2016年宁夏石嘴山三中高考数学二模试卷(理科)(解析版)

2016年宁夏石嘴山三中高考数学二模试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分.每题给出的四个选项中，只有一项符
合题目要求）
1．（5分）已知集合A＝{x|﹣1≤x≤1}，B＝{x|x2﹣2x≤0}，则A∩B＝（）A．[﹣1，0]B．[﹣1，2]
C．[0，1]D．（﹣∞，1]∪[2，+∞）
2．（5分）若复数z满足iz＝2+4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是（）A．（2，4）B．（2，﹣4）C．（4，﹣2）D．（4，2）
3．（5分）下列函数中，既是奇函数又在（﹣∞+∞）上单调递增的是（）A．y＝﹣B．y＝sin x C．y＝x D．y＝ln|x|
4．（5分）已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+c2﹣bc，bc＝4，则△ABC的面积为（）
A．B．1C．D．2
5．（5分）已知x、y取值如表：
画散点图分析可知：y与x线性相关，且求得回归方程为＝x+1，则m的值（精确到0.1）为（）
A．1.5B．1.6C．1.7D．1.8
6．（5分）下列叙述正确的个数是（）
①若命题p：∃x0∈R，x02﹣x0+1＝0，则￢p：∃x∈R，x2﹣x+1＞0；
②已知向量，，则•＜0是与的夹角为钝角的充要条件；
③已知ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤2）＝0.4，则P（ξ＞2）＝0.3；
④在区间[0，π]上随机取一个数x，则事件“tan x•cos x≥”发生的概率为．
A．1B．2C．3D．4
7．（5分）如图程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“mMODn”表示m除以n的余数），若输入的m，n分别为495，135，
则输出的m＝（）
A．0B．5C．45D．90
8．（5分）已知函数f（x）＝sin2x﹣2cos2x，下面结论中错误的是（）A．函数f（x）的最小正周期为π
B．函数f（x）的图象关于直线x＝对称
C．函数f（x）在区间[0，]上是增函数
D．函数f（x）的图象可由g（x）＝2sin2x﹣1的图象向右平移个单位得到
9．（5分）已知数列{a n}的前项和为S n，点（n，S n）在函数f（x）＝（2t+1）dt的图象上，则数列{a n}的通项公式为（）
A．a n＝2n B．a n＝n2+n+2
C．a n＝D．a n＝
10．（5分）某几何体的主视图和左视图如图（1），它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1如图（2），其中O1A1＝6，O1C1＝2，则该几何体的侧面积为（）
A．48B．64C．96D．128
11．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）与函数y＝的图象交于点P，若函数y＝的图象在点P处的切线过双曲线左焦点F1（﹣1，0），则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．
12．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）＝f（x）+1，且x∈[0，1]时，f（x）＝4x，x∈（1，2）时，f（x）＝，令g（x）＝2f（x）﹣x﹣4，x∈[﹣6，2]，则函数g（x）的零点个数为（）
A．6B．7C．8D．9
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡的相应位置.）13．（5分）二项式（﹣x2）10的展开式中的常数项是．
14．（5分）已知函数f（x）＝log a（x﹣2）+4（a＞0且a≠1），其图象过定点P，角α的始边与x轴的正半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边过点P，则＝．
15．（5分）已知不等式组所表示的区域为D，M（x，y）是区域D内的点，点A （﹣1，2），则z＝•的最大值为．
