2019春九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系小专题(一)求锐角的三角函数值课件(新版)北师大版

������������ �����������
=
4 10 k. 5 10 ,即 sad 5
4 10 k. 5
α=
10 . 5
内部文件，请勿外传
解:图略. ( 1 )tan ∠ABC=2,sin ∠ABC= ( 2 )BE=2 5.
2 5 . 5
类型5 构造法求三角函数值
12.如图,在平面直角坐标系中,点 A 的坐标为( 3,4 ),那么 sin α 的值 是( C ) A.
3 5
B.
3 4
C.
4 5
D.
4 3
13.如图,在△ABC 中,∠B=135° ,tan
( 2 )S△ABC= · AB· CD= ×9×6=27.
1 2 1 2
2 ������������ A= ,∴AD= =15, 5 tan������
14.学习过三角函数,我们知道在直角三角形中,一个锐角的大小与两 条边长的比值相互唯一确定,因此边长与角的大小之间可以相互转 化.类似的,可以在等腰三角形中建立边角之间的联系,我们定义:等 腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对( sad ).如图,在△ABC 中,AB=AC,顶角 A 的正对记作 sad A,这时 sad A=
在 Rt△ACB 中,由勾股定理得 BC= ( 3������ )2 -( 2������ )2 = 5x.
∵tan
2������ ∴在 Rt△EFB 中,EF=BF· tan B= , 5 2������ ������������ 5 ∴CE=EF= 5,∴tan ∠CAE=������������ = 5 .
类型 4 等角代换求三角函数值 9.在△ABC 中,∠C=90° ,a,b,c 分别是∠A,∠B,∠C 的对边,那么 c 等于 ( B ) A.a· cos A+b· sin B B.a· sin A+b· sin B ������ ������ ������ ������ C.sin������ + sin������ D.cos������ + sin������
3 5
∴DH=AD· sin A= k,AH= ������������ 2 -������������ 2 = 5
4
12
16 k. 5
则在△CDH 中,CH=AC-AH=5k,CD= ������������ 2 + ������������ 2 = 于是在△ACD 中,AD=AC=4k,CD= 由正对的定义可得,sad A=
2 A= ,BC=6 5
2.
( 1 )求 AC 的长; ( 2 )求△ABC 的面积.
解:( 1 )过点 C 作 CD⊥AB 交 AB 的延长线于点 D. ∵在△ABC 中,∠ABC=135° , ∴∠CBD=45° ,∴BD=CD. ∵BC=6 2,∴BD=CD=6.
∵tan
∴AB=AD-BD=9.∴AC= 152 + 62 =3 29.
( 3 )已知 sin α=5,其中 α 为锐角,试求 sad α 的值.
解:( 3 )如图,在△ABC 中,∠ACB=90° ,sin A= .
3 5
3
在 AB 上取点 D,使 AD=AC, 作 DH⊥AC,H 为垂足,令 BC=3k,AB=5k, 则 AD=AC= ( 5������ )2 -( 3������ )2 =4k, 又∵在△ADH 中,∠AHD=90° ,sin A= .
类型 1 运用定义求三角函数值
������������ ������������ 2 A.5
1.在 Rt△ABC 中,CD 是斜边 AB 上的高线,已知∠ACD 的正弦值是3, 则 的值是( D )
3 B.5 5 C. 2 2 D.3
2
2.如图,在 Rt△ABC 中,CD 是斜边 AB 上的高,则下列线段的比等于 sin A 的是( A ) A.������������
������������ C.������������ ������������
B.������������
������������
������������ D.������������
3.一个等腰三角形的腰是10,底边是12,求这个三角形顶角的正弦值、 余弦值和正切值.
