2020-2021备战中考数学 圆的综合 培优练习(含答案)含详细答案

2020-2021备战中考数学圆的综合培优练习(含答案)含详细答案
一、圆的综合
1．如图，AB是半圆O的直径，C是的中点，D是的中点，AC与BD相交于点E.
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）求证：BE=2AD；
（3）求DE
BE
的值.
【答案】（1）答案见解析（2）BE=AF=2AD（3）21 -
【解析】
试题分析：（1）根据中点弧的性质，可得弦AD=CD，然后根据弦、弧、圆周角、圆心角的性质求解即可；
（2）延长BC与AD相交于点F, 证明△BCE≌△ACF, 根据全等三角形的性质可得
BE=AF=2AD；
（3）连接OD,交AC于H.简要思路如下：设OH为1，则BC为2，OB=OD=2，
DH=21
-, 然后根据相似三角形的性质可求解.
试题解析：（1）∵D是的中点
∴AD=DC
∴∠CBD=∠ABD
∴BD平分∠ABC
（2）提示：延长BC与AD相交于点F,
证明△BCE≌△ACF,
BE=AF=2AD
（3）连接OD,交AC于H.简要思路如下：
设OH为1，则BC为2，2，
21, DE
BE
=
DH
BC
DE BE =
21
2
2．如图1，以边长为4的正方形纸片ABCD的边AB为直径作⊙O，交对角线AC于点E．（1）图1中，线段AE=；
（2）如图2，在图1的基础上，以点A为端点作∠DAM=30°，交CD于点M，沿AM将四边形ABCM剪掉，使Rt△ADM绕点A逆时针旋转（如图3），设旋转角为α（0°＜α＜150°），在旋转过程中AD与⊙O交于点F．
①当α=30°时，请求出线段AF的长；
②当α=60°时，求出线段AF的长；判断此时DM与⊙O的位置关系，并说明理由；
③当α=°时，DM与⊙O相切．
【答案】（1）2（2）①2②2，相离③当α=90°时，DM与⊙O相切
【解析】（1）连接BE，∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠BAC=45°，∴△AEB是等腰直角三角形，又∵AB=8，∴AE=4；
（2）①连接OA、OF，由题意得，∠NAD=30°，∠DAM=30°，故可得∠OAM=30°，
∠DAM=30°，则∠OAF=60°，又∵OA=OF，∴△OAF是等边三角形，∵OA=4，∴AF=OA=4；
②连接B'F，此时∠NAD=60°，∵AB'=8，∠DAM=30°，∴AF=AB'cos∠DAM=8×=4；此时DM与⊙O的位置关系是相离；
③∵AD=8，直径的长度相等，∴当DM与⊙O相切时，点D在⊙O上，故此时可得
α=∠NAD=90°．
点睛：此题属于圆的综合题，主要是仔细观察每一次旋转后的图形，根据含30°角的直角三角形进行计算，另外在解答最后一问时，关键是判断出点D的位置，有一定难度．
3．如图，在RtΔABC中，∠ABC=90°，AB=CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E是AB边上一点（点E不与点A、B重合），DE的延长线交⊙O于点G，DF⊥DG，且交BC于点F.
（1）求证：AE=BF；
（2）连接EF，求证：∠FEB=∠GDA；
（3）连接GF,若AE=2，EB=4，求ΔGFD的面积.
【答案】（1）（2）见解析；（3）9
【解析】
分析：（1）连接BD，由三角形ABC为等腰直角三角形，求出∠A与∠C的度数，根据AB 为圆的直径，利用圆周角定理得到∠ADB为直角，即BD垂直于AC，利用直角三角形斜边
上的中线等于斜边的一半，得到AD=DC=BD=1
2
AC，进而确定出∠A=∠FBD，再利用同角的
余角相等得到一对角相等，利用ASA得到三角形AED与三角形BFD全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；
（2）连接EF，BG，由三角形AED与三角形BFD全等，得到ED=FD，进而得到三角形DEF为等腰直角三角形，利用圆周角定理及等腰直角三角形性质得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行，再根据平行线的性质和同弧所对的圆周角相等，即可得出结论；
（3）由全等三角形对应边相等得到AE=BF=1，在直角三角形BEF中，利用勾股定理求出EF的长，利用锐角三角形函数定义求出DE的长，利用两对角相等的三角形相似得到三角形AED与三角形GEB相似，由相似得比例，求出GE的长，由GE+ED求出GD的长，根据三角形的面积公式计算即可．
详解：（1）连接BD．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，∴∠A=∠C=45°．
∵AB为圆O的直径，∴∠ADB=90°，即BD⊥AC，∴AD=DC=BD=1
2
AC，∠CBD=∠C=45°，
∴∠A=∠FBD．
∵DF⊥DG，∴∠FDG=90°，∴∠FDB+∠BDG=90°．
∵∠EDA+∠BDG=90°，∴∠EDA=∠FDB．在△AED和△BFD中，
A FBD
AD BD
EDA FDB
∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
，
∴△AED≌△BFD（ASA），∴AE=BF；
（2）连接EF，BG．
∵△AED≌△BFD，∴DE=DF．
∵∠EDF=90°，∴△EDF是等腰直角三角形，∴∠DEF=45°．