16．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，底面ABC是等腰三角形，∠BAC＝120°，BC＝2，P A ⊥平面ABC，若三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为8π，则该三棱锥的体积为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）设数列{a n}满足＝（n≥2），且a1+4是a2，a3的等差中项．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）求数列的前n项和T n，求证：＜2．
18．（12分）为减少汽车尾气排放，提高空气质量，各地纷纷推出汽车尾号限行措施，为做好此项工作，某市交支队对市区各交通枢纽进行调查统计，表中列出了某交通路口单位时间内通过的1000辆汽车的车牌尾号记录：
由于某些数据缺失，表中以英文字母作标记，请根据图表提供的信息计算：
（Ⅰ）若采用分层抽样的方法从这1000辆汽车中抽取20辆，了解驾驶员对尾号限行的建议，应分别从一、二、三、四组中各抽取多少辆？
（Ⅱ）以频率代替概率，在此路口随机抽取4辆汽车，奖励汽车用品，用ξ表示车尾号在第二组的汽车数目，求ξ的分布列和数学期望．
19．（12分）如图所示的几何体中，ABC﹣A1B1C1为三棱柱，且AA1⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD＝2CD，∠ADC＝60°．
（Ⅰ）若AA1＝AC，求证：AC1⊥平面A1B1CD；
（Ⅱ）若CD＝2，AA1＝λAC，二面角C﹣A1D﹣C1的余弦值为，求三棱锥C1﹣A1CD的体积．
20．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（1，）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设与圆O：x2+y2＝相切的直线l交椭圆C于A，B两点，求△OAB面积的最大值，及取得最大值时直线l的方程．
21．（12分）若定义在R上的函数f（x）满足f（x）＝•e2x﹣2+x2﹣2f（0）x，g（x）＝f（）﹣x2+（1﹣a）x+a，a∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）解析式；
（Ⅱ）求函数g（x）单调区间；
（Ⅲ）若x、y、m满足|x﹣m|≤|y﹣m|，则称x比y更接近m．当a≥2且x≥1时，试比较和e x﹣1+a哪个更接近lnx，并说明理由．
选做题请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑[选修4-1：几何证明选讲]
22．（10分）选修4﹣1：几何证明选讲
如图，已知C点在⊙O直径的延长线上，CA切⊙O于A点，DC是∠ACB的平分线，交AE 于F点，交AB于D点．
（1）求∠ADF的度数；
（2）若AB＝AC，求AC：BC．
[选修4-4：极坐标与参数方程]
23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标（与直
角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为ρ＝4cosθ．
（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；并判断直线l与圆C的位置关系．
（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（2，1），求|P A|+|PB|
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知f（x）＝2|x﹣2|+|x+1|
（1）求不等式f（x）＜6的解集；
（2）设m，n，p为正实数，且m+n+p＝f（2），求证：mn+np+pm≤3．
2016年宁夏石嘴山三中高考数学二模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分.每题给出的四个选项中，只有一项符
合题目要求）
