最新人教版高中数学必修五单元测试题全套带答案解析

最新人教版高中数学必修五单元测试题全套带答案解析
章末综合测评(第一章)
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在△ABC中，若AB＝13，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝()
A．1B．2
C．3 D．4
【解析】由余弦定理得AB2＝BC2＋AC2－2BC·AC cos C
即13＝9＋AC2－2×3AC×(－1
2)，解得AC＝1或AC＝－4(舍去)
【答案】 A
2．在△ABC中，B＝π
4，AB＝2，BC＝3，则sin A＝()
A.
10
10 B.
10
5
C.310
10 D.
5
5
【解析】在△ABC中，由余弦定理得AC2＝BA2＋BC2－2BA·BC·cos B＝(2)2＋32－
2×2×3×
2
2＝5，解得AC＝ 5.再由正弦定理得sin A＝
BC·sin B
AC＝
3×
2
2
5
＝
310
10.故选C.
【答案】 C
3．已知锐角三角形的三边长分别为1,3，a，那么a的取值范围为()
A．(8,10) B．(22，10)
C．(22，10) D．(10，8)
【解析】设1,3，a所对的角分别为C，B，A，由余弦定理知a2＝12＋32－2×3cos A<12＋32＝10，
32＝1＋a2－2×a cos B<1＋a2，
∴22<a<10.
【答案】 B
4．已知圆的半径为4，a ，b ，c 为该圆的内接三角形的三边，若abc ＝162，则三角形的面积为( )
A ．2 2
B ．8 2 C. 2
D.22
【解析】 ∵a sin A ＝b sin B ＝c
sin C ＝2R ＝8， ∴sin C ＝c 8，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝abc 16＝162
16＝ 2. 【答案】 C
5．△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则角C 的大小为( )
A.π6
B.π3
C.π2
D.2π3
【解析】 p ∥q ⇒(a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0， 即c 2
－a 2
－b 2
＋ab ＝0⇒a 2＋b 2－c 22ab ＝1
2＝cos C ，
∴C ＝π3. 【答案】 B
6．在△ABC 中，若sin B sin C ＝cos 2A
2，则下面等式一定成立的是( ) A ．A ＝B B ．A ＝C C ．B ＝C
D ．A ＝B ＝C
【解析】 由sin B sin C ＝cos 2A
2＝1＋cos A
2⇒2sin B sin C ＝1＋cos A ⇒cos(B －C )－cos(B ＋
C )＝1＋cos A .
又cos(B ＋C )＝－cos A ⇒cos(B －C )＝1，∴B －C ＝0，即B ＝C . 【答案】 C
7．一角槽的横断面如图1所示，四边形ADEB 是矩形，且α＝50°，β＝70°，AC ＝90 mm ，BC ＝150 mm ，则DE 的长等于( )
图1
A ．210 mm
B ．200 mm
C ．198 mm
D ．171 mm
【解析】 ∠ACB ＝70°＋50°＝120°， AB 2＝AC 2＋BC 2－2·AC ·BC ·cos ∠ACB ＝902＋1502－2×90×150×cos120° ＝4 410 0，
AB ＝210，即DE ＝210 mm. 【答案】 A
8．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )
A ．3 B.932 C.332
D ．3 3
【解析】 ∵c 2＝(a －b )2＋6，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.① ∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π
3＝a 2＋b 2－ab .② 由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6. ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝33
2. 【答案】 C
9．已知在△ABC 中，sin A ＋sin B ＝sin C (cos A ＋cos B )，则△ABC 的形状是
( )
A ．锐角三角形
B ．钝角三角形
C ．等腰三角形
D ．直角三角形
【解析】 由正弦定理和余弦定理得a ＋b ＝c b 2＋c 2－a 22bc ＋a 2＋c 2－b 2
2ac ，即2a 2b ＋2ab 2＝ab
2
＋ac 2－a 3＋a 2b ＋bc 2－b 3，∴a 2b ＋ab 2＋a 3＋b 3＝ac 2＋bc 2，∴(a ＋b )(a 2＋b 2)＝(a ＋b )c 2，∴a 2＋b 2＝c 2，∴△ABC 为直角三角形，故选D.
【答案】 D
10．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin B sin C ＋sin 2C ，则A ＝( )
A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．150°
【解析】 由已知得a 2＝b 2＋bc ＋c 2，
∴b 2
＋c 2
－a 2
＝－bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，
又0°<A <180°，∴A ＝120°. 【答案】 C
11．在△ABC 中，A ∶B ＝1∶2，∠ACB 的平分线CD 把△ABC 的面积分成3∶2两部分，则cos A 等于( )
A.13
B.12
C.34
D ．0
【解析】 ∵CD 为∠ACB 的平分线， ∴D 到AC 与D 到BC 的距离相等，
∴△ACD 中AC 边上的高与△BCD 中BC 边上的高相等． ∵S △ACD ∶S △BCD ＝3∶2，∴AC BC ＝3
2. 由正弦定理sin B sin A ＝3
2，又∵B ＝2A ， ∴sin 2A sin A ＝32，即2sin A cos A sin A ＝32，∴cos A ＝34. 【答案】 C
12.如图2，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100米到达B 后，又测得C 对于山坡的斜度为45°，若CD ＝50米，山坡对于地平面的坡角为θ，则cos θ＝( )
图2
A ．23＋1
B ．23－1 C.3－1
D.3＋1
【解析】在△ABC中，BC＝AB sin∠BAC sin∠ACB
＝
100sin 15°
sin(45°－15°)
＝50(6－2)，
在△BCD中，sin∠BDC＝BC sin∠CBD
CD
＝50(6－2)sin 45°
50＝3－1，
又∵cos θ＝sin∠BDC，∴cos θ＝3－1.
【答案】 C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．已知△ABC为钝角三角形，且C为钝角，则a2＋b2与c2的大小关系为________.
【解析】∵cos C＝a2＋b2－c2
2ab，且C为钝角，
∴cos C<0，∴a2＋b2－c2<0，故a2＋b2<c2.
【答案】a2＋b2<c2
14．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，则角C＝________.
