2015届高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)第九章平面解析几何第10课时直线与圆锥曲线的综合应用教

第九章 平面解析几何第10课时 直线与圆锥曲线的综合应用
(1)⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫
对应学生用书〔文〕137～140页 〔理〕143～146页
考情分析
考点新知
会利用方程(组)研究直线与圆锥曲线的位置关系，解决有关交点弦、弦长、中点及直线与圆锥曲线的有关问题．
会利用方程(组)研究直线与圆锥曲线的位置关系，解决有关弦长及直线与圆锥曲线
的有关问题.
1. 直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 2
4＝1的位置关系是________．
答案：相交
解析：由于直线y ＝kx －k ＋1＝k(x －1)＋1过定点(1，1)，而(1，1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交．
2. 椭圆x 225＋y 2
9
＝1的两焦点为F 1、F 2，一直线过F 1交椭圆于P 、Q ，那么△PQF 2的周长
为________．
答案：20 解析：△PQF 2的周长＝4a ＝20.
3. 双曲线方程是x 2
－y 22
＝1，过定点P(2，1)作直线交双曲线于P 1、P 2两点，并使P(2，
1)为P 1P 2的中点，那么此直线方程是____________．
答案：4x －y －7＝0
解析：设点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，那么由
x 21－y 212
＝1，x 2
2－y 222
＝1，得
k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝2〔x 2＋x 1〕
y 2＋y 1
＝2×4
2＝4，从而所求方程为4x －y －7＝0.将此直线方程与双曲线方程联立得14x 2－56x ＋
51＝0，Δ＞0，故此直线满足条件．
4. 假设斜率为22的直线l 与椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a>b>0)有两个不同的交点，且这两个交点在
x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，那么该椭圆的离心率为________．
答案：2
2
解析：由题意易知两交点的横坐标为－c 、c ，纵坐标分别为－b 2a 、b 2
a ，所以由
b 2a －⎝⎛⎭⎫－b 2a
c －〔－c 〕＝
2
2
得2b 2＝2ac ＝2(a 2－
c 2)，即2e 2＋2e －2＝0，解得e ＝
2
2
或e ＝－2(负根舍去)． 5. 双曲线E 的中心为原点，F(3，0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且AB 的中点为N(－12，－15)，那么E 的方程为____________．
答案：x 24－y 2
5
＝1
解析：设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9.设A(x 1，
y 1)，B(x 2，y 2)，那么有⎩
⎨⎧x 21a 2－y 21
b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2
＝1，两式作差得y 1－y 2x 1－x 2＝b 2〔x 1＋x 2〕a 2〔y 1＋y 2〕＝－12b 2－15a 2＝4b 2
5a 2，又AB
的斜率是－15－0
－12－3＝1，所以将4b 2＝5a 2代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4，b 2＝5，所以双曲线的标准
方程是x 24－y 2
5
＝1.
1. 直线与圆锥曲线的位置关系
判定直线与圆锥曲线的位置关系时，通常是将直线方程与曲线方程联立，消去变量y(或x)得关于变量x(或y)的方程：ax 2＋bx ＋c ＝0(或ay 2＋by ＋c ＝0)．
假设a ≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有：
Δ>0直线与圆锥曲线相交； Δ＝0直线与圆锥曲线相切； Δ<0
直线与圆锥曲线相离．
假设a ＝0且b ≠0，那么直线与圆锥曲线相交，且有一个交点． 2. 圆锥曲线的弦长问题
设直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，那么弦长AB ＝1＋k 2
|x 1－x 2|或1＋1
k
2|y 1－y 2|.
[备课札记]
题型1 如何研究直线与圆锥曲线中的分线段成比例的问题 例1 曲线E ：ax 2＋by 2＝1(a>0，b>0)，经过点M ⎝⎛
⎭
⎫
33，0的直线l 与曲线E 交于点A 、
B ，且MB →＝－2MA →.
