四川省成都市第七中学导数及其应用多选题试题含答案

四川省成都市第七中学导数及其应用多选题试题含答案
一、导数及其应用多选题
1．已知函数()21
x
x x f x e
+-=，则下列结论正确的是（ ） A ．函数()f x 存在两个不同的零点 B ．函数()f x 既存在极大值又存在极小值
C ．当0e k -<<时，方程()f x k =有且只有两个实根
D ．若[),x t ∈+∞时，()2max 5
f x e
=，则t 的最小值为2 【答案】ABC 【分析】
首先求函数的导数，利用导数分析函数的单调性和极值以及函数的图象，最后直接判断选项． 【详解】
对于A ．2
()010f x x x =⇒+-=，解得15
2
x -±=
，所以A 正确； 对于B ．22(1)(2)
()x x
x x x x f x e e
--+-=-=-'， 当()0f x '>时，12x -<<，当()0f x '<时，1x <-或2x >，
所以(,1),(2,)-∞-+∞是函数的单调递减区间，(1,2)-是函数的单调递增区间， 所以(1)f -是函数的极小值，(2)f 是函数的极大值，所以B 正确．
对于C ．当x →+∞时，0y →，根据B 可知，函数的最小值是(1)f e -=-，再根据单调性可知，当0e k -<<时，方程()f x k =有且只有两个实根，所以C 正确；
对于D ：由图象可知，t 的最大值是2，所以D 不正确． 故选：ABC.
【点睛】
易错点点睛：本题考查了导数分析函数的单调性，极值点，以及函数的图象，首先求函数的导数，令导数为0，判断零点两侧的正负，得到函数的单调性，本题易错的地方是
(2,)+∞是函数的单调递减区间，但当x →+∞时，0y →，所以图象是无限接近轴，
如果这里判断错了，那选项容易判断错了．
2．若函数()f x 满足对于任意1x ，2(0,1)x ∈，()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤
⎪⎝⎭
，则称函数()f x 为“中点凸函数”．则下列函数中为“中点凸函数”的是（ ）
A ．2()2f x x x =-
B ．()tan f x x =
C ．()sin cos f x x x =-
D ．()e ln x f x x =-
【答案】ABD 【分析】
用计算()()121222f x f x x x f ++⎛⎫-
⎪⎝⎭
的正负值来解，运算量大，比较复杂.我们可分析“中点凸函数”的几何特征，结合图像作答.
由已知“中点凸函数”的定义，可得“中点凸函数”的图象形状可能为：
【详解】
由“中点凸函数”定义知：定义域内12,x x 对应函数值的平均值大于或等于
12
2
x x +处的函数值，∴下凸函数：任意连接函数图象上不同的两点所得直线一定在图象上方或与图象重合. 设()()1
1
,A
x f x ，()()2
2
,B x f x 为曲线()f x 在(0,1)上任意两点
A 、
B 、
C 、
D 选项对应的函数图象分别如下图示： ①2()2f x x x =-
符合题意 ②()tan f x x =
符合题意
③()sin cos 24f x x x x π⎛
⎫=-=
- ⎪⎝
⎭
放大局部图像可见，在,14
段，并不满足12,x x 对应函数值的平均值大于或等于
12
2
x x +处的函数值.
不合题意
④()e ln x f x x =-
'1()e x f x x =-，''21
()e 0x f x x
+=>
根据导函数作出图像如下
符合题意. 故选：ABD 【点睛】
本题主要考查了函数的新定义及其应用，其中解答中正确理解函数的新定义，以及结合函数的图象求解是解答的关键，学生可利用数形结合求解，需要较强的推理与运算能力.
3．已知函数()1
ln f x x x x
=-+
，给出下列四个结论，其中正确的是（ ） A ．曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为10x y ++= B ．()f x 恰有2个零点
C ．()f x 既有最大值，又有最小值
D ．若120x x >且()()120f x f x +=，则121=x x 【答案】BD 【分析】
本题首先可根据()10f -=以及1
3f
判断出A 错误，然后根据当0x >时的函数单
调性、当0x <时的函数单调性、()10f -=以及()10f =判断出B 正确和C 错误，最后根据()()120f x f x +=得出()121f x f x ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，根据函数单调性即可证得121=x x ，D 正确.