∵∠G=∠A=45°，∴∠G=∠DEF，∴GB∥EF，∴∠FEB=∠GBA．
∵∠GBA=∠GDA，∴∠FEB=∠GDA；
（3）∵AE=BF，AE=2，∴BF=2．在Rt△EBF中，∠EBF=90°，∴根据勾股定理得：
EF 2=EB 2+BF 2．
∵EB =4，BF =2，∴EF =2242+=25．
∵△DEF 为等腰直角三角形，∠EDF =90°，∴cos ∠DEF =DE
EF
． ∵EF =25，∴DE =25×
2
2
=10． ∵∠G =∠A ，∠GEB =∠AED ，∴△GEB ∽△AED ，∴GE AE =EB
ED
，即GE •ED =AE •EB ，∴
10•GE =8，即GE =
4105，则GD =GE +ED =910
5
． ∴119101109222
S GD DF GD DE =⨯⨯
=⨯⨯=⨯⨯=．
点睛：本题属于圆综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，以及平行线的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解答本题的关键．
4．如图，已知BC 是⊙O 的弦，A 是⊙O 外一点，△ABC 为正三角形，D 为BC 的中点，M 为⊙O 上一点，并且∠BMC=60°．
（1）求证：AB 是⊙O 的切线；
（2）若E ，F 分别是边AB ，AC 上的两个动点，且∠EDF=120°，⊙O 的半径为2，试问BE+CF 的值是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）证明见试题解析；（2）BE+CF 的值是定值，为等边△ABC 边长的一半． 【解析】
试题分析：（1）连结OB 、OD ，如图1，由于D 为BC 的中点，由垂径定理的推理得
OD⊥BC，∠BOD=∠COD，即可得到∠BOD=∠M=60°，则∠OBD=30°，所以∠ABO=90°，于是得到AB是⊙O的切线；
（2）作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，连结AD，如图2，由△ABC为正三角形，D为BC 的中点，得到AD平分∠BAC，∠BAC=60°，利用角平分线性质得DM=DN，得
∠MDN=120°，由∠EDF=120°，得到∠MDE=∠NDF，于是有△DME≌△DNF，得到ME=NF，
得到BE+CF=BM+CN，由BM=1
2
BD，CN=
1
2
OC，得到BE+CF=
1
2
BC，即可判断BE+CF的值是
定值，为等边△ABC边长的一半．
试题解析：（1）连结OB、OD，如图1，∵D为BC的中点，∴OD⊥BC，∠BOD=∠COD，
∴∠ODB=90°，∵∠BMC=1
2
∠BOC，∴∠BOD=∠M=60°，∴∠OBD=30°，∵△ABC为正三
角形，∴∠ABC=60°，∴∠ABO=60°+30°=90°，∴AB⊥OB，∴AB是⊙O的切线；
（2）BE+CF的值是为定值．
作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，连结AD，如图2，∵△ABC为正三角形，D为BC的中点，∴AD平分∠BAC，∠BAC=60°，∴DM=DN，∠MDN=120°，∵∠EDF=120°，
∴∠MDE=∠NDF，在△DME和△DNF中，∵∠DME=∠DNF．DM=DN，∠MDE=∠NDF，∴△DME≌△DNF，∴ME=NF，∴BE+CF=BM﹣EM+CN+NF=BM+CN，在Rt△DMB中，
∵∠DBM=60°，∴BM=1
2
BD，同理可得CN=
1
2
OC，∴BE+CF=
1
2
OB+
1
2
OC=
1
2
BC，∴BE+CF
的值是定值，为等边△ABC边长的一半．
考点：1．切线的判定；2．等边三角形的性质；3．定值问题；4．探究型；5．综合题；6．压轴题．
5．问题发现．
(1)如图①，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AB边上任意一点，则CD的最小值为______．
(2)如图②，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M、点N分别在BD、BC上，求CM+MN的最小值．
(3)如图③，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AB边上一点，且AE＝2，点F是BC边上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG、CG，四边形AGCD的面积是否存在最小值，若存在，求这个最小值及此时BF的长度．若不存在，请说明理由．
【答案】(1) 125CD =;(2) CM MN +的最小值为9625.(3) 152
【解析】
试题分析：（1）根据两种不同方法求面积公式求解；（2）作C 关于BD 的对称点C '，过
C '作BC 的垂线，垂足为N ，求C N '的长即可;(3) 连接AC ，则
ADC ACG AGCD S S S =+V V 四，321GB EB AB AE ==-=-=，则点G 的轨迹为以E 为圆
心，1为半径的一段弧．过E 作AC 的垂线，与⊙E 交于点G ，垂足为M ，由
AEM ACB V V ∽求得GM 的值，再由ACD ACG AGCD S S S =+V V 四边形 求解即可.