【解析】由3sin A＝5sin B，得3a＝5b.又因为b＋c＝2a，
所以a＝5
3b，c＝
7
3b，
所以cos C＝a2＋b2－c2
2ab＝
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
5
3b
2＋b2－
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
7
3b
2
2×
5
3b×b
＝－
1
2.因为C∈(0，π)，所以C＝
2π
3.
【答案】2π3
15．在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则
AC
cos A的值等于________，AC的取值范围为
________．
【解析】设A＝θ⇒B＝2θ.
由正弦定理得AC
sin 2θ＝
BC sin θ，
∴
AC
2cos θ＝1⇒
AC
cos θ＝2.
由锐角△ABC得0°<2θ<90°⇒0°<θ<45°. 又0°<180°－3θ<90°⇒30°<θ<60°，
故30°<θ<45°⇒
2
2<cos θ<
3
2，
∴AC＝2cos θ∈(2，3)．
【答案】2(2，3)
16．如图3，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100 m，则山高MN＝________m.
图3
【解析】根据图示，AC＝100 2 m.
在△MAC中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°.
由正弦定理得AC
sin 45°＝
AM
sin 60°⇒AM＝100 3 m.
在△AMN中，MN
AM＝sin 60°，
∴MN＝1003×
3
2＝150(m)．
【答案】150
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a sin A sin B ＋b cos2A＝2a.
(1)求b a；
(2)若c2＝b2＋3a2，求B.
【解】(1)由正弦定理得，sin2A sin B＋sin B cos2A＝2sin A，即sin B(sin2A＋cos2A)＝2 sin A.
故sin B＝2sin A，所以b
a＝ 2.
(2)由余弦定理和c2＝b2＋3a2，
得cos B＝(1＋3)a
2c.
由(1)知b2＝2a2，故c2＝(2＋3)a2.
可得cos2B＝1
2，又cos B>0，
故cos B＝
2
2，所以B＝45°.
18．(本小题满分12分)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2，
cos B＝3 5.
(1)若b＝4，求sin A的值；
(2)若△ABC的面积S△ABC＝4，求b，c的值．
【解】(1)∵cos B＝3
5>0，且0<B<π，
∴sin B＝1－cos2B＝4 5.
由正弦定理得a
sin A＝
b
sin B，
sin A＝a sin B
b＝
2×
4
5
4＝
2
5.
(2)∵S△ABC＝1
2ac sin B＝4，
∴1
2×2×c×
4
5＝4，∴c＝5.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝22＋52－2×2×5×3
5＝17，∴b＝17.
19．(本小题满分12分)在△ABC中，∠A＝3π
4，AB＝6，AC＝32，点D在BC边上，
AD＝BD，求AD的长．
【解】设△ABC的内角∠BAC，B，C所对边的长分别是a，b，c，
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos ∠BAC＝(32)2＋62－2×32×6×cos 3π
4＝18＋36－
(－36)＝90，
所以a＝310.
又由正弦定理得sin B＝b sin ∠BAC
a＝
由题设知0<B<π4，
所以cos B＝1－sin2B＝1－1
10＝
310
10.
在△ABD中，因为AD＝BD，所以∠ABD＝∠BAD，所以∠ADB＝π－2B，故由正弦定理
得AD＝AB·sin B
sin(π－2B)＝
6sin B
2sin B cos B＝
3
cos B＝10.
20．(本小题满分12分)某观测站在城A南偏西20°方向的C处，由城A出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C处测得公路距C处31千米的B处有一人正沿公路向城A走去，走了20千米后到达D处，此时C、D间的距离为21千米，问这人还要走多少千米可到达城A?
【解】如图所示，
设∠ACD＝α，∠CDB＝β.
在△CBD中，由余弦定理得cos β＝BD2＋CD2－CB2
2BD·CD＝
202＋212－312
2×20×21
＝－
1
7，
∴sin β＝43 7.
而sin α＝sin(β－60°)＝sin βcos 60°－sin 60°cos β＝43
7×
1
2＋
3
2×
1
7＝
53
14.
在△ACD中，
21
sin 60°＝
AD
sin α，
∴AD＝21×sin α
sin 60°＝15(千米)．
所以这人还要再走15千米可到达城A.
21．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos 2C＋22 cos C＋2＝0.
(1)求角C的大小；
(2)若b＝2a，△ABC的面积为
2
2sin A sin B，求sin A及c的值.
【解】(1)∵cos 2C＋22cos C＋2＝0，
∴2cos2C＋22cos C＋1＝0，即(2cos C＋1)2＝0，
∴cos C ＝－2
2. 又C ∈(0，π)，∴C ＝3π
4.
(2)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝3a 2＋2a 2＝5a 2， ∴c ＝5a ，即sin C ＝5sin A ， ∴sin A ＝
15
sin C ＝1010. ∵S △ABC ＝12ab sin C ，且S △ABC ＝2
2sin A sin B ， ∴12ab sin C ＝2
2sin A sin B ，
∴ab
sin A sin B sin C ＝2，由正弦定理得 ⎝ ⎛⎭⎪⎫c sin C 2
sin C ＝2，解得c ＝1.
22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝m sin x ＋2cos x (m >0)的最大值为2. (1)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间；
(2)若△ABC 中，f ⎝ ⎛
⎭⎪⎫A －π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π4＝46sin A sin B ，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且C ＝60°，c ＝3，求△ABC 的面积．
【解】 (1)由题意，f (x )的最大值为m 2＋2，所以m 2＋2＝2. 又m >0，所以m ＝2，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋π4.
令2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π
2(k ∈Z )， 得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π
4(k ∈Z )．
所以f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤
π4，π.
(2)设△ABC 的外接圆半径为R ， 由题意，得2R ＝c sin C ＝3
sin 60°＝2 3. 化简f ⎝ ⎛
⎭⎪⎫A －π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π4＝46sin A sin B ，
得sin A ＋sin B ＝26sin A sin B .
