中考数学全真模拟考试(word版含答案)

中 考 仿 真 模 拟 测 试
数 学 试 卷
学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________
满分：120分 测试时间：120
分钟
一．选择题（共8小题,满分16分,每小题2分） 1．（2分）3倒数等于（ ） A ．3
B ．1
3
C ．﹣3
D ．−13
2．（2分）某校篮球队有12名队员,队员的年龄情况统计如下：
年龄/岁 13 14 15 16 人数
2
4
3
3
则这12名队员年龄的中位数和众数分别是（ ） A ．14,15
B ．14.5,14
C ．14,14
D ．14.5,15
3．（2分）下列运算中,计算结果正确的是（ ） A ．3（A ﹣1）＝3A ﹣1 B ．（A +B ）2＝A 2+B 2 C ．A 6÷A 3＝A 2
D ．（3A 3）2＝9A 6
4．（2分）下列平面图形经过折叠不能围成一个正方体的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．（2分）方程2x 2﹣8x ﹣1＝0的解的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．没有实数根
C ．有两个相等的实数根
D ．有一个实数根
6．（2分）对于函数y ＝﹣2x +1,下列结论正确的是（ ） A ．y 值随x 值的增大而增大
B ．它的图象与x 轴交点坐标为（0,1）
C ．它的图象必经过点（﹣1,3）
D ．它的图象经过第一、二、三象限
7．（2分）在矩形A B C D 中,E 是B C 边的中点,A E ⊥B D ,垂足为点F ,则tA n ∠A ED 的值是（ ）
A ．
√6
3
B ．
2√6
3
C ．2√3
D ．2√2
8．（2分）如图1,有一张矩形纸片A B C D ,已知A B ＝10,A D ＝12,现将纸片进行如下操作：现将纸片沿折痕B F 进行折叠,使点A 落在B C 边上的点E 处,点F 在A D 上（如图2）；然后将纸片沿折痕D H 进行第二次折叠,使点C 落在第一次的折痕B F 上的点G 处,点H 在B C 上（如图3）,给出四个结论：①A F 的长为10；②△B GH 的周长为18；③
BG GF
=2
3
；④GH 的长为5,其中正确的结论有（ ）
A ．①②③
B ．①②④
C ．①③④
D ．②③④
二．填空题（共10小题,满分20分,每小题2分） 9．（2分）如果|x ﹣1|＝2,那么x 的值是 ．
10．（2分）函数y =√x −3+√5−x 中,自变量x 的取值范围是 ．
11．（2分）近年来,我国5G 发展取得明显成效,截至2020年9月底,全国建设开通5G 基站超510000个,将数据510000用科学记数法可表示为 ．
12．（2分）如图,点A 、B 分别在x 轴和y 轴上,OA ＝1,OB ＝2,若将线段A B 平移至A 'B ',则A +B 的值为 ．
13．（2分）计算2
m−2+
m
2−m
的结果是．
14．（2分）因式分解：A 3﹣9A ＝．
15．（2分）如图,在▱A B C D 中,过A ,B ,C 三点的圆交A D 于E,且与C D 相切,若A B ＝4,B E＝5,则D E的长为．
16．（2分）如图,在△A B C 中,C A ＝C B ,∠A C B ＝90°,A B ＝2,点D 为A B 的中点,以点D 为圆心作圆心角为90°的扇形D EF,点C 恰在弧EF上,则图中阴影部分的面积为．
17．（2分）已知如图,在正方形A B C D 中,A D ＝4,E,F分别是C D ,B C 上的一点,且∠EA F＝45°,EC ＝1,将△
A D E绕点A 沿顺时针方向旋转90°后与△A
B G重合,连接EF,过点B 作B M∥A G,交A F于点M,则S△MB F
＝．
18．（2分）如图,菱形A B C D 的边A D ⊥y轴,垂足为点E,顶点A 在第二象限,顶点B 在y轴的正半轴上,反比例
函数y=k
x（k≠0,x＞0）的图象经过顶点C 、D ,若点C 的横坐标为5,B E＝3D E,则k的值为．
三．解答题（共10小题,满分84分）
19．（8分）计算：
（1）4sin60°−√12−（
1
2
）﹣1；（2）（A ﹣2B ）（A +2B ）﹣（A ﹣2B ）2
20．（6分）解不等式组：{
4(x+1)≤7x+13①
x−8
3＞x−4②
,并把解集在数轴上表示出来,并写出它的所有负整数解．
21．（8分）如图,△EB F为等腰直角三角形,点B 为直角顶点,四边形A B C D 是正方形．
（1）求证：△A B E≌△C B F；
（2）C F与A E有什么特殊的位置关系？请证明你的结论．
22．（8分）为了了解某地区初二学生课余时间活动安排情况,现对学生课余时间活动安排进行调查,根据调查的部
分数据绘制成如图所示的扇形统计图和条形统计图（均不完整）,请根据图中所给信息解答下列问题：
（1）求调查中,一共抽查了多少名初二同学？
（2）求所调查的初二学生课余时间用于安排“读书”活动人数,并补全条形统计图；
（3）如果该地区现有初二学生12000人,那么利用课余时间参加“体育”锻炼活动的大约有多少人？
23．（8分）数学课上,李老师准备了四张背面都一样的卡片A 、B 、C 、D ,每张卡片的正面标有字母A 、B 、