试题解析：
（1）从C 到AB 距离最小即为过C 作AB 的垂线，垂足为D ，
22
ABC CD AB AC BC
S ⋅⋅==V ， ∴3412
55
AC BC CD AB ⋅⨯=
==， （2）作C 关于BD 的对称点C '，过C '作BC 的垂线，垂足为N ，且与BD 交于M ，
则CM MN +的最小值为C N '的长， 设CC '与BD 交于H ，则CH BD ⊥， ∴BMC BCD V V ∽，且12
5CH =， ∴C CB BDC ∠=∠'，245
CC '=
，
∴C NC BCD 'V V ∽，
∴24
4
96
5525
CC BC C N BD ⨯⋅===''， 即CM MN +的最小值为96
25
．
（3）连接AC ，则ADC ACG AGCD S S S =+V V 四，
321GB EB AB AE ==-=-=，
∴点G 的轨迹为以E 为圆心，1为半径的一段弧． 过E 作AC 的垂线，与⊙E 交于点G ，垂足为M ， ∵AEM ACB V V ∽， ∴EM AE
BC AC
=， ∴248
55
AE BC EM AC ⋅⨯=
==， ∴83
155
GM EM EG =-=-=，
∴ACD ACG AGCD S S S =+V V 四边形，
113
345225=⨯⨯+⨯⨯， 152
=． 【点睛】本题考查圆的综合题、最短问题、勾股定理、面积法、两点之间线段最短等知识，解题的关键是利用轴对称解决最值问题，灵活运用两点之间线段最短解决问题．
6．如图1，已知⊙O 是ΔADB 的外接圆，∠ADB 的平分线DC 交AB 于点M ，交⊙O 于点C ，连接AC ，BC ． （1）求证：AC=BC ；
（2）如图2，在图1 的基础上做⊙O 的直径CF 交AB 于点E ，连接AF ，过点A 作⊙O 的切线AH ，若AH//BC ，求∠ACF 的度数；
（3）在（2）的条件下，若ΔABD 的面积为63ΔABD 与ΔABC 的面积比为2：9，求CD 的长.
【答案】（1）证明见解析；（2）30°；（3）233
【解析】
分析：（1）运用“在同圆或等圆中，弧相等，所对的弦相等”可求解；
（2）连接AO并延长交BC于I交⊙O于J,由AH是⊙O的切线且AH∥BC得AI⊥BC，易证∠IAC=30°，故可得∠ABC=60°=∠F=∠ACB，由CF是直径可得∠ACF的度数；
（3）过点D作DG⊥AB ，连接AO，知ABC为等边三角形，求出AB、AE的长，在RtΔAEO 中，求出AO的长，得CF的长，再求DG 的长，运用勾股定理易求CD的长.
详解：（1）∵DC平分∠ADB，∴∠ADC=∠BDC，∴AC=BC．
（2）如图，连接AO并延长交BC于I交⊙O于J
∵AH是⊙O的切线且AH∥BC，
∴AI⊥BC，
∴BI=IC，
∵AC=BC，
∴IC=1
AC，
2
∴∠IAC=30°，
∴∠ABC=60°=∠F=∠ACB．
∵FC是直径，
∴∠FAC=90°，
∴∠ACF=180°-90°-60°=30°． （3）过点D 作DG AB ⊥，连接AO
由（1）（2）知ABC 为等边三角形 ∵∠ACF=30°， ∴AB CF ⊥， ∴AE=BE ， ∴2ΔABC 3
3S AB =
= ∴AB=3 ∴33AE =
在RtΔAEO 中，设EO=x ，则AO=2x ， ∴222AO AE OE =+， ∴()(2
2
2233
x x =+，
∴x =6，⊙O 的半径为6， ∴CF=12．
∵ΔABD 11
636322
S AB DG DG =⨯⨯=⨯= ∴DG=2．
如图，过点D 作DG CF '⊥,连接OD ． ∵AB CF ⊥,DG AB ⊥， ∴CF//DG ，
∴四边形G ′DGE 为矩形， ∴2G E '=，
63211CG G E CE +=++'=='，
在RtΔOG D '中，5,6OG OD ='=，
∴11DG '= ∴2221111233CD DG CG =
++=''点睛：本题是一道圆的综合题.考查了圆的基本概念，垂径定理，勾股定理，圆周角定理等
相关知识.比较复杂，熟记相关概念是解题关键.