1．（5分）已知集合A＝{x|﹣1≤x≤1}，B＝{x|x2﹣2x≤0}，则A∩B＝（）A．[﹣1，0]B．[﹣1，2]
C．[0，1]D．（﹣∞，1]∪[2，+∞）
【解答】解：∵B＝{x|x2﹣2x≤0}＝{x|0≤x≤2}，
∴A∩B＝{x|﹣1≤x≤1}∩{x|0≤x≤2}＝{x|0≤x≤1}．
则A∩B的区间为：[0，1]．
故选：C．
2．（5分）若复数z满足iz＝2+4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是（）A．（2，4）B．（2，﹣4）C．（4，﹣2）D．（4，2）
【解答】解：复数z满足iz＝2+4i，则有z＝＝＝4﹣2i，
故在复平面内，z对应的点的坐标是（4，﹣2），
故选：C．
3．（5分）下列函数中，既是奇函数又在（﹣∞+∞）上单调递增的是（）A．y＝﹣B．y＝sin x C．y＝x D．y＝ln|x|
【解答】解：y＝﹣在（﹣∞，0），（0，+∞）上单调递增，但在定义域内不单调，故排除A；
y＝sin x在每个区间（2kπ﹣，2kπ+）（k∈Z）上单调递增，但在定义域内不单调，故排除B；
令f（x）＝，其定义域为R，且f（﹣x）＝＝﹣＝﹣f（x），所以f（x）为奇函数，
又f′（x）＝3x2≥0，所以f（x）在R上单调递增，
故选：C．
4．（5分）已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+c2﹣bc，bc＝4，
则△ABC的面积为（）
A．B．1C．D．2
【解答】解：∵a2＝b2+c2﹣bc，
∴由余弦定理可得：cos A＝＝＝，又0＜A＜π，
∴可得A＝60°，sin A＝，
∵bc＝4，
∴S△ABC＝bc sin A＝＝．
故选：C．
5．（5分）已知x、y取值如表：
画散点图分析可知：y与x线性相关，且求得回归方程为＝x+1，则m的值（精确到0.1）为（）
A．1.5B．1.6C．1.7D．1.8
【解答】解：将代入回归方程为可得，则4m＝6.7，解得m＝1.675，即精确到0.1后m的值为1.7．
故选：C．
6．（5分）下列叙述正确的个数是（）
①若命题p：∃x0∈R，x02﹣x0+1＝0，则￢p：∃x∈R，x2﹣x+1＞0；
②已知向量，，则•＜0是与的夹角为钝角的充要条件；
③已知ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤2）＝0.4，则P（ξ＞2）＝0.3；
④在区间[0，π]上随机取一个数x，则事件“tan x•cos x≥”发生的概率为．
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：①若命题p：∃x0∈R，x02﹣x0+1＝0，则￢p：∃x∈R，x2﹣x+1≠0；故①错误，②已知向量，，则•＜0是与的夹角为钝角的充要条件错误，
当＜，＞＝180°时，满足•＜0；但此时与的夹角为不是钝角，故②错误，
③已知ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤2）＝0.4，
则P（ξ＞2）＝[1﹣P（﹣2≤ξ≤2）]＝＝0.3；故③正确，
④∵tan x•cos x，即sin x且cos x≠0，
∵x∈[0，π]，∴x∈[，）∪（，]
∴在区间[0，π]内，满足tan x•cos x发生的概率为P＝＝．故④错误，
故正确的是③，
故选：A．
7．（5分）如图程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“mMODn”表示m除以n的余数），若输入的m，n分别为495，135，则输出的m＝（）
A．0B．5C．45D．90
【解答】解：第一次执行循环体，r＝90，m＝135，n＝90，不满足退出循环的条件；
第二次执行循环体，r＝0，m＝45，n＝0，满足退出循环的条件；
故输出的m值为45，
故选：C．
8．（5分）已知函数f（x）＝sin2x﹣2cos2x，下面结论中错误的是（）A．函数f（x）的最小正周期为π
B．函数f（x）的图象关于直线x＝对称
C．函数f（x）在区间[0，]上是增函数
D．函数f（x）的图象可由g（x）＝2sin2x﹣1的图象向右平移个单位得到
【解答】解：函数f（x）＝sin2x﹣2cos2x＝sin2x﹣cos2x﹣1＝2sin（2x﹣）﹣1，函数的周期为：π；