C 表示三条线段（如图）．把四张卡片背面朝上放在桌面上,李老师从这四张卡片中随机抽取一张卡片后不放回,
再随机抽取一张．
（1）李老师随机抽取一张卡片,抽到卡片B 的概率等于；
（2）求李老师抽取的两张卡片中每张卡片上的三条线段都能组成三角形的概率．
24．（8分）5月18日,我市九年级学生安全有序开学复课．为切实做好疫情防控工作,开学前夕,我市某校准备在民联药店购买口罩和水银体温计发放给每个学生．已知每盒口罩有100只,每盒水银体温计有10支,每盒口罩价格比每盒水银体温计价格多150元．用1200元购买口罩盒数与用300元购买水银体温计所得盒数相同．（1）求每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是多少元？
（2）如果给每位学生发放2只口罩和1支水银体温计,且口罩和水银体温计均整盒购买．设购买口罩m盒（m 为正整数）,则购买水银体温计多少盒能和口罩刚好配套？请用含m的代数式表示．
（3）在民联药店累计购医用品超过1800元后,超出1800元的部分可享受8折优惠．该校按（2）中的配套方案购买,共支付w元,求w关于m的函数关系式．若该校九年级有900名学生,需要购买口罩和水银体温计各多少盒？所需总费用为多少元？
25．（8分）如图,线段A B 表示一信号塔,D E表示一斜坡,D C ⊥C E．且点B ,C ,E三点在同一水平线上,点
A ,
B ,
C ,
D ,E在同一平面内,斜坡D E的坡比为1：√3,D E＝42米．某人站在坡顶D 处测得塔顶A 点的仰角为
37°,站在坡底C 处测得塔顶A 点的仰角为48°（人的身高忽略不计）,求信号塔的高度A B （结果精确到1
米）．（参考数据：sin37°≈3
5,tA n37°≈
3
4,sin48°≈
7
10,tA n48°≈
11
10）
26．（10分）已知图1和图2中,正方形的边长为1,按要求作格点三角形,并注相应的字母,
（1）在图1中作△A B C ,使各其边长均为整数；
（2）在图2中作△A ′B ′C ′,使△A ′B ′C ′∽△A B C ,并且A ′B ′：A B =√2．
27．（10分）定义：如图①,⊙O的半径为r,若点P'在射线OP上,且OP•OP'＝r2．则称点P'是点P关于⊙O的“反
演点”．
（1）如图①,设射线OP与⊙O交于点A ,若点P'是点P关于⊙O的“反演点”,且OP'＝P A ,求证：点P'为线段
OP的一个黄金分割点；
（2）如图②,若点P'是点P关于⊙O的“反演点”,过点P'作P'B ⊥OP,交⊙O于点B ,连接PB ,求证：PB 为⊙O
的切线；
（3）如图③,在Rt△C D E中,∠E＝90°,C E＝6,D E＝8,以C E为直径作⊙O,若点P为C D 边上一动点,点P'
是点P关于⊙O的“反演点”,则在点P运动的过程中,线段OP'长度的取值范围是．
28．（10分）直线y＝﹣3x+3与x轴交于点B ,与y轴交于点C ,抛物线y＝﹣x2+B x+C 经过B ,C 两点,与x轴的另一交点为A ,连接A C ,点P为A C 上方的抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①,连接B P,交线段A C 于点D ,若PD ：B D ＝5：16,求此时点P的坐标；
（3）如图②,连接PC ,过点P作PE∥y轴,交线段A C 于点E,若△PC E与△A B C 相似,求出点P的横坐标及线段PE长．
参考答案
一．选择题（共8小题,满分16分,每小题2分） 1．（2分）3倒数等于（ ） A ．3
B ．1
3
C ．﹣3
D ．−1
3
【分析】根据乘积是1的两数互为倒数可得答案． 【解答】解：3倒数等于1
3,
故选：B ．
【点评】此题主要考查了倒数,关键是掌握倒数定义． 2．（2分）某校篮球队有12名队员,队员的年龄情况统计如下：
年龄/岁 13 14 15 16 人数
2
4
3
3
则这12名队员年龄的中位数和众数分别是（ ） A ．14,15
B ．14.5,14
C ．14,14
D ．14.5,15
【分析】众数就是出现次数最多的数,而中位数就是大小处于中间位置的数,根据定义即可求解． 【解答】解：这12名队员年龄的中位数14+152
=14.5（岁）,众数为14岁,
故选：B ．
【点评】本题考查了众数和中位数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；注意找中位数的时候一定要先排好顺序,然后再根据奇数和偶数个来确定中位数,如果数据有奇数个,则正中间的数字即为所求,如果是偶数个则找中间两个数的平均数．
3．（2分）下列运算中,计算结果正确的是（ ） A ．3（A ﹣1）＝3A ﹣1 B ．（A +B ）2＝A 2+B 2 C ．A 6÷A 3＝A 2
D ．（3A 3）2＝9A 6
【分析】根据去括号法则,完全平方公式,同底数幂的除法,幂的乘方与积的乘方法则作答． 【解答】解：A 、3（A ﹣1）＝3A ﹣3,故本选项错误； B 、（A +B ）2＝A 2+2A B +B 2,故本选项错误； C 、A 6÷A 3＝A 3,故本选项错误； D 、（3A 3
）2
＝9A 6
,故本选项正确． 故选：D ．
