江苏省连云港市灌南华侨高级中学2018-2019学年高二数学上学期第一次月考试题

灌南华侨双语学校高二上学期第一次月考
数学试卷
（分值160分， 时间120分钟）
一填空题：（70分）
1. 的否定是 ▲
2.“
”是方程
有实根的 ▲ 条件.(填“充分不必要”、“必要不充
分”、“充要”、“既非充分也非必要”)
3.已知命题p ：若，则；命题q ：若，则. 在命题①；②；
③；④中，真命题是 ▲ .(填序号)
4.已知焦点在y 轴上的椭圆的长轴长为8，则m= ▲ .
5.抛物线2
4y x =的准线方程为 ▲ ．
6.双曲线29
x －24y ＝1的渐近线方程是 ▲ ．
7.椭圆x 29＋y 2
2＝1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则∠F 1PF 2的大小为 ▲ ．
8. 若命题“”是真命题，则实数a 的取值范围是 ▲ .
9.已知椭圆的焦点分别为
，离心率为，过
的直线交椭
圆于A 、B 两点，则
的周长为 ▲ .
10.已知椭圆
19
252
2=+y x 上一点P 到左焦点的距离为4，则点P 到右准线的距离为 ▲ ．
11.如图，已知1F ，2F 是椭圆的左右两个焦点，过1F 且与椭圆 长轴垂直的直线交椭圆与A ，B 两点．若2ABF 是正三角形， 则椭圆的离心率为 ▲ ．
12. 命题p :
，命题
，若
为真命题，则实数m 的取值范围为 ▲
13. F 1，F 2为椭圆Γ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点M 在椭圆Γ上．若△MF 1F 2为直角三
角形，且|MF 1|＝2|MF 2|，则椭圆Γ的离心率为 ▲
14. 若不等式成立的一个充分不必要条件是，则实数m 的取值范围是
▲
二．填空题：（14+14+15+15+16+16）
15．（本小题满分14分）已知命题； 命题
. 若“p 且q ”为真命题，
求实数m 的取值范围.
16.（本小题满分14分）设p ：实数x 满足
，其中；q ：实数x 满
足. ⑴若a=1，且
为真，求实数x 的取值范围；
⑵若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.
17．（本小题满分15分）求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且过点P (2，－6)； (2)椭圆过点P (3,0)，且e ＝63
.
18.（本小题满分15分）已知双曲线Cˊ以坐标原点为中心，坐标轴为对称轴，双曲线的渐近线方程为340x y ±=，焦点在x 轴上且过A (5，94)。

（1）求双曲线Cˊ的标准方程；
（2）以抛物线x y 162
=的焦点为其一个焦点，以双曲线Cˊ的焦点为顶点,求椭圆M 的标准方程；
（3）在（2）条件下，已知点)0,1(),0,1(B A -，且D C ,分别为椭圆M 的上顶点和右顶点，点
P 是线段CD 上的动点，求∙的取值范围。