由正弦定理，得2R(a＋b)＝26ab，a＋b＝2ab.①由余弦定理，得a2＋b2－ab＝9，
即(a＋b)2－3ab－9＝0.②
将①式代入②，得2(ab)2－3ab－9＝0，
解得ab＝3或ab＝－3
2(舍去)，
故S
△ABC ＝
1
2ab sin C＝
33
4.
章末综合测评(第二章)
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是()
A．1，1
2，
1
3，
1
4，…
B．－1,2，－3,4，…
C．－1，－1
2，－
1
4，－
1
8，…
D．1, 2，3，…，n
【解析】A为递减数列，B为摆动数列，D为有穷数列．
【答案】 C
2．已知数列{a n}是首项a1＝4，公比q≠1的等比数列，且4a1，a5，－2a3成等差数列，则公比q等于()
A.1
2B．－1C．－2D．2
【解析】由已知，2a5＝4a1－2a3，即2a1q4＝4a1－2a1q2，所以q4＋q2－2＝0，解得q2＝1，因为q≠1，所以q＝－1.
【答案】 B
3．某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按此规律进行下去，6小时后细胞存活的个数是()
A ．33个
B ．65个
C ．66个
D ．129个
【解析】 设开始的细胞数和每小时后的细胞数构成的数列为{a n }．
则⎩⎨⎧
a 1＝2，a n ＋1＝2a n －1，
即a n ＋1－1a n －1＝2， ∴a n －1＝1·2n －1 ，a n ＝2n －1＋1，a 7＝65.
【答案】 B
4．等比数列{a n }的通项为a n ＝2·3n －1，现把每相邻两项之间都插入两个数，构成一个新的数列 {b n }，那么162是新数列{b n }的( )
A ．第5项
B ．第12项
C ．第13项
D ．第6项 【解析】 162是数列{a n }的第5项，则它是新数列{b n }的第5＋(5－1)×2＝13项．
【答案】 C
5．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n －1(a ≠0)，则{a n }( )
A ．一定是等差数列
B ．一定是等比数列
C ．或者是等差数列，或者是等比数列
D ．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列
【解析】 ∵S n ＝a n －1(a ≠0)，
∴a n ＝⎩⎨⎧ S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，
即a n ＝⎩⎨⎧
a －1，n ＝1，(a －1)a n －1，n ≥2，
当a ＝1时，a n ＝0，数列{a n }是一个常数列，也是等差数列；当a ≠1时，数列{a n }是一个等比数列．
【答案】 C
6．等差数列{a n }的公差不为零，首项a 1＝1，a 2是a 1和a 5的等比中项，则数列的前10项之和是( )
A ．90
B ．100
C ．145
D ．190 【解析】 设公差为d ，
∴(1＋d )2＝1×(1＋4d )，
∵d ≠0，
∴d ＝2，从而S 10＝100.
【答案】 B
7．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝20，则该数列的公差d ＝( )
A ．2
B ．3
C ．6
D ．7
【解析】 S 4－S 2＝a 3＋a 4＝20－4＝16，
∴a 3＋a 4－S 2＝(a 3－a 1)＋(a 4－a 2)
＝4d ＝16－4＝12，
∴d ＝3.
【答案】 B
8．已知数列{a n }满足a 1＝5，a n a n ＋1＝2n ，则a 7a 3
＝( ) A ．2
B ．4
C ．5 D.52
【解析】 依题意得a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝2n ＋12n ＝2，即a n ＋2a n
＝2，数列a 1，a 3，a 5，a 7，…是一个以5为首项，2为公比的等比数列，因此a 7a 3
＝4. 【答案】 B
9．在数列{a n }中，a 1＝2,2a n ＋1－2a n ＝1，则a 101的值为( )
A ．49
B ．50
C ．51
D ．52
【解析】 ∵2a n ＋1－2a n ＝1，
∴a n ＋1－a n ＝12，
∴数列{a n }是首项a 1＝2，公差d ＝12的等差数列，
∴a 101＝2＋12(101－1)＝52.
【答案】 D
10．我们把1,3,6,10,15，…这些数叫做三角形数，因为这些数目的点可以排成一个正三
角形，如图1所示：
图1
则第七个三角形数是( )
A ．27
B ．28
C ．29
D ．30
【解析】 法一：∵a 1＝1，a 2＝3，a 3＝6，a 4＝10，a 5＝15，a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，a 5－a 4＝5，
∴a 6－a 5＝6，a 6＝21，a 7－a 6＝7，a 7＝28.
法二：由图可知第n 个三角形数为
n (n ＋1)2， ∴a 7＝7×82＝28.
【答案】 B
11．数列{a n }满足递推公式a n ＝3a n －1＋3n －1(n ≥2)，又
a 1＝5，则使得⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫a n ＋λ3n 为等差数列的实数λ＝( )
A ．2
B ．5
C ．－12 D.12 【解析】 a 1＝5，a 2＝23，a 3＝95，令b n ＝a n ＋λ3n ，则b 1＝5＋λ3，b 2＝23＋λ9，b 3＝95＋λ27，
∵b 1＋b 3＝2b 2，
∴λ＝－12.
【答案】 C
12．在等差数列{a n }中，a 10<0，a 11>0，且a 11>|a 10|，则{a n }的前n 项和S n 中最大的负数为( )
A ．S 17
B ．S 18
C ．S 19
D ．S 20
【解析】 ∵a 10<0，a 11>0，且a 11>|a 10|，
∴a 11＋a 10>0.
S 20＝20(a 1＋a 20)2
＝10·(a 11＋a 10)>0. S 19＝19(a 1＋a 19)2
＝192·2a 10<0. 【答案】 C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．在等差数列{a n }和{b n }中，a 1＝25，b 1＝75，a 100＋b 100＝100，则数列{a n ＋b n }的前100项的和为________．
【解析】 由已知得{a n ＋b n }为等差数列，故其前100项的和为S 100＝100[(a 1＋b 1)＋(a 100＋b 100)]2
＝50×(25＋75＋100)＝10 000.
【答案】 10 000
14．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1＋n (n ≥2)，则a 5＝________.
【解析】 由a n ＝a n －1＋n (n ≥2)，得a n －a n －1＝n ，则a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，a 5－a 4＝5，把各式相加，得a 5－a 1＝2＋3＋4＋5＝14，
∴a 5＝14＋a 1＝14＋1＝15.