【点评】本题综合考查了去括号法则,完全平方公式,同底数幂的除法,幂的乘方与积的乘方,是基础题型,比较简
单．
4．（2分）下列平面图形经过折叠不能围成一个正方体的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．
【解答】解：A ,B ,D 经过折叠均能围成正方体,C 、折叠后有两个面重合,不能折成正方体． 故选：C ．
【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字,注意正方体的空间图形,从相对面入手,分析及解答问题． 5．（2分）方程2x 2﹣8x ﹣1＝0的解的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根
B ．没有实数根
C ．有两个相等的实数根
D ．有一个实数根
【分析】根据根的判别式的值与零的大小关系即可判断． 【解答】解：依题意,得
△＝B 2﹣4A C ＝64﹣4×2×（﹣1）＝72＞0, 所以方程有两不相等的实数根． 故选：A ．
【点评】本题主要考查了根的判别式的知识,解答本题的关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0⇔方程有两个不相等的实数根．
6．（2分）对于函数y ＝﹣2x +1,下列结论正确的是（ ） A ．y 值随x 值的增大而增大
B ．它的图象与x 轴交点坐标为（0,1）
C ．它的图象必经过点（﹣1,3）
D ．它的图象经过第一、二、三象限
【分析】A 、由k ＝﹣2,利用一次函数的性质可得出y 值随x 值的增大而减小,结论A 不符合题意； B 、代入y ＝0求出x 值,进而可得出函数y ＝﹣2x +1的图象与x 轴交点坐标为（1
2,0）,结论B 不符合题意；
C 、代入x ＝﹣1求出y 值,进而可得出函数y ＝﹣2x +1的图象必经过点（﹣1,3）,结论C 符合题意；
D 、由k ＝﹣2＜0,B ＝1＞0,利用一次函数图象与系数的关系可得出函数y ＝﹣2x +1的图象经过第一、二、四
象限,结论D 不符合题意． 此题得解．
【解答】解：A 、∵k ＝﹣2＜0,
∴y 值随x 值的增大而减小,结论A 不符合题意； B 、当y ＝0时,﹣2x +1＝0,解得：x =1
2,
∴函数y ＝﹣2x +1的图象与x 轴交点坐标为（1
2,0）,结论B 不符合题意；
C 、当x ＝﹣1时,y ＝﹣2x +1＝3,
∴函数y ＝﹣2x +1的图象必经过点（﹣1,3）,结论C 符合题意； D 、∵k ＝﹣2＜0,B ＝1＞0,
∴函数y ＝﹣2x +1的图象经过第一、二、四象限,结论D 不符合题意． 故选：C ．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质以及一次函数图象与系数的关系,逐一分析四条结论的正误是解题的关键．
7．（2分）在矩形A B C D 中,E 是B C 边的中点,A E ⊥B D ,垂足为点F ,则tA n ∠A ED 的值是（ ）
A ．√6
3
B ．2√63
C ．2√3
D ．2√2
【分析】由“SA S ”可证△A B E ≌△D C E ,可得A E ＝ED ,通过证明△B EF ∽△D A F ,可得A F ＝2EF ,由勾股定理可求D F ＝2√2EF ,即可求tA n ∠A ED 的值． 【解答】解：∵四边形A B C D 是矩形
∴A B ＝C D ,∠A B C ＝∠C ＝90°,A D ＝B C ∵点E 是B C 的中点
∴B E ＝C E ,且A B ＝C D ,∠A B C ＝∠C ＝90° ∴△A B E ≌△D C E （SA S ） ∴A E ＝ED ∵A D ∥B C ∴△B EF ∽△D A F ∴
BE AD
=
EF AF
=1
2
∴A F ＝2EF ∴A E ＝3EF ＝D E ∴D F =√DE
2
−EF
2
=2√2EF
∴tA n ∠A ED =DF
EF
=2√2 故选：D ．
【点评】本题考查了矩形的性质,三角函数,相似三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质等知识；熟练掌握矩形的性质,证明三角形相似是解决问题的关键．
8．（2分）如图1,有一张矩形纸片A B C D ,已知A B ＝10,A D ＝12,现将纸片进行如下操作：现将纸片沿折痕B F 进行折叠,使点A 落在B C 边上的点E 处,点F 在A D 上（如图2）；然后将纸片沿折痕D H 进行第二次折叠,使点C 落在第一次的折痕B F 上的点G 处,点H 在B C 上（如图3）,给出四个结论：①A F 的长为10；②△B GH 的周长为18；③
BG GF
=2
3
；④GH 的长为5,其中正确的结论有（ ）
A ．①②③
B ．①②④
C ．①③④
D ．②③④
【分析】过G 点作MN ∥A B ,交A D 、B C 于点M 、N ,可知四边形A B EF 为正方形,可求得A F 的长,可判断①,且△B NG 和△FMG 为等腰三角形,设B N ＝x ,则可表示出GN 、MG 、MD ,利用折叠的性质可得到C D ＝D G ,
在Rt △MD G 中,利用勾股定理可求得x ,再利用△MGD ∽△NHG ,可求得NH 、GH 和HC ,则可求得B H ,容易判断②③④,可得出答案．