7．如图，点B在数轴上对应的数是﹣2，以原点O为原心、OB的长为半径作优弧AB，使点A在原点的左上方，且tan∠AOB＝3，点C为OB的中点，点D在数轴上对应的数为4．
（1）S扇形AOB＝（大于半圆的扇形）；
（2）点P是优弧AB上任意一点，则∠PDB的最大值为°
（3）在（2）的条件下，当∠PDB最大，且∠AOP＜180°时，固定△OPD的形状和大小，以原点O为旋转中心，将△OPD顺时针旋转α（0°≤α≤360°）
①连接CP，AD．在旋转过程中，CP与AD有何数量关系，并说明理由；
②当PD∥AO时，求AD2的值；
③直接写出在旋转过程中，点C到PD所在直线的距离d的取值范围．
【答案】（1）10
3
π
（2）30（3）①AD＝2PC②20+83或20+83③1≤d≤3
【解析】
【分析】
（1）利用扇形的面积公式计算即可．
（2）如图1中，当PD与⊙O相切时，∠PDB的值最大．解直角三角形即可解决问题．（3）①结论：AD＝2PC．如图2中，连接AB，AC．证明△COP∽△AOD，即可解决问题．②分两种情形：如图3中，当PD∥OA时，设OD交⊙O于K，连接PK交OC于H．求出PC即可．如图④中，当PA∥OA时，作PK⊥OB于K，同法可得．
③判断出PC的取值范围即可解决问题．
【详解】
（1）∵tan∠AOB3，
∴∠AOB＝60°，
∴S扇形AOB＝
2
300210
3603
ππ
⋅⋅
=（大于半圆的扇形），
（2）如图1中，当PD与⊙O相切时，∠PDB的值最大．
∵PD 是⊙O 的切线， ∴OP ⊥PD ， ∴∠OPD ＝90°，
∵21
sin 42
OP PDO OD ∠=
== ∴∠PDB ＝30°，
同法当DP ′与⊙O 相切时，∠BDP ′＝30°， ∴∠PDB 的最大值为30°． 故答案为30．
（3）①结论：AD ＝2PC ． 理由：如图2中，连接AB ，AC ．
∵OA ＝OB ，∠AOB ＝60°， ∴△AOB 是等边三角形， ∵BC ＝OC ， ∴AC ⊥OB ，
∵∠AOC ＝∠DOP ＝60°， ∴∠COP ＝∠AOD ，
∵
2AO OD
OC OP
==， ∴△COP ∽△AOD ，
∴
2AD AO
PC OC ==， ∴AD ＝2PC ．
②如图3中，当PD ∥OA 时，设OD 交⊙O 于K ，连接PK 交OC 于H ．
∵OP＝OK，∠POK＝60°，
∴△OPK是等边三角形，
∵PD∥OA，
∴∠AOP＝∠OPD＝90°，
∴∠POH+∠AOC＝90°，
∵∠AOC＝60°，
∴∠POH＝30°，
∴PH＝1
OP＝1，OH＝3PH＝3，
2
∴PC＝2222
+=++=+，
PH CH1(13)523
∵AD＝2PC，
∴AD2＝4（5+23）＝20+83．
如图④中，当PA∥OA时，作PK⊥OB于K，同法可得：PC2＝12+（3﹣1）2＝5﹣23，AD2＝4PC2＝20﹣83．
③由题意1≤PC≤3，
∴在旋转过程中，点C到PD所在直线的距离d的取值范围为1≤d≤3．
【点睛】
本题属于圆综合题，考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，旋转变换，勾股定理，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
8．如图，AB为⊙O的直径，且AB＝m（m为常数），点C为»AB的中点，点D为圆上一动点，过A点作⊙O的切线交BD的延长线于点P，弦CD交AB于点E．
（1）当DC⊥AB时，则DA DB
DC
+
＝；
（2）①当点D在»AB上移动时，试探究线段DA，DB，DC之间的数量关系；并说明理由；
②设CD长为t，求△ADB的面积S与t的函数关系式；
（3）当
92
20
PD
AC
=时，求
DE
OA
的值．
【答案】（12；（2）①DA+DB2DC，②S＝1
2
t2﹣
1
4
m2；（3）
242
35
DE
OA
=.
【解析】
【分析】
（1）首先证明当DC⊥AB时，DC也为圆的直径，且△ADB为等腰直角三角形，即可求出结果；
（2）①分别过点A，B作CD的垂线，连接AC，BC，分别构造△ADM和△BDN两个等腰直角三形及△NBC和△MCA两个全等的三角形，容易证出线段DA，DB，DC之间的数量关系；
②通过完全平方公式（DA+DB）2＝DA2+DB2+2DA•DB的变形及将已知条件AB＝m代入即可求出结果；
（3）通过设特殊值法，设出PD的长度，再通过相似及面积法求出相关线段的长度，即可求出结果．
【详解】
解：（1）如图1，∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵C为»AB的中点，
∴»»
AC BC
=，
∴∠ADC＝∠BDC＝45°，
∵DC⊥AB，
∴∠DEA＝∠DEB＝90°，
∴∠DAE＝∠DBE＝45°，
∴AE＝BE，
∴点E与点O重合，
∴DC为⊙O的直径，
∴DC ＝AB ，
在等腰直角三角形DAB 中， DA ＝DB
＝
2
2
AB ， ∴DA+DB
＝2AB ＝2CD ， ∴
DA DB
DC
+＝2；
（2）①如图2，过点A 作AM ⊥DC 于M ，过点B 作BN ⊥CD 于N ，连接AC ，BC ，
由（1）知»»AC BC
=， ∴AC ＝BC ， ∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠ACB ＝∠BNC ＝∠CMA ＝90°，
