1492_高中数学习题：必修一 3.1.3函数的奇偶性 第1课时 函数的奇偶性课时作业(新人教B版)

第1课时函数的奇偶性
必备知识基础练
1．下列函数中是奇函数的为(
)A．y ＝x －1
B．y ＝x 2C．y ＝|x |D．y ＝x
2．函数y ＝|x －4|－49－x
2的奇偶性是()A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
3．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x <0时，f (x )＝x 3，则f (2)的值是(
)A．8B．－8
C．18D．－184．函数y ＝|x －1|的图象是(
)
5．若函数f (x )＝(a ＋x )·(2－x )(a ∈R )是偶函数，则a ＝________，值域为________．
6．判断下列函数的奇偶性：
(1)f (x )＝1x －1
；(2)f (x )＝－3x 2＋1；
(3)f (x )＝1－x ·1＋x |x ＋2|－2
；
(4)f (x ＋1，x >0，
x ＝0，
x ＋1，x <0.
关键能力综合练
7．(多选)已知定义在区间[－7，7]上的一个偶函数，在[0，7]上的图象如图所示，则下列说法正确的是()
A.这个函数有两个单调增区间
B．这个函数有三个单调减区间
C．这个函数在其定义域内有最大值7
D．这个函数在其定义域内有最小值－7
8．下列函数既是奇函数又是增函数的是()
A．y＝－x2＋1B．y＝1－x 1＋x
C．y＝－1
x
D．y＝x|x|
9.(多选)下列四个选项中不正确的是()
A．偶函数的图象一定与y轴相交
B．奇函数的图象在[a，b]，[－b，－a]上的单调性一定相同
C．偶函数的图象关于y轴对称
D．奇函数y＝f(x)(x∈R)的图象必过(－a，f(a))
10.
设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，当x∈[0，5]时，函数y＝f(x)的图象如图所示，则使函数值y＜0的解集为()
A．(2，5)B．(－5，－2)∪(2，5)
C．(－2，0)D．(－2，0)∪(2，5)
11．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c是定义在[2b－5，2b－3]上的奇函数，则f(1
2
)的
值为()
A．13
B．98C．1D．无法确定
12．已知f (x )＝x 7－ax 5＋bx 3＋cx ＋2，若f (－3)＝－3，则f (3)＝________．
核心素养升级练
13．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2
＋1，则f (1)＋g (1)＝________．
14．函数f (x )＝ax ＋b x 2＋1是定义在(－1，1)上的奇函数，且f (12)＝85
.(1)求函数f (x )的解析式；
(2)用定义证明f (x )在(－1，1)上是增函数；第1课时函数的奇偶性
必备知识基础练
1．解析：对于A 选项，函数y ＝x －1为非奇非偶函数；对于B 选项，函数y ＝x 2
为偶函数；对于C 选项，函数y ＝|x |的定义域为R ，且|－x |＝|x |，函数y ＝|x |为偶函数；对于D 选项，函数y ＝x 为奇函数．
答案：D
2．解析：由9－x 2>0可得－3<x <3，所以x －4<0，
令f (x )＝|x －4|－49－x 2，则f (x )＝4－x －49－x 2＝－x 9－x 2，f (－x )＝x
9－x 2＝－f (x )，
所以函数y ＝
|x －4|－49－x 2是奇函数．
答案：A 3．解析：因为函数f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (2)＝f (－2)＝(－2)3
＝－8.答案：B
4．解析：根据函数的定义域为{x|x≠0}可知选项B，选项C不正确；根据函数y＝|x－1|的值恒正，可知选项D不正确．
答案：A
5．解析：f(x)＝(a＋x)(2－x)＝－x2＋(2－a)x＋2a，定义域为R，f(－x)＝－x2－(2－a)x＋2a，
因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，
所以2－a＝0，即a＝2，
f(x)＝－x2＋4，因为－x2≤0，所以－x2＋4≤4.即值域为(－∞，4].
