四川省资阳市高三数学第二次模拟考试理

资阳市2010—2011学年度高中三年级第二次高考模拟考试数 学（理
工农医类）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．全卷共150分，考试时间为120分钟．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把选择题答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．
3．考试结束时，监考人将第Ⅰ卷的机读答题卡和第Ⅱ卷的答题卡一并收回． 参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那么 球是表面积公式
()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=
如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径
()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 球的体积公式
如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么
34
3
V R π=
n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径
()(1)k k
n k
n n P k C P P -=-
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目的要求的．
1．已知全集U=R ，集合1
{|}2
A x x =≥，集合{|1}
B x x =≤，那么U ()A B =ð
（A ）1{|1}2x x x ≤≥或 （B ）1
{|1}2x x x <>或
（C ）1{|1}2x x << （D ）1
{|1}2
x x ≤≤
2．已知i 是虚数单位，且,a b ∈R ，若2i
i 1i
a b -+=+，则a +b =
（A ）0 （B ）1
2
- （C ）1- （D ）2-
3．设函数lg(),0,
(),0,x x f x x x -<⎧=⎨>⎩
则下列结论不正确的是
（A ）10
lim ()1x f x →-=
（B ）1
lim ()1x f x -
→= （C ）2
lim ()2x f x +
→=（D ）0
lim ()0x f x →= 4．“2a =”是“直线1l ：410ax y +-=与直线2l ：30x ay ++=平行”的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件
（D ）既不充分也不必要条件
5．函数()sin()(0)3f x x π
ωω=+>的最小正周期为π，则该函数图象
（A ）关于直线4
x π
=
对称 （B ）关于直线3
x π
=
对称
（C ）关于点(,0)4π对称 （D ）关于点(,0)3
π
对称
6．已知向量(2,1)=--a ，10⋅=a b ，||-a b ||=b
（A ）
（B ）
（C ）20
（D ）40
7．过抛物线2x y =焦点的直线l 交抛物线于A 、B 两点，且||4AB =，则线段AB 中点到
x 轴的距离是
（A ）1
（B ）
32 （C ）74
（D ）2 8．三棱锥S －ABC 三条侧棱两两垂直，且2SA SB ==，SC =若该三棱锥的四个顶
点都在球O 的表面上，则B 、C 间的球面距离是
（A ）
23
π （B ）
43
π （C ）
2
π （D ）π
9．过椭圆左焦点F 且倾斜角为60的直线与椭圆交于A 、B 两点，若3
2
AF FB =，则椭圆的离心率等于
（A ）
25
（B （C ）
12
（D ）
23
10．若函数()f x =,a b ∈R ）定义域为R ，则3a b +的取值范围是 （A ）[2,)-+∞
（B ）[6,)-+∞
（C ）[6,)+∞
（D ）[0,)+∞
11．设{a n }是等差数列，从{a 1，a 2，a 3，··· ，a 20}中任取3个不同的数，使这三个数仍成等差数列，则这样不同的等差数列最多有
（A ）90个
（B ）120个
（C ）160个
（D ）180个
12．已知数列{}
n a 的通项公式为*2()n a n n =∈N ，现将该数列{}n a 的各项排列成如图的三角数阵：记(,)M s t 表示该数阵中第s 行
的第t 个数，则数阵中的偶数2010对应于
（A ）(46,16)M （B ）(46,25)M （C ）(45,15)M
（D ）(45,25)M
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
注意事项：
1．第Ⅱ卷共2页，请用0.5mm 的黑色墨水签字笔在答题卡上作答，不能直接答在此试题卷上．
2．答卷前将答题卡密封线内的项目填写清楚．
二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分． 把答案直接填在题目中的横线上．
13．若2822100110(1)(1)x x a a x ax a x ++=+++
+，则1210a a a ++
+的值为_______．
14．若正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于______． 15．已知圆22:890C x x y -+-=，过点(1,3)M 作直线交圆C 于,A B 两点，ABC ∆面积的最大值为_____________.
