2023-2024学年高考数学计数原理专项练习题(附答案)

2023-2024学年高考数学计数原理小专题
一、单选题
1．从5名学生中选出4名分别参加A ，B ，C ，D 四科竞赛，其中甲不能参加A ，B 两科竞赛，则不同的参赛方案种数为（ ）A ．24
B ．48
C ．72
D ．120
2．劳动教育是教育制度的重要内容，某校计划组织学生参与各项职业体验，让学生在劳动课程中掌握一定的劳动技能，理解劳动创造价值，培养劳动自立意识和主动服务他人，服务社会的情怀．该校派遣甲、乙、丙、丁、戊五个小组到A 、B 、C 三个街道进行打扫活动，每个街道至少去一个小组，则不同的派遣方案有（ ）A ．140
B ．150
C ．200
D ．220
3．将编号为1、2、3、4、5、6的小球放入编号为1、2、3、4、5、6的六个盒子中，每盒放一球，若有且只有两个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（ ）A ．90
B ．135
C ．270
D ．360
4．如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（ ）A ．48
B ．18
C ．24
D ．36
5．的展开式中的常数项为（ ）()6
3
2122x x x ⎛⎫
+- ⎪
⎝⎭A ．80
B ．160
C ．240
D ．320
6．的二项展开式中，第项的系数是（ ）
()n
x y -m A ．B ．C ．D ．
C m
n 1
C m n +1
C m n
-()1
1
1C m m n
---7．核糖核酸（缩写为RNA ），存在于生物细胞以及部分病毒、类病毒中的遗传信息载体，RNA 由核糖核苷酸经磷酸二酯键缩合而成长链状分子，长链中每一个位置上都被一种称为碱基的化学成分所占据，RNA 的碱基主要有4种，分别用A ，C ，G ，U 表示．在一个RNA 分子中，各种碱基能够以任意次序出现，假设某一RNA 分子由100个碱基组成，则不同的RNA 分子的种数为（ ）A ．B ．C ．D ．4
100
00
4
1100
2
10
4
8．已知，则x 等于（ ）
1
893A 4A x x -=
A ．6
B ．13
C ．6或13
D ．12
二、多选题
9．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，则下列说法错误的是（ ）
A ．若任意选择三门课程，则选法总数为3
7
A B ．若物理和化学至少选一门，则选法总数为1225C C C ．若物理和历史不能同时选，则选法总数为
3175C C -D ．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，则选法总数为
121
255C C C -10．A 、B 、C 、D 、E 五个人并排站在一起，则下列说法正确的有（ ）
A ．若A 、
B 两人站在一起有48种方法B ．若A 、B 不相邻共有12种方法
C ．若A 在B 左边有60种排法
D ．若A 不站在最左边，B 不站最右边，有72种方法
11．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设
a ，
b ，m （m ＞0）为整数，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为
（mod m ）．若，（mod 10），则b 的值可以
a b =01222020
20202020C C 2C 2...C 2a =+⋅+⋅++⋅a b =是（ ）
A ．2011
B ．2012
C ．2020
D ．2021
12．若将函数表示为， 其中
5
()f x x =250125()(1)(1)(1)f x a a x a x a x =+++++++ 为实数，则（ ）
0125,,,,a a a a A ．
B ．
01a =-310a =C ．
D ．
5
1
1
i i a ==∑()5
1
131
i
i i a =-=-∑三、填空题
13．若
，则实数
.
()
2311C A ,2n n n x n n -+++=∈≥N x =14．已知直线方程，若从0、1、2、3、5、7这六个数中每次取两个不同的数分0Ax By +=别作为A 、B 的值，则可表示
条不同的直线．
0Ax By +=15．已知的所有二项式系数之和为64，则
210121(21)n n n
n n x a a x a x a x a x ---=+++⋅⋅⋅++n =，
.
