米?
30
20m
A
D
北
南
?m
B 答案：BC至少为 20 3 m.
9
归纳： 利用解直角三角形解决实际问题的一般过程：
1. 将实际问题抽象为数学问题；
画出平面图形，转化为解直角三角形的问题 2. 根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等 去解直角三角形；
3. 得到数学问题的答案；
4. 得到实际问题的答案.
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练一练
“欲穷千里目，更上一层楼”是唐代诗人李白的不 朽诗句. 如果我们想在地球上看到距观测点1000里处 景色，“更上一层楼”中的楼至少有多高呢？存在这样 的楼房吗(设 AC 代表地面，O为地球球心，C是地面上 一点，AC =500km，地球的半径为6370 km，cos4.5°= 0.997)？
第二十八章 锐角三角函数
28.1 锐角三角函数
第1课时 解直角三角形的简单应用
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
1
学习目标
1. 巩固解直角三角形相关知识. (重点)
2. 能从实际问题中构造直角三角形，从而把实际问
题转化为解直角三角形的问题，并能灵活选择三 角函数解决问题(重点、难点)
2
导入新课
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2. 数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘相隔的两 棵树A、B的距离，他们设计了如图所示的测量方案： 从树A沿着垂直于AB的方向走到E，再从E沿着垂 直于AE的方向走到F，C为AE上一点，其中3位同 学分别测得三组数据：①AC，∠ACB；②EF、DE、 AD；③CD，∠ACB，∠ADB．其中能根据所测数 据求得A、B两树距离的有 (D ) A．0组 B.1组 C．2组 D.3组
Ｂ
c
a
Ａ
b
Ｃ
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讲授新课
一 利用解直角三角形解决简单实际问题
合作探究
棋棋去景点游玩，乘坐登山缆车的吊箱经过点A到达 点B时，它走过了200m. 在这段路程中缆车行驶的路 线与水平面的夹角为30°，你知道缆车垂直上升的距 离是多少吗? BD=ABsin30°=100m 200m A 30° B A
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A 60 C ° 3m B
解：∵∠CAB=60°，AD=AB=3m， ∴AC=ABcos∠CAB=1.5m，
∴ CD=AD－AC=1.5m， ∴ CE=AD+DE=2.0m.
D
E
即秋千踏板与地面的最大
距离为2.0m.
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练一练
如图，在电线杆上的C处引拉线CE，CF固定电线 杆. 拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的A处测 得AC与水平面的夹角为30°，已知A与地面的距离为 1.5米，求拉线CE的长.（结果保留根号） 解：作AG⊥CD于点G， 则AG=BD=6米，DG=AB=1.5米.
例1 2012年6月18日，“神州”九号载人航天飞船与“天宫”一号 目标飞行器成功实现交会对接. “神州”九号与“天宫”一号的 组合体在离地球表面343km的圆形轨道上运行. 如图，当组 合体运行到离地球表面P点的正上方时，从中能直接看到的 地球表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少 （地球半径约为6 400km， 取3.142，结果取整数）？ F P
D
棋棋乘缆车继续从点B到达比点B高 200m的点C， 如果 这段路程缆车的行驶路线与水平面的夹角为60°，缆车 行进速度为1m/s，棋棋需要多长时间才能到达目的地？ CE C BC = 231m. C sin 60 棋棋需要231s才 能到达目的地. B 60° A A
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200m
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典例精析
的.
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例2 如图，秋千链子的长度为3m，静止时的秋千踏板 （大小忽略不计）距地面0.5m．秋千向两边摆动时， 若最大摆角（摆角指秋千链子与铅垂线的夹角）约为 60°，则秋千踏板与地面的最大距离为多少？ 3m
60°
0.5m
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A 60° C D 3m B
E 0.5m
分析：根据题意，可 知秋千踏板与地面的 最大距离为CE的长度. 因此，本题可抽象为： 已知 ：DE=0.5m， AD=AB=3m，∠DAB =60°，△ACB为直 角三角形，求CE的长 度.
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解：设登到B处，视线BC在C点与地球相切，也就是 看C点，AB就是“楼”的高度，
AC 180 4.5 ， 在Rt△OCB中，∠O OC
OC 6370 OB 6389 km ， cos∠O cos 4.5
∴ AB=OB－OA=6389－6370=19(km).
即这层楼至少要高19km，即1900m. 这是不存在
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3. 一次台风将一棵大树刮断，经测量，大树刮断一端的 着地点A到树根部C的距离为4米，倒下部分AB与地平 面AC的夹角为45°，则这棵大树高是 (4 4 2) 米.