(1) 假设点B 的坐标为(0，2)，求曲线E 的方程； (2) 假设a ＝b ＝1，求直线AB 的方程．
解：(1) 设A(x 0，y 0)，由B(0，2)，M(33，0)，所以MB →＝⎝⎛⎭
⎫－33，2，MA →
＝(x 0－33，
y 0)．
由于MB →＝－2MA →，所以(－33，2)＝－2(x 0－33，y 0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝32，y 0＝－1，
即A(32
，－1)，
将A 、B 点的坐标代入曲线E 的方程，得⎩⎨⎧a·⎝⎛⎭⎫322
＋b·〔－1〕2
＝1，
a ·02
＋b·
22
＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝14，
所以曲线E 的方程为x 2＋
y 2
4
＝1. (2) 当a ＝b ＝1时，曲线E 为圆x 2＋y 2＝1，
设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．又MB →＝－2MA →
，
所以⎝⎛⎭
⎫x 2－
33，y 2＝－2(x 1－33，y 1)，
即有⎩
⎪⎨⎪⎧2x 1＋x 2＝3，2y 1＋y 2＝0，x 21＋y 2
1＝1 ①，x 22＋y 2
2＝1 ②，由①×4－②，得(2x 1＋x 2)(2x 1－x 2)
＝3，所以2x 1－x 2＝3，解得x 1＝32，x 2＝0.由x 1＝32，得y 1＝±12.当A ⎝⎛⎭⎫32
，－1
2时，B(0，
－1)，此时k AB ＝－3，直线AB 的方程为y ＝－3x ＋1；
当A ⎝⎛
⎭
⎫
32，12时，B(0，1)，此时k AB ＝3，直线AB 的方程为y ＝3x －1.
备选变式〔教师专享〕
椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a>b>0)的离心率为3
2
，与过右焦点F 且斜率为k(k>0)的直线相交于
A 、
B 两点．假设AF →＝3FB →
，那么k ＝________．
答案：2 解析：定点F 分线段AB 成比例，从而分别可以得出A 、B 两点横坐标之间关系式、纵
坐标之间关系式，再把A 、B 点的坐标代入椭圆方程x 2a 2＋y 2
b 2＝1，四个方程联立方程组，解
出根，得出A 、B 两点的坐标，进而求出直线AB 的方程．
由e ＝c a ＝1－b 2a 2＝3
2，所以a ＝2b ，
所以a ＝23c ，b ＝c
3.
椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1变为3
4
x 2＋3y 2＝c 2.
设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，又AF →＝3FB →
， 所以(c －x 1，－y 1)＝3(x 2－c ，y 2)，
所以⎩⎪⎨⎪⎧c －x 1＝3〔x 2－c 〕，－y 1＝3y 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋3x 2＝4c ，y 1＋3y 2＝0，
34x 2
1 ＋ 3y 21 ＝ c 2
，① 34x 2
2
＋ 3y 22 ＝ c 2
，② ①－9×②，得34(x 1＋3x 2)(x 1－3x 2)＋3(y 1＋3y 2)(y 1－3y 2)＝－8c 2，所以3
4×4c(x 1－3x 2)＝
－8c 2，
所以 x 1－3x 2＝－83c ，所以x 1＝23c ，x 2＝10
9c.
从而y 1＝－23c ，y 2＝2
9c ，
所以A ⎝⎛⎭⎫23c ，－23c ，B ⎝⎛⎭⎫109
c ，2
9c ，故k ＝ 2.
题型2 有关垂直的问题
例2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，M 、N 分别是椭圆x 24＋y 2
2
＝1的顶点，过坐标
原点的直线交椭圆于P 、A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连结AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k.
(1) 假设直线PA 平分线段MN ，求k 的值； (2) 当k ＝2时，求点P 到直线AB 的距离d ； (3) 对任意k>0，求证：PA ⊥PB.
(1) 解：由题设知，a ＝2，b ＝2，故M(－2，0)，N(0，－2)，所以线段MN 中点的坐标为⎝
⎛⎭⎫
－1，－
22.由于直线PA 平分线段MN ，故直线PA 过线段MN 的中点．又直线PA 过坐标原点，所以k ＝－22－1
＝2
2.
(2) 解：将直线PA 的方程y ＝2x 代入椭圆方程x 24＋y 22＝1，解得x ＝±2
3
，因此P ⎝⎛⎭⎫23，43，A ⎝⎛⎭⎫－23，－43.于是C ⎝⎛⎭⎫23，0，直线AC 的斜率为0＋4323＋23
＝1，故直线AB 的方程为x －y －2
3
＝0.因此，d ＝⎪⎪⎪⎪
23－43－2312＋12
＝22
3.
