中考第二轮复习-开放探索问题

【本讲教育信息】
一、教学内容：
专题五：开放探索问题
二、知识要点：
开放与探索性问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断、补充并加以证明的题型，一般分为三类：①条件探究型题；②结论探究型题；③探究存在型题。

条件探究型题是指所给问题中结论明确，需要完备条件的题目。

结论探究型题是指题目中结论不确定，不唯一，或题目结论需要类比，引申推广，或题目给出特例，要通过归纳总结出一般结论。

探究存在型题是指在一定的前提下，需探究发现某种数学关系是否存在的题目。

三、考点分析：
开放探索性问题需由解题者依题意进行探索，确定结论或补全条件或选择不同的解题策略后再进行解题。

开放探索题采用的题型有填空题、选择题，但多数为解答题，所占分数约为全卷总分的8%~10%，难度较大。

【典型例题】
题型一问题中条件不足，探索充分条件
一种是直接补齐条件，使题目结论成立；另一种是需要我们作出探索去补齐条件，使题目结论成立。

这两种情况所需补充的条件往往不唯一。

例1.如图所示，D、E是△ABC中BC边上的两点，AD＝AE，要证明△ABE≌△ACD，还应补充什么条件？
A
12
B C
D E
分析：这是一道条件开放题，解题关键是由AD＝AE，可以得出∠1＝∠2，这样要证明三角形全等就已经具备了两个条件。

在△ABE和△ACD中只需要再有一个条件，即可证明△ABE≌△ACD。

解：可补充以下条件之一：
（1）BE＝CD（SAS）；（2）BD＝CE（此时BE＝CD）；（3）∠BAE＝∠CAD（ASA）；（4）∠BAD＝∠CAE（此时∠BAE＝∠CAD）；（5）∠B＝∠C（AAS）；（6）AB＝AC（此时∠B＝∠C），……。

评析：本题应充分利用已掌握的知识，从多个角度去思考、分析，并大胆猜想，寻求
尽可能多的方法。

例2.已知△ABC内接于⊙O，
（1）当点O与AB有怎样的位置关系时，∠ACB是直角？
（2）在满足（1）的条件下，过点C作直线交AB于D，当CD与AB有什么样的关系时，△ABC∽△CBD∽△ACD？
（3）画出符合（1）、（2）题意的图形，使图形中的CD＝2cm。

A B
分析：（1）要使∠ACB＝90°，弦AB必须是直径，即O应是AB的中点；（2）当CD ⊥AB时，结论成立；（3）由（2）知CD2＝AD·DB，即AD·DB＝22＝4，可作直径AB 为5的⊙O，在AB上取一点D，使AD＝1，BD＝4，过D作CD⊥AB交⊙O于C点，连结AC、BC，即得所求。

解：（1）当点O在AB上（即O为AB的中点）时，∠ACB是直角；
（2）∵∠ACB是直角，∴当CD⊥AB时，△ABC∽△CBD∽△ACD；
（3）作直径AB为5的⊙O，在AB上取一点D，使AD＝1，BD＝4，过D点作CD ⊥AB交⊙O于C点，连结AC、BC，即为所求（如下图所示）。

A B
评析：本题是一个简单的几何条件探索题，它突破了过去“假设——求证”的封闭式论证，而是给出问题的结论，逆求结论成立的条件，强化了对学生通过观察、分析、猜想、推理、判断等探索活动分析和解决问题的要求。

看似平常，实际上非常精彩。

题型二题目中给出明确条件，探索多种结论
给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论，并且符合条件的结论往往呈现多样性。

例3.将两块完全相同的等腰直角三角形摆成如图的样子，假设图形中的所有点、线都在同一平面内，回答下列问题：
（1）图中共有多少个三角形？把它们一一写出来；
（2）图中有相似（不包括全等）三角形吗？如果有，就把它们一一写出来。