【详解】
函数()1
ln f x x x x
=-+
的定义域为()(),00,-∞⋃+∞， 当0x >时，()1ln f x x x x
=-+，()222111
1x x f x x x x -+-'=--=；
当0x <时，1ln f x x x x
，()222
111
1x x f x x x x -+-'=--=， A 项：1ln 1110f
，2
2
1
11
1
31
f
，
则曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为031y x ，即33y x =--，A 错误；
B 项：当0x >时，
2
22
2
151
24
x x x f x
x x ，函数()f x 是减函数，
当0x <时，
2
22
2
15124
x x x f x
x x ，函数()f x 是减函数，
因为()10f -=，()10f =，所以函数()f x 恰有2个零点，B 正确； C 项：由函数()f x 的单调性易知，C 错误； D 项：当1>0x 、20x >时， 因为()()120f x f x +=， 所以1
222
2
2
22
2
1111
ln ln
f x f x x x x f
x x x x ， 因为()f x 在()0,∞+上为减函数，所以12
1
x x =
，120x x >， 同理可证得当10x <、20x <时命题也成立，D 正确， 故选：BD. 【点睛】
本题考查函数在某点处的切线求法以及函数单调性的应用，考查根据导函数求函数在某点处的切线以及函数单调性，导函数值即切线斜率，若导函数值大于0，则函数是增函数，若导函数值小于0，则函数是减函数，考查函数方程思想，考查运算能力，是难题.
4．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，其导函数()f x '满足()1
f x x
'<
，且()11f =，
则下列结论正确的是（ ） A ．()2f e > B ．10f e ⎛⎫> ⎪⎝⎭
C ．()1,x e ∀∈，()2f x <
D ．1,1x e ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭， ()120x f x f ⎛⎫
+> ⎪⎝⎭
- 【答案】BCD 【分析】
令()()ln F x f x x =-，求导得：'1
()()0F x f x x
'
=-
<，可得函数的单调性，再结合(1)1f =，可得(1)1F =，对选项进行一一判断，即可得答案；
【详解】
令()()ln F x f x x =-，∴'1
()()0F x f x x
'
=-
<， ()F x ∴在(0,)+∞单调递减， (1)1f =，(1)(1)1F f ∴==，
对A ，()(1)()11()2F e F f e f e <⇒-<⇒<，故A 错误； 以B ，111(1)()110e
F F f f e e ⎛⎫⎛⎫>⇒+>⇒> ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
，故B 正确； 对C ，(1,)()(1)()ln 1x e F x F f x x ∈∴<⇒-<，()1ln f x x ∴<+，
(1.),ln (0,1)x e x ∈∈， 1ln (1,2)x ∴+∈，()2f x ∴<，故C 正确；
对D ，111,1,
,()x x F x F e x x ⎛⎫⎛⎫∈>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()1ln ln f x x f x x ⎛⎫
⇒->+ ⎪⎝⎭
1()2ln f x f x x ⎛⎫⇒-> ⎪⎝⎭，1,1,ln (1,0)x x e ⎛⎫
∈∴∈- ⎪⎝⎭，
1()2f x f x ⎛⎫
∴->- ⎪⎝⎭
1()20f x f x ⎛⎫
⇒-
+> ⎪⎝⎭
，故D 正确； 故选：BCD. 【点睛】
根据条件构造函数，再利用导数的工具性研究函数的性质，是求解此类抽象函数问题的关键.