x＝时，函数取得最大值，所以函数f（x）的图象关于直线x＝对称；
由2x﹣∈[2k，2k]k∈Z，解得x∈[kπ，k]，k∈Z，函数f（x）在区间[0，]上是增函数，正确．
函数f（x）的图象可由g（x）＝2sin2x﹣1的图象向右平移个单位得到：f（x）＝2sin（2x ﹣）﹣1，所以选项D不正确．
故选：D．
9．（5分）已知数列{a n}的前项和为S n，点（n，S n）在函数f（x）＝（2t+1）dt的图象上，则数列{a n}的通项公式为（）
A．a n＝2n B．a n＝n2+n+2
C．a n＝D．a n＝
【解答】解：∵f（x）＝（2t+1）dt＝（t2+t）＝x2+x﹣2，
∴S n＝n2+n﹣2，
当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1
＝（n2+n﹣2）﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）﹣2]
＝2n，
又∵a1＝S1＝1+1﹣2＝0不满足上式，
∴a n＝，
故选：D．
10．（5分）某几何体的主视图和左视图如图（1），它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1如图（2），其中O1A1＝6，O1C1＝2，则该几何体的侧面积为（）
A．48B．64C．96D．128
【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个四棱柱，
∵它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1，O1A1＝6，O1C1＝2，
∴它的俯视图的直观图面积为12，
∴它的俯视图的面积为：24，
∴它的俯视图
的俯视图是边长为：6的菱形，
棱柱的高为4
故该几何体的侧面积为：4×6×4＝96，
故选：C．
11．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）与函数y＝的图象交于点P，若函数y＝的图象在点P处的切线过双曲线左焦点F1（﹣1，0），则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．
【解答】解：设，函数y＝的导数为：y′＝，∴切线的斜率为，又∵在点P处的切线过双曲线左焦点F（﹣1，0），∴，解得x0＝1，
∴P（1，1），
双曲线的左焦点F1（﹣1，0），则双曲线的右焦点F2（1，0），既c＝1．
则|PF1|﹣|PF2|＝2a，既﹣＝2a
解得a＝
所以离心率e＝＝＝
12．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）＝f（x）+1，且x∈[0，1]时，f（x）＝4x，x∈（1，2）时，f（x）＝，令g（x）＝2f（x）﹣x﹣4，x∈[﹣6，2]，则函数g（x）的零点个数为（）
A．6B．7C．8D．9
【解答】解：∵x∈[0，1]时，f（x）＝4x，
∴f（1）＝4
∴x∈（1，2）时，f（x）＝＝，
∵g（x）＝2f（x）﹣x﹣4，x∈[﹣6，2]，
令g（x）＝2f（x）﹣x﹣4＝0，
即f（x）＝x+2
∵函数f（x）满足f（x+2）＝f（x）+1，即自变量x每增加2个单位，函数图象向上平移1个单位，自变量每减少2个单位，函数图象向下平移1个单位，
分别画出函数y＝f（x）在x∈[﹣6，2]，y＝x+2的图象，
∴y＝f（x）在x∈[﹣6，2]，y＝x+2有8个交点，
故函数g（x）的零点个数为8个．
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡的相应位置.）13．（5分）二项式（﹣x2）10的展开式中的常数项是45．
【解答】解：由通项公式T r+1＝（）r（﹣x2）10﹣r＝（﹣1）10﹣r（x），令20﹣＝0＝0，解得r＝8．
∴常数项为T8＝×（﹣1）2＝45
故答案为：45．
14．（5分）已知函数f（x）＝log a（x﹣2）+4（a＞0且a≠1），其图象过定点P，角α的始边与x轴的正半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边过点P，则＝10．【解答】解：∵函数f（x）＝log a（x﹣2）+4（a＞0且a≠1），其图象过定点P，