(3) 证明：设P(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，那么x 1>0，x 2>0，x 1≠x 2，A(－x 1，－y 1)，C(x 1，0)，设直线PA 、PB 、AB 的斜率分别为k 、k 1、k 2.因为C 在直线AB 上，所以k 2＝
0－〔－y 1〕x 1－〔－x 1〕
＝y 12x 1＝k
2.从而k 1k ＋1＝2k 1k 2＋1＝2·y 2－y 1x 2－x 1·y 2－〔－y 1〕x 2－〔－x 1〕＋1＝2y 22－2y 2
1x 22－x 21
＋1＝
〔2y 22＋x 22〕－〔2y 21＋x 2
1〕
x 22－x 21
＝
4－4
x 22－x 21
＝0. 因此k 1k ＝－1，所以PA ⊥PB.
备选变式〔教师专享〕
如图，F 是中心在原点、焦点在x 轴上的椭圆C 的右焦点，直线l ：x ＝4是椭圆C 的右准线，F 到直线l 的距离等于3.
(1) 求椭圆C 的方程；
(2) 点P 是椭圆C 上动点，PM ⊥l ，垂足为M.是否存在点P ，使得△FPM 为等腰三角形？假设存在，求出点P 的坐标；假设不存在，说明理由．
解：(1) 设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)，由，得⎩
⎨⎧
a 2
c ＝4，a
2c
－c ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝1.∴b ＝ 3.
所以椭圆C 的方程为x 24＋ y 2
3
＝1.
(2) 由PF PM ＝e ＝12，得PF ＝1
2
PM.∴PF ≠PM.
①假设PF ＝FM ，那么PF ＋FM ＝PM ，与“三角形两边之和大于第三边〞矛盾，∴PF 不可能与PM 相等．
②假设FM ＝PM ，设P(x ，y)(x ≠±2)，那么M(4，y)．∴32＋y 2＝4－x ，∴9＋y 2＝16
－8x ＋x 2
.又由x 24＋y 23＝1，得y 2＝3－34x 2.∴9＋3－34
x 2＝16－8x ＋x 2，
∴74x 2－8x ＋4＝0.∴7x 2－32x ＋16＝0.∴x ＝4
7
或x ＝4. ∵x ∈(－2，2)，∴x ＝47.∴P ⎝⎛⎭⎫47，±3157.综上，存在点P ⎝⎛⎭⎫
47，±3157，使得△PFM 为等
腰三角形．
题型3 直线与圆锥曲线
例3 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 29＋y 2
5
＝1的左、右顶点为A 、B ，右焦点
为F.设过点T(t ，m)的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M(x 1，y 1)、N(x 2，y 2)，其中m>0，y 1>0，y 2<0.
(1) 设动点P 满足PF 2－PB 2＝4，求点P 的轨迹；
(2) 设x 1＝2，x 2＝1
3
，求点T 的坐标；
(3) 设t ＝9，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点(其坐标与m 无关)． (1) 解：设点P(x ，y)，那么F(2，0)、B(3，0)、A(－3，0)．由PF 2－PB 2＝4，得(x －2)2
＋y 2－[(x －3)2＋y 2]＝4，化简得x ＝92，故所求点P 的轨迹为直线x ＝9
2
.