∴∠NBC+∠BCN ＝90°，∠BCN+∠MCA ＝90°， ∴∠NBC ＝∠MCA ， 在△NBC 和△MCA 中，
BNC CMA
NBC MCA BC CA ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△NBC ≌△MCA （AAS ）， ∴CN ＝AM ，
由（1）知∠DAE ＝∠DBE ＝45°， AM ＝
2DA ，DN ＝2DB ， ∴DC ＝DN+NC ＝
2DB+2DA ＝2
（DB+DA ）， 即DA+DB ＝2DC ；
②在Rt △DAB 中，
DA 2+DB 2＝AB 2＝m 2，
∵（DA+DB ）2＝DA 2+DB 2+2DA•DB ，
且由①知DA+DB DC t ， ∴
t ）2＝m 2+2DA•DB ， ∴DA•DB ＝t 2﹣12
m 2， ∴S △ADB ＝
12DA•DB ＝12t 2﹣1
4
m 2， ∴△ADB 的面积S 与t 的函数关系式S ＝12t 2﹣14
m 2
； （3）如图3，过点E 作EH ⊥AD 于H ，EG ⊥DB 于G ， 则NE ＝ME ，四边形DHEG 为正方形，
由（1）知»»AC BC
=， ∴AC ＝BC ，
∴△ACB 为等腰直角三角形， ∴AB
AC ，
∵
20
PD AC =
，
设PD ＝，则AC ＝20，AB ＝， ∵∠DBA ＝∠DBA ，∠PAB ＝∠ADB ， ∴△ABD ∽△PBA ， ∴AB BD AD
PB AB PA
==，
∴
=
， ∴DB ＝
， ∴AD
＝，
设NE ＝ME ＝x ， ∵S △ABD ＝12AD•BD ＝12AD•NE+1
2
BD•ME ， ∴
1
2＝12•x+1
2•x ，
∴x ， ∴DE
HE x ＝
967
，
又∵AO ＝1
2
AB ＝102， ∴
961242
735
102DE OA =⨯=
．
【点睛】
本题考查了圆的相关性质，等腰直三角形的性质，相似的性质等，还考查了面积法及特殊值法的运用，解题的关键是认清图形，抽象出各几何图形的特殊位置关系．
9．如图1，等腰直角△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，过点A ，C 的圆交AB 于点D ，交BC 于点E ，连结DE
（1）若AD=7，BD=1，分别求DE ，CE 的长
（2）如图2，连结CD ，若CE=3，△ACD 的面积为10，求tan ∠BCD
（3）如图3，在圆上取点P 使得∠PCD=∠BCD （点P 与点E 不重合），连结PD ，且点D 是△CPF 的内心
①请你画出△CPF ，说明画图过程并求∠CDF 的度数
②设PC=a ，PF=b ，PD=c ，若（a-2c ）（b-2c ）=8，求△CPF 的内切圆半径长．
【答案】（1）DE=1，CE=322）tan ∠BCD=1
4
；（3）①135°；②2. 【解析】 【分析】
（1）由A 、C 、E 、D 四点共圆对角互补为突破口求解；
（2）找∠BDF 与∠ODA 为对顶角，在⊙O 中，∠COD=2∠CAD ，证明△OCD 为等腰直角三角形，从而得到∠EDC+∠ODA=45°，即可证明∠CDF=135°；
（3）过点D 做DH CB ⊥于点H ，以D 为圆心，DH 为半径画圆，过点P 做D e 切线PF 交CB 的延长线于点F ，结合圆周角定理得出∠CPD=∠CAD=45°，再根据圆的内心是三角形三个内角角平分线的交点，得出∠CPF=90°，然后根据角平分线性质得出
11
4522
DCF CFD PCF PFC ∠+∠=∠+∠=︒，最后再根据三角形内角和定理即可求
解；证明∠DCF+∠CFD=45°，从而证明∠CPF 是直角，再求证四边形PKDN 是正方形，最后以△PCF 面积不变性建立等量关系，结合已知（a-2c ）（b-2c ）=8，消去字母a ，b 求出c 值，即求出△CPF 的内切圆半径长为2
2
c ． 【详解】 （1）由图可知：
设BC=x ．在Rt △ABC 中，AC=BC ．由勾股定理得： AC 2+BC 2=AB 2，
∵AB=AD+BD ，AD=7，BD=1， ∴x 2+x 2=82， 解得：x=42．
∵⊙O 内接四边形，∠ACD=90°， ∴∠ADE=90°， ∴∠EDB=90°， ∵∠B=45°，
∴△BDE 是等腰直角三形． ∴DE=DB ， 又∵DB=1， ∴DE=1， 又∵CE=BC-BE ， ∴CE=42232-=． （2）如图所示：
在△DCB 中过点D 作DM ⊥BE ，设BE=y ，则DM=12
y ， 又∵CE=3，∴BC=3+y ， ∵S △ACB =S ACD +S DCB ，
∴
()111
4242103y y 222⨯⨯=+⨯+⨯， 解得：y=2或y=-11（舍去）． ∴EM=1，
CM=CE+ME=1+3=4， 又∵∠BCD=∠MCD ， ∴tan ∠BCD=tan ∠MCD ，
在Rt △DCM 中，tan ∠MCD=DM CM =1
4
， ∴tan ∠BCD=
14
． （3）①如下图所示：
过点D 做DH CB ⊥于点H ，以D 为圆心，DH 为半径画圆，过点P 做D e 切线PF 交CB 的延长线于点F ．
∵∠CAD=45°， ∴∠CPD=∠CAD=45°， 又∵点D 是CPF ∆的内心， ∴PD 、CD 、DF 都是角平分线，