∴P坐标为（3，4），
∵角α的始边与x轴的正半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边过点P，
∴sinα＝＝，cosα＝＝，
则原式＝＝10，
故答案为：10
15．（5分）已知不等式组所表示的区域为D，M（x，y）是区域D内的点，点A （﹣1，2），则z＝•的最大值为2．
【解答】解：z＝•＝﹣x+2y，
画出满足条件的平面区域，如图示：，
由，解得A（2，2），
由z＝﹣x+2y得：y＝x+，
显然直线过A（2，2）时，z最大，
z的最大值是2，
故答案为：2．
16．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，底面ABC是等腰三角形，∠BAC＝120°，BC＝2，P A
⊥平面ABC，若三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为8π，则该三棱锥的体积为．【解答】解：过A作平面ABC所在球截面的直径AD，连结BD，CD，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝∠ADB＝30°．
∴∠BCD＝∠CBD＝∠BDC＝60°．即△BCD是等边三角形．
∵BC＝2，∴AD＝＝．
过球心O作OM⊥平面ABC，则M为AD的中点，
∴AM＝．
设外接球半径为r，则4πr2＝8π，∴r＝．即OA＝．
∴OM＝＝．
∵P A⊥平面ABC，
∴P A＝2OM＝．
∴V P﹣ABC＝＝＝．
故答案为．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）设数列{a n}满足＝（n≥2），且a1+4是a2，a3的等差中项．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）求数列的前n项和T n，求证：＜2．
【解答】（1）解：∵数列{a n}满足＝（n≥2），∴数列{a n}是公比为2的等比数列，
∵a1+4是a2，a3的等差中项，∴2（a1+4）＝a2+a3，∴2（a1+4）＝a1（2+4），∴a1＝2．∴a n＝2n．
（2）证明：＝，
∴数列的前n项和T n＝++…+，
∴＝+…++，
∴＝+…+﹣，
﹣＝﹣，
∴T n＝2﹣．
数列单调递减，
∴＝T1≤T n＜2，
18．（12分）为减少汽车尾气排放，提高空气质量，各地纷纷推出汽车尾号限行措施，为做好此项工作，某市交支队对市区各交通枢纽进行调查统计，表中列出了某交通路口单位时间内通过的1000辆汽车的车牌尾号记录：
由于某些数据缺失，表中以英文字母作标记，请根据图表提供的信息计算：
（Ⅰ）若采用分层抽样的方法从这1000辆汽车中抽取20辆，了解驾驶员对尾号限行的建议，应分别从一、二、三、四组中各抽取多少辆？
（Ⅱ）以频率代替概率，在此路口随机抽取4辆汽车，奖励汽车用品，用ξ表示车尾号在第二组的汽车数目，求ξ的分布列和数学期望．
【解答】解（Ⅰ）根据频率定义，0.2+0.25+b+0.3＝1，解得b＝0.25；200：0.2＝a：0.25，解得a＝250，
200：0.2＝c：0.3，c＝300，…（2分）
第一、二、三、四组应抽取的汽车分别为4辆、5辆、5辆、6辆．…（6分）
（Ⅱ）在此路口随机抽取一辆汽车，该辆车的车尾号在第二组的概率为．
…（8分）
由题意知ξ～B（4，），则P（ξ＝k）＝，k＝0，1，2，3，4．
ξ的分布列为：
…（10分）
Eξ＝4×＝1…（12分）
19．（12分）如图所示的几何体中，ABC﹣A1B1C1为三棱柱，且AA1⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD＝2CD，∠ADC＝60°．
（Ⅰ）若AA1＝AC，求证：AC1⊥平面A1B1CD；
（Ⅱ）若CD＝2，AA1＝λAC，二面角C﹣A1D﹣C1的余弦值为，求三棱锥C1﹣A1CD的体积．
【解答】证明：（Ⅰ）若AA1＝AC，则四边形ACC1A1为正方形，则AC1⊥A1C，
∵AD＝2CD，∠ADC＝60°，∴△ACD为直角三角形，则AC⊥CD，
∵AA1⊥平面ABC，∴CD⊥平面ACC1A1，则CD⊥A1C，
∵A1C∩CD＝C，∴AC1⊥平面A1B1CD；