【解答】解：如图,过点G 作MN ∥A B ,分别交A D 、B C 于点M 、N , ∵四边形A B C D 为矩形,
∴A B ＝C D ＝10,B C ＝A D ＝12,
由折叠可得A B ＝B E ,且∠A ＝∠A B E ＝∠B EF ＝90°, ∴四边形A B EF 为正方形, ∴A F ＝A B ＝10, 故①正确； ∵MN ∥A B ,
∴△B NG 和△FMG 为等腰直角三角形,且MN ＝A B ＝10,
设B N ＝x ,则GN ＝A M ＝x ,MG ＝MN ﹣GN ＝10﹣x ,MD ＝A D ﹣A M ＝12﹣x
,
又由折叠的可知D G ＝D C ＝10,
在Rt △MD G 中,由勾股定理可得MD 2+MG 2＝GD 2, 即（12﹣x ）2+（10﹣x ）2＝102,解得x ＝4, ∴GN ＝B N ＝4,MG ＝6,MD ＝8, 又∠D GH ＝∠C ＝∠GMD ＝90°,
∴∠NGH +∠MGD ＝∠MGD +∠MD G ＝90°, ∴∠NGH ＝∠MD G , ∵∠D MG ＝∠GNH , ∴△MGD ∽△NHG , ∴
MD GN
=
MG NH
=
DG GH
,即84
=
6NH
=
10GH
,
∴NH ＝3,GH ＝C H ＝5, ∴B H ＝B C ﹣HC ＝12﹣5＝7, 故④正确；
又△B NG 和△FMG 为等腰直角三角形,且B N ＝4,MG ＝6, ∴B G ＝4√2,GF ＝6√2,
∴△B GH 的周长＝B G +GH +B H ＝4√2+5+7＝12+4√2, ∴
BG GF
=
√26√2
=2
3
,
故②不正确；③正确； 综上可知正确的为①③④, 故选：C ．
【点评】本题为四边形的综合应用,涉及知识点有矩形的性质、正方形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、折叠的性质及方程思想等．过G 点作A B 的平行线,构造等腰直角三角形,利用方程思想在Rt △GMD 中得到方程,求得B N 的长度是解题的关键．本题考查知识点较多,综合性较强,难度较大． 二．填空题（共10小题,满分20分,每小题2分） 9．（2分）如果|x ﹣1|＝2,那么x 的值是 3或﹣1 ．
【分析】根据题意,可得：x ﹣1＝±2,据此求出x 的值是多少即可． 【解答】解：∵|x ﹣1|＝2,
∴x ﹣1＝±2,
∴x ＝2+1＝3或x ＝﹣2+1＝﹣1． 故答案为：3或﹣1．
【点评】此题主要考查了绝对值的含义和应用,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确：①当A 是正有理数时,A 的绝对值是它本身A ；②当A 是负有理数时,A 的绝对值是它的相反数﹣A ；③当A 是零时,A 的绝对值是零．
10．（2分）函数y =√x −3+√5−x 中,自变量x 的取值范围是 3≤x ≤5 ． 【分析】根据二次根式的意义,被开方数为非负数,列不等式组求解． 【解答】解：根据题意,得{x −3≥05−x ≥0
,
解得3≤x ≤5．
【点评】函数自变量的范围一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时,自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时,考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时,被开方数为非负数．
11．（2分）近年来,我国5G 发展取得明显成效,截至2020年9月底,全国建设开通5G 基站超510000个,将数据510000用科学记数法可表示为 5.1×105 ．
【分析】科学记数法的表示形式为A ×10n 的形式,其中1≤|A |＜10,n 为整数．确定n 的值时,要看把原数变成A 时,小数点移动了多少位,n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时,n 是正整数；当原数的绝对值＜1时,n 是负整数． 【解答】解：510000＝5.1×105, 故答案为：5.1×105．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为A ×10n 的形式,其中1≤|A |＜10,n 为整数,表示时关键要正确确定A 的值以及n 的值．
12．（2分）如图,点A 、B 分别在x 轴和y 轴上,OA ＝1,OB ＝2,若将线段A B 平移至A 'B ',则A +B 的值为 2 ．
【分析】由作图可知,线段A B 向右平移3个单位,再向下平移1个单位得到线段A ′B ′
,
求出A ′,B ′的坐标可得结论．
【解答】解：由作图可知,线段A B 向右平移3个单位,再向下平移1个单位得到线段A ′B ′, ∵A （﹣1,0）,B （0,2）,
∴A ′（2,﹣1）,B ′（3,1）,
∴A ＝﹣1,B ＝3,
∴A +B ＝2,
故答案为：2．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣平移,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题．
13．（2分）计算2
