第十四章 静定结构的位移计算

解: （1）设虚拟状态（如上图b所示） （2）计算 F
N
和FNP（标于上图 b.a ）
（3）代公式求C点的竖向位移
FN F N l VC EA 2 2 F 2 a 2 P 1 2 EA 1 1 FP 2a 2 FP 2a 2 FP a 42 2 EA




例14-2 图示钢桁架，图中括号内数值为杆 件横截面面积（单位cm2 ）。许可挠度与跨 w 1 ，试校核桁架的刚度。 长的比值 l 800

解 对称简支桁架在对称荷载作用下，最大挠度发 生在桁架的对称面处。 须计算结点3的竖向位移，然后进行刚度校核。 1）建立虚拟状态（如图b 所示） 2）计算
M max Fl P 4
＝
40 103 N 3 103 mm 4
＝3 107 N mm
按弯曲正应力强度条件选截面
M max W M max 3 107 N mm W 160 MPa 1.875 105 mm3 187.5cm3
F N 和FNP，并标于图b、a 上
3）求3点的竖向位移，进行刚度校核
3 P F N FNPl 1 l F N FNP EA E A
计算半个桁架的 F N FNP
l A
，列表如下:
FNP/N
杆件 编号 上弦 6-7 下弦 1-3 斜杆 1-6 斜杆 3-6 竖杆 2-6 竖杆 3-7