A
4米 C 45° B
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4. 如图，要测量B点到河岸AD的距离，在A点测得 ∠BAD=30°，在C点测得∠BCD=60°，又测得 AC=100米，则B点到河岸AD的距离为 ( B) A. 100米 B. 50 3 米 D. 50米
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1. 解直角三角形 在直角三角形中，除直角外，由已知两元素 (必有 一边) 求其余未知元素的过程叫解直角三角形. 2. 解直角三角形的依据
(1) 三边之间的关系：a2＋b2＝c2（勾股定理）；
∠ A＋ ∠ B＝ 90º ； (2) 两锐角之间的关系： (3) 边角之间的关系： b a ＝ cosA sinA＝ c c a tanA＝ b
∴ CG AG tan 30 3 6 2 3 (米). 3 2 3 +1.5) (米)，
CD 3 2 3 1.5 4 3 (米). ∴ CE sin 60 2
G
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当堂练习
1. 课外活动小组测量学校旗杆的高度. 当太阳光线与 地面成30°角时，测得旗杆在地面上的影长为24米， 那么旗杆的高度约是 (B )
情境引入 高跟鞋深受很多女性的喜爱，但有时候，如果鞋 跟太高，也有可能“喜剧”变“悲剧”.
3
美国人体工程学研究人员卡特 ·克雷加文调查发 现，70％以上的女性喜欢穿鞋跟高度为6至7cm左右的 高跟鞋. 但专家认为穿6cm以上的高跟鞋，腿肚、脚 背等处的肌肉非常容易疲劳. 若某成年人的脚掌长为15cm，鞋跟约在3cm左右 高度为最佳. 据此，可以算出高跟鞋的鞋底与地面的 夹角为11°左右时，人脚的感觉最舒适. 你知道专家是怎样计算 的吗？
FQ是☉O的切线，∠FQO为直角. 最远点 求 PQ 的长，要先求 ∠POQ的度数
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O
Q
解：设∠POQ= α ，∵FQ是☉O 的切线，∴△FOQ是直角三角形.
OQ 6400 ∵cos 0.9491, OF 6400 343
F P
Q
O
∴ 18.36 .
∴PQ 的长为
18.36 18.36 3.142 6400 6400 2051(km). 180 180
200 3 C. 米 3
B
A
C
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5. (1)小华去实验楼做实验, 两幢实验楼的高度AB=CD =20m，两楼间的距离BC=15m，已知太阳光与水平 线的夹角为30°，求南楼的影子在北楼上有多高？ 解：过点E作EF∥BC， ∴∠AFE=90°，FE=BC=15m.
∴AF=FE tan 30 =5 3m.
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C
课堂小结
利用解直角三角形解决实际问题的一般过程：
1. 将实际问题抽象为数学问题；
画出平面图形，转化为解直角三角形的问题 2. 根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等 去解直角三角形；
3. 得到数学问题的答案；
4. 得到实际问题的答案.
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AA 南
D
∴ EC=FB=AB－AF
=(20－5 3) m.
20m
北 E FF 15m ° E
30 30
即南楼的影子在北 楼上的高度为 (20－5 3) m. B
15m
C
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(2) 小华想：若设计时要求北楼的采光，不受南楼的影 响，请问楼间距BC长至少应为多少米?
30
20m
A
D
北
南
?m
B 答案：BC至少为 20 3 m.
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归纳： 利用解直角三角形解决实际问题的一般过程：
1. 将实际问题抽象为数学问题；
画出平面图形，转化为解直角三角形的问题 2. 根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等 去解直角三角形；
3. 得到数学问题的答案；
4. 得到实际问题的答案.
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练一练
“欲穷千里目，更上一层楼”是唐代诗人李白的不 朽诗句. 如果我们想在地球上看到距观测点1000里处 景色，“更上一层楼”中的楼至少有多高呢？存在这样 的楼房吗(设 AC 代表地面，O为地球球心，C是地面上 一点，AC =500km，地球的半径为6370 km，cos4.5°= 0.997)？
第二十八章 锐角三角函数
28.1 锐角三角函数
第1课时 解直角三角形的简单应用
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
1
学习目标
1. 巩固解直角三角形相关知识. (重点)
2. 能从实际问题中构造直角三角形，从而把实际问
题转化为解直角三角形的问题，并能灵活选择三 角函数解决问题(重点、难点)
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导入新课