m−2+
m
2−m
的结果是﹣1．
【分析】先变形为同分母分式的减法,再约分即可得．
【解答】解：原式=
2
m−2
−m
m−2
=2−m
m−2
=−(m−2)
m−2
＝﹣1,
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查分式的加减法,解题的关键是熟练掌握分式的加减运算法则和分式的基本性质．14．（2分）因式分解：A 3﹣9A ＝ A （A +3）（A ﹣3）．
【分析】原式提取A ,再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝A （A 2﹣9）
＝A （A +3）（A ﹣3）,
故答案为：A （A +3）（A ﹣3）．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
15．（2分）如图,在▱A B C D 中,过A ,B ,C 三点的圆交A D 于E,且与C D 相切,若A B ＝4,B E＝5,则D E的长为16
5
．
【分析】连接C E,可得出∠B A E＝∠B EC +∠EB C ,而∠D C B ＝∠D C E+∠B C E,这两个等式中,由弦切角定理知：∠D C E＝∠EB C ；再由平行四边形的性质知：∠D C B ＝∠EA B ,则∠B EC ＝∠B C E,即可得B C ＝
B E＝5,即A D ＝5,进而可由切割线定理求D E的长．
【解答】解：连接C E,
∵BCE
̂=BĈ+CÊ,
∴∠B A E＝∠EB C +∠B EC ；
∵∠D C B ＝∠D C E+∠B C E,
由弦切角定理知：∠D C E＝∠EB C ,
∵四边形A B C D 是平行四边形,
∴∠D C B ＝∠B A E,
∴∠B EC ＝∠B C E,即B C ＝B E＝5,
∴A D ＝5,
由切割线定理知：D E=
DC2
DA
=165．
故答案为：
16
5
．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质、切割线定理、弦切角定理以及圆周角定理的综合应用,能够判断出△B EC 是等腰三角形是解决此题的关键．
16．（2分）如图,在△A B C 中,C A ＝C B ,∠A C B ＝90°,A B ＝2,点D 为A B 的中点,以点D 为圆心作圆心角为90°的扇形D EF,点C 恰在弧EF上,则图中阴影部分的面积为
π
4
−
1
2
．
【分析】连接C D ,证明△D C H≌△D B G,则S四边形D GC H＝S△B D C ,求得扇形FD E的面积,则阴影部分的面积即可求得．
【解答】解：连接C D ,
∵C A ＝C B ,∠A C B ＝90°,
∴∠B ＝45°,
∵点D 为A B 的中点
,
∴D C =1
2A B ＝B D ＝1,C D ⊥A B ,∠D C A ＝45°, ∴∠C D H ＝∠B D G ,∠D C H ＝∠B , 在△D C H 和△D B G 中, {∠CDH =∠BDG
CD =BD ∠DCH =∠B
,
∴△D C H ≌△D B G （A SA ）, ∴S 四边形D GC H ＝S △B D C =1
2
S △A B C =
12×12A B •C D =14×2×1=12
． ∴S 阴影＝S 扇形D EF ﹣S △B D C =90π×12
360−12=π4−1
2
．
故答案为π4
−1
2
．
【点评】本题考查了三角形的全等的判定与扇形的面积的计算的综合题,正确证明△D C H ≌△D B G ,得到S 四边
形D GC H
＝S △B D C 是关键．
17．（2分）已知如图,在正方形A B C D 中,A D ＝4,E ,F 分别是C D ,B C 上的一点,且∠EA F ＝45°,EC ＝1,将△A D E 绕点A 沿顺时针方向旋转90°后与△A B G 重合,连接EF ,过点B 作B M ∥A G ,交A F 于点M ,则S △MB F ＝
32175
．
【分析】由旋转的性质可得A G ＝A E ,D E ＝GB ＝3,∠D A E ＝∠B A G ,由“A A S ”可证△A GF ≌△A EF ,可得EF ＝GF ＝3+B F ,由勾股定理可求B F 的长,由相似三角形的性质可求解． 【解答】解：∵D C ＝B C ＝A D ＝4,EC ＝1, ∴D E ＝3,
∵将△A D E 绕点A 沿顺时针方向旋转90°后与△A B G 重合, ∴A G ＝A E ,D E ＝GB ＝3,∠D A E ＝∠B A G ,
∵∠EA F ＝45°,
∴∠D A E +∠B A F ＝45°, ∴∠GA B +∠B A F ＝45°,
∴∠GA F ＝∠EA F ,且A G ＝A E ,A F ＝A F ,
∴△A GF ≌△A EF （SA S ） ∴EF ＝GF ＝3+B F ,
∵EF 2＝EC 2+FC 2,
∴（3+B F ）2＝1+（4﹣B F ）2, ∴B F =47
,
∴GF ＝B G +B F =25
7, ∴S △A GF =
12×GF ×A B =507
, ∵B M ∥A G , ∴△B MF ∽△GA F ,
∴
S △BFM S △GFA =（BF
GF
）2,
∴S △B FM =32
175, 故答案为：
32175
．