∴∠FPD=∠CPD =45°，∠PCD=∠DCF ，∠PFD=∠CFD ∴∠CPF=90° ∴∠PCF+∠PFC=90°
∴11
4522
DCF CFD PCF PFC ∠+∠=
∠+∠=︒ ∴∠CDF=180°-∠DCF-∠CFD F=90°+45°=135°， 即∠CDF 的度数为135°．
②如下图所示
过点D 分别作DK ⊥PC ，DM ⊥CF ，DN ⊥PF 于直线PC ，CF 和PF 于点K ，M ，N 三点， 设△PCF 内切圆的半径为m ，则DN=m ， ∵点D 是△PCF 的内心， ∴DM=DN=DK ，
又∵∠DCF+∠CFD+∠FDC=180°，∠FDC=45°， ∴∠DCF+∠CFD=45°，
又∵DC ，DF 分别是∠PCF 和∠PFC 的角平分线， ∴∠PCF=2∠DCF ，∠PFC=2∠DFC ， ∴∠PCF+∠PFC=90°， ∴∠CPF=90°．
在四边形PKDN 中，∠PND=∠NPK=∠PKD=90°， ∴四边形PKDN 是矩形， 又∵KD=ND ，
∴四边形PKDN 是正方形． 又∵∠MBD=∠BDM=45°， ∠BDM=∠KDP ， ∴∠KDP=45°． ∵PC=a ，PF=b ，PD=c ， ∴PN=PK=2
C 2
， ∴NF=2b c 2-
，CK=2a c 2
-， 又∵CK=CM ，FM=FN ，CF=CM+FM ， ∴CF=a b 2c +， 又∵S △PCF =S △PDF +S △PDC +S △DCF ， ∴
112121ab a c b c (a b 2222222=⨯+⨯++-）×2c 2
， 化简得：)2
2a b c c +-------（Ⅰ）， 又∵若（2c ）（2c ）=8
化简得：()2
ab 2c a b 2c 8++=------（Ⅱ），
将（Ⅰ）代入（Ⅱ）得：c2=8，
解得：c22
=，或c22
=-（舍去），
∴m=22
c222
22
=⨯=，
即△CPF的内切圆半径长为2．
【点睛】
本题考查圆的内接四边形性质，圆的内心，圆心角、圆周角，同弧（或等弧）之间的相互关系，同时也考查直角三角形，勾股定理，同角或等角的三角函数值相等和三角形的面积公式，正方形，对顶角和整式的运算等知识点；难点是作辅助线和利用等式求△CPF的内切圆半径长．
10．如图，等边△ABC内接于⊙O，P是弧AB上任一点（点P不与A、B重合），连AP，BP，过C作CM∥BP交PA的延长线于点M，
（1）求证：△PCM为等边三角形；
（2）若PA＝1，PB＝2，求梯形PBCM的面积．
【答案】（1）见解析；（215
3 4
【解析】
【分析】
（1）利用同弧所对的圆周角相等即可求得题目中的未知角，进而判定△PCM为等边三角形；
（2）利用上题中得到的相等的角和等边三角形中相等的线段证得两三角形全等，进而利用△PCM为等边三角形，进而求得PH的长，利用梯形的面积公式计算梯形的面积即可．【详解】
（1）证明：作PH⊥CM于H，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠APC=∠ABC=60°，
∠BAC=∠BPC=60°，
∵CM∥BP，
∴∠BPC=∠PCM=60°，
∴△PCM为等边三角形；
（2）解：∵△ABC是等边三角形，△PCM为等边三角形，
∴∠PCA+∠ACM=∠BCP+∠PCA，
∴∠BCP=∠ACM ， 在△BCP 和△ACM 中，
BC AC BCP ACM CP CM =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△BCP ≌△ACM （SAS ）， ∴PB=AM ，
∴CM=CP=PM=PA+AM=PA+PB=1+2=3， 在Rt △PMH 中，∠MPH=30°， ∴PH=
3
32
，
∴S 梯形PBCM =
12（PB+CM ）×PH=12×（2+3）×
332
=15
34．
【点睛】
本题考查圆周角定理、等边三角形的判定、全等三角形的性质及梯形的面积计算方法，是一道比较复杂的几何综合题．
11．如图，四边形为菱形，且，以
为直径作
，与
交于点
．请仅用无刻度的直尺按下列要求画图．(保留作图痕迹)
(1)在如图中，过点作边上的高． (2)在如图中，过点作
的切线
，与
交于点．
【答案】(1)如图1所示．(答案不唯一),见解析；(2)如图2所示．(答案不唯一)，见解析. 【解析】 【分析】
（1）连接AC 交圆于一点F ，连接PF 交AB 于点E,连接CE 即为所求． （2）连接OF 交BC 于Q ，连接PQ 即为所求． 【详解】
(1)如图1所示．(答案不唯一)
(2)如图2所示．(答案不唯一)
【点睛】
本题考查作图-复杂作图，菱形和圆的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
12．如图，已知△ABC，AB=2，3
BC=，∠B=45°，点D在边BC上，联结AD，以点A 为圆心，AD为半径画圆，与边AC交于点E，点F在圆A上，且AF⊥AD．
（1）设BD为x，点D、F之间的距离为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（2）如果E是»DF的中点，求:
BD CD的值；
（3）联结CF，如果四边形ADCF是梯形，求BD的长．
【答案】(1) 2
442
y x x
=-+4
5
; (3) BD的长是1
1+5
.