A
B C
D
E
F
G 1
2
分析：（1）先看△ABC中，一一数来共有6个三角形，再加上△AFG，共七个三角形；（2）由于∠DAE＝∠B＝∠C＝45°，∠ADE＝∠B＋∠1＝45°＋∠1＝∠BAE，同理∠AED
＝∠CAD ，可得出△ADE ∽△BAE ∽△CDA 。

解：（1）共有七个三角形，它们是：△ABD 、△ABE 、△ABC 、△ADE 、△ADC 、△AEC 、△AFG 。

（2）有相似三角形，它们是：△ADE ∽△BAE ，△BAE ∽△CDA ，△ADE ∽△CDA （或△ADE ∽△BAE ∽△CDA ）。

评析：本题为考生提供了广阔的探究空间，通过分析、判断，有利于学生创新意识的形成和思维能力的培养。

题型三 变换某个题设条件后，探索结论的存在性
相应的结论的“存在性”需要解题者进行推断，甚至要求解题者探求条件在变化中的结论。

它要求解题者充分利用条件进行大胆而合理的猜想，发现规律，得出结论，这类题主要考查解题者的发散性思维和对所学基本知识的应用能力。

例4. 如图所示，以等腰三角形ABC 的一腰AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，过D 作DE ⊥AC 于E ，可得结论DE 是⊙O 的切线。

问：
（1）若点O 在AB 上向点B 移动，以O 为圆心，OB 长为半径的圆仍交BC 于D ，DE ⊥AC 的条件不变，那么上述结论是否还成立？请说明理由。

（2）如果AB ＝AC ＝5cm ，sinA ＝3
5
，那么圆心O 在AB 的什么位置时，⊙O 与AC 相切？
分析：（1）连结OD ，∵OB ＝OD ，∴∠OBD ＝∠ODB ＝∠C ，∴OD ∥AC ，从而可得OD ⊥DE ，结论仍然成立。

（2）若⊙O 与AC 相切，设切点为F ，连结OF ，则由Rt △AOF
中可求得OF ＝158，即OB ＝15
8。

解：（1）结论仍然成立。

如图①所示，连结OD ，则OD ＝OB ，∠OBD ＝∠ODB 。

又AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，∴∠ODB ＝∠C ，∴OD ∥AC 。

∵DE ⊥AC ，∴OD ⊥DE ，∴DE 是⊙O 的切线。

（2）如图②所示，若AC 与⊙O 切于点F ，连结OF ，则OF ⊥AC ，即△AOF 是直角三
角形，∴sinA ＝OF AO ＝OB 5OB
＝35，∴OB ＝158，即当OB ＝158
时，⊙O 与AC 相切。

C
①
O
A
B
C
F
②
评析：本例的两小题都属于结论不确定性的开放性问题。

第（1）小题是直接从题设条件出发探求结论是否成立；第（2）小题是从题设的结论出发来探求令结论成立的条件，这也是解决这类问题的常用方法。

例5. 已知△ABC 中，AB ＝5，BC ＝3，AC ＝4，PQ ∥AB ，P 点在AC 上（与点A 、C 不重合），Q 点在BC 上。

（1）当△PQC 的面积与四边形PABQ 的面积相等时，求CP 的长； （2）当△PQC 的周长与四边形PABQ 的周长相等时，求CP 的长；
（3）试问，在AB 上是否存在点M ，使得△PQM 为等腰直角三角形？若不存在，请说明理由；若存在，请求出PQ 的长。

A
B
C
P
Q
M N
分析：本题是纯几何探索性问题，解这类题时，应先假设结论存在。

若从已知条件和定义、定理出发，进行推理或计算得出相应的结论，则结论确实存在；若推证出现矛盾或计算无解，则结论不存在。

解：（1）∵PQ ∥AB ，∴△PCQ ∽△ACB 。

当△PQC 的面积与四边形PABQ 的面积相等时，有： （CP CA ）2＝1
2
，∵AC ＝4，∴CP ＝22。

即当△PQC 的面积与四边形PABQ 的面积相等时，CP ＝22。

（2）∵△PCQ ∽△ACB ，∴设CP CA ＝CQ CB ＝PQ
AB
＝k 。

则CP ＝4k ，CQ ＝3k ，PQ ＝5k ，
当△PQC 的周长与四边形PABQ 的周长相等时，有： CP ＋CQ ＋PQ ＝AP ＋BQ ＋PQ ＋AB ，即： 7k ＝（4－4k ）＋（3－3k ）＋5。