(2) 解：将x 1＝2，x 2＝1
3分别代入椭圆方程，以及y 1>0，y 2<0得M ⎝⎛⎭⎫2，53、N ⎝⎛⎭⎫13，－209.直线MTA 的方程为y －053－0＝x ＋32＋3，即y ＝13x ＋1.直线NTB 的方程为y －0－209－0＝x －313－3，即y ＝5
6x
－5
2.联立方程组，解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝103，所以点T 的坐标为⎝⎛⎭⎫7，103. (3) 证明：点T 的坐标为(9，m)，直线MTA 的方程为y －0
m －0＝x ＋39＋3，即y ＝m
12(x ＋3)．直
线NTB 的方程为y －0
m －0＝x －39－3
，即y ＝m
6(x －3)．
分别与椭圆x 29＋y 2
5
＝1联立方程组，同时考虑到x 1≠－3，x 2≠3，解得
M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3〔80－m 2〕80＋m 2，40m 80＋m 2、N(3〔m 2－20〕20＋m 2，－20m 20＋m 2)． (证法1)当x 1≠x 2时，直线MN 的方程为y ＋20m
20＋m 240m 80＋m 2＋20m 20＋m 2
＝x －
3〔m 2－20〕20＋m 2
3〔80－m 2〕80＋m 2－3〔m 2－20〕20＋m 2
，令y ＝0，解得x ＝1，此时必过点D(1，0)；当x 1＝x 2时，直线MN 的方程为x ＝1，与x 轴交点为D(1，0)，所以直线MN 必过x 轴上的一定点D(1，0)．
(证法2)假设x 1＝x 2，那么由240－3m 280＋m 2＝3m 2－60
20＋m 2
及m>0，得m ＝210，此时直线MN
的方程为x ＝1，
过点D(1，0)．假设x 1≠x 2，那么m ≠210. 直线MD 的斜率k MD ＝40m 80＋m 2240－3m 280＋m 2
－1
＝10m
40－m 2
，
直线ND 的斜率k ND ＝－20m
20＋m 2
3m 2
－60
20＋m 2－1
＝
10m
40－m 2
，
得k MD ＝k ND ，所以直线MN 过D 点． 因此，直线MN 必过x 轴上的点D(1，0)． 变式训练
椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2，0)，离心率为2
2
.直线y ＝k(x －1)与椭圆
C 交于不同的两点M ，N.
(1) 求椭圆C 的方程；
(2) 当△AMN 的面积为10
3
时，求k 的值．
解：(1) 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝2
2，a 2
＝b 2
＋c 2
，
解得b ＝
2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2
2
＝1.
(2) 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 〔x －1〕，x 24＋y 22＝1，
得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.设点M ，N 的坐标分别为(x 1，
y 1)，(x 2，y 2)，
那么y 1＝k(x 1－1)，y 2＝k(x 2－1)， x 1＋x 2＝4k 2
1＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2
， 所以MN ＝〔x 2－x 1〕2＋〔y 2－y 1〕2
＝〔1＋k 2〕[〔x 1＋x 2〕2－4x 1x 2] ＝2
〔1＋k 2〕〔4＋6k 2〕
1＋2k 2
.
又因为点A(2，0)到直线y ＝k(x －1)的距离d ＝|k|1＋k
2
，所以△AMN 的面积为S ＝1
2MN ·d
＝
|k|
4＋6k 21＋2k 2.由|k|4＋6k 21＋2k 2
＝10
3，解得k ＝±1.
[示例] (此题模拟高考评分标准，总分值16分)
双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1的离心率为2，焦点到渐近线的距离等于3，过右焦点F 2的直线l 交
双曲线于A 、B 两点，F 1为左焦点．
(1) 求双曲线的方程；
(2) 假设△F 1AB 的面积等于62，求直线l 的方程．
学生错解：解：(2) 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，F(2，0)，直线l ：y ＝k(x －2)，
由⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝k 〔x －2〕，x 2－y 23＝1，消元得(k 2－3)x 2－4k 2x ＋4k 2＋3＝0，x 1＋x 2＝4k 2
k 2－3，x 1x 2＝4k 2＋3k 2－3，
y 1－y 2＝k(x 1－x 2)，