16．对于函数()f x ，若存在区间[,]M a b =（其中a b <），使得{|(),}y y f x x M M =∈=，则称区间M 为函数()f x 的一个“稳定区间”．给出下列4个函数：①2()34f x x x =-+；②()|21|x f x =-；③()cos
2
f x x π
=；④()x f x e =．其中存在“稳定区间”的函数有__________ (填
出所有满足条件的函数序号) ．
三、解答题：本大题共6个小题，共74分．解答要写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分） 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，向量(,)b c a =+m ，
(,)a b c =-n ，若//m n ，求：
（Ⅰ）角B 的大小；
（Ⅱ）cos(10)[120)]B B +︒⋅-︒的值．
18．（本小题满分12分） 如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各条棱长均为2，M 是
BC 的中点．
（Ⅰ）求证：A 1C ∥面AB 1M ；
（Ⅱ）在棱CC 1上找一点N ，使MN ⊥AB 1；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求二面角M －AB 1－N 的大小．
19．（本小题满分12分） 在一块倾斜放置的矩形木块上钉着一个形如“等腰三角形”的五行铁钉，钉子之间留有空隙作为通道，自上而下第1行2个铁钉之间有1个空隙，第2行3个铁钉之间有2个空隙……第5行6个铁钉之间有5个空隙（如图）．某人将一个玻璃球从第1行的空隙向下滚动，玻璃球碰到第2行居中的铁钉后以相等的概率滚入第2行的左空隙或右空隙，以后玻璃球按类似方式继续往下滚动，落入第5行的某一个空隙后，掉入木板下方相应的球槽．玻璃球落入不同球槽得到的分数ξ如图所示．
（Ⅰ）求E ξ；
（Ⅱ）若此人进行4次相同试验，求至少3次获得4分的概率．
20．（本小题满分12分） 等差数列{}n a 中，首项11a =，公差0d ≠，前n 项和为n S ，已知数列123,,,
,,
n k k k k a a a a 成等比数列，其中11k =，22k =，35k =．
（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n k 的通项公式； （Ⅱ）令21
n
n n a b k =
-，数列{}n b 的前n 项和为n T ．若存在一个最小正整数M ，使得当n M
>时，4n n S T >（*n ∈N ）恒成立，试求出这个最小正整数M 的值．
21．（本小题满分12分） 已知一动圆P 与圆1M ：22(4)25x y ++=和圆2M ：22(4)1x y -+=均外切（其中1M 、2M 分别为圆1M 和圆2M 的圆心）
． （Ⅰ）求动圆圆心P 的轨迹E 的方程；
（Ⅱ）若过点2M 的直线l 与曲线E 有两个交点A 、B ，求11||||AM BM ⋅的取值范围．
22．（本小题满分14分） 已知函数()1ln f x x x =--． （Ⅰ）求函数()f x 的最小值；
（Ⅱ）比较111
(1)(1)(1)2!3!!
n ++⋅⋅+与e 的大小（*,2n n ∈>N ，e 是自然对数的底数）；
（Ⅲ）对于函数()h x 和()g x 定义域上的任意实数x ，若存在常数k ，b ，使得不等式()h x kx b ≥+和()g x kx b ≤+都成立，则称直线y kx b =+是函数()h x 和()g x 的“分界线”．设
函数21
()2
h x x =，()[1()]g x e x
f x =--，试问函数()h x 和()
g x 是否存在“分界线”？若存在，
求出常数k，b的值．若不存在，说明理由．
资阳市2010—2011学年度高中三年级第二次高考模拟考试数学（理工农医类）参考答案及评分意见
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．
1－5. BCDAD；6－10. ACBAB；11－12. DC.
