福建省莆田四中2011-2012学年高一下学期期中考练习数学试卷

莆田四中高一期中考练习试卷（三角函数与向量）2012。

4
一．选择题 1。

sin163sin 223sin 253sin313+=（
）
A ．12
- B ．12
C ．2
-
D ．
2
2. 函数y ＝cos2x 在下列哪个区域上是减函数（ )
A ．［－错误!，错误!]
B ．[错误!,错误!]
C ．［0，错误!］
D ．[错误!，π]
3. 已知向量a =（1，2)，b =（x ，1),u =a +2b ，v =2a —b 且u ∥v ，则x 的值为（ )
A ．3
4 B ．3
1 C ．2
1 D ．以
上都不对
4。

若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足
2
2
a b 4c +-=（），
且C=60°,则ab 的值为( )
A ．4
3
B ．8-
C ． 1
D ．23
5. 若tan 4
f x x π
=+（）（），则（ )
A ． 1f -（）>f (0)>f (1)
B ． f （0）>f (1)>f (-1)
C ． 1f （）>f (0)>f (-1)
D ．
f （0）>f (-1)>f (1)
6。

在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且|AB ｜＝λ｜DC |，设AB ＝a ,
AD ＝
b ,则AC ＝（ ）
A ．λa ＋b
B ．a ＋λb
C 。

错误!a ＋b
D ．a ＋错误!b
7．设向量a ，b 的夹角为θ，且|a |＝错误!，｜b ｜＝3,m 是向量b 在a 方向上的投影,则函数y ＝｜a |m 的最大值和最小值的和为（ )
A 。

17
4 B ．8 C 。

错误!
D.错误!
8. 已知向量)sin ,(cos θθ=a ，向量)1,3(-=b 则|2|b a -的最大值，
最小值分别是( ） A ．0
,24
B ．
24,4 C ．16，0 D ．4,0
9．点O 是
∆
ABC 所在平面内一定点，动点P 满足
OP =OA
+λ则动点
P 的轨迹一定通过三角形ABC 的
（ ）
A 、重心
B 、垂心
C 、外心
D 、内心
10．设函数f （x )＝sin （2x ＋π
3
），则下列结论正确的是 （ ）
A ．f （x ）的图象关于直线x ＝错误!对称
B ．f （x )的图象关于点(错误!，0)对称
C ．把f (x )的图象向左平移错误!个单位,得到一个偶函数的图象
D ．f （x )的最小正周期为π,且在[0，错误!］上为增函数
图甲
图乙
二．填空题 11. 已知函数()(sin cos )sin f x x x x
=-,
x ∈R
，则()
f x 的最小正周期
是 ． 12。

若向量
a
，
b
满足
12
a b ==，且
a 与
b
的夹角为3
π，则
a b +=
．
13．在四面体O ABC -中，OA OB OC D ===，，，a b c 为BC 的中点,E 为AD 的中点，则OE = (用，，a b c 表示)．
14。

在△ABC 中,已知a ，b,c 分别为∠A,∠B ，∠C 所对的边，S 为△ABC 的面积。

若向量p=(),
,4222
c b a -+ q=(
)S
,3 满足p ∥q, 则∠
C= .
15.“无字证明”(proofs without words ）， 就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现．请利用图甲、图乙中阴影部分的面积关系，写出该图所验证的一个三角恒等变换公式： ．
三．解答题
16、ABC ∆的面积是30，内角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，12cos 13
A =。

（Ⅰ）求AB AC ；
(Ⅱ)若1c b -=，求a 的值。

17．如图，函数2sin(),y x x R πϕ=+∈(其中02
πϕ≤≤）的图像与y 轴交于点（0，
1)。

（Ⅰ)求ϕ的值;
（Ⅱ）设P 是图像上的最高点，M 、N
是图像与
x 轴的交点，
求PM 与PN 的夹角的余弦值。

18。

设OA ＝(2sin x ,cos2x )，OB =（－cos x ，1)， x ∈[0，2
π］
(Ⅰ）求()f x OA OB =⋅的最大和最小值； (Ⅱ）当OA OB ⊥时，求2
AB 的值。

19．已知向量a →
=（2，2），向量→b 与向量→
a 的夹角为4
3π
，且→a ·→
b =－
2,
（Ⅰ）求向量→
b ；
(Ⅱ）若)2
cos
2,(cos ,)0,1(2
C A c t b t =⊥=→
→→
→
且,其中A 、C 是△ABC 的内角，若三角
形的三内角满足2B= A+C ，试求|→
b +→
c ｜的取值范围。

