学年高中数学第2章平面向量2从位移的合成到向量的加法2.2向量的减法课件北师大版必修4
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解：解法一：在▱OAFE 中，OF 为对角线，且 OA，OF， OE 始点相同，应用平行四边形法则，得O→F＝O→A＋O→E＝
a＋b. ∵O→C＝－O→F，∴O→C＝－a－b. 而O→B＝－O→E＝－b，O→D＝－O→A＝－a， ∴O→B＝－b，O→C＝－a－b，O→D＝－a.
类型 2 向量的加、减法的混合运算 化简：(A→B－C→D)－(A→C－B→D)．
【解】 解法一：(A→B－C→D)－(A→C－B→D) ＝A→B－C→D－A→C＋B→D ＝A→B＋D→C＋C→A＋B→D＝(A→B＋B→D)＋(D→C＋C→A) ＝A→D＋D→A＝0.
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第二章 平面向量
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§2 从位移的合成到向量的加法 2.2 向量的减法
第二页，编辑于星期六：点 三十三分。
课前基础梳理
自主学习 梳理知识
第三页，编辑于星期六：点 三十三分。
|学 习 目 标| 1．知道向量减法的定义，理解相反向量的意义． 2．掌握向量减法的运算及几何意义，能作出两个向量的差 向量.
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练一练 已知 O 为平行四边形 ABCD 内一点，O→A＝a，O→B ＝b，O→C＝c，试用 a，b，c 表示O→D.
解：解法一：如图所示，
O→D＝O→A＋A→D＝a＋B→C＝a＋(O→C－O→B)＝a＋c－b. 解法二：O→D＝O→A＋A→B＋B→C＋C→D＝O→A＋B→C＋(A→B＋C→D)＝ O→A＋B→C＋0＝O→A＋(B→O＋O→C)＝a＋(－b＋c)＝a－b＋c.
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1．相反向量 (1)定义：与 a_长__度__相__等__、__方__向__相__反___的向量，叫作 a 的相 反向量，记作－a. (2)性质：①零向量的相反向量仍是零向量； ②－(－a)＝a； ③a＋(－a)＝(－a)＋a＝0； ④如果 a，b 是_互__为__相__反___的向量，那么 a＝－b，b＝－a， a＋b＝0.
解法二：(A→B－C→D)－(A→C－B→D)＝A→B－C→D－A→C＋B→D ＝(A→B－A→C)＋(D→C－D→B)＝C→B＋B→C＝0. 解法三：设 O 为平面内任意一点，则有 (A→B－C→D)－(A→C－B→D)＝A→B－C→D－A→C＋B→D ＝(O→B－O→A)－(O→D－O→C)－(O→C－O→A)＋(O→D－O→B) ＝O→B－O→A－O→D＋O→C－O→C＋O→A＋O→D－O→B＝0.
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2．向量的模与平行四边形形状的几何结论有哪些？ 答：在▱OACB 中，O→A＝a，O→B＝b，则： (1)若|a|＝|b|，则▱OACB 为菱形． (2)若|a＋b|＝|a－b|，则▱OACB 为矩形． (3)若|a|＝|b|，且|a＋b|＝|a－b|，则▱OACB 为正方形．
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【方法总结】 向量减法的实质是加法的逆运算，利用相 反向量的定义就可以把减法化为加法．在用三角形法则进行向 量的减法运算时，只要记住：连接两向量终点，箭头指向被减 向量即可．
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如图，在正六边形 ABCDEF 中，O 为中 心，若O→A＝a，O→E＝b，用向量 a，b 表示向量O→B，O→C和O→D.
连接 BC，则C→B＝b－c. 过点 A 作 AD∥═ BC， 则A→D＝b－c. 则O→D＝O→A＋A→D＝a＋b－c.
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解法二：如图②，在平面内任取一点 O，作O→A＝a，A→B＝b， 则O→B＝a＋b，再作O→C＝c，则C→B＝a＋b－c.
解法三：如图③，在平面内任取一点 O，作O→A＝a，A→B＝b， 则O→B＝a＋b，作C→B＝c，则O→C＝a＋b－c.