【答案】 15
15．首项为－24的等差数列从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是________．
【解析】 设a 1＝－24，公差为d ，∴a 10＝－24＋9d >0且a 9＝－24＋8d ≤0，∴83<d ≤3.
【答案】 ⎝ ⎛⎦
⎥⎤83，3 16．已知公差不为零的正项等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，lg a 1，lg a 2，lg a 4也成等差数列，若a 5＝10，则S 5＝________.
【解析】 设{a n }的公差为d ，则d ≠0.
由lg a 1，lg a 2，lg a 4也成等差数列，
得2lg a 2＝lg a 1＋lg a 4，∴a 22＝a 1a 4，
即(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，d 2＝a 1d .
又d ≠0，故d ＝a 1，a 5＝5a 1＝10，d ＝a 1＝2，
S 5＝5a 1＋5×42×d ＝30.
【答案】 30
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)在等差数列{a n }中，a 1＋a 3＝8，且a 4为a 2和a 9的等比中项，求数列{a n }的首项、公差及前n 项和．
【解】 设该数列的公差为d ，前n 项和为S n .由已知可得
2a 1＋2d ＝8，(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋8d )，
所以a 1＋d ＝4，d (d －3a 1)＝0，
解得a 1＝4，d ＝0或a 1＝1，d ＝3，即数列{a n }的首项为4，公差为0，或首项为1，公差为3.
所以数列的前n 项和S n ＝4n 或S n ＝3n 2－n 2
. 18．(本小题满分12分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －
1)S n ＋2n (n ∈N *)．
(1)求a 2，a 3的值；
(2)求证：数列{S n ＋2}是等比数列．
【解】 (1)∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)·S n ＋2n (n ∈N *)，
∴当n ＝1时，a 1＝2×1＝2；
当n ＝2时，a 1＋2a 2＝(a 1＋a 2)＋4，∴a 2＝4；
当n ＝3时，a 1＋2a 2＋3a 3＝2(a 1＋a 2＋a 3)＋6，∴a 3＝8.
(2)证明：∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)，①
∴当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝(n －2)S n －1＋2(n －1)，②
①－②得na n ＝(n －1)S n －(n －2)S n －1＋2＝na n －S n ＋2S n －1＋2，
∴－S n ＋2S n －1＋2＝0，即S n ＝2S n －1＋2.
∴S n ＋2＝2(S n －1＋2)．∵S 1＋2＝4≠0.
∴S n －1＋2≠0，∴S n ＋2S n －1＋2
＝2. 即{S n ＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列．
19．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＝10，a 4－a 3＝2.
(1)求{a n }的通项公式；
(2)设等比数列{b n }满足b 2＝a 3，b 3＝a 7，问：b 6与数列{a n }的第几项相等？
【解】 (1)设等差数列{a n }的公差为d .
因为a 4－a 3＝2，所以d ＝2.
又因为a 1＋a 2＝10，所以2a 1＋d ＝10，故a 1＝4.
所以a n ＝4＋2(n －1)＝2n ＋2(n ＝1,2，…)．
(2)设等比数列{b n }的公比为q .
因为b 2＝a 3＝8，b 3＝a 7＝16，
所以q ＝2，b 1＝4.
所以b 6＝4×26－1＝128.
由128＝2n ＋2得n ＝63，
所以b 6与数列{a n }的第63项相等．
20．(本小题满分12分)已知首项都是1的两个数列{a n }，{b n }(b n ≠0，n ∈N *)，满足a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0.
(1)令c n ＝a n b n
，求数列{c n }的通项公式； (2)若b n ＝3n －1，求数列{a n }的前n 项和S n .
【解】 (1)因为a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0，
b n ≠0(n ∈N *)，
所以a n ＋1b n ＋1－a n b n
＝2，即c n ＋1－c n ＝2. 所以数列{c n }是以首项c 1＝1，公差d ＝2的等差数列，故c n ＝2n －1.
(2)由b n ＝3n －1知a n ＝c n b n ＝(2n －1)3n －
1， 于是数列{a n }的前n 项和S n ＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋(2n －1)×3n －1，
3S n ＝1×31＋3×32＋…＋(2n －3)×3n －1＋(2n －1)×3n .
相减得－2S n ＝1＋2×(31＋32＋…＋3n －1)－(2n －1)×3n ＝－2－(2n －2)3n ，
所以S n ＝(n －1)3n ＋1.
21．(本小题满分12分)设数列{a n }(n ＝1,2,3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ，求使得|T n －1|<11 000成立的n 的最小值．
【解】 (1)由已知S n ＝2a n －a 1，有
a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)，
即a n ＝2a n －1(n ≥2)，所以q ＝2.
从而a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1.
又因为a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，即a 1＋a 3＝2(a 2＋1)，
所以a 1＋4a 1＝2(2a 1＋1)，解得a 1＝2.
所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列．
故a n ＝2n .
(2)由(1)得1a n ＝12n ， 所以T n ＝12＋122＋…＋12n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12
＝1－12n .
由|T n －1|<11 000，得⎪⎪⎪⎪
⎪⎪1－12n －1<11 000， 即2n >1 000.
因为29＝512<1 000<1 024＝210，所以n ≥10.
于是使|T n －1|<11 000成立的n 的最小值为10.
22．(本小题满分12分)在等差数列{a n }中，已知公差d ＝2，a 2是a 1与a 4的等比中项．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝，记T n ＝－b 1＋b 2－b 3＋b 4－…＋(－1)n b n ，求T n .
【解】 (1)由题意知(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，
即(a 1＋2)2＝a 1(a 1＋6)，解得a 1＝2， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n .
(2)由题意知b n ＝＝n (n ＋1)，
所以T n ＝－1×2＋2×3－3×4＋…＋(－1)n n ·(n ＋1)．
因为b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)，可得当n 为偶数时，
T n ＝(－b 1＋b 2)＋(－b 3＋b 4)＋…＋(－b n －1＋b n )
＝4＋8＋12＋…＋2n ＝n
2(4＋2n )2
＝n (n ＋2)2， 当n 为奇数时，T n ＝T n －1＋(－b n )＝(n －1)(n ＋1)2
－n (n ＋1)＝－(n ＋1)2
2.