二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分．
13．511；14；15．25
；16．②③．
2
三、解答题：本大题共6个小题，共74分．
17．解：（Ⅰ）∵//m n
，∴()()()b c b c a a +-=， ······························································2分
即2
2
2
b c a -=
，∴222cos 2a c b B ac +-==30B =︒． ·································6分
（Ⅱ
）cos(10)[120)]B B +︒⋅-
︒cos40(1)=︒⋅︒
cos 40=︒ ··········································································································8分
2sin 40cos40cos10︒
=︒⋅
︒
······························································································································10分
sin801cos10︒
==︒
．
······································································································································12分
18．（Ⅰ）证明：连结A 1B ，交AB 1于P ，则PM //A 1C ，又PM ⊂面AB 1M ，A 1C ⊄面AB 1M ，
∴A 1C ∥面AB 1M ． ····························································································································4分 （Ⅱ）解：取B 1C 1中点H ，连接MH ，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1
中，MB 、MA 、MH 两两垂直，故分别以MB 、MA 、MH 为x 、y 、z 轴，建立如图空间坐标系．设C N a =(02a <<)
，则0)A ，1(1,0,2)B ，(0,0,0)M ，(1,0,)N a -，
∴1(1,AB =，(1,0,)MN a =-．
由1(1,(1,0,)0AB MN a ⋅=⋅-=，有120a -+=，解得1
2
a =，故在棱CC 1上的点N 满足1
2
CN =
，使MN ⊥AB 1． ······································································8分 （Ⅲ）解：由（Ⅱ）
，(0,3,
0)MA =，1
(1,0,)2
MN =-，则0MA MN ⋅=，MN MA ⊥，又
1MN AB ⊥，则面AB 1M 一个法向量11
(1,0,)2
n MN ==-．
设面AB 1N 的一个法向量2(,,)n x y z =
，1(1,AB =
，1
(1,)2
AN =-，
由1220,0,AB n AN n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
即20,
1
0,2
x z x z ⎧-+=⎪⎨--+=⎪⎩
取2912()55n =-， ·············································10分
则12
12
12
96
cos,
||||
n n
n n
n n
+
⋅
<>===
⋅
，
故二面角M－AB1－N 的大小为．·········································································12分
19．解：（Ⅰ）从第1行开始，玻璃球从一个空隙向下滚动，碰到此空隙下方的一个铁钉后以1
2
的概率落入铁钉左边的空隙，同样以
1
2
的概率落入铁钉右边的空隙．玻璃球继续往下滚动时，总有落入铁钉左边和右边空隙的两种结果．到最后落入某一个球槽内，一共进行了4次独立重复试验，设4次独立重复试验中落入左边空隙的次数为η，则
1
(4,)
2
B
η．
(6)(0,4)(0)(4)
P P P P
ξηηηη
======+=
或004440
44
11111
C()()+C()()
22228
==，·················2分
(4)(1,3)(1)(3)
P P P P
ξηηηη
======+=
或113331
44
11111
C()()+C()()
22222
==，··················4分
(2)(2)
P P
ξη
===222
4
1163
C()()
22168
===．·············································································6分则
113
642 3.5
828
Eξ=⨯+⨯+⨯=．································································································8分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，此人一次试验获得4分的概率
1
2
P=，他进行4次相同试验可以看着他进行了4次独立重复试验，················································································································10分
则至少3次获得4分的概率33144
44
1115
C()()+C()
22216
P==．·············································12分
20．解：（Ⅰ）由2
215
a a a
=⋅，得2
(1)1(14)
d d
+=⋅+，解得2
d=，21
n
a n
∴=-，··········2分
21
n
k n
a k
=-，又在等比数列中，公比2
1
3
a
q
a
==，∴1
3
n
n
k
a-
=，
1
213n
n
k-
∴-=，
1
31
2
n
n
k
-+
∴=．··································································································6分
（Ⅱ）
1
21
213
n
n n
n
a n
b
