高中数学第一章三角函数1.6三角函数模型的简单应用自我小测新人教A版必修4(2021学年)

高中数学第一章三角函数1.６三角函数模型的简单应用自我小测新人教A版必修４
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1.6 三角函数模型的简单应用
自我小测
1．如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子上各点的位置图,图中E ,F ,G ,H 四点经过半个周期后达到最高点的是（ )
A ．E ﻩ ﻩ B.Ｆ ﻩ Ｃ．Ｇ ﻩﻩﻩD ．Ｈ
2.一根长l cm 的线，一端固定,另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s
（ｃｍ)与时间t (s ）的函数关系式是s =3cos 3π⎫+⎪⎪⎭
,其中g 是重力加速度,当小球摆动的周
期是1 s 时，线长l 等于（ ） A. g
π ﻩﻩﻩＢ. 2g π ﻩﻩ C 。

2g π ﻩﻩ D. 24g π
3.如图为一半径为3 m 的水轮,水轮中心O 距离水面２ m,已知水轮自点A 开始１ min 旋转４圈,水轮上的点P 到水面的距离y (m)与时间x (s ）满足函数关系y =Ａsin(ωｘ＋φ)＋2,则有
( )
Ａ.ω＝
215π,A =3 ﻩB ．ω＝152π，A ＝3 C ．ω=215π,A =5 ﻩ D ．ω=152π
，A =5 ４.据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈ｆ(x )=Ａsi ｎ(ωｘ＋φ)＋ｂ0,0,||2A πωω⎛
⎫>>< ⎪⎝⎭
的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元,7月份价格最低为５千元，根据以上条件可确定f (x )的解析式为( ）
A.f (x ）=2s ｉn 4
4x ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋7（1≤x ≤12，ｘ∈N *) B ．f （x )=9ｓｉn 4
4x ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭ (1≤x ≤12,x ∈N *)
C.f (x ）＝2ｎ 4
πｘ+7（１≤x ≤12，ｘ∈Ｎ＊) Ｄ．f （x ）＝２ｓi ｎ4
4x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+7(1≤x ≤12，x ∈N ＊） 5．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数,五一期间某商场的人流量满足函数F (t ）=50＋4ｓin 2
t (t ≥0），在下列时间段内，人流量增加的是( )
A.［0,５] B ．[5,10] C ．[10,15］ D ．[15,２0]
6.若函数f （ｘ)＝s ｉn x +2|sin x ｜,x ∈[0，2π]的图象与直线y ＝k 有且只有两个不同的交点，则k 的取值范围是__＿_＿___．
７.已知某游乐园内摩天轮的中心O 点距地面的高度为50 m ，摩天轮做匀速转动,摩天轮上的一点Ｐ自最低点A 点起，经过t min 后,点P 的高度h =４０s ｉn 6
2t ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋５0，那么在摩天轮转动一圈的过程中,点Ｐ的高度在距地面70 ｍ以上的时间将持续＿____＿_＿ｍi ｎ。

8．如图表示相对于平均海平面的某海湾的水面高度h (米)在某天0~２4时的变化情况，则水面高度h 关于时间ｔ的函数解析式为________.
9．有一小球从某点开始左右来回摆动，离开平衡位置的距离s (cm)关于时间t （s)的函数解析式是s =A sin （ωt +φ）（0≤φ<2π),部分图象如图所示.
根据图中所给信息,求：
(１)函数解析式；
（2)小球摆动到最右边时，离开平衡位置多远?
（3）小球来回摆动一次需要多长时间？
10．已知某地一天从4时~16时的温度变化曲线近似满足函数y =10ｓi ｎ584x ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭
+20,ｘ∈［4,16]．
(1）求该地区这一段时间内的温差;
（２）若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存,那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间?
ﻬ参考答案
1。

解析：点往复振动一次为一个周期，故点F 经过半个周期达到最高点．
答案：B
2。

解析：因为周期T
2T π＝２π， 则l =24g
π。

答案:Ｄ
3。

解析：由于每分钟转4圈,故T ＝14
ｍｉn=15 s ，
∴ω=2T π＝215π.又半径为3,故A ＝3. 答案：A
4. 解析:令x =3,可排除D ；令x ＝7,可排除B;由A =
952-=2,可排除C ；由题意,可得Ａ=952-=２,b ＝7,周期Ｔ＝2πω＝2×（7-3）=8,∴ω=4π。

于是f （x ）＝2sin 4x πϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
＋7，再代入点（3,9),结合φ的范围可求得φ=-
4π． 答案:A
５. 解析:令2ｋπ-2π≤2t ≤2k π＋2
π，k ∈Z ,即函数F (t ）的增区间为[]4,4k k ππππ-+，ｋ∈Z .当ｋ＝1时，t ∈[３π,５π],而[1０,1５]⊆[３π,５π］,故选C 。

答案:C
6． 解析:当ｘ∈[0，π]时，sin x ≥0,f (x )＝3sin ｘ；
当x ∈(π，２π］时,si ｎ ｘ≤0,f （x ）=-sin x ,
故函数f (x ）的图象如下.
若ｆ（x ）的图象与直线y ＝ｋ有且只有两个不同的交点，则k ∈（1,3).
答案：（1，3）
7. 解析:依题意,得40si ｎ6
2t ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭+50≥70， 即c ｏs 6πt ≤－12,从而在一个周期[０,2π]内23π≤6
πt ≤43π, ∴4≤ｔ≤8,即摩天轮在转动一圈的过程中，点P 的高度在距地面７０ m 以上的时间将持续4 m ｉn 。

答案:4
5. 解析：根据题图象设ｈ＝A s ｉn(ωt ＋φ）(A 〉0,ω>0),则Ａ＝6,T ＝１2，2πω=1２,∴ω＝6π。

∵点（6,0)为“五点法”作图中的第一点，∴6
π×6＋φ＝0,∴φ＝－π,h =6sin 6t ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭
＝－6sin 6πｔ，t ∈［0,２4］. 答案：y =-6ｓin 6
t π,t ∈［0,２４］ 9。

解:(1）根据图象可知，3
4T =
1112－16＝34，T ＝1，ω=2T π＝２π。

因为t =16时函数取得最大值，
所以2π×1
6+φ＝2π,φ＝6
π． 又因为当t =0时,s =３，
所以3=A sin
6π，A =6。

故函数的解析式为s =6ｓi ｎ26t ππ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭ (t ≥０). (２)因为Ａ＝６,所以小球摆动到最右边时，离开平衡位置6 cm 。

（3)因为T =１,所以小球来回摆动一次需要1 s 。

１０。

解：(1)由函数易知,当ｘ＝14时函数取最大值,此时最高温度为3０ ℃;当x =6时函数取最小值，此时最低温度为10 ℃，所以温差为3０－1０=20（℃).
（２)∵4≤x ≤1６， ∴8π
x -54π∈33,44π
π⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦,
令１5≤１０ｓｉn 584x ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭+20≤2５,
∴-12≤ｓin 584x ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭≤1
2。

∴－6π≤8π
x -54π≤6π。

∴26
3≤x ≤34
3． ∴该细菌的存活时间为34
3-26
3＝8
3 (时)．。