19．（本小题满分16分）
已知椭圆ax2＋by2＝1(a>0，b>0且a≠b)与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，C是AB的
中点，若AB＝22，OC的斜率为
2
2
，求椭圆的方程.
20．（本小题满分16分）
已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的点P 到左，右两焦点F 1，F 2的距离之和为22，离心率为2
2
.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过右焦点F 2的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若y 轴上一点M (0，3
7
)满足MA ＝MB ，求直线l 的斜率k 的值．
灌南华侨双语学校高二上学期第一次月考
数学试卷
（分值160分， 时间120分钟）
一填空题：（70分）
1. 的否定是________. 【答案】，使
2.“
”是方程
有实根的________条件.(填“充分不必要”、“必要不
充分”、“充要”、“既非充分也非必要”) 【答案】充分不必要
3.已知命题p ：若，则；命题q ：若，则. 在命题①；②；
③
；④
中，真命题是________.(填序号)
【答案】②③
4.已知焦点在y 轴上的椭圆的长轴长为8，则m=________.
【答案】16
5.抛物线2
4y x =的准线方程为____________． 【答案】1x =-
6.双曲线29
x －24y ＝1的渐近线方程是 ．
【答案】 230x y ±=．
7.椭圆x 29＋y 2
2
＝1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则∠F 1PF 2的大小为________．
答案：120°
8. 若命题“”是真命题，则实数a 的取值范围是________.
【答案】
9.已知椭圆的焦点分别为
，离心率为，过
的直线交椭
圆于A 、B 两点，则的周长为_______.
【答案】20
10.已知椭圆19
252
2=+y x 上一点P 到左焦点的距离为4，则点P 到右准线的距离为_________． 【答案】2
15
11.如图，已知1F ，2F 是椭圆的左右两个焦点，过1F 且与椭圆 长轴垂直的直线交椭圆与A ，B 两点．若2ABF ∆是正三角形， 则椭圆的离心率为 ． 【答案】3
3
15. 命题p :
，命题
，若
为真命题，则实数m 的取值范围为
________.
【答案】
13.F 1，F 2为椭圆Γ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点M 在椭圆Γ上．若△MF 1F 2为直角三
角形，且|MF1|＝2|MF2|，则椭圆Γ的离心率为答案
3
3
或
5
3
14.若不等式成立的一个充分不必要条件是，则实数m的取值范围是______.
【答案】
【解析】试题分析: 因为不等式的成立的充分非必要条件是，所以
，当即时，不等式的
解集为，由
得：
三．填空题：（14+14+15+15+16+16）
16．（本小题满分14分）已知命题；
命题. 若“p且q”为真命题，
求实数m的取值范围.
【答案】
【解析】由，得：，∵，∴，∴，即；
又由，，得：，记，
∴，，，
由“p且q”为真命题，知p和q都是真命题，
所以
16.（本小题满分14分）设p：实数x满足，其中；q：实数x满足.
⑴若a=1，且为真，求实数x的取值范围；
⑵若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】试题分析：（1）利用一元二次不等式的解法可化简命题p，q，若p∨q为真，则p，q至少有1个为真，即可得出；（2）根据p是q的必要不充分条件，即可得出．
试题解析：
（1）由x2﹣4ax+3a2＜0，得（x﹣3a）（x﹣a）＜0，
又a＞0，所以a＜x＜3a，
当a=1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3．
q为真时等价于（x﹣2）（x﹣3）＜0，得2＜x＜3，
即q为真时实数x的取值范围是2＜x＜3．
若p∨q为真，则实数x的取值范围是1＜x＜3．
（2）p是q的必要不充分条件，等价于q⇒p且p推不出q，
设A={x|a＜x＜3a}，B={x|2＜x＜3}，则B⇐A；
则，
所以实数a的取值范围是1≤a≤2。

17．（本小题满分15分）求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且过点P (2，－6)； (2)椭圆过点P (3,0)，且e ＝
6
3
. 解 (1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1或y 2a 2＋x 2
b
2＝1(a >b >0).
由已知得a ＝2b .①
∵椭圆过点P (2，－6)，∴4a 2＋36b 2＝1或36a 2＋4
b
2＝1.②
由①②得a 2＝148，b 2＝37或a 2＝52，b 2
＝13. 故所求椭圆的标准方程为
x 2148＋y 237＝1或y 252＋x 2
13
＝1. (2)当焦点在x 轴上时，∵椭圆过点P (3,0)，∴a ＝3. 又c
a ＝
6
3
，∴c ＝ 6. ∴b 2
＝a 2
－c 2
＝3.
此时椭圆的标准方程为x 29＋y 2
3
＝1.
当焦点在y 轴上时，∵椭圆过点P (3,0)，∴b ＝3.
又c a ＝63，∴a 2－b 2a ＝63
，∴a 2＝27. 此时椭圆的标准方程为y 227＋x 2
9＝1.
18.（本小题满分15分）已知双曲线Cˊ以坐标原点为中心，坐标轴为对称轴，双曲线的渐近
线方程为340x y ±=，焦点在x 轴上且过A (5，94
)。

（1）求双曲线Cˊ的标准方程；
（2）以抛物线x y 162=的焦点为其一个焦点，以双曲线Cˊ的焦点为顶点,求椭圆M 的标准方程；
（3）在（2）条件下，已知点)0,1(),0,1(B A -，且D C ,分别为椭圆M 的上顶点和右顶点，点P 是线段CD 上的动点，求BP AP ∙的取值范围。