△F 1AB 的面积S ＝c|y 1－y 2|＝2|k|·|x 1－x 2|＝2|k|〔4k 2〕2－4〔k 2－3〕〔4k 2＋3〕
|k 2－3|＝
2|k|·6k 2＋1|k 2－3|
＝63
k 4＋8k 2－9＝0
k 2＝1
k ＝±1，所以直线l 的方程为y ＝±(x －2)．
审题引导：(1) 直线与双曲线相交问题时的处理方法；
(2) △F 1AB 面积的表示．
规X 解答： 解：(1) 依题意，b ＝3，c
a
＝2a ＝1，c ＝2，(4分)
∴双曲线的方程为x 2－y
23
＝1.(6分)
(2) 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，F 2(2，0)，直线l ：y ＝k(x －2)，
由⎩⎪⎨⎪
⎧y ＝k 〔x －2〕，x 2－y 23＝1，
消元得(k 2－3)x 2－4k 2x ＋4k 2＋3＝0，(8分) k ≠±3时，x 1＋x 2＝4k 2
k 2－3，x 1x 2＝4k 2＋3k 2－3
，y 1－y 2＝k(x 1－x 2)，(10分)
△F 1AB 的面积S ＝c|y 1－y 2|＝2|k|·|x 1－x 2|＝2|k|·〔4k 2〕2－4〔k 2－3〕〔4k 2＋3〕
|k 2－3|＝
2|k|·k 2＋1|k 2－3|
＝63k 4＋8k 2－9＝0k 2＝1k ＝±1，(14分)
所以直线l 的方程为y ＝±(x －2)．(16分)
错因分析： 解此题时容易忽略二次项系数不为零，即k ≠±3这一条件．
1. 设抛物线y 2＝8x
的准线与x 轴交于点Q ，假设过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，那么直线l 的斜率的取值X 围是________．
答案：[－1，1]
解析：易知抛物线y 2＝8x 的准线x ＝－2与x 轴的交点为Q(－2，0)，于是，可设过点
Q(－2，0)的直线l 的方程为y ＝k(x ＋2)(由题可知k 是存在的)，联立⎩
⎪⎨
⎪⎧y 2＝8x ，
y ＝k 〔x ＋2〕k 2x 2
＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0.其判别式为Δ＝(4k 2－8)2－16k 4＝－64k 2＋64≥0，可解得－1≤k ≤1.
2. 如图，过抛物线
C ：y 2＝4x
上一点P(1，－2)作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物
线交于点A(x ，y 1)，B(x 2，y 2)．
(1) 求y 1＋y 2的值；
(2) 假设y 1≥0，y 2≥0，求△PAB 面积的最大值．
解：(1) 因为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)在抛物线
C ：y 2＝4x
上，所以A ⎝⎛⎭⎫y 214，y 1，B ⎝⎛⎭
⎫y 2
2
4，y 2，k PA ＝y 1＋2y 214－1
＝4〔y 1＋2〕y 21－4＝4y 1－2，同理k PB ＝4y 2－2，依题意有k PA ＝－k PB ，因为4
y 1－2＝－4
y 2－2
，所以y 1＋y 2＝4. (2) 由(1)知k AB ＝y 2－y 1y 224－y 214
＝1，设AB 的方程为y －y 1＝x －y 214，即x －y ＋y 1－y 21
4＝0，P 到
AB 的距离为d ＝
⎪
⎪⎪⎪
3＋y 1－y 2
142
，AB ＝2·⎪⎪⎪⎪y 214－y 2
24＝2|y 1－y 2|＝22|2－y 1|，所以S △PAB ＝1
2
×⎪
⎪⎪⎪
3＋y 1－y 2
142
×22|2－y 1|＝14|y 21－4y 1－12||y 1－2|＝14|(y 1－2)2－16|·|y 1－2|，令y 1－2＝t ，由y 1
＋y 2＝4，y 1≥0，y 2≥0，可知－2≤t ≤2.S △PAB ＝14|t 3－16t|，因为S △PAB ＝1
4|t 3－16t|为偶函数，
只考虑0≤t ≤2的情况，记f(t)＝|t 3－16t|＝16t －t 3，f ′(t)＝16－3t 2>0，故f(t)在[0，2]是单调增函数，故f(t)的最大值为f(2)＝24，故S △PAB 的最大值为6.
3. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝16，点
F(1，0)，E 是圆C 上
的一个动点，EF 的垂直平分线PQ 与CE 交于点B ，与EF 交于点D.
(1) 求点B 的轨迹方程；
(2) 当点D 位于y 轴的正半轴上时，求直线PQ 的方程；
(3) 假设G 是圆C 上的另一个动点，且满足FG ⊥FE ，记线段EG 的中点为M ，试判断线段OM 的长度是否为定值？假设是，求出该定值；假设不是，说明理由．
解：(1) 连结BF ，由BF ＝BE ，所以BC ＋BF ＝BC ＋BE ＝CE ＝4，
所以点B 的轨迹是以C 、F 为焦点，长轴为4的椭圆，所以B 点的轨迹方程为x 24＋y 2
3＝
1.