（Ⅱ）若CD＝2，∵∠ADC＝60°，∴AC＝2，
则AA1＝λAC＝2λ，建立以C为坐标原点，CD，CB，CC1分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：
则C（0，0，0），D（2，0，0），A（0，2，0），C1（0，0，2λ），A1（0，2，2λ），
则＝（2，﹣2，﹣2λ），＝（2，0，0），＝（0，2，0），
设面CA1D的一个法向量为＝（1，0，0）．
则•＝2x﹣2y﹣2λz＝0，•＝2x＝0，
则x＝0，y＝﹣λz，令z＝1，则y＝﹣λ，则＝（0，﹣λ，1）
设面A1DC1的一个法向量为＝（x，y，z）
•＝2x﹣2y﹣2λz＝0，•＝2y＝0，
则y＝0，2x﹣2λz＝0，令z＝1，则x＝λ，
则＝（λ，0，1），
∵二面角C﹣A1D﹣C1的余弦值为，
∴cos＜，＞＝＝＝，
即（1+λ2）（1+3λ2）＝8，
得λ＝1，
即AA1＝AC，
则三棱锥C 1﹣A1CD的体积V＝＝＝
＝4．
20．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（1，）．（1）求椭圆C的方程；
（2）设与圆O：x2+y2＝相切的直线l交椭圆C于A，B两点，求△OAB面积的最大值，
及取得最大值时直线l的方程．
【解答】解：（1）由题意可得，e＝＝，a2﹣b2＝c2，
点（1，）代入椭圆方程，可得+＝1，
解得a＝，b＝1，
即有椭圆的方程为+y2＝1；
（2）①当k不存在时，x＝±时，可得y＝±，
S△OAB＝××＝；
②当k存在时，设直线为y＝kx+m（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），将直线y＝kx+m代入椭圆方程可得（1+3k2）x2+6kmx+3m2﹣3＝0，
x1+x2＝﹣，x1x2＝，
由直线l与圆O：x2+y2＝相切，可得＝，
即有4m2＝3（1+k2），
|AB|＝•＝•
＝•＝•
＝•≤•＝2，
当且仅当9k2＝即k＝±时等号成立，
可得S△OAB＝|AB|•r≤×2×＝，
即有△OAB面积的最大值为，此时直线方程y＝±x±1．
21．（12分）若定义在R上的函数f（x）满足f（x）＝•e2x﹣2+x2﹣2f（0）x，g（x）＝f（）﹣x2+（1﹣a）x+a，a∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）解析式；
（Ⅱ）求函数g（x）单调区间；
（Ⅲ）若x、y、m满足|x﹣m|≤|y﹣m|，则称x比y更接近m．当a≥2且x≥1时，试比较和e x﹣1+a哪个更接近lnx，并说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意，得f′（x）＝f′（1）e2x﹣2+2x﹣2f（0），
所以f′（1）＝f′（1）+2﹣2f（0），即f（0）＝1．
又f（0）＝f′（1）e﹣2，
所以f（x）＝e2x+x2﹣2x．
（Ⅱ）∵f（x）＝e2x﹣2x+x2，
∴g（x）＝f（）﹣x2+（1﹣a）x+a＝e x﹣x﹣x2+（1﹣a）x+a＝e x﹣a（x﹣1）
∴g′（x）＝e x﹣a，
①a≤0时，g′（x）＞0，函数g（x）在R上单调递增；
②当a＞0时，由g′（x）＝e x﹣a＝0得x＝lna，
∴x∈（﹣∞，lna）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；
x∈（lna，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增．
综上，当a≤0时，函数g（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞）；
当a＞0时，函数g（x）的单调递增区间为（lna，+∞），单调递减区间为（﹣∞，lna）．（Ⅲ）解：设p（x）＝﹣lnx，q（x）＝e x﹣1+a﹣lnx，
∴p′（x）＝﹣﹣＜0，
∴p（x）在[1，+∞）上为减函数，又p（e）＝0，
∴当1≤x≤e时，p（x）≥0；当x＞e时，p（x）＜0．
∵q′（x）＝e x﹣1﹣，q″（x）＝e x﹣1+＞0，
∴q′（x）在[1，+∞）上为增函数，又q′（1）＝0，
∴x∈[1，+∞）时，q′（x）≥0，