解得k ＝67，∴CP ＝4k ＝24
7。

即当△PQC 的周长与四边形PABQ 的周长相等时，CP ＝24
7。

（3）如下图，△PQM 为等腰直角三角形可能有两种情况：
①由左图假设，∠MPQ ＝90°，PM ＝PQ 时，由勾股定理逆定理则得∠C ＝90°。

∴△
ABC 的边AB 上的高为125。

设PM ＝PQ ＝x ，∵PQ ∥AB ，∴△CPQ ∽△CAB 。

∴x 5＝125
－x
12
5
，
解之得x ＝6037，即PQ ＝6037。

当∠MQP ＝90°时，同理得PQ ＝60
37。

A
B
C
M
P
Q
A
B C
M
P
Q
①②
②由右图所示，假设∠PMQ ＝90°，MP ＝MQ 时，M 到PQ 的距离为1
2
PQ 。

设PQ ＝x ，
∵PQ ∥AB ，∴△CPQ ∽△CAB 。

∴x 5＝125－12x 125，解之得x ＝12049，即PQ ＝120
49。

∴综上所述，
在AB 上存在点M ，使△PQM 为等腰直角三角形。

评析：“存在性”探索题，往往与传统的综合题相结合，来加大对考生分析、探索能力的考查，这类问题的情景新颖，富有挑战性，是启迪智慧的好素材。

题型四 组合型开放与探索
例6. 课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题，如图①，已知四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∠DAB ＝60°，∠B 与∠D 互补，求证：AB ＋AD ＝3AC 。

小敏反复探索，不得其解，她想，若将四边形ABCD 特殊化，看能否解决该问题。

（1）从特殊情况入手，添加条件：“∠B ＝∠D ”，如图②，可证：AB ＋AD ＝3AC 。

（请你完成证明）
（2）解决原问题，受到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线，如图③所示，过C 点分别作AB 、AD 的垂线，垂足分别为E 、F 。

（请你补全证明）
D
A
B C
D
②
①
③
A
B C
D
A
B
C
E
F
分析：本题的转换思想是数学中的重要思想，可以利用30°角所对应的直角边等于斜边的一半及三角函数相关定理解决此题，对于（2）问题可以转化为（1）中的情况来解决。

解：（1）∵∠B ＝∠D ＝90°，∠CAB ＝∠CAD ＝30°，
∴AB ＝32AC ，AD ＝3
2
AC ，∴AB ＋AD ＝3AC 。

（2）由（1）知，AE ＋AF ＝3AC 。

∵AC 为角平分线，CF ⊥AD ，CE ⊥AB ，∴CE ＝CF 。

而∠ABC 与∠D 互补，∠ABC 与∠CBE 也互补，
∴∠D ＝∠CBE ，∴Rt △CDF ≌Rt △CBE ，∴DF ＝BE ，
∴AB ＋AD ＝AB ＋（AF ＋FD ）＝（AB ＋BE ）＋AF ＝AE ＋AF ＝3AC 。

评析：本题是一道组合型开放性问题，是条件和结论“双开放”。

此类题目立足于常见的几何图形，所用基础知识是三角形全等的判定等知识。

【方法总结】
解开放探索性问题不能墨守成规，需进行大胆而合理的猜想，发现规律，得出结论，这类题主要考查解题者的发散性思维和对所学基本知识的应用能力。

【模拟试题】（答题时间：50分钟）
一、选择题
1. 如图，已知AB ＝AD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△ADC 的是
（ ）
A. CB ＝CD
B. ∠BAC ＝∠DAC
C. ∠BCA ＝∠DCA
D. ∠B ＝∠D ＝90°
A B
C
D
*2. 在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝3，AF 平分∠DAB ，过C 点作CE ⊥BD 于E ．延长AF 、EC 交于点H ，下列结论中：①AF ＝FH ；②BO ＝BF ；③CA ＝CH ；④BE ＝3ED 。