(2) 当点D 位于y 轴的正半轴上时，因为D 是线段EF 的中点，O 为线段CF 的中点，所以CE ∥OD ，且CE ＝2OD ，所以E 、D 的坐标分别为(－1，4)和(0，2)．
因为PQ 是线段EF 的垂直平分线，所以直线PQ 的方程为y ＝1
2x ＋2，即直线PQ 的方
程为x －2y ＋4＝0.
(3) 设点E 、G 的坐标分别为(x 1，y 1)和(x 2，y 2)，那么点M 的坐标为⎝
⎛⎭
⎪⎫
x 1＋x 22，y 1＋y 22，
因为点E 、G 均在圆C 上，且FG ⊥FE ，所以(x 1＋1)2＋y 21＝16，① (x 2＋1)2＋y 2
2＝16，②
(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝0，③
所以x 21＋y 21＝15－2x 1，x 22＋y 22＝15－2x 2，x 1x 2＋y 1y 2＝x 1＋x 2－1.所以MO 2＝14
[(x 1＋x 2)2
＋(y 1＋y 2)2]＝14·[(x 21＋y 21)＋(x 22＋y 22)＋2(x 1x 2＋y 1y 2)]＝14[15－2x 1＋15－2x 2＋2(x 1＋x 2－1)]＝7，即M 点到坐标原点O 的距离为定值，且定值为7.
4. 给定椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a>b>0)，称圆心在原点O 、半径是a 2＋b 2的圆为椭圆C 的
“准圆〞．椭圆C 的一个焦点为F(2，0)，其短轴的一个端点到点F 的距离为 3.
(1) 求椭圆C 和其“准圆〞的方程；
(2) 假设点A 是椭圆C 的“准圆〞与x 轴正半轴的交点，B 、D 是椭圆C 上的两相异点，
且BD ⊥x 轴，求AB →·AD →
的取值X 围；
(3) 在椭圆C 的“准圆〞上任取一点P ，过点P 作直线l 1，l 2，使得l 1，l 2与椭圆C 都只有一个交点，试判断l 1，l 2是否垂直？并说明理由．
解：(1) 由题意知c ＝2，且a ＝b 2
＋c 2
＝3，可得b ＝1，故椭圆C 的方程为x 23
＋y
2
＝1，其“准圆〞方程为x 2＋y 2＝4.
(2) 由题意，可设B(m ，n)，D(m ，－n)(－3<m<3)，那么有m 2
3
＋n 2＝1，又A 点坐标
为(2，0)，故AB →＝(m －2，n)，AD →＝(m －2，－n)，故AB →·AD →
＝(m －2)2－n 2＝m 2－4m ＋4－
⎝⎛⎭⎫1－m 2
3＝43m 2－4m ＋3＝43⎝⎛⎭⎫m －322，又－3<m<3，故43⎝⎛⎭⎫m －322∈[0，7＋43]，所以AB →·AD →的取值X 围是[0，7＋43)．
(3) 设P(s ，t)，那么s 2＋t 2＝4.当s ＝±3时，t ＝±1，那么l 1，l 2其中之一斜率不存在，另一斜率为0，显然有l 1⊥l 2.当s ≠±3时，设过P(s ，t)且与椭圆有一个公共点的直线l 的斜率为k ，那么l 的方程为y －t ＝k(x －s)，代入椭圆C 方程可得x 2＋3[kx ＋(t －ks)]2＝3，即(3k 2＋1)x 2＋6k(t －ks)x ＋3(t －ks)2－3＝0，由Δ＝36k 2(t －ks)2－4(3k 2＋1)[3(t －ks)2－3]＝0，可得(3－s 2)k 2＋2stk ＋1－t 2＝0，其中3－s 2＝0，设l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，那么k 1，k 2是上述方程的两个根，故k 1k 2＝1－t 2
3－s 2＝1－〔4－s 2〕
3－s 2
＝－1，即l 1⊥l 2.综上可知，对于椭圆C 上
的任意点P ，都有l 1⊥l 2.