∴q（x）在∈[1，+∞）上为增函数，
∴q（x）≥g（1）＝a+2＞0．
①当1≤x≤e时，|p（x）﹣q（x）|＝p（x）﹣q（x）＝﹣e x﹣1﹣a，
设m（x）＝2lnx﹣e x﹣1﹣a，
则m′（x）＝﹣＜0，
∴m（x）在[1，+∞）上为减函数，
∴m（x）≤m（1）＝e﹣1﹣a，
∵当a≥2，
∴m（x）＜0，
∴|p（x）|＜|q（x）|，
∴比e x﹣1+a更接近lnx．
②当x＞e时，|p（x）﹣q（x）|＝﹣p（x）﹣q（x）＝﹣+2lnx﹣e x﹣1﹣a＜2lnx﹣e x﹣1﹣a，设n（x）＝2lnx﹣e x﹣1﹣a，则n′（x）＝﹣e x﹣1，n″（x）＝﹣﹣e x﹣1＜0，
∴n′（x）在x＞e时为减函数，
∴n′（x）＜n′（e）＝﹣e e﹣1＜0，
∴n（x）在x＞e时为减函数，
∴n（x）＜n（e）＝2﹣a﹣e e﹣1＜0，
∴|p（x）|＜|q（x）|，
∴比e x﹣1+a更接近lnx．
综上：在a≥2且x≥1时时，比e x﹣1+a更接近lnx．
选做题请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑[选修4-1：几何证明选
讲]
22．（10分）选修4﹣1：几何证明选讲
如图，已知C点在⊙O直径的延长线上，CA切⊙O于A点，DC是∠ACB的平分线，交AE 于F点，交AB于D点．
（1）求∠ADF的度数；
（2）若AB＝AC，求AC：BC．
【解答】（1）因为AC为⊙O的切线，所以∠B＝∠EAC
因为DC是∠ACB的平分线，所以∠ACD＝∠DCB
所以∠B+∠DCB＝∠EAC+∠ACD，即∠ADF＝∠AFD，
又因为BE为⊙O的直径，所以∠DAE＝90°．
所以．
（2）因为∠B＝∠EAC，所以∠ACB＝∠ACB，所以△ACE∽△BCA，所以，
在△ABC中，又因为AB＝AC，所以∠B＝∠ACB＝30°，Rt△ABE中，
[选修4-4：极坐标与参数方程]
23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标（与直
角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为ρ＝4cosθ．
（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；并判断直线l与圆C的位置关系．
（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（2，1），求|P A|+|PB|
【解答】解：（Ⅰ）直线l的参数方程（t为参数）．
化为普通方程，得：x+y﹣3＝0…..3分
把圆C的方程为ρ＝4cosθ化为普通方程，得：x2+y2＝4x…..6分
即（x﹣2）2+y2＝4
点C到l的距离d＝＝＜2，
∴直线l与圆C相交．
（Ⅱ）设点A，B对应的参数分别为t1，t2，将（t为参数）．
代入（x﹣2）2+y2＝4整理得：，
则
又|P A|+|PB|＝|t1﹣t2|＝＝．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知f（x）＝2|x﹣2|+|x+1|
（1）求不等式f（x）＜6的解集；
（2）设m，n，p为正实数，且m+n+p＝f（2），求证：mn+np+pm≤3．
【解答】（1）解：①x≥2时，f（x）＝2x﹣4+x+1＝3x﹣3，由f（x）＜6，∴3x﹣3＜6，∴x ＜3，即2≤x＜3，
②﹣1＜x＜2时，f（x）＝4﹣2x+x+1＝5﹣x，由f（x）＜6，∴5﹣x＜6，∴x＞﹣1，即﹣1
＜x＜2，
③x≤﹣1时，f（x）＝4﹣2x﹣1﹣x＝3﹣3x，由f（x）＜6，∴3﹣3x＜6，∴x＞﹣1，可知
无解，
综上，不等式f（x）＜6的解集为（﹣1，3）；
（2）证明：∵f（x）＝2|x﹣2|+|x+1|，∴f（2）＝3，
∴m+n+p＝f（2）＝3，且m，n，p为正实数
∴（m+n+p）2＝m2+n2+p2+2mn+2mp+2np＝9，
∵m2+n2≥2mn，m2+p2≥2mp，n2+p2≥2np，
∴m2+n2+p2≥mn+mp+np，
∴（m+n+p）2＝m2+n2+p2+2mn+2mp+2np＝9≥3（mn+mp+np）
又m，n，p为正实数，∴可以解得mn+np+pm≤3．故证毕．。