12n a a a ++⋅⋅⋅+=16．化简：
．
021*******
C 3C 3C 3C 3n n n n n n n n ---⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=
答案：1．C
【分析】本题可以先从5人中选出4人，分为有甲参加和无甲参加两种情况，若有甲参加先将甲安排参加C 、D 科目，然后安排其它学生，通过分步乘法和分类加法原理，得到本题的结论
【详解】从5名学生中选出4名分别参加A ，B ，C ，D 四科竞赛，其中甲不能参加A ，B 两科竞赛，可分为以下几步：
（1）先从5人中选出4人，分为两种情况：有甲参加和无甲参加．
有甲参加时，选法有：种；
34C 4=无甲参加时，选法有：种．
4
4C 1=（2）安排科目
有甲参加时，先排甲，再排其它人．排法有：种．
1323A A 12=无甲参加时，排法有种．
44
A 24=综上，．⨯+⨯=41212472∴不同的参赛方案种数为72．故选：C ．2．B
【分析】分成两种情况，分别对每种情况单独讨论即可.
【详解】当按照进行分配时，则有种不同方案，311::3353
C A 60=当按照进行分配时，则有种不同方案，
221::213
45
32
2C C A 90A =故共有不同的方案，150故选:B 3．B
【分析】根据题意和简单计数问题，结合分步乘法计数原理即可求解.
【详解】在6个盒子中任选2个，放入与其编号相同的小球，有
种，2615C =剩下的4个盒子的编号与放入的小球编号不同，
假设这4个盒子的编号为3,4,5,6，
则3号小球可以放进4,5,6号盒子，有3种选法，剩下的3个小球放进剩下的3个盒子，有3种选法，所以不同的放法种数为种选法.1533135⨯⨯=故选：B.4．D
【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理列式计算作答.【详解】正方体的两个顶点确定的直线有棱、面对角线、体对角线，
对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有（个）21224⨯=；
对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个，
不存在四个顶点确定的平面与体对角线垂直，所以正方体中“正交线面对”共有（个）.241236+=故选：D 5．D
【分析】首先写出展开式的通项，原式化为从而求出6
212x x ⎛⎫- ⎪
⎝
⎭6
6
32212122x x x x x ⋅+⎛⎫⎛
⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭展开式的常数项.
【详解】因为展开式的通项为，
6
212x x ⎛⎫- ⎪
⎝
⎭()()6663166
21C 212C r
r
r
r
r r r
r T x x x ---+⎛⎫
=-=- ⎪⎝⎭
又因为
，()6
6
6
3322211122222x x x x x x x x ⎛⎫⎛
⎫⎛⎫+--- ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⋅⎭=+所以
展开式中常数项为．()6
3
2122x x x ⎛⎫+- ⎪
⎝⎭22623363662C (1)2C (1)2320--⨯-+-=故选：D ．6．D
【分析】利用二项式展开式的通项公式，得出结论．
【详解】的二项展开式中，第项为，()n x y -m 11
11C (1)m n m m m m n T x
y --+--=⋅⋅-⋅
故该项的系数为，
1
1(1)C m m n ---⋅故选：D ．7．B
【分析】利用分步乘法计数原理即可求解.
【详解】由100个碱基组成的长链共有100个位置，从A ，C ，G ，U 中任选1个依次填入这100个位置中，每个位置都有4种填充方法，
根据分步乘法计数原理，可得不同的RNA 分子的种数为．
100
4故选：B 8．A
【分析】根据排列数公式，化简计算，结合x 的范围，即可得答案.
【详解】由题意得
，
8!9!
34(8)!(10)!x x ⨯
=⨯
--化简可得
，解得或6，
9
34(10)(9)x x =⨯
--13x =因为，所以且，故.819x x ≤⎧⎨-≤⎩8x ≤*
x ∈N 6x =故选：A.9．ABD
【分析】根据排列和组合的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A 选项，若任意选择三门课程，则选法总数为，所以A 选项错误.
3
7C B 选项，若物理和化学至少选一门，则选法总数为
，所以B 选项错误.12212525C C C C +C 选项，若物理和历史不能同时选，则选法总数为，所以C 选项正确.321725C C C -D 选项，只选物理、不选化学和历史，选法为；
2
4C =6只选化学、不选物理，选法为；物理化学同时选、不选历史，选法为.2
5C =1014C =4所以选法总数是
，所以D 选项错误.121
25520C C C =15≠-故选：ABD 10．AC
【分析】对于A ：利用捆绑法，结合排列数运算求解；对于B ：利用间接法，在总体中排除
A 、
B 两人站在一起的情况；对于
C ：根据对称性分析求解；对于
D ：利用间接法，结合组合数运算求解.