【解析】
【分析】
（1）过点A作AH⊥BC，垂足为点H．构造直角三角形，利用解直角三角形和勾股定理求得AD的长度．联结DF，点D、F之间的距离y即为DF的长度，在Rt△ADF中，利用锐角三角形函数的定义求得DF的长度，易得函数关系式．
（2）由勾股定理求得：22
AH DH
+．设DF与AE相交于点Q，通过解Rt△DCQ和
Rt△AHC推知
1
2
DQ
CQ
=．故设DQ=k，CQ=2k，AQ=DQ=k，所以再次利用勾股定理推知DC
的长度，结合图形求得线段BD的长度，易得答案．
（3）如果四边形ADCF 是梯形，则需要分类讨论：①当AF ∥DC 、②当AD ∥FC ．根据相似三角形的判定与性质，结合图形解答． 【详解】
（1）过点A 作AH ⊥BC ，垂足为点H ．
∵∠B =45°，AB 2∴·cos 1BH AH AB B ===． ∵BD 为x ，∴1DH x =-．
在Rt △ADH 中，90AHD ∠=︒，∴22222AD AH DH x x =
+=-+．
联结DF ，点D 、F 之间的距离y 即为DF 的长度．
∵点F 在圆A 上，且AF ⊥AD ，∴AD AF =，45ADF ∠=︒． 在Rt △ADF 中，90DAF ∠=︒，∴2442cos AD
DF x x ADF
==-+∠
∴2442y x x =-+．()03x ≤≤ ;
（2）∵E 是DF 的中点，∴AE DF ⊥，AE 平分DF ． ∵BC=3，∴312HC =-=．∴225AC AH HC +=．
设DF 与AE 相交于点Q ，在Rt △DCQ 中，90DQC ∠=︒，tan DQ
DCQ CQ
∠=． 在Rt △AHC 中，90AHC ∠=︒，1
tan 2
AH ACH HC ∠==． ∵DCQ ACH ∠=∠，∴
1
2
DQ CQ =． 设,2DQ k CQ k ==，AQ DQ k ==， ∵35k =5k =
，∴22
53DC DQ CQ =+=．
∵43BD BC DC =-=
，∴4
:5
BD CD =． （3）如果四边形ADCF 是梯形
则①当AF ∥DC 时，45AFD FDC ∠=∠=︒．
∵45ADF ∠=︒，∴AD BC ⊥，即点D 与点H 重合． ∴1BD =． ②当AD ∥FC 时，45ADF CFD ∠=∠=︒． ∵45B ∠=︒，∴B CFD ∠=∠．
∵B BAD ADF FDC ∠+∠=∠+∠，∴BAD FDC ∠=∠． ∴ABD ∆∽DFC ∆．∴AB AD
DF DC
=． ∵2DF AD =
，DC BC BD =-．
∴2
AD BC BD =-．即
(
)
2
2
2-23x x
x +=-,
整理得 210x x --=，解得 15
x ±=
（负数舍去）． 综上所述，如果四边形ADCF 是梯形，BD 的长是1或1+5
． 【点睛】
此题属于圆的综合题，涉及了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、三角函数值以及勾股定理等知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．
13．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AC 为直径，»»BD AD =，DE ⊥BC ，垂足为
E ．
（1）判断直线ED 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）若CE =1，AC =4，求阴影部分的面积．
【答案】（1）ED 与O e 相切.理由见解析；（2）2
=33
S π-阴影 【解析】 【分析】
（1）连结OD ，如图，根据圆周角定理，由»»BD AD =得到∠BAD =∠ACD ，再根据圆内接
四边形的性质得∠DCE =∠BAD ，所以∠ACD =∠DCE ；利用内错角相等证明OD ∥BC ，而DE ⊥BC ，则OD ⊥DE ，于是根据切线的判定定理可得DE 为⊙O 的切线；
（2）作OH ⊥BC 于H ，易得四边形ODEH 为矩形，所以OD =EH =2，则CH =HE ﹣CE =1，于是有∠HOC =30°，得到∠COD =60°，然后根据扇形面积公式、等边三角形的面积公式和阴影部分的面积=S 扇形OCD ﹣S △OCD 进行计算即可． 【详解】
（1）直线ED 与⊙O 相切．理由如下：
连结OD ，如图，∵»»BD AD =，∴∠BAD =∠ACD ．
∵∠DCE =∠BAD ，∴∠ACD =∠DCE ．
∵OC =OD ，∴∠OCD =∠ODC ，而∠OCD =∠DCE ，∴∠DCE =∠ODC ，∴OD ∥BC ． ∵DE ⊥BC ，∴OD ⊥DE ，∴DE 为⊙O 的切线；
（2）作OH ⊥BC 于H ，则四边形ODEH 为矩形，∴OD =EH ．
∵CE =1，AC =4，∴OC =OD =2，∴CH =HE ﹣CE =2﹣1=1．在Rt △OHC 中，∵OC =2，CH =1，∠OHC =90°，∠HOC =30°，∴∠COD =60°，∴阴影部分的面积=S 扇形OCD ﹣S △OCD
26023360π⋅⋅=-
•22 2
3
=
π3-．
【点睛】
本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了扇形面积的计算．
14．如图所示，ABC ∆内接于圆O ，CD AB ⊥于D ； （1）如图1，当AB 为直径，求证：OBC ACD ∠=∠；