【解析】（1）19
162
2=-y x ………………5分
（2）椭圆M 的标准方程：19
252
2=+y x ；………………9分 （3）设00,(y x P ），则12
020-+=∙y x BP AP ；
)50(01553:≤≤=-+x y x CD 则当CD OP ⊥时，取到最小值，即：3434155315221=+-=
d ； 当P 在D 点时，取到最大值：5=OD ，∴
2434
191≤∙≤。

………………16分
19．（本小题满分16分）
已知椭圆ax 2＋by 2
＝1(a >0，b >0且a ≠b )与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，C 是AB 的中点，若AB ＝22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程. 解 方法一 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆方程并作差，
得a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋b (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.①
∵A ，B 为直线x ＋y －1＝0上的点，∴
y 1－y 2x 1－x 2＝－1. 由已知得y 1＋y 2x 1＋x 2＝k OC ＝22
，代入①式可得b ＝2a . 直线x ＋y －1＝0的斜率k ＝－1.
又AB ＝1＋k 2|x 2－x 1|＝2|x 2－x 1|＝22，
∴|x 2－x 1|＝2.
联立ax 2＋by 2＝1与x ＋y －1＝0可得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0.
且由已知得x 1，x 2是方程(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0的两根，∴x 1＋x 2＝
2b a ＋b ，x 1x 2＝b －1a ＋b ， ∴4＝(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫2b a ＋b 2－4·b －1a ＋b .② 将b ＝2a 代入②式，解得a ＝13，∴b ＝23
. ∴所求椭圆的方程是x 23＋23
y 2＝1. 方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧ ax 2＋by 2＝1，x ＋y －1＝0，得(a ＋b )x 2
－2bx ＋b －1＝0.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝
2b a ＋b ，x 1x 2＝b －1a ＋b ， 且直线AB 的斜率k ＝－1，
∴AB ＝
k 2＋x 1－x 22 ＝k 2＋
x 1＋x 22－4x 1x 2] ＝2·4b 2－a ＋b
b －a ＋b
.
∵AB ＝22，∴
2·4b 2－a ＋b b －a ＋b ＝22， ∴a ＋b －ab a ＋b
＝1.① 设C (x ，y )，则x ＝
x 1＋x 2
2＝b a ＋b ，y ＝1－x ＝a a ＋b . ∵OC 的斜率为22， ∴a b ＝22，将其代入①式得，a ＝13，b ＝23
. ∴所求椭圆的方程为x 2
3＋23
y 2＝1.
20．（本小题满分16分） 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的点P 到左，右两焦点F 1，F 2的距离之和为22，离心率为22
. (1)求椭圆的标准方程； (2)过右焦点F 2的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若y 轴上一点M (0，37
)满足MA ＝MB ，求直线l 的斜率k 的值．
解 (1)由题意知， PF 1＋PF 2＝2a ＝22，
所以a ＝ 2. 又因为e ＝c a ＝
22， 所以c ＝22
×2＝1， 所以b 2＝a 2－c 2＝2－1＝1，
所以椭圆的标准方程为x 22
＋y 2
＝1. (2)已知椭圆的右焦点为F 2(1,0)，直线斜率显然存在， 设直线的方程为y ＝k (x －1)，
两交点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．
联立直线与椭圆的方程， 得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x －，x 22
＋y 2＝1， 化简得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2
－2＝0，
所以x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2， y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2k ＝－2k
1＋2k 2. 所以AB 的中点坐标为(2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2)． ①当k ≠0时，AB 的中垂线方程为y －－k 1＋2k 2＝－1k (x －2k 2
1＋2k 2)， 因为MA ＝MB ，
所以点M 在AB 的中垂线上，
将点M 的坐标代入直线方程，得 37＋k 1＋2k 2＝2k 1＋2k
2， 即23k 2－7k ＋3＝0，
解得k ＝3或k ＝36； ②当k ＝0时，AB 的中垂线方程为x ＝0，满足题意． 所以斜率k 的取值为0，3或
36
.。