【点评】本题考查了旋转的性质,全等三角形的判定和性质,正方形的性质,相似三角形的判定和性质,灵活运用这
些性质进行推理是本题的关键．
18．（2分）如图,菱形A B C D 的边A D ⊥y 轴,垂足为点E ,顶点A 在第二象限,顶点B 在y 轴的正半轴上,反比例函数y =k
x
（k ≠0,x ＞0）的图象经过顶点C 、D ,若点C 的横坐标为5,B E ＝3D E ,则k 的值为
154
．
【分析】过点D 作D F ⊥B C 于点F ,由菱形的性质可得B C ＝C D ,A D ∥B C ,可证四边形D EB F 是矩形,可得D F ＝B E ,D E ＝B F ,在Rt △D FC 中,由勾股定理可求D E ＝1,D F ＝3,由反比例函数的性质可求k 的值． 【解答】解：如图,过点D 作D F ⊥B C 于点F
,
∵四边形A B C D 是菱形, ∴B C ＝C D ,A D ∥B C ∵∠D EB ＝90°,A D ∥B C
∴∠EB C ＝90°,且∠D EB ＝90°,D F ⊥B C ∴四边形D EB F 是矩形 ∴D F ＝B E ,D E ＝B F ,
∵点C 的横坐标为5,B E ＝3D E ,
∴B C ＝C D ＝5,D F ＝3D E ,C F ＝5﹣D E ∵C D 2＝D F 2+C F 2, ∴25＝9D E 2+（5﹣D E ）2, ∴D E ＝1 ∴D F ＝B E ＝3,
设点C （5,m ）,则点D （1,m +3）,
∵反比例函数y =k
x
图象过点C ,D ,
∴5m ＝1×（m +3）, ∴m =34
． ∴点C （
5,
3
4）,
∴k ＝5×34=15
4
．
故答案为：
154
．
【点评】本题考查了反比例函数图象点的坐标特征,菱形的性质,勾股定理,求出D E 的长度是本题的关键． 三．解答题（共10小题,满分84分） 19．（8分）计算：
（1）4sin60°−√12−（12
）﹣
1
（2）（A ﹣2B ）（A +2B ）﹣（A ﹣2B ）2
【分析】（1）根据特殊角的三角函数值,二次根式的性质以及负整数指数幂的定义计算即可；
（2）根据平方差公式以及完全平方公式计算即可． 【解答】解：（1）原式=4×√3
2−2√3−2 =2√3−2√3−2
＝﹣2；
（2）原式＝A 2﹣4B 2﹣（A 2﹣4A B +4B 2） ＝A 2﹣4B 2﹣A 2+4A B ﹣4B 2 ＝4A B ﹣8B 2．
【点评】本题主要考查了实数的运算以及整式的混合运算,熟记相关定义与公式是解答本题的关键． 20．（6分）解不等式组：{4(x +1)≤7x +13①
x−83
＞x −4②
,并把解集在数轴上表示出来,并写出它的所有负整数解．
【分析】分别解出两个不等式的解集,再根据解集的规律：大小小大中间找确定不等式组的解集,然后再确定所有负整数解．
【解答】解：解①得：x ≥﹣3, 解②得：x ＜2,
不等式组的解集为：﹣3≤x ＜2, 则它的所有负整数解为﹣3,﹣2,﹣1． 在数轴上表示：
．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式组的解法,关键是掌握不等式组确定解集的方法． 21．（8分）如图,△EB F 为等腰直角三角形,点B 为直角顶点,四边形A B C D 是正方形． （1）求证：△A B E ≌△C B F ；
（2）C F 与A E 有什么特殊的位置关系？请证明你的结论．
【分析】（1）由正方形的性质和等腰直角三角形性质可得B A ＝B C ,∠A B C ＝90°,B E ＝B F ,∠EB F ＝90°,由“SA S ”可证△A B E ≌△C B F ；
（2）延长C F 交A B 于H ,交A E 于G ,由全等三角形的性质可得∠B A E ＝∠B C F ,由直角三角形的性质可求∠A GH ＝90°,可得结论．
【解答】证明：（1）∵等腰直角△EB F , ∴B E ＝B F ,∠EB F ＝90°, ∵正方形A B C D ,
∴B A ＝B C ,∠A B C ＝90°, ∴∠A B E +∠A B F ＝∠C B F +∠A B F , ∴∠A B E ＝∠C B F , 在△A B E 和△C B F 中 {AB =CB
∠ABE =∠CBF BE =BF
∴△A B E ≌△C B F （SA S ）； （2）C F ⊥A E ,
理由：延长C F 交A B 于H ,交A E 于G ,
∵△A B E ≌△C B F , ∴∠B A E ＝∠B C F , ∵∠B C F +∠B HC ＝90°, ∴∠B A E +∠A HG ＝90°, ∴∠A GH ＝90°, ∴C F ⊥A E ．
【点评】本题考查了正方形的性质,等腰直角三角形的性质,全等三角形的判定和性质,熟练掌握全等三角形的判定是本题的关键．
22．（8分）为了了解某地区初二学生课余时间活动安排情况,现对学生课余时间活动安排进行调查,根据调查的部分数据绘制成如图所示的扇形统计图和条形统计图（均不完整）,请根据图中所给信息解答下列问题：
（1）求调查中,一共抽查了多少名初二同学？
（2）求所调查的初二学生课余时间用于安排“读书”活动人数,并补全条形统计图；