5．对于函数2ln ()x
f x x
=，下列说法正确的是（ ）
A ．()f x 在x =
12e
B ．()f x 有两个不同的零点
C ．f
f f <<
D ．若()2
1
f x k x <-
在()0,∞+上恒成立，则2
e k >
【答案】ACD 【分析】
求得函数的导数3
12ln ()-'=
x
f x x
，根据导数的符号，求得函数的单调区间和极值，可判
定A 正确；根据函数的单调性和()10f =，且x >
()0f x >，可判定B 不正确；
由函数的单调性，得到f f >，再结合作差比较，得到f f >，可判定C 正确；分离参数得到()22
1ln 1x k f x x x +>+
=在()0,∞+上恒成立，令()2
ln 1
x g x x +=
，利用导数求得函数()g x 的单调性与最值，可判定D 正确. 【详解】
由题意，函数2
ln ()x f x x
=，可得312ln ()(0)x
f x x x -'=>，
令()0f x '=，即3
12ln 0x
x -=，解得x =
当0x <<()0f x '>，函数()f x 在上单调递增；
当x >
()0f x '<，函数()f x 在)+∞上单调递减，
所以当x =
()f x 取得极大值，极大值为1
2f e
=
，所以A 正确； 由当1x =时，()10f =，
因为()f x 在上单调递增，所以函数()f x 在上只有一个零点，
当x >
()0f x >，所以函数在)+∞上没有零点，
综上可得函数在(0,)+∞只有一个零点，所以B 不正确；
由函数()f x 在)+∞上单调递减，可得f f >，
由于ln ln 2ln ,242f f π
π
=
===
，
则2ln ln 2ln ln 22444f f π
πππππ
-=-=-
，
因为22ππ>，所以0f f ->，即f f >，
所以f
f f <<，所以C 正确；
由()2
1f x k x <-在()0,∞+上恒成立，即()
221ln 1
x k f x x x +>+=在()0,∞+上恒成立， 设()2ln 1x g x x +=，则()
3
2ln 1
x g x x --'=， 令()0g x '=，即
3
2ln 1
0x x --=，解得x =
所以当0x
<<()0g x '>，函数()g x 在上单调递增； 当x
>
()0g x '<，函数()g x 在)+∞上单调递减， 所以当x
=()g x 取得最大值，最大值为22e e
g e =-=， 所以2
e
k >
，所以D 正确. 故选：ACD. 【点睛】
本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
6．函数()ln f x x x =、()()f x g x x
'=
，下列命题中正确的是（ ）.
A ．不等式()0g x >的解集为1,e ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
B ．函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减
C ．若函数()()2
F x f x ax =-有两个极值点，则()0,1a ∈
D ．若120x x >>时，总有()()()22
12122
m x x f x f x ->-恒成立，则m 1≥ 【答案】AD 【分析】
对A ，根据()ln f x x x =，得到()()ln 1
f x x
g x x x
'+=
=
，然后用导数画出其图象判断；对B ，()1ln f x x '=+，当x e >时，()0f x '>，当0x e <<时，()0f x '<判断；对C ，
将函数()()2
F x f x ax =-有两个极值点，()ln 1
20x a x
+=
+∞在，有两根判断；对D ，将问题转化为22111222ln ln 22m m x x x x x x ->-恒成立，再构造函数()2
ln 2
m g x x x x =-，用
导数研究单调性. 【详解】
对A ，因为()()()ln 1
ln f x x f x x x g x x x
'+==
=
、， ()2ln x
g x x
-'=
， 令()0g x '>，得()0,1x ∈，故()g x 在该区间上单调递增；
令()0g x '<，得()1
x ∈+∞，，故()g x 在该区间上单调递减. 又当1x >时，()0g x >，()10,11g g e ⎛⎫
== ⎪⎝⎭
， 故()g x 的图象如下所示：
数形结合可知，()0g x >的解集为1,e ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
，故正确；
对B ，()1ln f x x '=+，当x e >时，()0f x '>，当0x e <<时，()0f x '<，所以函数
()f x 在()0,e 上单调递减，在(,)e +∞上单调递增，错误；
对C ，若函数()()2
F x f x ax =-有两个极值点，
即()2
ln F x x x ax =-有两个极值点，又()ln 21F x x ax '=-+，
要满足题意，则需()ln 2100x ax -+=+∞在，
有两根， 也即()ln 1
20x a x
+=
+∞在，有两根，也即直线()2y a y g x ==与的图象有两个交点.
数形结合则021a <<，解得102a <<
. 故要满足题意，则102
a <<，故错误； 对D ，若120x x >>时，总有
()()()2212122m x x f x f x ->-恒成立， 即22111222ln ln 22
m m x x x x x x ->-恒成立， 构造函数()2ln 2m g x x x x =
-，()()12g x g x >，对任意的120x x >>恒成立， 故()g x ()0+∞，
单调递增，则()ln 10g x mx x '=--≥()0+∞， 恒成立， 也即
ln 1x m x
+≤，在区间()0,∞+恒成立，则()max 1g x m =≤，故正确. 故选：AD.
