数列通项、数列前n项和的求法例题+练习

通项公式和前n 项和
一、新课讲授： 求数列前N 项和的方法 1. 公式法
〔1〕等差数列前n 项和：
11()(1)
22
n n n a a n n S na d ++=
=+ 特别的，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+，即前n 项和为中间项乘以项数。

这个公式在很多时候可以简化运算。

〔2〕等比数列前n 项和： q=1时，1n S na =
(
)1111n n a q q S q
-≠=
-，，特别要注意对公比的讨论。

〔3〕其他公式较常见公式：
1、)1(211+==∑=n n k S n
k n 2、)12)(1(611
2
++==∑=n n n k S n
k n
3、21
3)]1(21[+==
∑=n n k S n
k n [例1] 3
log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n
x x x x 32的前n 项和.
[例2] 设S n ＝1+2+3+…+n，n ∈N *,求1
)32()(++=n n
S n S n f 的最大值.
2. 错位相减法
这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.
[例3]求和：1
32)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①
[例4] 求数列
⋅⋅⋅⋅⋅⋅,2
2,,26,24,2232n n
前n 项的和. 练习：
求：S n =1+5x+9x 2+······+(4n -3)x n-1
答案：
当x=1时，S n =1+5+9+······+〔4n-3〕=2n 2-n 当x ≠1时，S n =
1 1-x [ 4x(1-x n ) 1-x +1-〔4n-3〕x
n
]
3. 倒序相加法求和
这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列〔反序〕，再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.
[例5] 求
89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 2
2
2
2
2++⋅⋅⋅+++的值
4. 分组法求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，假设将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例6] 求数列的前n 项和：231
,,71,41,
1112-+⋅⋅⋅+++-n a
a a n ，…
练习：求数列•••+•••),21
(,,81
3,41
2,21
1n n 的前n 项和。

5. 裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项〔通项〕分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终到达求和的目的. 通项分解〔裂项〕如：
〔1〕)()1(n f n f a n -+= 〔2〕
n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ 〔3〕1
1
1)1(1+-=+=n n n n a n 〔4〕)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=
n n n n n a n 〔5〕])
2)(1(1
)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=
n n n n n n n a n
(6) n
n
n n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(1
1,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=
-则 [例9] 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,1
1,
,3
21,
2
11n n 的前n 项和.
[例10] 在数列{a n }中，1
1211++
⋅⋅⋅++++=n n
n n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.
[例11] 求证：
1
sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+⋅⋅⋅++ 解：设
89cos 88cos 1
2cos 1cos 11cos 0cos 1+
⋅⋅⋅++=
S ∵
n n n n tan )1tan()
1cos(cos 1sin -+=+〔裂项〕 ∴
89cos 88cos 1
2cos 1cos 11cos 0cos 1+
⋅⋅⋅++=
S 〔裂项求和〕 ＝]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1
sin 1
-+-+-+- ＝)0tan 89(tan 1sin 1 -＝
1cot 1
sin 1⋅＝ 1sin 1cos 2 ∴ 原等式成立
练习：求63135115131+
++之和。

6. 合并法求和
针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .
[例12]求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.
[例14] 在各项均为正数的等比数列中，假设103231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求的值.
7. 利用数列的通项求和
先根据数列的构造及特征进展分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项提醒的规律来求数列的前n 项和，是一个重要的方法.
[例15] 求
1
1111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++之和.
练习：求5，55，555，…，的前n 项和。

以上一个7种方法虽然各有其特点，但总的原那么是要善于改变原数列的形式构造，使其能进展消项处理或能使用等差数列或等比数列的求和公式以及其它的根本求和公式来解决，只要很好地把握这一规律，就能使数列求和化难为易，迎刃而解。

求数列通项公式的八种方法
一、公式法〔定义法〕
根据等差数列、等比数列的定义求通项 二、累加、累乘法
1、累加法 适用于：1()n n a a f n +=+
假设1()n n a a f n +-=(2)n ≥，那么
21321(1)
(2) ()
n n a a f a a f a a f n +-=-=-=
两边分别相加得 111
()n
n k a a f n +=-=
∑
例1 数列{}n a 满足1121
1n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+那么
11232211
2
()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1
2[(1)(2)21](1)1
(1)2(1)1
2
(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-++
+⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++=
所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。

