2015高考数学(新课标)大二轮复习配套课件：专题2 再谈数形结合的应用 第4练

D.(0,3)
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解析 设t＝f(x)，则方程为t2－at＝0，解得t＝0或t＝a，
即f(x)＝0或f(x)＝a.
如图，作出函数f(x)的图象，
由函数图象，可知f(x)＝0的解有两个，
故要使方程f2(x)－af(x)＝0恰有5个不同的解，
例 1 设定义域为 R 的函数 f(x)＝ 破题切入点
|lg x|，x>0， －x2－2x，x≤0，
则关于 x 的函数
将函数的零点问题转 化为对应方程根的问题.
y＝2f2(x)－3f(x)＋1 的零点的个数为
________.
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题型一 函数与方程的转化
解析
由y＝2f2(x)－3f(x)＋1＝0得f(x)＝
答案 A
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1 2 3 4 5x)＝x3＋ax2＋bx＋c有两个极值点x1，x2.若f(x1) ＝x1<x2，则关于x的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的不同实根 的个数为( )
A.3
B.4 C.5 D.6
f－21af1≤0， －1<－21a<1， f－1·f1>0，
解得
5 a>2.
综上，实数 a 的取值范围为12，＋∞. 答案 12，＋∞
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10.已知定义在R上的单调递增奇函数f(x)，若当0≤θ≤ 时π2 ， f(cos2θ＋2msin θ)＋f(－2m－2)<0恒成立，则实数m的取值范围
恒成立，则a的取值范围________.
解析 因为f(x)＝(x－a)2＋2－a2，
所以此二次函数图象的对称轴为x＝a.
①当a∈(－∞，－1)时，f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，
所以f(x)min＝f(－1)＝2a＋3. 要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a， 即2a＋3≥a，解得a≥－3，即－3≤a<－1.
3 2
∉[－1,1]，不合题意，故a≠0.
下面就a≠0分两种情况讨论：
①当f(－1)·f(1)≤0时，f(x)在[－1,1]上有一个零点，
即(2a－5)(2a－1)≤0，解得12≤a≤52.
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②当f(－1)·f(1)>0时，f(x)在[－1,1]上有零点的条件是
C.(－∞，－2] D.[1,2]
解析 ∵f(x)＝(x－1)2＋2，其对称轴为x＝1，
当x＝1时，f(x)min＝2，故m≥1， 又∵f(0)＝3，f(2)＝3，∴m≤2.
综上可知1≤m≤2.
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3.方程 x2－32x－m＝0 在 x∈[－1,1]上有实根，则 m 的取
解析 方法一 由题意可知f(x)>0的解集为{x|－1<x< 1}， 2
故f(10x)>0等价于－1<10x< 1， 2
由指数函数的值域为(0，＋∞)，知一定有10x>－1，
而10x<
12可化为10x<
lg
10
1 2
，
即10x<10－lg 2.
由指数函数的单调性可知x<－lg 2，故选D.
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解析 因为函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有两个极值点x1，x2， 可知关于导函数的方程f′(x)＝3x2＋2ax＋b＝0有两个不等
的实根x1，x2.
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则方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的根的个数就是方程f(x)＝x1 和f(x)＝x2的不等实根的个数之和， 再结合图象可看出函数y＝f(x)的图象与直线y＝x1和直线y＝ x2共有3个不同的交点， 故所求方程有3个不同的实根. 答案 A
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当 0≤θ<π2时，m>－211＋－ssinin2θθ，
令t＝1－sin θ，则t∈(0,1]， 此时 m>－12×1＋1t－t2＝－12(t＋2t －2). 设 φ(t)＝－12(t＋2t －2)， 而 φ(t)在 t∈(0,1]上的值域是(－∞，－12]，故 m>－12.
∴Δx1≥＋0x，2＝－p＋2≤0， ∴p≥0.
综上所述，p>－4.
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2.已知函数f(x)＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上的最大值为3，最
小值为2，则m的取值范围为( ) D
A.[1，＋∞)
B.[0,2]
f2＝6m＋5>0
m<－12， m∈R， ⇒m<－12， m>－56.
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题型三 方程与不等式的转化
即－56<m<－12， 故 m 的取值范围是(－56，－12).
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题型三 方程与不等式的转化
(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m的取值范围.
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总结提高 “三个二次”是一个整体，不可分割.有关“三个二次” 问题的解决办法通常是利用转化与化归思想来将其转化，其 中用到的方法主要有数形结合、分类讨论的思想，其最基本 的理念可以说是严格按照一元二次不等式的解决步骤来处理.
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1.若A＝{x|x2＋(p＋2)x＋1＝0，x∈R}，B＝{x|x>0}，且A∩B
＝∅，则实数p的取值范围是( ) A
A.p>－4
B.－4<p<0 C.p≥0
D.R
解析 当A＝∅时，Δ＝(p＋2)2－4<0，
∴－4<p<0.
当A≠∅时，方程x2＋(p＋2)x＋1＝0有一个或两个非正根，
1 2
或f(x)＝1，
如图画出f(x)的图象，由f(x)＝ 1 知有4个根， 2
由f(x)＝1知有3个根，
故函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1共有7个零点.