正确的是（ ）
A. ②③
B. ③④
C. ①②④
D. ②③④
A
B
C
D O
E
F
H
二、填空题
1. 在△ABC 中，AB ＝AC ＝12cm ，BC ＝6cm ，D 为BC 的中点，动点P 从B 点出发，以每秒1cm 的速度沿B →A →C 的方向运动。

设运动时间为t ，那么当t ＝__________秒时，过D 、P 两点的直线将△ABC 的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍。

*2. 如图⊙O 1和⊙O 2的半径分别为1和3，连接O 1O 2，交⊙O 2于点P ，O 1O 2＝8。

若将⊙O 1绕点P 按顺时针方向旋转360°，则⊙O 1与⊙O 2共相切__________次。

O 1
O 2
P
三、解答题
1.
两地相距40km ，摩托车的速度为45km /h ，运货汽车的速度为35km /h （涂黑部分表示被墨水覆盖的若干文字）请将这道作业题补充完整，并列方程解答。

2. 鲁西西开始研究整数的特征。

她发现：4＝22－02，12＝42－22，20＝62－42。

4、12、20这些正整数都能表示为两个连续偶数的平方差，她称这些正整数为“和谐数”。

现在请你在鲁西西研究的基础上，进一步探究下列问题： （1）判断28、2008是否为“和谐数”；
（2）根据上述判断，请你推广你的结论，指出判断一个正整数是否为“和谐数”的标准； （3）更进一步探究：两个连续奇数的平方差（取正数）是“和谐数”吗？为什么？
3. 如图，在等腰梯形ABCD 中，∠C ＝60°，AD ∥BC ，且AD ＝DC ，E 、F 分别在AD 、
DC 的延长线上，且DE ＝CF ，AF 、BE 交于点P 。

（1）求证：AF ＝BE ；
（2）请你猜测∠BPF 的度数，并证明你的结论。

A
B
C
D
E
F
P
**4. 如图，已知AB ＝AC ＋BD ，∠CAB ＝∠ABD ＝90°，AD 交BC 于点P ，⊙P 与AB 相切于点Q 。

设AC ＝a ，BD ＝b （a ≤b ）。

（1）求⊙P 的半径r ；
（2）以AB 为直径在AB 上方作半圆O （用尺规作图，保留痕迹，不写作法），请你探索⊙O 与⊙P 的位置关系，作出判断并加以证明。

A
B
C D
P
**5. 已知：如图，在平面直角坐标系x O y 中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA ＝2，OC ＝3。

过原点O 作∠AOC 的平分线交AB 于点D ，连接DC ，过点D 作DE ⊥DC ，交OA 于点E 。

（1）求过点E 、D 、C 的抛物线的解析式；
（2）将∠EDC 绕点D 按顺时针方向旋转后，角的一边与y 轴的正半轴交于点F ，另一边
与线段OC 交于点G 。

如果DF 与（1）中的抛物线交于另一点M ，点M 的横坐标为6
5
，那
么EF ＝2GO 是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（3）对于（2）中的点G ，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q ，使得直线GQ 与AB 的交点P 与点C 、G 构成的△PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由。

B
E C
D
O
A
x
y
【试题答案】
一、选择题
1. C
2. D 【在矩形ABCD 中，△AOB 和△OCD 都是等边三角形，△ABF 是等腰直角三角形，所以②正确；∠OCE ＝30°＝∠CAH ＋∠CHA ，∠CAH ＝60°－45°＝15°，所以∠CAH
＝∠CHA ＝15°，所以③正确；BD ＝2，OB ＝1，OE ＝12OC ＝12，所以BE ＝32，ED ＝2－3
2
＝
1
2
，所以④正确】
二、填空题
1. 7或17【点P 在移动过程中有两种情况符合题意，则BD ＋t ＝1
2
（30－3－t ），解得t ＝7；
或1
2
（BD ＋t ）＝30－3－t ，解得t ＝17】 2. 3【如图所示：⊙O 1在运动过程中经历外离→外切→相交→内切→相交→外切→外离的过程．】
O 2
P
O 1
三、解答题
1. 这是一道开放性的相遇问题，要求考生先设计问题，再进行解答，仅举一例如下：若两车分别从两地同时开出，相向而行，经几个小时两车相遇。