例2 数列{}n a 满足112313n
n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

解法一：由1231n n n a a +=+⨯+得1231n
n n a a +-=⨯+那么
11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)3
2(3333)(1)3
3(13)2(1)3
13
331331
n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=⨯++⨯+++⨯++⨯++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+-
所以3 1.n
n a n =+-
解法二：13231n n n a a +=+⨯+两边除以1
3n +，得
111
21
3333
n n n n n a a +++=++， 那么
111
21
3333n n n n n a a +++-=+，故 11223
211
223
2111122122()()()(
)33333333
212121213
()()()()3333333332(1)11111()1
333333
n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a n --------------=-+-+-++-+=+++++++++-=+++++++
因此11
(13)2(1)211
3133133223
n n n n n
a n n ---=++=+--⨯， 那么211
33.322
n n n a n =
⨯⨯+⨯- 2、累乘法 适用于： 1()n n a f n a +=
假设
1()n n a f n a +=，那么31212(1)(2)()n n
a a
a
f f f n a a a +===，，， 两边分别相乘得，1
11
1()n
n k a a f k a +==⋅∏
例3 数列{}n a 满足112(1)53n
n n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：因为112(1)53n
n n a n a a +=+⨯=，，所以0n a ≠，那么
1
2(1)5n n n
a n a +=+，故
1
32
112
21
12211(1)(2)21
(1)1
2
[2(11)5][2(21)5][2(21)5][2(11)5]32[(1)32]53
32
5
!
n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n -------+-+++--=
⋅⋅⋅
⋅⋅=-+-+⋅⋅+⨯+⨯⨯=-⋅⋅⨯⨯⨯=⨯⨯⨯
所以数列{}n a 的通项公式为(1)1
2
32
5
!.n n n n a n --=⨯⨯⨯
三、待定系数法 适用于1()n n a qa f n +=+
分析：通过凑配可转化为1121()[()]n n a f n a f n λλλ++=+; 解题根本步骤： 1、确定()f n
2、设等比数列{}1()n a f n λ+，公比为2λ
3、列出关系式1121()[()]n n a f n a f n λλλ++=+
4、比拟系数求1λ，2λ
5、解得数列{}1()n a f n λ+的通项公式
6、解得数列{}n a 的通项公式
例4 数列{}n a 中，111,21(2)n n a a a n -==+≥，求数列{}n a 的通项公式。

解法一：
121(2),n n a a n -=+≥
112(1)n n a a -∴+=+
又
{}112,1n a a +=∴+是首项为2，公比为2的等比数列
12n n a ∴+=，即21n n a =-
解法二：
121(2),n n a a n -=+≥
121n n a a +∴=+
两式相减得112()(2)n n n n a a a a n +--=-≥，故数列{}1n n a a +-是首项为2，公比为2的等比
数列，再用累加法的……
例5 数列{}n a 满足1
112431n n n a a a -+=+⋅=，，求数列{}n a 的通项公式。

解法一：设1
1123(3n n n n a a λλλ-++=+⋅)，比拟系数得124,2λλ=-=，
那么数列{}
143n n a --⋅是首项为11
143
5a --⋅=-，公比为2的等比数列，
所以114352n n n a ---⋅=-⋅，即11
4352n n n a --=⋅-⋅
解法二： 两边同时除以1
3
n +得：
112
24
3333n n n n a a ++=⋅+，下面解法略 注意：例6 数列{}n a 满足2
1123451n n a a n n a +=+++=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：设22
1(1)(1)2()n n a x n y n z a xn yn z ++++++=+++
比拟系数得3,10,18x y z ===，
所以22
13(1)10(1)182(31018)n n a n n a n n ++++++=+++
由213110118131320a +⨯+⨯+=+=≠，得2
310180n a n n +++≠
那么212
3(1)10(1)18231018
n n a n n a n n ++++++=+++，故数列2
{31018}n a n n +++为以21311011813132a +⨯+⨯+=+=为首项，以2为公比的等比数列，因此2131018322n n a n n -+++=⨯，那么42231018n n a n n +=---。

注意：形如21 n n n a pa qa ++=+时将n a 作为()f n 求解
分析：原递推式可化为211()() n n n n a a p a a λλλ++++=++的形式，比拟系数可求得λ，数列
{}1n n a a λ++为等比数列。