（3）如果该地区现有初二学生12000人,那么利用课余时间参加“体育”锻炼活动的大约有多少人？ 【分析】（1）根据安排“艺术”活动的人数和所占的百分比,可以求得调查中,一共抽查了多少名初二同学； （2）根据（1）中的结果和扇形统计图中的数据,可以计算出安排“体育”活动的人数和读书活动的人数,从而可以将条形统计图补充完整；
（3）根据条形统计图中的数据,可以计算出利用课余时间参加“体育”锻炼活动的大约有多少人． 【解答】解：（1）50÷20%＝250（名）, 即调查中,一共抽查了250名初二同学；
（2）安排“体育”活动的学生有：250×28%＝70（名）, 安排“读书”活动的学生有：250﹣70﹣50﹣30＝100（名）, 补全的条形统计图如右图所示； （3）12000×28%＝3360（人）,
即利用课余时间参加“体育”锻炼活动的大约有3360人．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答．
23．（8分）数学课上,李老师准备了四张背面都一样的卡片A 、B 、C 、D ,每张卡片的正面标有字母A 、B
、
C 表示三条线段（如图）．把四张卡片背面朝上放在桌面上,李老师从这四张卡片中随机抽取一张卡片后不放回,再随机抽取一张．
（1）李老师随机抽取一张卡片,抽到卡片B 的概率等于
14
；
（2）求李老师抽取的两张卡片中每张卡片上的三条线段都能组成三角形的概率．
【分析】（1）根据概率公式直接求解即可；
（2）首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与三条线段都能组成三角形的情况数,然后根据概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）∵有四张卡片,背面标有A 、B 、C 、D , ∴李老师随机抽取一张卡片,抽到卡片B 的概率等于1
4；
故答案为：1
4
；
（2）根据题意画图如下：
共有12种等可能结果,其中抽取的两张卡片中每张卡片上的三条线段都能组成三角形有2种结果, ∴抽取的两张卡片中每张卡片上的三条线段都能组成三角形的概率为
212
=1
6
．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
24．（8分）5月18日,我市九年级学生安全有序开学复课．为切实做好疫情防控工作,开学前夕,我市某校准备在民联药店购买口罩和水银体温计发放给每个学生．已知每盒口罩有100只,每盒水银体温计有10支,每盒口罩价格比每盒水银体温计价格多150元．用1200元购买口罩盒数与用300元购买水银体温计所得盒数相同． （1）求每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是多少元？
（2）如果给每位学生发放2只口罩和1支水银体温计,且口罩和水银体温计均整盒购买．设购买口罩m 盒（m 为正整数）,则购买水银体温计多少盒能和口罩刚好配套？请用含m 的代数式表示．
（3）在民联药店累计购医用品超过1800元后,超出1800元的部分可享受8折优惠．该校按（2）中的配套方案购买,共支付w 元,求w 关于m 的函数关系式．若该校九年级有900名学生,需要购买口罩和水银体温计各多
少盒？所需总费用为多少元？
【分析】（1）设每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是x 元,（x ﹣150）元,根据题意列出分式方程即可； （2）根据配套问题,设购买水银体温计y 盒能和口罩刚好配套,根据口罩的数量等于水银体温计数量的2倍列出方程即可用含m 的代数式表示；
（3）根据题意列出不等式：200m +50×5m ≤1800,可得m ≤4时,w ＝450m ；当m ＞4时,w ＝1800+（450m ﹣1800）×0.8＝360m +360,进而可得w 关于m 的函数关系式．
【解答】解：（1）设每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是x 元,（x ﹣150）元,根据题意,得
1200x
=
300x−150
,
解得x ＝200,
经检验,x ＝200是原方程的解, ∴x ﹣150＝50,
答：每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是200元、50元； （2）设购买水银体温计y 盒能和口罩刚好配套,根据题意,得 100m ＝2×10y , 则y ＝5m ,
答：购买水银体温计5m 盒能和口罩刚好配套； （3）若200m +50×5m ≤1800,
∴450m ≤1800, ∴m ≤4,
即m ≤4时,w ＝450m ； 若m ＞4,
则w ＝1800+（450m ﹣1800）×0.8＝360m +360, 综上所述：w ={
450m(m ≤4)360m +360(m ＞4)
．
若该校九年级有900名学生, 需要购买口罩：900×2＝1800（支）, 水银体温计：900×1＝900（支）,
此时m ＝1800÷100＝18（盒）,y ＝5×18＝90（盒）, 则w ＝360×18+360＝6840（元）．
答：购买口罩和水银体温计各18盒、90盒,所需总费用为6840元．
【点评】本题考查分式方程,一次函数的应用；能够根据题意列出准确的分式方程,求费用的最大值转化为求一次函数的最大值是解题的关键．