答案 7
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题型二 函数与不等式的转化
例2
已知一元二次不等式f(x)<0的解集为{x|x<
破题切入点 由题意，可得
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解析 由于a<b<c，所以f(a)＝0＋(a－b)(a－c)＋0>0，f(b)＝ (b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0. 因此有f(a)·f(b)<0，f(b)·f(c)<0， 又因f(x)是关于x的二次函数，函数的图象是连续不断的曲线， 因此函数f(x)的两零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内，故 选A.
解 抛物线与x轴交点的横坐标均在区间(0,1)
内，如右图所示，列不等式组
f0>0 f1>0 Δ≥0
0<－m<1
m>－12， ⇒m>－12，
m≥1＋ 2或m≤1－ 2， －1<m<0.
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题型三 方程与不等式的转化
即－12<m≤1－ 2. 故 m 的取值范围是(－12，1－ 2].
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4.已知函数 f(x)＝xx＋ 2－12，x＋x≤1，0，x>0， 若关于 x 的方程
f2(x)－af(x)＝0 恰有 5 个不同的实数解，则 a 的取值范
围是( )
A.(0,1)
B.(0,2)
C.(1,2)
值范围是( )
A.m≤－196
B.－196<m<52
C.m≥52
D.－196≤m≤52
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解析 m＝x2－32x＝x－342－196，x∈[－1,1].
当 x＝－1 时，m 取最大值为52， 当 x＝34时，m 取最小值为－196，∴－196≤m≤52. 答案 D
固定到区间内，转
另一根在区间(1,2)内，求m的取值范围；
化为不等式(组)进行
求解.
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题型三 方程与不等式的转化
解 由条件，抛物线f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1与x
轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，如右图所
示，
f0＝2m＋1<0 得ff－ 1＝1＝ 4m2＋>02<0
第二十四页，编辑于星期五：十五点 十二分。
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7.若关于x的不等式(2x－1)2<ax2的解集中整数恰好有3个，则 实数a的取值范围是_____2_95_，__41_96.
解析 因为不等式等价于(－a＋4)x2－4x＋1<0，
其中(－a＋4)x2－4x＋1＝0中的Δ＝4a>0，且有4－a>0，
题型二 函数与不等式的转化
方法二 当x＝1时，f(10)<0，排除A，C选项. 当x＝－1时，f( 110)>0，排除B. 答案 D
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题型三 方程与不等式的转化
例3 已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1 破题切入点
＝0.
将二次函数的特
殊点按照题目要求
(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，
是________.
解析 方法一 f(cos2θ＋2msin θ)＋f(－2m－2)<0⇒f(cos2θ＋
2msin θ)<f(2m＋2)⇒cos2θ＋2msin θ<2m＋2⇒2m(1－sin θ)>－1
－sin2θ.
当θ＝
π 2
时，2m·0>－2，此时m∈R；
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则方程f(x)＝a的解必有三个，此时0<a<1.
所以a的取值范围是(0,1).
答案 A
第二十页，编辑于星期五：十五点 十二分。
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5.(2013·重庆)若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c) ＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间( ) A.(a，b)和(b，c)内 B.(－∞，a)和(a，b)内 C.(b，c)和(c，＋∞)内 D.(－∞，a)和(c，＋∞)内
故 0<a<4，不等式的解集为2＋1
1 a<x<2－
a，14<2＋1
a<12，
则一定有{1,2,3}为所求的整数解集.
所以
1 3<2－
25 49
a≤4，解得 a 的范围为 9 ，16 .
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8.已知函数f(x)＝x2－2ax＋2，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a
专题2 不等式与线性规划
第一页，编辑于星期五：十五点 十二分。
第 4 练 再谈“三个二次”的转化策略
典例剖析
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第二页，编辑于星期五：十五点 十二分。
典例剖析 ➢ 题型一 函数与方程的转化 ➢ 题型二 函数与不等式的转化
➢ 题型三 方程与不等式的转化
第三页，编辑于星期五：十五点 十二分。
题型一 函数与方程的转化
第二十六页，编辑于星期五：十五点 十二分。
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②当a∈[－1，＋∞)时，f(x)min＝f(a)＝2－a2. 要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a， 即2－a2≥a，解得－2≤a≤1，即－1≤a≤1. 综上，实数a的取值范围为[－3,1]. 答案 [－3,1]
－1或x> }，则1f(10x)>0的解集为( ) 2
A.{x|x<－1或x>lg 2}
B.{x|－1<x<lg 2}
f(10x)>0 等 价 于 － 1<10x< 12， 由
指数函数的单调
C.{x|x>－lg 2} D.{x|x<－lg 2}
性即可求解.
第六页，编辑于星期五：十五点 十二分。
题型二 函数与不等式的转化
第二十七页，编辑于星期五：十五点 十二分。
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9.已知函数f(x)＝2ax2＋2x－3.如果函数y＝f(x)在区间[－1,1]上有
零点，则实数a的取值范围为______________.
解析 若a＝0，则f(x)＝2x－3，
f(x)＝0⇒x＝