所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －(n ＋1)22，n 为奇数，
n (n ＋2)2，n 为偶数.
章末综合测评(第三章)
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．对于任意实数a ，b ，c ，d ，下列四个命题中：
①若a >b ，c ≠0，则ac >bc ；
②若a >b ，则ac 2>bc 2；
③若ac 2>bc 2，则a >b ；
④若a >b >0，c >d ，则ac >bd .
其中真命题的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【解析】 若a >b ，c <0时，ac <bc ，①错；②中，若c ＝0，则有ac 2＝bc 2，②错；③正确；④中，只有c >d >0时，ac >bd ，④错，故选A.
【答案】 A
2．直线3x ＋2y ＋5＝0把平面分成两个区域．下列各点与原点位于同一区域的是( )
A ．(－3,4)
B ．(－3，－4)
C ．(0，－3)
D ．(－3,2)
【解析】 当x ＝y ＝0时，3x ＋2y ＋5＝5>0，则原点一侧对应的不等式是3x ＋2y ＋5>0，可以验证仅有点(－3，4)满足3x ＋2y ＋5>0.
【答案】 A
3．设A ＝b a ＋a b ，其中a ，b 是正实数，且a ≠b ，B ＝－x 2＋4x －2，则A 与B 的大小关系
是( )
A ．A ≥B
B ．A >B
C ．A <B
D ．A ≤B
【解析】 ∵a ，b 都是正实数，且a ≠b ，
∴A ＝b a ＋a b >2b a ·a
b ＝2，即A >2，
B ＝－x 2＋4x －2＝－(x 2－4x ＋4)＋2
＝－(x －2)2＋2≤2，
即B ≤2，∴A >B .
【答案】 B
4．已知0＜a ＜b ＜1，则下列不等式成立的是( )
A ．a 3＞b 3 B.1a ＜1b C ．a b ＞1 D ．lg(b －a )＜0
【解析】 由0＜a ＜b ＜1，可得a 3＜b 3，A 错误；1a ＞1b ，B 错误；a b ＜1，C 错误；0＜b
－a ＜1，lg(b －a )＜0，D 正确．
【答案】 D
5．在R 上定义运算☆：a ☆b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ☆(x －2)<0的实数x 的取值范围为
( )
A ．(0,2)
B ．(－2,1)
C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
D ．(－1,2)
【解析】 根据定义得，x ☆(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋(x －2)＝x 2＋x －2<0，解得－2<x <1，所以所求的实数x 的取值范围为(－2,1)．
【答案】 B
6．已知0<x <y <a <1，则有( )
A ．log a (xy )<0
B ．0<log a (xy )<1
C ．1<log a (xy )<2
D ．log a (xy )>2
【解析】 0<x <y <a <1，
即0<x <a,0<y <a,0<xy <a 2.
又0<a <1，f (x )＝log a x 是减函数，
log a (xy )>log a a 2＝2，即log a (xy )>2.
【答案】 D
7．不等式2≤12的解集为( ) A ．(－∞，－3]
B ．(－3,1]
C ．[－3,1]
D ．[1，＋∞)∪(－∞，－3] 【解析】 由已知得 2
≤2－1，所以x 2＋2x －4≤－1，即x 2＋2x －3≤0，解得－
3≤x ≤1.
【答案】 C 8．x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧ x ＋y －2≤0，
x －2y －2≤0，
2x －y ＋2≥0.
若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( )
A.12或－1
B ．2或12
C ．2或1
D ．2或－1
【解析】 如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，故当a >0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2；当a <0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1.
【答案】 D
9．已知正实数a ，b 满足4a ＋b ＝30，当1a ＋1b 取最小值时，实数对(a ，b )是( )
A ．(5,10)
B ．(6,6)
C ．(10,5)
D ．(7,2) 【解析】 1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ·130
·30 ＝130⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a ＋1b (4a ＋b ) ＝130⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋b a ＋4a b
≥130⎝ ⎛
⎭⎪⎫5＋2
b a ·4a b ＝3
10
. 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧
b a ＝4a b
，
4a ＋b ＝30，
即⎩⎨⎧
a ＝5，
b ＝10时取等号． 【答案】 A
10．在如图1所示的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解有无数个，则a 的一个可能值是( )
图1
A ．－3
B ．3
C ．－1
D ．1
【解析】 若最优解有无数个，则y ＝－1a x ＋z a 与其中一条边平行，而三边的斜率分别为1
3，－1,0，与－1
a 对照可知a ＝－3或1，
又因z ＝x ＋ay 取得最小值，则a ＝－3. 【答案】 A
11．某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10 km 处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )
A ．5 km 处
B ．4 km 处
C ．3 km 处
D ．2 km 处
【解析】 设车站到仓库距离为x ，土地费用为y 1，运输费用为y 2，由题意得y 1＝k 1
x ，y 2＝k 2x ，∵x ＝10时，y 1＝2，y 2＝8，∴k 1＝20，k 2＝45，∴费用之和为y ＝y 1＋y 2＝20x ＋4
5
x≥220
x×
4
5x＝8，当且仅当
20
x＝
4x
5，即x＝5时取等号．
【答案】 A
12．设D是不等式组
⎩
⎨
⎧x＋2y≤10，
2x＋y≥3，
0≤x≤4，
y≥1
表示的平面区域，则D中的点P(x，y)到直线x
＋y＝10的距离的最大值是()
A. 2 B．2 2
C．3 2 D．4 2
【解析】画出可行域，由图知最优解为A(1,1)，故A到x＋y＝10的距离为d＝4 2.