答案：2(－∞，4]
6．解析：(1)f(x)＝1
x－1
的定义域是(－∞，1)∪(1，＋∞)，不关于原点对称，所以为非奇非偶函数．
(2)f(x)＝－3x2＋1的定义域是R，f(－x)＝f(x)，
所以f(x)为偶函数．
(3)f(x)＝1－x·1＋x
|x＋2|－2
的定义域是[－1，0)∪(0，1]，
所以解析式可化简为f(x)＝1－x·1＋x
x
，满足f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函
数．
(4)函数的定义域为R，
当x>0时，－x<0，则f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1＝f(x)，
当x＝0时，f(－x)＝f(x)＝1，
当x<0时，－x>0，f(－x)＝－x＋1＝f(x)，
综上，对任意x∈R，都有f(－x)＝f(x)，
所以f(x)为偶函数．
关键能力综合练
7．解析：根据偶函数在[0，7]上的图象及其对称性，作出其在[－7，7]上的图象，如图所示，由图象可知这个函数有三个单调增区间，有三个单调减区间，在其定义域内有最大值7，最小值不是－7.
答案：BC
8．解析：函数y ＝－x 2＋1为偶函数，故A 错误；函数y ＝1－x 1＋x
的定义域为{x |x ≠－1}，所以该函数为非奇非偶函数，故B 错误；函数y ＝－1x
在整个定义域内不单调，故C 错误；
函数y ＝x |x 2，x ≥0x 2，x <0，所以该函数为奇函数且单调递增，故D 正确．答案：D
9．解析：偶函数的图象一定关于y 轴对称，但不一定与y 轴相交，例如，函数f (x )＝x 0，其定义域为{x |x ≠0}，故其图象与y 轴不相交，但f (x )＝x 0＝1(x ≠0)是偶函数，从而可知A 是错误的，C 是正确的．奇函数的图象关于原点对称，若在[a ，b ]内单调递增(单调递减)，则在[－b ，－a ]内也为单调递增(单调递减)，故B 正确．若点(a ，f (a ))在奇函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象上，则点(－a ，－f (a ))也在其图象上，故D 是错误的．
答案：AD
10．解析：因为原函数是奇函数，所以y ＝f (x )在[－5，5]上的图象关于坐标原点对称，由y ＝f (x )在[0，5]上的图象，知它在[－5，0]上的图象，如图所示，由图象知，使函数值y <0的解集为(－2，0)∪(2，5).
答案：D
11．解析：由题意可知2b －5＋2b －3＝0，即b ＝2.
又f (x )是奇函数，故f (－x )＋f (x )＝0，
所以2ax 2
＋2c ＝0对任意x 都成立，则a ＝c ＝0，
所以f (x )＝x 3＋2x ，
所以f (12)＝18＋2×12＝18＋1＝98
.答案：B
12．解析：令g (x )＝x 7－ax 5＋bx 3＋cx ，则g (x )是奇函数，
∴f (－3)＝g (－3)＋2＝－g (3)＋2，又f (－3)＝－3，
∴g (3)＝5，
又f(3)＝g(3)＋2，
所以f(3)＝5＋2＝7.
答案：7
核心素养升级练
13．解析：在f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1中，令x＝－1，得f(－1)－g(－1)＝1，
又f(－1)＝f(1)，g(－1)＝－g(1)，
∴f(1)＋g(1)＝1.
答案：1
（0）＝b＝0，
（
1
2
）＝
1
2
a＋b
1
4
＋1
＝
8
5
，
＝4，
＝0，
f(x)＝
4x
x2＋1
，
此时f(－x)＝
－4x
x2＋1
＝－f(x)，满足题意，
所以f(x)＝
4x
x2＋1
.
(2)证明：任取x
1
x
2
∈(－1，1)且x
1
<x
2
，
f(x
1
)－f(x
2
)＝
4x
1
x2
1
＋1
－
4x
2
x2
2
＋1
＝
4（x
2
－x
1
）（x
1
x
2
－1）
（x2
1
＋1）（x2
2
＋1）
.
因为－1<x
1
<x
2
<1，
所以x
2
－x
1
>0，x
1
x
2
－1<0，
(x
2
1
＋1)(x
2
2
＋1)>0，
所以f(x
1
)－f(x
2
)<0，
即f(x
1
)<f(x
2
)，
所以f(x)在(－1，1)上是增函数．。