l/mm A/mm2
/(1/mm) A

F
N
FNP FN l /( N / mm) A
6000
10000
0.6 1.2 0.8 2
-750000 -0.75
+600000 +0.375
-1000000
337500 270000 500000 312500
12000 10000 10000 12500 10000 5000
五、 计算位移的目的 有以下三个方面： 1、验算结构刚度。即验算结构的位移是否 超过允许的位移限制值
2、为超静定结构的计算打基础。在计算超 静定结构内力时，除利用静力平衡条件外，还 需要考虑变形协调条件，因此需计算结构的位 移。 3、在结构的制作、架设、养护过程中，有 时需要预先知道结构的变形情况，以便采取一定 的施工措施，因而也需要进行位移计算。
所以，桁架满足刚度条件
五、梁的位移及刚度校核 1、 梁的位移 挠度： 横截面形心在垂直于轴线方向的线位移 用w 表示， 规定w 向下为正。 转角： 横截面的角位移 ，规定顺时针转为正
在工程设计手册中列有常见梁的位移的计算结果 （如表14.1所示），可供计算时查用。 表14.1 梁的挠度与转角公式
一个虚位移时，变形体所受外力在虚位移上所
作虚功的总和，等于变形体的内力在虚位移的
相应变形上所作虚功的总和。 虚功原理也可以简述为： “外力的虚功等于内力的虚变形功”。
二、 单位荷载法
1、定义：应用虚功原理，通过加单位荷载 求实际位移的方法。
2、计算结构位移的一般公式
F
K+
FRiCi= M d + FNdu + F Qdv
-0.625
250000 +0.625
0 0
0 0
1420000
根据上表，得
wmax 3 P 1 l 2 1420000 F N FNP mm 13.5mm E A 210000
wmax 13.5mm 1 l 24000mm 1775
<
1 w l 800
Ml 2 9 3EI
B
Ml - 3EI
（在 x
l 处） 3
2．梁的刚度校核
梁的位移过大，则不能正常工作 对于梁的挠度，其许可值以许可的挠度与梁跨长 之比
w l
为标准
w l
在工程上，吊车梁的
＝ 1/600
铁路钢桁梁的
w l
＝ 1/900
3）欲求两点的相对线位移，在两点的连线上加 一对指向相反的单位集中力 4）欲求两处的相对角位移，加一对指向相反的 单位集中力偶
5）欲求桁架某杆的角位移在杆的两端加一对 平行、反向的集中力，两力形成单位力偶。 力偶臂为d ，每一力的大小为1/d
力和力偶统称为广义力，单位广义力用
X =1表示
线位移和角位移统称广义位移，用⊿表示
则
式中， F =1
K= M d + FN du + F Q dv — FRiCi
经进一步推导，可得
F Q F QP F N FNP MMP K ds ds ＋ ds F Ri Ci EI EA GA
式中：
E
A
弹性模量； G
wmax w l l
梁的刚度条件为:
例14-3 图示简支梁由工字钢制成， 跨度中 点处承受集中载荷 Fp。已知Fp=40KN，跨度
l=3m ，许用应力[ ]=160MPa，许用挠度[w]=
l /500，弹性模量E=2×105MPa ，试选择工字钢
的型号。
解 （1）按强度条件选择工字钢型号 梁的最大弯矩为：
虚功： 力在其他因素引起的位移上作的功 其特点是位移与作功的力无关，在作功的过程 中，力的大小保持不变
梁弯曲后，再在点2处加静力荷载FP2，梁产生新 的弯曲。位移 12为力FP2引起的FP1的作用点沿FP1 方向的位移。力FP1在位移 12 上作了功，为虚 功，大小为 W12=FP1 12
荷载类型 转角 最大挠度
1.悬臂梁
集中荷载作用在自由端
B
2.悬臂梁
FP l 2 EI
2
wmax
FP l 3 3EI
弯曲力偶作用在自由端
Ml B EI
wmax
Ml 2 2 EI
续表
3.悬臂梁 均匀分布荷载作用在梁上
ql 3 B 6 EI
wmax
ql 8EI
4
4.简支梁 集中荷载作用跨中位置上
图a 所示矩形截面圆弧形钢杆，轴线的半径与 截面高度之比r/h=10,弹性模量之比E/G=2.5， 曲杆B端形心在竖向荷载F 作用下的竖向线位移 由对应于弯矩、轴力、剪力、曲率的四部分组 成： M N Q r
P
BP
设虚拟状态（图b）计算虚内力，用截面法计 算实际状态的内力，代人位移公式运算，并注 意矩形截面的不均匀系数 =1.2 ，计算结 果为
梁的刚度足够 所以，选用20a工字钢
3、提高梁抗弯刚度的措施 梁的挠度和转角与梁的抗弯刚度EI 、梁的跨 度L 、荷载作用情况有关，那么，要提高梁的 抗弯刚度可以采取以下措施： (1) 增大梁的抗弯刚度EI
增大梁的EI值主要是设法增大梁截面的惯性矩I 值，一般不采用增大E 值的方法。 在截面面积不变的情况下，采用合理的截面形 状，可提高惯性矩I 。
单位广义力有截然相反的两种设向，计算出的 广义位移则有正负之分： 正值表示广义位移的方向与广义力所设的指向相同 负值表示广义位移的方向与广义力所设的指向相反
四、
静定桁架的位移计算
计算步骤为
（1）设虚拟状态；
（2）计算 F ,FNP ; （3）用桁架的位移计算公式计算位移。
例14-1 图示桁架各杆的EA相等，求C 结点 的竖向位移 vc