5. 如图，椭圆C 的方程为x 24
＋y 2
＝1，A 、B 是四条直线x ＝±2，y ＝±1所围成的矩形的
两个顶点．
(1) 设P 是椭圆C 上任意一点，假设OP →＝mOA →＋nOB →
，求证：动点Q(m ，n)在定圆上运动，并求出定圆的方程；
(2) 假设M 、N 是椭圆C 上两个动点，且直线OM 、ON 的斜率之积等于直线OA 、OB 的斜率之积，试探求△OMN 的面积是否为定值，并说明理由．
(1) 证明：易知A(2，1)，B(－2，1)．设P(x 0，y 0)，那么x 204
＋y 20＝1.由OP →＝mOA →＋nOB →
，得⎩
⎪⎨⎪⎧x 0＝2〔m －n 〕，y 0＝m ＋n ，所以4〔m －n 〕24＋(m ＋n)2＝1，即m 2＋n 2＝12
，故点Q(m ，n)在定圆x 2
＋y 2＝1
2
上．
(2) 解：(解法1)设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，那么
y 1y 2x 1x 2＝－14，平方得x 21x 22＝16y 21y 22＝(4－x 21)(4－x 22)，即x 21＋x 22＝4.因为直线MN 的方程为(y 1－y 2)x －(x 1－x 2)y ＋x 1y 2－x 2y 1＝0，所以
O 到直线MN 的距离为d ＝|x 1y 2－x 2y 1|〔x 2－x 1〕2＋〔y 2－y 1〕
2
，所以△OMN 的面积S ＝12MN ·d ＝
12|x 1y 2－x 2y 1|＝
12x 21y 22＋x 22y 2
1－2x 1x 2y 1y 2 ＝1
2
x 21⎝⎛⎭⎫1－x 224＋x 22⎝⎛⎭⎫1－x 214＋12x 21x 22
＝
12
x 21＋x 2
2＝1，故△OMN 的面积为定值1.
(解法2)设OM 的方程为y ＝kx(k>0)，那么ON 的方程为y ＝－1
4k
x(k>0)．联立方程组
⎩
⎪⎨
⎪⎧y ＝kx ，
x 2＋4y 2
＝4，解得 M ⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋4k 2，2k 1＋4k 2.同理可得N ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫4k 1＋4k 2，－11＋4k 2. 因为点N 到直线OM 的距离为d ＝1＋4k 21＋k 2
，OM ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋4k 22＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫2k 1＋4k 22
＝2
1＋k 2
1＋4k 2
，所以△OMN 的面积S ＝12d ·OM ＝1
2·
1＋4k 21＋k 2
·2
1＋k 2
1＋4k 2＝1，故△OMN 的面积为定值．
1. 假设双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，线段F 1F 2被抛物线
y 2
＝2bx 的焦点分成7∶3的两段，那么此双曲线的离心率为________．
答案：53
解析：依题意得，c ＋b 2＝77＋3×2c ，即b ＝4
5
c(其中c 是双曲线的半焦距)，a ＝c 2－b 2＝
35c ，那么c a ＝53，因此该双曲线的离心率等于53
.
2. 如图，设E ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的焦点为F 1与F 2，且P ∈E ，∠F 1PF 2＝2θ.求证：△PF 1F 2
的面积S ＝b 2tan θ.
证明：设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，那么S ＝1
2
r 1r 2sin2θ.
又|F 1F 2|＝2c ，
由余弦定理有(2c)2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos2θ＝(r 1＋r 2)2－2r 1r 2－2r 1r 2cos2θ＝(2a)2
－2r 1r 2(1＋
cos2θ)，
于是2r 1r 2(1＋cos2θ)＝4a 2－4c 2＝4b 2.
所以r 1r 2＝2b 2
1＋cos2θ.
这样即有S ＝12·2b 21＋cos2θsin2θ＝b 22sinθcosθ2cos 2θ
＝b 2
tan θ.
3. 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为2
2
，短轴的一个端点为M(0，1)，直线l ：y ＝kx
－1
3
与椭圆相交于不同的两点A 、B. (1) 假设AB ＝426
9
，求k 的值；
(2) 求证：不论k 取何值，以AB 为直径的圆恒过点M.
(1) 解：由题意知c a ＝2
2
，b ＝1.
由a 2＝b 2＋c 2可得c ＝b ＝1，a ＝2，
∴椭圆的方程为x 22＋y 2
＝1.