【答案】 D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．函数y＝2－x－
4
x(x>0)的值域为________．
【解析】当x>0时，y＝2－
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
x＋
4
x≤2－2x×
4
x＝－2.当且仅当x＝
4
x，即x＝2时取等号．
【答案】(－∞，－2]
14．规定记号“⊙”表示一种运算，定义a⊙b＝ab＋a＋b(a，b为正实数)，若1⊙k<3，则k的取值范围为________．
【解析】由题意得k＋1＋k<3，即(k＋2)·(k－1)<0，且k>0，因此k的取值范围是(0,1)．
【答案】(0,1)
15．若x，y满足约束条件
⎩
⎨
⎧y－x≤1，
x＋y≤3，
y≥1，
则z＝x＋3y的最大值为________．
【解析】 根据约束条件画出可行域如图所示，平移直线y ＝－13x ，当直线y ＝－13x ＋z
3过点A 时，目标函数取得最大值．由⎩⎨⎧
y －x ＝1，x ＋y ＝3，
可得A (1,2)，代入可得z ＝1＋3×2＝7.
【答案】 7
16．已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________．
【解析】 要满足f (x )＝x 2＋mx －1<0对于任意x ∈[m ，m ＋1]恒成立，只需 ⎩⎨⎧ f (m )<0，f (m ＋1)<0，即⎩⎨⎧
2m 2－1<0，(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1<0， 解得－2
2<m <0. 【答案】 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－22，0
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝x 2＋2
x ，解不等式f (x )－f (x －1)>2x －1. 【解】 由题意可得
x 2＋2x －(x －1)2－2x －1>2x －1，
化简得2
x (x －1)<0，
即x (x －1)<0， 解得0<x <1.
所以原不等式的解集为{x |0<x <1}． 18．(本小题满分12分)设x ∈R ，比较
1
1＋x
与1－x 的大小． 【解】 作差：11＋x －(1－x )＝x 2
1＋x
，
①当x ＝0时，∵x 21＋x ＝0，∴1
1＋x ＝1－x ；
②当1＋x
<0，即x <－1时， ∵x 21＋x <0，∴1
1＋x
<1－x ； ③当1＋x >0且x ≠0，即－1<x <0或x >0时， ∵x 21＋x >0，∴11＋x
>1－x . 19．(本小题满分12分)已知x ，y ，z ∈R ＋，且x ＋y ＋z ＝1，求证：1x ＋4y ＋9
z ≥36. 【证明】 ∵(x ＋y ＋z )⎝ ⎛⎭⎪⎫
1x ＋4y ＋9z ＝14＋y x ＋4x y ＋z x ＋9x z ＋4z y ＋9y z ≥14＋4＋6＋12＝36，
∴1x ＋4y ＋9
z ≥36.
当且仅当x 2
＝14y 2＝19z 2，即x ＝16，y ＝13，z ＝1
2时，等号成立．
20．(本小题满分12分)一个农民有田2亩，根据他的经验，若种水稻，则每亩每期产量为400千克；若种花生，则每亩每期产量为100千克，但水稻成本较高，每亩每期需240元，而花生只要80元，且花生每千克可卖5元，稻米每千克只卖3元，现在他只能凑足400元，问这位农民对两种作物各种多少亩，才能得到最大利润？
【解】 设水稻种x 亩，花生种y 亩，则由题意得
⎩⎨⎧
x ＋y ≤2，
240x ＋80y ≤400，x ≥0，y ≥0，
即⎩⎨⎧
x ＋y ≤2，3x ＋y ≤5，x ≥0，y ≥0，
画出可行域如图阴影部分所示．
而利润P ＝(3×400－240)x ＋(5×100－80)y
＝960x ＋420y (目标函数)，
可联立⎩⎨⎧
x ＋y ＝2，3x ＋y ＝5，得交点B (1.5,0.5)．
故当x ＝1.5，y ＝0.5时，
P 最大值＝960×1.5＋420×0.5＝1 650，
即水稻种1.5亩，花生种0.5亩时所得到的利润最大．
21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2＋3
x －a (x ≠a ，a 为非零常数)．
(1)解不等式f (x )<x ；
(2)设x >a 时，f (x )有最小值为6，求a 的值． 【解】 (1)f (x )<x ，即x 2＋3
x －a <x ，
整理得(ax ＋3)(x －a )<0. 当a >0时，⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x ＋3a (x －a )<0，
∴解集为⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
－3
a <x <a
； 当a <0时，⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x ＋3a (x －a )>0，
解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪
⎪⎪
x >－3
a 或x <a
. (2)设t ＝x －a ，则x ＝t ＋a (t >0)， ∴f (x )＝t 2＋2at ＋a 2＋3
t
＝t ＋a 2＋3
t ＋2a ≥2
t ·a 2＋3t
＋2a
＝2a 2＋3＋2a . 当且仅当t ＝a 2＋3
t ， 即t ＝a 2＋3时，等号成立， 即f (x )有最小值2a 2＋3＋2a . 依题意有2a 2＋3＋2a ＝6，
解得a＝1.
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2－2x－8，g(x)＝2x2－4x－16，
(1)求不等式g(x)<0的解集；
(2)若对一切x>2，均有f(x)≥(m＋2)x－m－15成立，求实数m的取值范围. 【解】(1)g(x)＝2x2－4x－16<0，
∴(2x＋4)(x－4)<0，
∴－2<x<4，
∴不等式g(x)<0的解集为{x|－2<x<4}．
(2)∵f(x)＝x2－2x－8.
当x>2时，f(x)≥(m＋2)x－m－15恒成立，
∴x2－2x－8≥(m＋2)x－m－15，
即x2－4x＋7≥m(x－1)．
∵对一切x>2，均有不等式x2－4x＋7
x－1
≥m成立，
而x2－4x＋7
x－1
＝(x－1)＋
4
x－1
－2≥2(x－1)×
4
x－1
－2＝2(当且仅当x＝3时等号成立)，
∴实数m的取值范围是(－∞，2]．
模块综合测评(一)
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若a<1，b>1，那么下列命题中正确的是()
A.1
a>
1
b B.
b
a>1
C．a2<b2D．ab<a＋b 【解析】利用特值法，令a＝－2，b＝2.