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1．怎样求两个向量的差？ 答：两个向量的差也可用平行四边形法则 及三角形法则求得：用平行四边形法则时，两 个向量也是共起点，和向量是对角线所对应的 向量(A→C)，而差向量是另一条对角线所对应的向量(D→B)，方向 是从减向量指向被减向量；用三角形法则时，把减向量与被减 向量的起点相重合，则差向量是从减向量的终点指向被减向量 的终点．即作非零向量 a，b 的差向量 a－b，可以简记为：共起 点，连终点，指向被减．
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【方法总结】 解决这类题目要注意方法统一，如都将减 法转化为加法来运算；其次应注意向量加法交换律和结合律的 灵活运用．其中解法三为我们提供了一种不需要平移，就能将 平面内的任一向量转化为以一确定点为起点的向量的方法，从 而使问题转化成有共同起点的向量问题．这种方法以后经常会 用到，必须熟练掌握．
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2．向量的减法 向量 a 加上 b 的_相__反__向__量___，叫作 a 与 b 的差，即 a－b＝a ＋_(－__b_)__．求两个向量_差___的运算，叫作向量的减法． 3．向量减法的几何意义 已知 a，b 在平面内任取一点 O，作O→A＝a，O→B＝b，则B→A＝ _a_－__b__，即 a－b 可以表示为从_向__量___b_的终点指向__被__减__向__量__a__ 的终点的向量．
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解法二：由正六边形的几何性质，得O→D＝－a，O→B＝－b， B→C＝－O→ห้องสมุดไป่ตู้＝－a.
在△OBC 中，O→C＝O→B＋B→C＝－a－b. 解法三：由正六边形的几何性质，得 O→B＝－b，O→D＝－a. 在▱OBCD 中，O→C＝O→B＋O→D＝－a－b.
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第九页，编辑于星期六：点 三十三分。
课堂互动探究
典例精析 规律总结
第十页，编辑于星期六：点 三十三分。
类型 1 向量减法的几何作图 如图，已知向量 a，b，c 不共线，求作向量 a＋b－
c.
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【解】 解法一：如图①，在平面内任取一点 O，作O→A＝a， O→B＝b，O→C＝c，
解：解法一：在▱OAFE 中，OF 为对角线，且 OA，OF， OE 始点相同，应用平行四边形法则，得O→F＝O→A＋O→E＝
a＋b. ∵O→C＝－O→F，∴O→C＝－a－b. 而O→B＝－O→E＝－b，O→D＝－O→A＝－a， ∴O→B＝－b，O→C＝－a－b，O→D＝－a.
类型 2 向量的加、减法的混合运算 化简：(A→B－C→D)－(A→C－B→D)．
【解】 解法一：(A→B－C→D)－(A→C－B→D) ＝A→B－C→D－A→C＋B→D ＝A→B＋D→C＋C→A＋B→D＝(A→B＋B→D)＋(D→C＋C→A) ＝A→D＋D→A＝0.
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第二章 平面向量
第一页，编辑于星期六：点 三十三分。
§2 从位移的合成到向量的加法 2.2 向量的减法
第二页，编辑于星期六：点 三十三分。
课前基础梳理
自主学习 梳理知识
第三页，编辑于星期六：点 三十三分。
|学 习 目 标| 1．知道向量减法的定义，理解相反向量的意义． 2．掌握向量减法的运算及几何意义，能作出两个向量的差 向量.
第六页，编辑于星期六：点 三十三分。
练一练 已知 O 为平行四边形 ABCD 内一点，O→A＝a，O→B ＝b，O→C＝c，试用 a，b，c 表示O→D.
解：解法一：如图所示，
O→D＝O→A＋A→D＝a＋B→C＝a＋(O→C－O→B)＝a＋c－b. 解法二：O→D＝O→A＋A→B＋B→C＋C→D＝O→A＋B→C＋(A→B＋C→D)＝ O→A＋B→C＋0＝O→A＋(B→O＋O→C)＝a＋(－b＋c)＝a－b＋c.
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1．相反向量 (1)定义：与 a_长__度__相__等__、__方__向__相__反___的向量，叫作 a 的相 反向量，记作－a. (2)性质：①零向量的相反向量仍是零向量； ②－(－a)＝a； ③a＋(－a)＝(－a)＋a＝0； ④如果 a，b 是_互__为__相__反___的向量，那么 a＝－b，b＝－a， a＋b＝0.