【详解】对于选项A ：若A 、B 两人站在一起，则有种方法，故A 正确；
2424
A A 48=对于选项
B ：A 、B 、
C 、
D 、
E 五个人并排站在一起，则有种方法，
55A 120=所以A 、B 不相邻共有种方法，故B 错误；
1204872-=对于选项C ：根据对称可知A 在B 左边有种排法，故C 正确；
120
602=对于选项D ：A 站在最左边，则有种方法，
4
4A 24=B 站最右边，则有种方法，
44
A 24=A 站在最左边，
B 站最右边，则有种方法，
33
A 6=所以A 不站在最左边，
B 不站最右边，有种方法，故D 错误.1202424678--+=故选：A
C 11．AD
【分析】对变形为，得到其被10除得的余数为
a 1001099
0010(101)C 10Cl 10C 101a =-=-+⋯-+1，即可得到答案.
【详解】
，2020101001099
0010(12)39(101)C 10Cl 10C 101a =+===-=-+⋯-+ ∴被10除得的余数为1，而2011与2021被10除得的余数是1，故选：AD ．12．ABCD
【分析】根据条件，通过换元得到，对于选项ACD ，通过赋
525
0125(1)t a a t a t a t -=++++ 值即可得判断出相应选项的正误；对于选项B ，利用展开式的通项公式为
5
(1)t -，即可求出，从而判断出选项B 正确.515C (1),(05,N )r r
r r T t r r -*+=-≤≤∈310a =【详解】因为，525
0125(1)(1)(1)x a a x a x a x =+++++++ 令，得到，
1x t +=525
0125(1)t a a t a t a t -=++++ 选项A ，令，得到，所以选项A 正确；0=t 01a =-选项B ，因为展开式的通项公式为
，
5
(1)t -515C (1),(05,N )r r
r r T t r r -*+=-≤≤∈
令，得到，所以，故选项B 正确；
2r =233
35C 10T t t ==310a =选项C ，令，得到
，又，所以
，故选项C 正确；
1t =5
01
i i a a =+=∑01a =-5
1
1
i
i a
==∑选项D ，令，得到
，又，所以
1t =-()15
1
5
023450(2)1i
i
i a a a a a a a a =-=-+-+--=+∑01a =-.
()5
1
131
i
i
i a
=-=-∑故选：ABCD.13．6
【分析】利用排列数与组合数的关系、组合数性质求解即得.【详解】依题意，
，又，
2311C C n n n -++=333
113A C A n n ++=因此，而，333113C C A n n x ++=3
1
C 1n +≥所以
.33A 6x ==故614．22
【分析】根据分类加法计数原理，分情况计算可得答案.
【详解】当时，可表示1条直线；当时，可表示1条直线；0A =0B =当时，A 有5种选法，B 有4种选法，可表示条不同的直线．0AB ≠5420⨯=由分类加法计数原理，知共可表示条不同的直线．112022++=故2215．
6
【分析】利用二项式系数和公式求出，再利用赋值法求解系数和即可.6n =【详解】因为的所有二项式系数之和为64，所以
210121(21)n n n n n x a a x a x a x a x ---=+++⋅⋅⋅++，
264n =所以，令，
，所以，6n =1x =6
0126(21)a a a a -=+++⋅⋅⋅+01261a a a a +++⋅⋅⋅+=令，，即，所以.
0x =6
0(01)a -=01a =12601110a a a a ++⋅⋅⋅+=-=-=故；.
6016．101
n
-
【分析】逆用二项式定理结合已知条件求解
【详解】
021*******C 3C 3C 3C 3n n n n n n n n ---⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅()()()()()(
)12
100
0212221
222C 3C 3C 3C 3C 3C 3n n n n n n n n n n n n ---=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅-⋅2(31)1
n =+-，
101n =-故101
n
-。