例7 数列{}n a 满足211256,1,2n n n a a a a a ++=-=-=，求数列{}n a 的通项公式。

解：设211(5)()n n n n a a a a λλλ++++=++ 比拟系数得3λ=-或2λ=-，不妨取2λ=-，
那么21123(2)n n n n a a a a +++-=-，那么{}12n n a a +-是首项为4，公比为3的等比数列
11243n n n a a -+∴-=⋅，所以114352n n n a --=⋅-⋅
四、迭代法
例8 数列{}n a 满足3(1)2
115n
n n n a a a ++==，，求数列{}n a 的通项公式。

解：因为3(1)21n
n n n a a ++=，所以
1
21
2(2)(1)
3
2
(2)(1)
3
(3)(2)(1)
112(3)(32
3(1)2
323(1)2
1
2
2
3(2)2
3(1)23
3(2)(1)23
323
(2)(1)21
[] [] n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a
----+---+--+-+--++
+-+⋅-⋅⋅-⋅⋅----⋅-⋅⋅---⋅-⋅⋅-⋅-⋅⋅=======2)(1)
(1)1
2
3
!21 n n n n n a -+---⋅⋅=
又15a =，所以数列{}n a 的通项公式为(1)1
2
3
!25n n n n n a --⋅⋅=。

注：此题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。

五、变性转化法
1、对数变换法 适用于指数关系的递推公式
例9 数列{}n a 满足5
123n n n a a +=⨯⨯，17a =，求数列{}n a 的通项公式。

解：因为5
11237n n n a a a +=⨯⨯=，，所以100n n a a +>>，。

两边取常用对数得1lg 5lg lg3lg 2n n a a n +=++ 设1lg (1)5(lg )n n a x n y a xn y ++++=++
〔同类型四〕
比拟系数得，lg3lg3lg 2
,4164
x y ==+
由1lg3lg3lg 2lg3lg3lg 2lg 1lg 71041644164a +
⨯++=+⨯++≠，得lg3lg3lg 2lg 04164
n a n +++≠， 所以数列lg3lg3lg 2{lg }4164
n a n +
++是以lg3lg3lg 2
lg 74164+
++为首项，以5为公比的等比数列，那么1
lg3lg3lg 2lg3lg3lg 2lg (lg 7)541644164
n n a n -+++=+++，因此
111111111
16
164
4
44
1111
15
1616
444
4
541515116
4
lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2
lg (lg 7)54164464
[lg(7332)]5lg(332)
lg(7332)lg(332)lg(73
2
)
n n n n n n n n n n a n --------=+
++---=⋅⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅
那么11
54151516
4
732
n n n n n a -----=⨯⨯。

2、倒数变换法 适用于分式关系的递推公式，分子只有一项 例10 数列{}n a 满足112,12
n
n n a a a a +=
=+，求数列{}n a 的通项公式。

解：求倒数得
11111111111,,22n n n n n n a a a a a a +++⎧⎫=+∴-=∴-⎨⎬⎩⎭为等差数列，首项1
11a =，公差为12，
112
(1),21
n n n a a n ∴
=+∴=+ 3、换元法 适用于含根式的递推关系 例11 数列{}n a
满足111
(14116
n n a a a +=
+=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：令n b =2
1(1)24
n n a b =-
代入11
(1416
n n a a +=
+得 22
1111(1)[14(1)]241624
n n n b b b +-=+-+ 即2214(3)n n
b b +=+
因为0n b =≥， 那么123n n b b +=+，即11322
n n b b +=+， 可化为11
3(3)2
n n b b +-=
-， 所以{3}n b -
是以13332b -===为首项，以
2
1
为公比的等比数列，因此121132()()22
n n n b ---==，那么21()32n n b -=+
21
()32n -=+，得
2111
()()3423
n n n a =++。

六、数学归纳法 通过首项和递推关系式求出数列的前n 项，猜出数列的通项公式，再用数学归纳法
加以证明。

例12 数列{}n a 满足11
228(1)8
(21)(23)9
n n n a a a n n ++=+
=++，，求数列{}n a 的通项公式。

解：由1228(1)(21)(23)n n n a a n n ++=+
++及1
8
9
a =，得 2122322243228(11)88224
(211)(213)992525
8(21)248348
(221)(223)25254949
8(31)488480
(231)(233)49498181a a a a a a +⨯=+
=+=
⨯+⨯+⨯+⨯=+=+=⨯+⨯+⨯+⨯=+=+=
⨯+⨯+⨯
由此可猜想22
(21)1
(21)n n a n +-=+，下面用数学归纳法证明这个结论。