解法二：(A→B－C→D)－(A→C－B→D)＝A→B－C→D－A→C＋B→D ＝(A→B－A→C)＋(D→C－D→B)＝C→B＋B→C＝0. 解法三：设 O 为平面内任意一点，则有 (A→B－C→D)－(A→C－B→D)＝A→B－C→D－A→C＋B→D ＝(O→B－O→A)－(O→D－O→C)－(O→C－O→A)＋(O→D－O→B) ＝O→B－O→A－O→D＋O→C－O→C＋O→A＋O→D－O→B＝0.
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2．向量的模与平行四边形形状的几何结论有哪些？ 答：在▱OACB 中，O→A＝a，O→B＝b，则： (1)若|a|＝|b|，则▱OACB 为菱形． (2)若|a＋b|＝|a－b|，则▱OACB 为矩形． (3)若|a|＝|b|，且|a＋b|＝|a－b|，则▱OACB 为正方形．
第十三页，编辑于星期六：点 三十三分。
【方法总结】 向量减法的实质是加法的逆运算，利用相 反向量的定义就可以把减法化为加法．在用三角形法则进行向 量的减法运算时，只要记住：连接两向量终点，箭头指向被减 向量即可．
第十四页，编辑于星期六：点 三十三分。
如图，在正六边形 ABCDEF 中，O 为中 心，若O→A＝a，O→E＝b，用向量 a，b 表示向量O→B，O→C和O→D.
连接 BC，则C→B＝b－c. 过点 A 作 AD∥═ BC， 则A→D＝b－c. 则O→D＝O→A＋A→D＝a＋b－c.
第十二页，编辑于星期六：点 三十三分。
解法二：如图②，在平面内任取一点 O，作O→A＝a，A→B＝b， 则O→B＝a＋b，再作O→C＝c，则C→B＝a＋b－c.
解法三：如图③，在平面内任取一点 O，作O→A＝a，A→B＝b， 则O→B＝a＋b，作C→B＝c，则O→C＝a＋b－c.
第七页，编辑于星期六：点 三十三分。
1．怎样求两个向量的差？ 答：两个向量的差也可用平行四边形法则 及三角形法则求得：用平行四边形法则时，两 个向量也是共起点，和向量是对角线所对应的 向量(A→C)，而差向量是另一条对角线所对应的向量(D→B)，方向 是从减向量指向被减向量；用三角形法则时，把减向量与被减 向量的起点相重合，则差向量是从减向量的终点指向被减向量 的终点．即作非零向量 a，b 的差向量 a－b，可以简记为：共起 点，连终点，指向被减．
第十九页，编辑于星期六：点 三十三分。
【方法总结】 解决这类题目要注意方法统一，如都将减 法转化为加法来运算；其次应注意向量加法交换律和结合律的 灵活运用．其中解法三为我们提供了一种不需要平移，就能将 平面内的任一向量转化为以一确定点为起点的向量的方法，从 而使问题转化成有共同起点的向量问题．这种方法以后经常会 用到，必须熟练掌握．
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2．向量的减法 向量 a 加上 b 的_相__反__向__量___，叫作 a 与 b 的差，即 a－b＝a ＋_(－__b_)__．求两个向量_差___的运算，叫作向量的减法． 3．向量减法的几何意义 已知 a，b 在平面内任取一点 O，作O→A＝a，O→B＝b，则B→A＝ _a_－__b__，即 a－b 可以表示为从_向__量___b_的终点指向__被__减__向__量__a__ 的终点的向量．
第十六页，编辑于星期六：点 三十三分。
解法二：由正六边形的几何性质，得O→D＝－a，O→B＝－b， B→C＝－O→ห้องสมุดไป่ตู้＝－a.
在△OBC 中，O→C＝O→B＋B→C＝－a－b. 解法三：由正六边形的几何性质，得 O→B＝－b，O→D＝－a. 在▱OBCD 中，O→C＝O→B＋O→D＝－a－b.
第十七页，编辑于星期六：点 三十三分。
第九页，编辑于星期六：点 三十三分。
课堂互动探究
典例精析 规律总结
第十页，编辑于星期六：点 三十三分。
类型 1 向量减法的几何作图 如图，已知向量 a，b，c 不共线，求作向量 a＋b－
c.
第十一页，编辑于星期六：点 三十三分。
【解】 解法一：如图①，在平面内任取一点 O，作O→A＝a， O→B＝b，O→C＝c，