（2）如图2，当AB 为非直径的弦，连接OB ，则（1）的结论是否成立？若成立请证明，不成立说明由；
（3）如图3，在（2）的条件下，作AE BC ⊥于E ，交CD 于点F ，连接ED ，且
2AD BD ED =+，若3DE =，5OB =，求CF 的长度．
【答案】（1）见解析；（2）成立；（3）
145
【解析】 【分析】
（1）根据圆周角定理求出∠ACB=90°，求出∠ADC=90°，再根据三角形内角和定理求出即可；
（2）根据圆周角定理求出∠BOC=2∠A ，求出∠OBC=90°-∠A 和∠ACD=90°-∠A 即可； （3）分别延长AE 、CD 交⊙O 于H 、K ，连接HK 、CH 、AK ，在AD 上取DG=BD ，延长CG 交AK 于M ，延长KO 交⊙O 于N ，连接CN 、AN ，求出关于a 的方程，再求出a 即可． 【详解】
（1）证明：∵AB 为直径， ∴ACB 90∠=︒，
∵CD AB ⊥于D ，
∴
ADC 90∠=︒，
∴OBC A 90∠∠+=︒，A ACD 90∠∠+=︒， ∴OBC ACD ∠∠=；
（2）成立， 证明：连接OC ，
由圆周角定理得：BOC 2A ∠∠=， ∵OC OB =， ∴()()11
OBC 180BOC 1802A 90A 22
∠∠∠∠=︒-=︒-=︒-， ∵
ADC 90∠=︒，
∴ACD 90A ∠∠=︒-， ∴OBC ACD ∠∠=；
（3）分别延长AE 、CD 交⊙O 于H 、K ，连接HK 、CH 、AK ，
∵AE BC ⊥，CD BA ⊥，
∴
AEC ADC 90∠∠==︒，
∴BCD CFE 90∠∠+=︒，BAH DFA 90∠∠+=︒， ∵CFE DFA ∠∠=， ∴BCD BAH ∠∠=，
∵根据圆周角定理得：BAH BCH ∠∠=， ∴BCD BAH BCH ∠∠∠==，
∴由三角形内角和定理得：CHE CFE ∠∠=，
∴CH CF =， ∴EH EF =， 同理DF DK =， ∵DE 3=， ∴HK 2DE 6==，
在AD 上取DG BD =，延长CG 交AK 于M ，则AG AD BD 2DE 6=-==，
BC GC =，
∴MCK BCK BAK ∠∠∠==， ∴CMK 90∠=︒，
延长KO 交⊙O 于N ，连接CN 、AN ， 则NAK 90CMK ∠∠=︒=， ∴CM //AN ， ∵
NCK ADK 90∠∠==︒，
∴CN //AG ，
∴四边形CGAN 是平行四边形， ∴AG CN 6==， 作OT CK ⊥于T ， 则T 为CK 的中点， ∵O 为KN 的中点， ∴1
OT CN 32
==， ∵
OTC 90∠=︒，OC 5=，
∴由勾股定理得：CT 4=， ∴CK 2CT 8==， 作直径HS ，连接KS ， ∵HK 6=，HS 10=， ∴由勾股定理得：KS 8=， ∴3
tan HSK tan HAK 4
∠∠=
=，
∴1
tan EAB tan BCD 3
∠∠=
=， 设BD a =，CD 3a =，
∴AD BD 2ED a 6=+=+，11
DK AD a 233
==+， ∵CD DK CK +=， ∴1
3a a 283+
+=， 解得：9a 5
=， ∴113DK a 235
=
+=， ∴2614
CF CK 2DK 855
=-=-=． 【点睛】
本题考查了垂径定理、解直角三角形、等腰三角形的性质、圆周角定理、勾股定理等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键，综合性比较强，难度偏大．
15．如图，已知等边△ABC ，AB=16，以AB 为直径的半圆与BC 边交于点D ，过点D 作DF ⊥AC ，垂足为F ，过点F 作FG ⊥AB ，垂足为G ，连结GD ．
（1）求证：DF 是⊙O 的切线； （2）求FG 的长； （3）求tan ∠FGD 的值． 【答案】(1)证明见解析；（2）6；（3）
．
【解析】
试题分析：(1)连接OD ，根据等边三角形得出∠A=∠B=∠C=60°，根据OD=OB 得到∠ODB=60°，得到OD ∥AC ，根据垂直得出切线；(2)根据中位线得出BD=CD=6，根据Rt △CDF 的三角函数得出CF 的长度，从而得到AF 的长度，最后根据Rt △AFG 的三角函数求出FG 的长度；(3)过点D 作DH ⊥AB ，根据垂直得出FG ∥DH ，根据Rt △BDH 求出BH 、DH 的长度，然后得出∠GDH 的正切值，从而得到∠FGD 的正切值.
试题解析：(1)如图①，连结OD ， ∵△ABC 为等边三角形， ∴∠C ＝∠A ＝∠B ＝60°，
而OD＝OB，∴△ODB是等边三角形，∠ODB＝60°，∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，∴DF是⊙O的切线
(2)∵OD∥AC，点O为AB的中点，∴OD为△ABC的中位线，
∴BD＝CD＝6.在Rt△CDF中，∠C＝60°，∴∠CDF＝30°，
∴CF＝CD＝3，∴AF＝AC－CF＝12－3＝9 在Rt△AFG中，∵∠A＝60°，∴FG＝AF·sinA＝9×＝
(3)如图②，过D作DH⊥AB于H.∵FG⊥AB，DH⊥AB，∴FG∥DH，∴∠FGD＝∠GDH.在Rt△BDH中，∠B＝60°，∴∠BDH＝30°，∴BH＝BD＝3，DH＝BH＝3.∴tan∠GDH＝＝＝，∴tan∠FGD＝tan∠GDH＝
考点：(1)圆的基本性质；(2)三角函数.。