则1
a<
1
b，A错；
b
a<0，B错；a
2＝b2，C错．
【答案】 D
2．一个等差数列的第5项a5＝10，且a1＋a2＋a3＝3，则有() A．a1＝－2，d＝3 B．a1＝2，d＝－3
C ．a 1＝－3，d ＝2
D ．a 1＝3，d ＝－2
【解析】 ∵a 1＋a 2＋a 3＝3且2a 2＝a 1＋a 3，
∴a 2＝1.又∵a 5＝a 2＋3d ＝1＋3d ＝10，d ＝3，∴a 1＝a 2－d ＝1－3＝－2. 【答案】 A
3．已知△ABC 的三个内角之比为A ∶B ∶C ＝3∶2∶1，那么对应的三边之比a ∶b ∶c 等于( )
A ．3∶2∶1 B.3∶2∶1 C.3∶2∶1
D ．2∶3∶1
【解析】 ∵A ∶B ∶C ＝3∶2∶1，A ＋B ＋C ＝180°， ∴A ＝90°，B ＝60°，C ＝30°， ∴a ∶b ∶c ＝sin 90°∶sin 60°∶sin 30° ＝1∶32∶1
2＝2∶3∶1. 【答案】 D
4．在坐标平面上，不等式组⎩⎨⎧
y ≥x －1，
y ≤－3|x |＋1
所表示的平面区域的面积为
( )
A. 2
B.32
C.322
D ．2
【解析】 由题意得，图中阴影部分面积即为所求．B ，C 两点横坐标分别为－1，1
2.
∴S △ABC ＝12×2×⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－(－1)＝3
2.
【答案】 B
5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若A ＝π
3，b ＝1，△ABC 的面积为3
2，则a 的值为( )
A ．1
B ．2 C.32
D. 3
【解析】 根据S ＝12bc sin A ＝3
2，可得c ＝2，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝3，故a ＝ 3.
【答案】 D
6．等差数列的第二，三，六项顺次成等比数列，且该等差数列不是常数数列，则这个等比数列的公比为( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
【解析】 设等差数列的首项为a 1，公差为d ， 则a 2＝a 1＋d ，a 3＝a 1＋2d ，a 6＝a 1＋5d ，
又∵a 2·a 6＝a 23，∴(a 1＋2d )2
＝(a 1＋d )(a 1＋5d )，
∴d ＝－2a 1，∴q ＝a 3
a 2＝3.
【答案】 A
7．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝ ⎛
⎦⎥⎤0，12恒成立，则a 的最小值为( )
A ．0
B ．－2
C ．－5
2
D ．－3
【解析】 x 2＋ax ＋1≥0在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上恒成立⇔ax ≥－x 2－1⇔a ≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x max ，∵x ＋
1x ≥5
2，
∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋1x ≤－52，∴a ≥－52. 【答案】 C
8．已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则( )
A ．a 1d >0，dS 4>0
B ．a 1d <0，dS 4<0
C ．a 1d >0，dS 4<0
D ．a 1d <0，dS 4>0
【解析】 ∵a 3，a 4，a 8成等比数列，∴a 24＝a 3a 8，∴(a 1＋3d )2
＝(a 1＋2d )(a 1＋7d )，展开
整理，得－3a 1d ＝5d 2
，即a 1d ＝－53d 2
.∵d ≠0，∴a 1d <0.∵S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，∴S 4＝4a 1＋6d ，
dS 4＝4a 1d ＋6d 2＝－2
3d 2<0.
【答案】 B
9．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1－2a n ＝0(n ∈N *)，b n 是a n 和a n ＋1的等差中项，设S n 为数列{b n }的前n 项和，则S 6＝( )
A ．189
B ．186
C ．180
D ．192
【解析】 由a n ＋1＝2a n ，知{a n }为等比数列， ∴a n ＝2n ， ∴2b n ＝2n ＋2n ＋1， 即b n ＝3·2n －1，
∴S 6＝3·1＋3·2＋…＋3·25＝189. 【答案】 A
10．已知a ，b ，c ∈R ，a ＋b ＋c ＝0，abc >0，T ＝1a ＋1b ＋1
c ，则( ) A ．T >0 B ．T <0 C ．T ＝0
D ．T ≥0
【解析】 法一：取特殊值，a ＝2，b ＝c ＝－1， 则T ＝－3
2<0，排除A ，C ，D ，可知选B.
法二：由a ＋b ＋c ＝0，abc >0，知三数中一正两负， 不妨设a >0，b <0，c <0，
则T ＝1a ＋1b ＋1c ＝ab ＋bc ＋ca abc ＝ab ＋c (b ＋a )abc ＝ab －c 2
abc .
∵ab <0，－c 2<0，abc >0，故T <0，应选B. 【答案】 B
11．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝( )
A ．2 3
B ．2 C. 2
D ．1
【解析】由正弦定理得：
a
sin A＝
b
sin B，
∵B＝2A，a＝1，b＝3，
∴
1
sin A＝
3
2sin A cos A.
∵A为三角形的内角，∴sin A≠0.
∴cos A＝
3 2.
又0＜A＜π，∴A＝π
6，∴B＝2A＝
π
3，
∴C＝π－A－B＝π
2，∴△ABC为直角三角形．
由勾股定理得c＝12＋(3)2＝2.
【答案】 B
12．一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有()
A．13项B．12项
C．11项D．10项
【解析】设该数列的前三项分别为a1，a1q，a1q2，后三项分别为a1q n－3，a1q n－2，a1q n －1，所以前三项之积a31q3＝2，后三项之积a31q3n－6＝4，两式相乘，得a61q3(n－1)＝8，即a21q n－1＝2.又a1·a1q·a1q2·…·a1q n－1＝64，所以a n1·q＝64，即(a21q n－1)n＝642，即2n＝642，所以n ＝12.
【答案】 B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．在△ABC中，BC＝2，B＝π
3，当△ABC的面积等于
3
2时，sin C＝________.