由⎩
⎨⎧
y ＝kx －1
3，
x
22
＋y 2＝1得(2k 2＋1)x 2－43kx －16
9＝0.
Δ＝169k 2－4(2k 2＋1)×⎝⎛⎭⎫－169＝16k 2＋64
9
＞0恒成立， 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，
那么x 1＋x 2＝4k 3〔2k 2＋1〕，x 1x 2＝－
16
9〔2k 2＋1〕. ∴ AB ＝
1＋k 2·|x 1－x 2|＝
1＋k 2·
〔x 1＋x 2〕2－4x 1x 2＝
4
〔1＋k 2〕〔9k 2＋4〕3〔2k 2＋1〕
＝
426
9
，化简得23k 4－13k 2－10＝0，即(k 2－1)(23k 2＋10)＝0，解得k ＝±1. (2) 证明：∵MA →＝(x 1，y 1－1)，MB →
＝(x 2，y 2－1)，
∴MA →·MB →＝x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)＝(1＋k 2
)x 1x 2－43·k(x 1＋x 2)＋169＝－16〔1＋k 2〕9〔2k 2＋1〕－16k 29〔2k 2＋1〕＋16
9
＝0.
∴不论k 取何值，以AB 为直径的圆恒过点M.
4. 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为3
5
，且过点P ⎝⎛⎭⎫4，125，A 为上顶点，F 为右焦点．点Q(0，t)是线段OA(除端点外)上的一个动点，
过Q 作平行于x 轴的直线交直线AP 于点M ，以QM 为直径的圆的圆心为N. (1) 求椭圆方程；
(2) 假设圆N 与x 轴相切，求圆N 的方程；
(3) 设点R 为圆N 上的动点，点R 到直线PF 的最大距离为d ，求d 的取值X 围．
解：(1) ∵ e ＝35不妨设c ＝3k ，a ＝5k ，那么b ＝4k ，其中k>0，故椭圆方程为x 225k 2＋y 2
16k
2
＝1(a>b>0)，∵ P ⎝⎛⎭⎫4，125在椭圆上，∴42
25k 2＋⎝⎛⎭
⎫
125216k 2＝1解得k ＝1，∴椭圆方程为x 2
25＋y 2
16
＝1.
(2) k AP ＝125－44＝－25 , 那么直线AP 的方程为y ＝－2
5
x ＋4，
令y ＝t ()0<t<4，那么x ＝5〔4－t 〕2∴ M ⎝ ⎛⎭⎪⎫5〔4－t 〕2，t .∵ Q(0，t)∴ N ⎝ ⎛⎭⎪⎫
5〔4－t 〕4，t ， ∵圆N 与x 轴相切，∴5〔4－t 〕4＝t ，由题意M 为第一象限的点，那么5〔4－t 〕4
＝t ，
解得t ＝209.∴ N ⎝⎛⎭⎫209，209，圆N 的方程为⎝⎛⎭⎫x －2092＋⎝⎛⎭⎫y －2092＝40081
.
(3) F(3，0)，k PF ＝125，∴直线PF 的方程为y ＝12
5
(x －3)即12x －5y －36＝0，
∴点N 到直线PF 的距离为⎪⎪
⎪⎪⎪⎪15〔4－t 〕－5t －3613＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪24－20t 13＝4
13
||6－5t ，
∴ d ＝413||
6－5t ＋5
4
(4－t)，∵ 0<t<4，
∴当0<t ≤65时，d ＝413(6－5t)＋5
4(4－t)＝356－145t 52，
此时72≤d<8913
，
当65<t<4时，d ＝413(5t －6)＋54(4－t)＝164＋15t 52，此时72<d<5613
， ∴综上， d 的取值X 围为⎣⎡⎭⎫
72，8913.
1. 直线与圆锥曲线的位置关系，主要涉及弦长、弦中点、对称、参数的取值X 围、求曲线方程等问题．解题中要充分重视根与系数的关系和判别式的应用．
2. 当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“根与系数的关系〞设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“点差法〞设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．同时还应充分挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍．解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找X 围，曲线定义不能忘〞．
请使用课时训练(A)第10课时(见活页)．
[备课札记]。