解：设经x 小时两车相遇，
依题意可得45x ＋35x ＝40，解得x ＝1
2。

答：经半小时两车相遇。

2.（1）设两个连续偶数为2n 、2n －2，则（2n ）2－（2n －2）2＝8n －4。

当8n －4＝28时，
n ＝4；当8n －4＝2008时，n ＝503
2。

所以28是“和谐数”，2008不是“和谐数”。

（2）如果
一个正整数加上4能够被8整除，那么这个数一定是“和谐数”。

（3）把两个连续奇数的平方差表示为：（2n ＋1）2－（2n －1）2＝8n ，8n ＋4不能被8整除，故两个连续奇数的平方差不是“和谐数”。

3.（1）在等腰梯形ABCD 中，∵∠C ＝60°，∴∠ADC ＝∠BAD ＝120°，∵AD ＝DC ，∴AB ＝DA ＝DC ，又DE ＝CF ，∴AD ＋DE ＝DC ＋CF ，即AE ＝DF ，∴△ABE ≌△DAF （SAS ），∴AF ＝BE ；（2）120°。

由（1）∠ABE ＝∠DAF ，∴∠BPF ＝∠ABE ＋∠BAF ＝∠DAF ＋∠BAF ＝120°。

4.（1）根据题意△BPQ ∽△BCA ，则r a ＝BQ AB ；△APQ ∽△ADB ，则r b ＝AQ AB ；两式相加得
r
a
＋r b ＝1，所以r ＝ab a ＋b
；（2）如图所示，⊙O 与⊙P 内切。

连结PQ 、OP ，根据题意可知：PO ＝PQ 2＋QO 2。

∵AQ AB ＝PQ BD ，∴AQ a ＋b ＝r b ，由（1）r ＝ab
a ＋
b ，∴AQ ＝a ，∴OQ ＝AO －AQ
＝12b －1
2
a 。

∴PO ＝（
b －a 2）2＋（ab a ＋b ）2＝a 2＋b 22（a ＋b ）。

设半圆O 的半径为R ，R －r ＝
12
（a ＋b ）－ab
a ＋
b ＝a 2＋b 22（a ＋b ）
＝PO 。

5.（1）由题意可知：C （3，0）、D （2，2）、E （0，1），用待定系数法得y ＝－56x 2＋13
6
x
＋1（2）成立。

如图，作DN ⊥OC 于Ｎ，则△ADF ≌△NDG ，∴GN ＝AF ，∴OG ＝ON －
GN ＝AD －AF ＝2－AF ，把x ＝65代入y ＝－56x 2＋136x ＋1得y ＝125。

∴M （65，12
5
）。

设直线
DM 为y ＝kx ＋b ，则⎪⎩⎪⎨⎧+=+=b k 56512b k 22，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－12b ＝3 ，∴y ＝－12x ＋3，则F 点坐标为（0，3）。

∴EF ＝OF －OE ＝2，AF ＝1，∴OG ＝AD －AF ＝1，即EF ＝2OG 。

（3）存在。

①当P 为顶
点时，PG ＝PC ，P 与点D 重合，Q 为D 点，∴Q （2，2）；②当C 为顶点时，CG ＝CP ＝2，
则P 为点B ，P （3，2），得直线PG 为y ＝x －1，由⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝x －1y ＝－56x 2＋136x ＋1 得Q （125，7
5）。

其中Q （－1，－2）舍去；③当G 为顶点时，GC ＝GP ＝2，P （1，2）。

直线PG 为x ＝1。

代
入y ＝－56x 2＋136x ＋1得y ＝37，∴Q （1，3
7
）。

B
E C
D
O
A
x
y
N
F
G。