k-
-
==
-
，
则
0121
13521
3333
n n
n
T
-
-
=++++，
1231
11352321
333333
n n n
n n
T
-
--
=+++++，两式相减得：1231
2222221
1
333333
n n n
n
T
-
-
=+++++-
11
2122
33
122
233
3
n n
n n
-
-+
=+⨯-=-，∴
1
1
3
3
n n
n
T
-
+
=-．·······················································8分
∵
11
2121
3(3)0
333
n n n n n
n n n
T T
+-
+++
-=---=>，
∴
n
T单调递增，∴13
n
T
≤<．又2
n
S n
=在*
n∈N时单调递增．······································10分
且
1
1
S=，
1
44
T=；
2
4
S=，
2
48
T=；
3
9
S=，
3
92
4
9
T=；
4
1612
S=>，
4
412
T<；…．
故当3n >时，4n n S T >恒成立，则所求最小正整数M 的值为3． ·································12分
21．解：（Ⅰ）动圆P 的半径为r ，则1||5P M r =+，2||1PM r =+，1212||||4||PM PM M M -=<，故点P 的轨迹E 是以1M 、2M 为焦点的双曲线的右支． ·····························································2分
设方程为22
221()x y x a a b
-=≥，知24a =，28c =，所以2a =，4c =，22212b c a =-=，
故轨迹E 的方程为22
1(2)412
x y x -=≥．
·······························································································4分 （Ⅱ）当直线l 的斜率存在时，设其方程为(4)y k x =-，
联立方程组22(4),1,412
y k x x y =-⎧⎪
⎨-
=⎪⎩消去y ，得2222(3)816120k x k x k -+--=，
设11(,)A x y ，22(,)B x y ，其中12x ≥，22x ≥，
且2422
2122
212230,644(3)(1612)0,
80,316120,
3k k k k k x x k k x x k ⎧-≠⎪∆=+-+>⎪⎪
⎨+=->-⎪
⎪--⎪=>-⎩
解得23k >． ·······························································6分
双曲线左准线方程为1x =-．离心率2e =，根据双曲线第二定义，有1112||||
211
AM BM x x ==++， ∴11121212||||2(1)2(1)4(1)AM BM x x x x x x ⋅=+⨯+=+++ ····················································8分
22
22161284(1)33k k k k --=-+--2225943
k k +=⨯
-2844(25)1003k =+>-， ····································10分 当直线l 的斜率不存在时，易求得11||||100AM BM ⋅=， ····················································11分
故11||||[100,)AM BM ⋅∈+∞．··········································································································12分
22．解：（Ⅰ）
()1ln f x x x =--，1
()1f x x
'∴=-
．∴当(0,1)x ∈时，()0f x '<，()f x 是减函数；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 是增函数． 2分 ∴()f x 在(0,)+∞上的极小值也为最小值，且最小值为(1)0f =．
··································4分 （Ⅱ）据（Ⅰ）知()1ln 0f x x x =--≥，知当0x >时， ln 1x x ≤-， ·······················6分
故当2n >时，
111ln[(1)(1)(1)]2!3!!n ++⋅⋅+
111ln(1)ln(1)ln(1)2!3!!n =++++++111
(11)(11)(11)2!3!!
n ≤+-++-+++-
111
2!3!!n =+++1111122334
(1)n n ≤
++++⨯⨯⨯-⨯ 111111(1)()()112231n n n =-+-++-=-<-．
故111
(1)(1)(1)e 2!3!!
n ++⋅⋅+<． ·································································································8分
（Ⅲ）令2
1()()()ln 2
F x h x g x x e x =-=
-（0x >）
，则()e F x x x '=-=
（0x >），∴当x ∈时，()0F x '<，
()F x 是减函数；当)x ∈+∞时，()0F x '>，()F x
是增函数．∴()F x 的最小值0F =，
则()h x 与()g x 的图象在x )2e
． ···························································10分
设函数()h x 和()g x 存在“分界线”，方程为(2e y k x -=，有()2
e
h x kx ≥+-
x ∈R 时恒成立，即2220x kx e --+在x ∈R 时恒成立，由2244(2)4(0k e k ∆=-=≤，
得k =2
e
y =-． ···············································································12分
记()ln 2
e
G x e x =+（0x >），则()e G x x '=-=（0x >），
当x ∈时，()0G x '>， 函数()G x 是增函数；当)x ∈+∞时，()0G x '<，函数()G x 是减函数．
∴当x ()G x 取得最大值0，即()2
e
g x ≤-在0x >时恒成立．
综上所述，函数()h x 和()g x 存在“分界线”，其中k =2e
b =-． ························14分。