〔1〕当1n =时，212(211)18
(211)9
a ⨯+-==⨯+，所以等式成立。

〔2〕假设当n k =时等式成立，即22
(21)1
(21)
k k a k +-=+，那么当1n k =+时，
122
2222222
222222
8(1)(21)(23)[(21)1](23)8(1) (21)(23)(21)(23)(21) (21)(23)(23)1 (23)[2(1)1]1 [2(1)1]k k k a a k k k k k k k k k k k k k k k k ++=+
+++-+++=
++++-+=
+++-=
+++-=
++
由此可知，当1n k =+时等式也成立。

根据〔1〕，〔2〕可知，等式对任何*
n N ∈都成立。

七、阶差法
1、递推公式中既有n S ，又有n a
分析：把关系通过11,1,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩转化为数列{}n a 或n S 的递推关系，然后采用相应的方法求
解。

例13 数列{}n a 的各项均为正数，且前n 项和n S 满足1
(1)(2)6
n n n S a a =++，且249,,a a a 成等比数列，求数列{}n a 的通项公式。

解：∵对任意n N +
∈有1
(1)(2)6
n n n S a a =
++⑴ ∴当n=1时，11111
(1)(2)6
S a a a ==++，解得11a =或12a = 当n ≥2时，1111
(1)(2)6
n n n S a a ---=
++⑵ ⑴-⑵整理得：11()(3)0n n n n a a a a --+--= ∵{}n a 各项均为正数，∴13n n a a --=
当11a =时，32n a n =-，此时2
429a a a =成立
当12a =时，31n a n =-，此时2
429a a a =不成立，故12a =舍去
所以32n a n =- 2、对无穷递推数列
例14 数列{}n a 满足112311
23(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥，，求{}n a 的通项公式。

解：因为123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥① 所以1123123(1)n n n a a a a n a na +-=+++
+-+②
用②式－①式得1.n n n a a na +-= 那么1(1)(2)n n a n a n +=+≥
故
1
1(2)n n
a n n a +=+≥ 所以1
3
22212
2
!
[(1)43].2
n n n n n a a a n a a n n a a a a a ---=
⋅⋅⋅
⋅=-⋅⋅⨯=
③ 由123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥，21222n a a a ==+取得，那么21a a =，又知11a =，
那么21a =，代入③得!13452
n n a n =⋅⋅⋅⋅⋅=。

所以，{}n a 的通项公式为!.2
n n a = 八、不动点法
不动点的定义：函数()f x 的定义域为D ，假设存在0()f x x D ∈，使00()f x x =成立，那么称0
x 为()f x 的不动点或称00(,())x f x 为函数()f x 的不动点。

分析：由()f x x =求出不动点0x ，在递推公式两边同时减去0x ，在变形求解。

类型一：形如1 n n a qa d +=+
例 15 数列{}n a 中，111,21(2)n n a a a n -==+≥，求数列{}n a 的通项公式。

解：递推关系是对应得递归函数为()21f x x =+，由()f x x =得，不动点为-1
∴112(1)n n a a ++=+，…… 类型二：形如1n n n a a b
a c a d
+⋅+=
⋅+
分析：递归函数为()a x b
f x c x d
⋅+=
⋅+
〔1〕假设有两个相异的不动点p,q 时，将递归关系式两边分别减去不动点p,q ，再将两式相除得
11n n n n a p a p k a q a q ++--=⋅--，其中a pc k a qc -=-，∴111111()()
()()
n n n a q pq k a p pq a a p k a q -----=---
〔2〕假设有两个一样的不动点p ，那么将递归关系式两边减去不动点p ，然后用1除，得
111n n k a p a p +=+--，其中2c
k a d
=+。

例16 数列{}n a 满足112124
441
n n n a a a a +-=
=+，，求数列{}n a 的通项公式。

解：令212441x x x -=
+，得2
420240x x -+=，那么1223x x ==，是函数2124()41
x f x x -=+的两个不
动点。

因为
112124
2
24121242(41)13262
132124321243(41)92793341
n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a ++---+--+--====----+---+。

所以数列23n n a a ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是以
112422343a a --==--为首项，以913
为公比的等比数列，故12132()39
n n n a a --=-，那么11313
2()19
n n a -=
+-。