BP
E 12 1 k 2 4 EA G h
2
FP r r
=
FP r
4 EA
1200 1 3 2
BP
中弯矩、轴力、剪力、曲率对应的四 部分之比

M
: N :Q : r = 1200 : 1 : 3 : 2
二、各类杆件结构在荷载作用下的位移公式 （1）梁和刚架
梁式杆的位移中弯矩的影响是主要的 ， 位移计算公式中取第一项便具有足够的工 程精度
KP
MMP ds EI
（2）桁架
各杆为链杆，而中的 第二项并简化为实用的形式
KP F N FNP F N FNP ds ds EA EA
在小变形条件下， 12由图示的原始形状、尺 寸计算，并称此状态为虚功计算的位移状态。与 之相应， FP1单独作用的状态 为虚功计算的力 状态。
当力状态的外力在位移状态的位移上作外力虚功 时，力状态的内力也在位移状态各微段的变形上 作内力虚功。
根据功和能的原理可得变形体的虚功原理：
任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意
KP
F N FNPl EA
（3）组合结构
既有梁式杆，又有链杆，取用公式中的前两项
KP
（4）拱
F N FNPl MM P ds EI EA
一般计轴力、弯矩的影响，剪切变形的影响忽 略不计
KP F N FNPl MM P ds EI EA
三、虚拟状态的选取 欲求结构在荷载作用下的指定位移，须取相应 的虚拟状态。即取同一结构，在要求位移的地 方，沿着要求位移的方位虚加单位荷载： 1）欲求一点的线位移，加一个单位集中力 2）欲求一处的角位移，加一个单位集中力偶
第十四章 静定结构的位移计算
14．1 一、结构位移的定义
概
述
结构在荷载或其它因素作用下，会发生变形。由 于变形，结构上各点的位置将会移动，杆件的横 截面会转动，这些移动和转动称为结构的位移。
二、位移的分类 线位移：截面形心的直线移动距离 位 移 角位移：截面的转角
绝对位移
位 移 广义位移
相对位移
14.2
虚功原理和单位荷载法
一、变形体的虚功原理
功：力对物体在一段路程上累积效应的量度， 也是传递和转换能量的量度 实功 ：力在自身引起的位移上所作的功 力Fp1在位移 上作的实功 当静力加载时，即： FP1由0增加至FP1 14 由0增加至 14 W14=
1 FP1 14 2

14
14
对于曲杆（曲率半径r），荷载作用下的位移公式为
kF Q FQP F N FNP MM P KP ds ds ds EI EA GA
＋
M FNP F NMP ds ds EAr EAr
弯 矩 的 影 响
轴 力 的 影 响
剪 力 的 影 响
曲 率 的 影 响
三、刚架的位移举例 A 点的线位移 A 水平线位移 竖向线位移
AH
AV
截面A 的角位移
A
C、D 两点的水平相对线位移
( C D)H = C +
A、B两个截面的相对转角
D
AB= + B A
四、引起位移的原因
一般有：荷载（如前两刚架）、温度改变 （如图a）、支座移动（如图b）材料收缩、 制造误差等
（2）减小梁的跨度L 梁的变形与其跨度的n次幂成正比。设法减小 梁的跨度L ，将有效地减小梁的变形，从而提 高其刚度。在结构构造允许的情况下，可采用 两种办法减小L 值： ①增加中间支座
5ql 4 fa 384 EI
而
fb
１ 38
fa
②两端支座内移
如图所示，将简支梁的支座向中间移动而变 成外伸梁，一方面减小了梁的跨度，从而减 小梁跨中的最大挠度；另一方面在梁外伸部 分的荷载作用下，使梁跨中产生向上的挠度 （图c），从而使梁中段在荷载作用下产生
ab l 2
时
16 EI
l ab 时 2
2 A － FP l B
wmax
FPl 3 48EI
续表
5简支梁 均匀分布荷载作用在梁上
ql 3 A - B 24 EI
wmax
5ql 4 384 EI
6简支梁 弯曲力偶作用在梁的一端
Ml A 6 EI
wmax
横截面积； I
剪切模量；
截面惯性矩；
k
截面形状系数。如：对矩形截面
k=6/5;圆形截面k=10/9。
14.3 静定结构在荷载作用下的位移计算 一、静定结构在荷载作用下的位移公式 如果结构只有荷载作用，因支座移动引起的刚 Ci 体位移 ＝0，位移公式则为
F N FNP MM P KP ds ds EI EA kF Q FQP ds GA
查型钢表选用20a工字钢,其弯曲截面系数为 237cm3，惯性矩I=2370cm4 （2）校核梁的刚度
40 103 N (3000mm)3 w 48EI 48 2 105 MPa 2.37 107 mm4 Fpl 3
=4.75mm<[
w ]=
3000mm 6mm 500