解:设三角形顶角为∠A,底角为∠B,∠C.则有 AB=AC=10,BC=12,作 AD⊥BC 于点 D,作 CE⊥AB 于点 E. ∵AB=AC,AD⊥BC,∴BD=CD=6. 在 Rt△ABD 中,AD= ������������2 -������������ 2 = 102 -62 =8,
底边 腰
= ������������.容易知道
������������
一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的. 根据上述对角的正对的定义,解下列问题: ( 1 )sad 60° 的值为( B ) A.
1 2
B.1
C.
3 2
D.2
( 2 )对于0°<∠A<180°,∠A的正对值sad A的取值范围是 0<sad A<2 .
解:设 AB=x,在△ABD 中,
∵∠ADB=45° ,∠B=90° , ∴AB=BD=x. ∵∠B=90° ,∠ACB=60° ,∴BC= = tan60°
又∵BD=BC+DC,∴x= 3 x+10,
3 ������ 3 x. 3
∴x=15+5 3,∴AB 的长为 15+5 3.
6.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分线交BC于点E,EF⊥AB于点 F,F恰好是AB的一个三等分点( AF>BF ). ( 1 )求证:AC=AF; ( 2 )求tan ∠CAE的值. 解:( 1 )∵∠C=90° ,∴EC⊥AC. ∵AE 平分∠BAC,EF⊥AB,∴EC=EF. 在 Rt△ACE 和 Rt△AFE 中,EC=EF,AE=AE, ∴Rt△ACE≌Rt△AFE,∴AC=AF. ( 2 )∵F 是 AB 的一个三等分点( AF>BF ), ∴设 BF=x,AF=2x,则 AC=2x,AB=3x.
=
2.8 =0.28,tan 10
∠
类型 2 巧设参数求三角函数值 4.若 a,b,c 是△ABC 中∠A,∠B,∠C 的对边,且 a∶b∶c=1∶ 2 ∶ 3, 则 cos B 的值为( B )
6 A. 3 3 B. 3 2 C. 2 2 D. 4
5.如图,在△ABC中,∠B=90°,C是BD上一 点,DC=10,∠ADB=45°,∠ACB=60°,求AB的长.
第一章 直角三角形的边角关系
求锐角三角函数值的方法很多,且方法灵活,是中考中常见的题 型,可以根据已知条件结合图形选用灵活的求解方法.现将求锐角 三角函数值的常用方法总结如下:①直接根据定义求三角函数值, 首先求出相应边的长度,然后代入三角函数公式计算即可;②若已 知两边的比值或一个三角函数值,而不能直接求出对应边的长,则 可采用设元的方法求解;③利用互余两角的三角函数关系式,改求 其余角的三角函数值;④当直接用三角函数定义求某锐角的三角函 数值较为困难时,可通过相等角进行转换求解.
������������ B=������������
=
2������ 5������
=
2 , 5
类型3 利用互余的两角的三角函数关系求锐角三角函数值 7.在△ABC中,∠C=90°,则下列式子成立的( A ) A.sin A=cos B B.sin A· tan A=cos A C.sin A· cos B=1 D.sin A=sin ( 90°-A ) 8.在△ABC中,∠A,∠B为锐角,且有sin A=cos B,则这个三角形是( B ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.锐角三角形
1 1 又∵S△ABC= AB· CE= BC· AD, 2 2
∴CE=9.6.
在 Rt△ACE 中,AE= ������������ 2 -������������ 2 = 102 -9.62 =2.8,
������������ 9.6 ∴sin ∠BAC=������������ = 10 =0.96,cos ������������ 9.6 24 BAC=������������ = 2.8 = 7 . ������������ ∠BAC= ������������
10.( 咸宁中考 )如图,已知直线 l1∥l2∥l3∥l4,相邻两条平行直线 间的距离都是 1,如果正方形 ABCD 的四个顶点分别在四条直线上, 则 sin α=
5 5
.
11.请你画出一个以BC为底边的等腰△ABC,使底边上的高AD=BC. ( 1 )求tan ∠ABC和sin ∠ABC的值; ( 2 )在你所画的等腰△ABC中,假设底边BC=5,求腰上的高BE.