【解析】由三角形的面积公式，得S＝1
2AB·BC sin
π
3＝
3
2，易求得AB＝1，由余弦定理，
得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos π
3，得AC＝3，再由三角形的面积公式，得S＝
1
2AC·BC sin C
＝
3
2，即可得出sin C＝
1
2. 【答案】
1
2
14．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧
x ＋y ≤4，
x －y ≤2，
3x －y ≥0，
则3x ＋y 的最大值是________．
【解析】 画出可行域，如图阴影部分所示，设z ＝3x ＋y ，则y ＝－3x ＋z ，平移直线y ＝－3x 知当直线y ＝－3x ＋z 过点A 时，z 取得最大值．
由⎩
⎨⎧
x ＋y ＝4，x －y ＝2，可得A (3,1)．故z max ＝3×3＋1＝10.
【答案】 10
15．国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，实行征收附加税政策．现知某种酒每瓶70元，不加附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税k 元(叫做税率k %)，则每年的产销量将减少10k 万瓶．要使每年在此项经营中所收取附加税金不少于112万元，则k 的取值范围为________．
【解析】 设产销量为每年x 万瓶，则销售收入每年70x 万元，从中征收的税金为70x ·k %万元，其中x ＝100－10k .由题意，得70(100－10k )k %≥112，整理得k 2－10k ＋16≤0，解得2≤k ≤8.
【答案】 [2,8] 16．观察下列等式： 12＝1， 12－22＝－3， 12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， …
照此规律，第n 个等式可为12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2＝________. 【解析】 分n 为奇数、偶数两种情况． 第n 个等式为12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2.
当n 为偶数时，分组求和：(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n －1)2－n 2]＝－(3＋7＋11＋15＋…
＋2n －1)＝－n
2×(3＋2n －1)2＝－
n (n ＋1)
2.
当n 为奇数时，第n 个等式为(12
－22
)＋(32
－42
)＋…＋[(n －2)2
－(n －1)2
]＋n 2
＝－n (n －1)
2
＋n 2＝n (n ＋1)2.
综上，第n 个等式为 12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2 ＝(－1)n ＋1n (n ＋1)
2. 【答案】 (－1)n ＋1n (n ＋1)
2
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若m ＝(a 2＋c 2－b 2，－3a )，n ＝(tan B ，c )，且m ⊥n ，求B 的值．
【解】 由m ⊥n 得
(a 2＋c 2－b 2)·tan B －3a ·c ＝0，
即(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，得a 2＋c 2－b 2＝3ac tan B ， 所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3
2tan B ， 即tan B cos B ＝32，即sin B ＝32， 所以B ＝π3或B ＝2π
3.
18．(本小题满分12分)在等差数列{a n }中，S 9＝－36，S 13＝－104，在等比数列{b n }中，b 5＝a 5，b 7＝a 7, 求b 6.
【解】 ∵S 9＝－36＝9a 5，∴a 5＝－4， ∵S 13＝－104＝13a 7，∴a 7＝－8， ∴b 26＝b 5·b 7＝a 5 ·a 7＝32， ∴b 6＝±4 2.
19．(本小题满分12分)解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R ). 【解】 原不等式可化为
ax 2＋(a －2)x －2≥0⇒(ax －2)(x ＋1)≥0.
(1)当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0⇒x ≤－1；
(2)当a >0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫
x －2a (x ＋1)≥0⇒x ≥2a 或x ≤－1；
(3)当a <0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x －2a (x ＋1)≤0.
①当2a >－1，即a <－2时，原不等式等价于－1≤x ≤2
a ； ②当2
a ＝－1，即a ＝－2时，原不等式等价于x ＝－1； ③当2a <－1，即－2<a <0时，原不等式等价于2
a ≤x ≤－1. 综上所述：当a <－2时，原不等式的解集为⎣⎢⎡
⎦⎥⎤－1，2a ；
当a ＝－2时，原不等式的解集为{－1}； 当－2<a <0时，原不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤
2a ，－1；
当a ＝0时，原不等式的解集为(－∞，－1]；
当a >0时，原不等式的解集为(－∞，－1]∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫
2a ，＋∞.
20．(本小题满分12分)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝1，b ＝2，cos C ＝1
4.
(1)求△ABC 的周长； (2)求cos A 的值．
【解】 (1)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－4×1
4＝4， ∴c ＝2，∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝1＋2＋2＝5. (2)∵cos C ＝1
4，∴sin C ＝1－cos 2C ＝1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫142
＝154， ∴sin A ＝a sin C c ＝1542＝15
8 ∵a <c ，∴A <C ，故A 为锐角， ∴cos A ＝1－sin 2
A ＝
1－⎝
⎛⎭⎪⎫1582＝7
8
. 21．(本小题满分12分)已知数列{a n }满足a 1＝5，a 2＝5，a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)． (1)求证：{a n ＋1＋2a n }是等比数列；
(2)求数列{a n }的通项公式．
【解】 (1)证明：∵a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)， ∴a n ＋1＋2a n ＝3a n ＋6a n －1＝3(a n ＋2a n －1)(n ≥2)． 又a 1＝5，a 2＝5，∴a 2＋2a 1＝15， ∴a n ＋2a n －1≠0(n ≥2)， ∴
a n ＋1＋2a n
a n ＋2a n －1
＝3(n ≥2)，
∴数列{a n ＋1＋2a n }是以15为首项，3为公比的等比数列． (2)由(1)得a n ＋1＋2a n ＝15×3n －1＝5×3n ， 则a n ＋1＝－2a n ＋5×3n ， ∴a n ＋1－3n ＋1＝－2(a n －3n )． 又∵a 1－3＝2，∴a n －3n ≠0，
∴{a n －3n }是以2为首项，－2为公比的等比数列， ∴a n －3n ＝2×(－2)n －1， 即a n ＝2×(－2)n －1＋3n (n ∈N *)．
22．(本小题满分12分)某厂用甲、乙两种原料生产A ，B 两种产品，制造1 t A,1 t B 产品需要的各种原料数、可得到利润以及工厂现有各种原料数如下表：
(1)
(2)每吨B 产品的利润在什么范围变化时，原最优解不变？当超出这个范围时，最优解有何变化？
【解】 (1)设生产A ，B 两种产品分别为x t ，y t ，则利润z ＝5x ＋3y ，x ，y 满足
⎩⎨⎧
2x ＋y ≤14，
x ＋3y ≤18，x ≥0，y ≥0，
作出可行域如图：。