【点睛】 本题主要考查导数在函数图象和性质中的综合应用，还考查了数形结合的思想、转化化归思想和运算求解的能力，属于较难题.
7．对于函数2ln ()x f x x =
，下列说法正确的是（ ） A
．函数在x =12e B ．函数的值域为1,
2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C ．()f x 有两个不同的零点
D
．(2)f f f <<
【答案】ABD
【分析】 求导，利用导数研究函数的单调区间，进而研究函数的极值可判断A 选项，作出函数()f x 的抽象图像可以判断BCD 选项.
【详解】
函数的定义域为()0,∞+，求导243
1ln 212ln ()x x x x x f x x x ⋅-⋅-'==， 令()0f x '=
，解得：x =
所以当x e =时，函数有极大值()12f e e =，故A 正确；
对于BCD ，令()0f x =，得ln 0x =，即1x =，当x →+∞时，ln 0x >，20x >，则()0f x >
作出函数()f x 的抽象图像，如图所示：
由图可知函数的值域为1,
2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，故B 正确；函数只有一个零点，故C 错误；又函数()f x 在)
,e +∞32e π<<<，则(2)3)f f f π<<，故D 正确；
故选：ABD
【点睛】
方法点睛：本题考查利用导数研究函数单调性，函数的极值，函数的值域，及求函数零点个数，求函数零点个数常用的方法：
（1）方程法：令()0f x =，如果能求出解，有几个解就有几个零点．
（2）零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[]
,a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．
（3）数形结合法：转化为两个函数的图像的交点个数问题．先画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
8．在单位圆O ：221x y +=上任取一点()P x y ，，圆O 与x 轴正向的交点是A ，将OA 绕原点O 旋转到OP 所成的角记为θ，若x ，y 关于θ的表达式分别为()x f θ=，()y g θ=，则下列说法正确的是（ ）
A ．()x f
θ=是偶函数，()y g θ=是奇函数；
B ．()x f θ=在()0，π上为减函数，()y g θ=在()0，π上为增函数；
C ．()()1f g θθ+≥在02π
θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，上恒成立；
D ．函数()()22t f
g θθ=+.
【答案】ACD
【分析】 依据三角函数的基本概念可知cos x θ=，sin y θ=，根据三角函数的奇偶性和单调性可
判断A 、B ；根据辅助角公式知()()4f g πθθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝
⎭，再利用三角函数求值域可判断C ；对于D ，2cos sin2t θθ=+，先对函数t 求导，从而可知函数t 的单调性，进而可
得当1sin 2θ=，cos 2
θ=时，函数t 取得最大值，结合正弦的二倍角公式，代入进行运算即可得解．
【详解】
由题意，根据三角函数的定义可知，x cos θ=，y sin θ=，
对于A ，函数()cos f θθ=是偶函数，()sin g θθ=是奇函数，故A 正确；
对于B ，由正弦，余弦函数的基本性质可知，函数()cos f θθ=在()0,π上为减函数，函
数()sin g θθ=在0,
2π⎛
⎫ ⎪⎝⎭为增函数，在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭为减函数，故B 错误； 对于C ，当0θπ⎛
⎤∈ ⎥2⎝⎦，时，3,444πππθ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦
()()cos sin 4f g πθθθθθ⎛⎫+=+=+∈ ⎪⎝
⎭，故C 正确； 对于D ，函数()()222cos sin2t f g θθθθ=+=+，
求导22sin 2cos22sin 2(12sin )2(2sin 1)(sin 1)t θθθθθθ'=-+=-+-=--+， 令0t '>，则11sin 2θ-<<
；令0t '<，则1sin 12θ<<， ∴函数t 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在5,66
ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，
当6π
θ=即1sin 2θ=，cos 2
θ=时，函数取得极大值1222t =⨯= 又当2θπ=即sin 0θ=，cos 1θ=时，212012t =⨯+⨯⨯=，
所以函数()()22t f
g θθ=+取得最大值2，故D 正确.
故选：ACD.
【点睛】
方法点睛：考查三角函数的值域时，常用的方法：
（1）将函数化简整理为()()sin f x A x ωϕ=+，再利用三角函数性质求值域；
（2）利用导数研究三角函数的单调区间，从而求出函数的最值.。