25．（8分）如图,线段A B 表示一信号塔,D E表示一斜坡,D C ⊥C E．且点B ,C ,E三点在同一水平线上,点
A ,
B ,
C ,
D ,E在同一平面内,斜坡D E的坡比为1：√3,D E＝42米．某人站在坡顶D 处测得塔顶A 点的仰角为
37°,站在坡底C 处测得塔顶A 点的仰角为48°（人的身高忽略不计）,求信号塔的高度A B （结果精确到1
米）．（参考数据：sin37°≈3
5,tA n37°≈
3
4,sin48°≈
7
10,tA n48°≈
11
10）
【分析】过点D 作D F⊥A B 于点F,根据斜坡D E的坡度（或坡比）i＝1：√3,可设C D ＝xm,则C E=√3xm,利用勾股定理求出x的值,进而可得出C D 与B F的长,再由锐角三角函数的定义求出A F的长,进而可得出结论．【解答】解：过点D 作D F⊥A B 于点F,
∵斜坡D E的坡度（或坡比）i＝1：√3,D E＝42米,
∴设D C ＝xm,则C E=√3xm．
在Rt△C D E中,
∵D C 2+C E2＝D E2,即x2+（√3x）2＝422,解得x＝21,
∴D C ＝21米,
∵∠B ＝∠D FB ＝∠D C B ＝90°,
∴四边形D FB C 是矩形,D F＝B C ,
∴D C ＝B F＝21米,
设A F＝ym,
在Rt△A D F中,
∵∠A D F＝37°,
∴A F＝D F•tA n37°≈
3
4D F,
∴D F=
4
3ym,
在Rt△A B C 中,
∵∠A C B ＝48°,
∴A B ＝B C •tA n48°≈
11
10D F,
∴A F+B F=
11
10D F,
∴y+21=
11
10
×43y,
解得y＝45,
∴A F＝45米,
∴A B ＝A F+B F＝45+21＝66（米）．
答：信号塔的高度A B 约为66米．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形并运用方程的思想方法是解答此题的关键．
26．（10分）已知图1和图2中,正方形的边长为1,按要求作格点三角形,并注相应的字母, （1）在图1中作△A B C ,使各其边长均为整数；
（2）在图2中作△A ′B ′C ′,使△A ′B ′C ′∽△A B C ,并且A ′B ′：A B =√2．
【分析】（1）可作△A B C ,使A C ＝3,A B ＝5,B C ＝4；
（2）△A ′B ′C ′∽△A B C ,并且 A ′B ′：A B =√2,即两个三角形的相似比为√2,可作 A 'C '＝3√2,B′C′=4√2,则A 'B '＝5√2．
【解答】解：所作图形如下所示：
（1）作△A B C ,使A C ＝3,A B ＝5,B C ＝4；
（2）∵△A ′B ′C ′∽△A B C ,并且A ′B ′：A B =√2,
∴两个三角形的相似比为√2,
作A 'C '＝3√2,B′C′=4√2,则A 'B '＝5√2．
【点评】本题考查了左图中的相似变换的知识,有一定难度,注意借助勾股定理使各边长均为整数．
27．（10分）定义：如图①,⊙O的半径为r,若点P'在射线OP上,且OP•OP'＝r2．则称点P'是点P关于⊙O的“反演点”．
（1）如图①,设射线OP与⊙O交于点A ,若点P'是点P关于⊙O的“反演点”,且OP'＝P A ,求证：点P'为线段OP的一个黄金分割点；
（2）如图②,若点P'是点P关于⊙O的“反演点”,过点P'作P'B ⊥OP,交⊙O于点B ,连接PB ,求证：PB 为⊙O 的切线；
（3）如图③,在Rt△C D E中,∠E＝90°,C E＝6,D E＝8,以C E为直径作⊙O,若点P为C D 边上一动点,点P'
是点P关于⊙O的“反演点”,则在点P运动的过程中,线段OP'长度的取值范围是9√73
73
≤OP'≤154．
【分析】（1）先证明PP'＝r,再根据“反演点”的定义可知：OP•OP'＝r2,化成比例式可得结论；（2）先证明△P'OB ∽△B OP,得∠OB P＝∠OP'B ＝90°,根据切线的判定可得结论；
（3）作辅助线,构建直角三角形,根据“反演点”的定义确定OP和OP'的关系：OP'=
9
OP,根据三角函数和勾股
定理计算OH和OD 的长,根据OH≤OP≤OD ,列不等式组可得结论．【解答】（1）证明：由已知得OP•OP'＝r2,
∵OP'＝P A , ∴PP'＝P A +A P'＝OP'+P'A ＝r,
∴
OP′
PP′
=
PP′
OP
,
∴点P'为线段OP的一个黄金分割点；
（2）证明：∵P'B ⊥OP,
∴∠OP'B ＝90°,
∵OP•OP'＝r2,
∴
OP′
OB
=
OB
OP
,
∵∠P'OB ＝∠B OP,
∴△P'OB ∽△B OP,
∴∠OB P＝∠OP'B ＝90°,
∴PB ⊥OB ,
∴PB 为⊙O的切线；
（3）解：如图③,过点O作OH⊥C D 于H,连接OD ,
∵C E＝6,
∴⊙O的半径为3,即r＝3,
∵点P'是点P关于⊙O的“反演点”,
∴OP•OP'＝32＝9,
∴OP'=
9
OP,
∵OH≤OP≤OD ,
∵∠C EB ＝90°,C E＝6,D E＝8,
∴C D ＝10,
∵sin∠C =
OH
OC
=810=45,
∴OH=
4
5OC =
12
5,
由勾股定理得：OD =√OE2+DE2=√32+82=√73
,。