20．已知，在水平平面α上有一长方体1
AC 绕BC 旋转0
90得到如图所示的几何体．
（Ⅰ）证明：平面11ADC B ⊥平面22
EFC B ；
（Ⅱ)
当1AA =11
BCC B 与平面α所成的角为θ，长方体1
AC 的最高点离平面α的距离为()f θ，请直接写出()f θ的一个表达式，并注明定义域．
21。

如图，为测量湄州妈祖雕像AB 的高度及取景点C 与F 之间的距离（B C D F 、、、在同一水平面上，雕像垂直该水平面于点B ，且B C D 、、三
A 2
2
2
点共线），莆田四中研究性学习小组同学在C D F 、、三点处测得顶点A 的仰角分别为45°、30°、30°。

若FCB ∠＝60°,CD ＝163（-1）米. （Ⅰ)求雕像AB 的高度；
（Ⅱ）求取景点C 与F 之间的距离。

莆田四中高一期中考练习试卷（三角函数与向量)答案
一．选择题 BCCAD CCDAC
7．解析：由条件可知m ＝3cos θ.把m ＝3cos θ和|a |＝错误!代入y ＝|a |m 可得y ＝（错误!）3cos θ。

由0≤θ≤π可知－3≤3cos θ≤3，所以函数的最大值为8，最小值为错误!,故最大值和最小值的和为错误!。

答案：C
9．A 提示：
B
AC C
AB sin sin =得AB sinB=AC sinC ＝k ，所以
OP =OA +)sin sin (
C AC AC
B AB AB
+λ＝OP =OA +k λ
（)→
→
+AC AB 所以
OP －OA ＝k
λ（)→
→+AC AB
故→
AP 在BC 的中线上，所以P 点轨迹过三角
形的重心
二．填空题 π 7
c b a 4
14121++
3π
sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+
三．解答题
16．解:由12cos 13
A =，得2125
sin 1()1313
A =
-=。

又1sin 302
bc A =，∴156bc =。

（Ⅰ)12cos 15614413
AB AC bc A ⋅==⨯=。

（Ⅱ）2
222cos a b c bc A =+-212
()2(1cos )12156(1)2513
c b bc A =-+-=+⋅⋅-
=， ∴5a =.
17．【解答】（I ）因为函数图像过点(0,1)，
所以2sin 1,ϕ=即1sin .2
ϕ=
因为02
πϕ≤≤，所以6
πϕ=.
(II)由函数2sin()6
y x ππ=+及其图像，得115(,0),(,2),(,0),6
3
6
M P N --
所以11(,2),(,2),2
2
PM PN =-=-从而
cos ,||||
PM PN
PM PN PM PN ⋅<>=
⋅1517
=
18。

解析：(1)∵()2sin cos cos 22sin(2)4
f x OA OB x x x x π
=⋅=-+=--
又∵x ∈［0,2
π］，－4
π≤2x －4
π≤4
3π，
∴当x =8
3π时，2)
(min
-=x f ；当x=0时，1)
(max
=x f ；
（2）当OA OB ⊥时，2sin cos cos 22sin(2)04OA OB x x x x π⋅=-+=-
-=，2x =4π
,
2
2
222(cos sin ,1cos2)cos 4sin 2sin 212cos2cos 2AB x x x x x x x x
=---=+++-+＝4－3
24
19．解析：（1)设b =(x ，y)，则22222,||1.3||cos
4
a b x y b x y a π
⋅+=-=
==+且
∴解得10
,(1,0)(0,1)01
x x b b y y =-=⎧⎧=-=-⎨
⎨==-⎩⎩或或 （2）,
,(1,0),(0,1)
3
B b t t b π=⊥=∴=-且。

∴2
(cos ,2cos
1)(cos ,cos ),2
C
b c A A C +=-= ∴2
2
21
||cos
cos 1(cos 2cos 2)2
b c A C A C +=+=++
=1+122cos()cos()1cos(),,2
33
A C A C A C A C ππ+-=---
<-< ∴1cos()1,2
A C -<-≤ ∴
25
||.22
b c ≤+< 20。

证明：(Ⅰ）延长2
B E 交1
AB 于N ，
1
2
ABB EBB ≅， 1
2
AB B EB B ∴∠=∠,
1
1
90AB B B AB ∠+∠=︒, 2
1
90EB B B AB ∴∠+∠=︒，
290ANB ∴∠=︒
即 1
2
AB B E ⊥ 又1
EF AB ⊥ 2
EF B E E ⋂= 1
2
2
AB EFC B ∴⊥平面 ,
111,AB ⊂又
平面ADC B
∴平面11ADC B ⊥平面22EFC B ；
(Ⅱ）()2sin(),(0)6
2
f ππθθθ=+≤≤
21．。